Funzioni condizionatamente definite positive

Funzioni condizionatamente definite positive Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come il problema di interpolazione ci abbia portato all uso di funzioni definite positive. Tuttavia, ci sono funzioni radiali il cui uso è molto popolare) che non rientrano in questo schema. Un esempio è dato dalla seguente spline thin-plate: supponiamo che la funzione di base sia data da Φ x) = x 2 2 log x 2 ), x Rd. Sia N = d + 1 il numero dei centri x i, e siano tali centri i vertici di un simplesso regolare i cui bordi hanno lunghezza unitaria. Allora tutti i valori Φ x i x k ) della matrice di interpolazione sono zero, quindi la matrice non è definita positiva. In questo capitolo daremo una nozione generalizzata delle funzioni definite positive, in modo da includere tutte le possibilità rilevanti per le funzioni di base, e troveremo dei risultati che generalizzano i teoremi di Bochner e di Schoenberg. 1. Definizione e proprietà di base Come nel caso delle funzioni definite positive, si devono distinguere le funzioni a valori reali da quelle a valori complessi, prestando un po di attenzione. Definizione 1.1. Una funzione continua Φ : R d C è detta condizionatamente semi-definita positiva di ordine m se, per ogni N N, per ogni scelta di centri a due a due distinti x 1,..., x N R d, e per ogni α C che soddisfano α j p x j ) = 1) per ogni polinomio p a valori complessi di grado minore di m, si ha che la forma quadratica α j α k Φ x j x k ) 2) è non negativa. Φ è detta condizionatamente definita positiva di ordine m se la forma quadratica è positiva, a meno che α =. Un primo importante teorema riguarda l ordine delle funzioni condizionatamente semi-)definite positive. Proposizione 1.1. Una funzione che è condizionatamente semi-)definita positiva di ordine m è anche condizionatamente semi-)definita positiva di ordine l m. Una funzione che è condizionatamente semi-)definita positiva di ordine m su R d è anche condizionatamente semi-)definita positiva di ordine m su R n per n d. Questo significa, ad esempio, che ogni funzione definita positiva ha anche condizionata positiva definitezza di ogni ordine. Ovviamente viene naturale guardare al più piccolo ordine m possibile, quindi quando parleremo di una 1

2 funzione condizionatamente definita positiva di ordine m faremo riferimento al più piccolo m possibile. Come è stato fatto per le funzioni definite positive, la definizione data in precedenza si può restringere al caso di coefficienti e polinomi reali se la funzione di base è pari e a valori reali. Questo vale in particolare ogni volta che la funzione Φ è radiale. Teorema 1.2. Una funzione continua e pari Φ : R d R è condizionatamente definita positiva di ordine m se e solo se, per ogni N N, per ogni scelta di centri a due a due distinti x 1,..., x N R d, e per ogni α R N \ {} che soddisfano α j p x j ) = per ogni polinomio p a valori reali di grado minore di m, la forma quadratica è positiva. α j α k Φ x j x k ) Dalla definizione di funzione condizionatamente semi-)definita positiva non è possibile concludere che automaticamente vale Φ x) = Φ x), come invece era possibile per le funzioni semi-)definite positive. Questa è una conseguenza della seguente proposizione. Proposizione 1.3. Ogni polinomio q di grado minore di 2m è condizionatamente semi-)definito positivo di ordine m. Più precisamente, per ogni insieme {x 1,...x N } R d e per ogni α C N che soddisfano la 1) per ogni p π m 1 R d), la forma quadratica 2) per Φ = q è identicamente nulla. Dimostrazione. Per ipotesi, ogni polinomio p π m 1 R d) soddisfa l equazione 1): N α j p x j ) =. Prendiamo β, ν N d, e poniamo q x) = β <2m c βx β polinomio di grado minore di 2m. La forma quadratica è: = α j α k q x j x k ) = N c β β <2m N c β β <2m = = β <2m β <2m α j α k x j x k ) β ) α j α k 1) ν β ν c β 1) ν β ν ν β ν β ) N α j x β ν j α j α k c β x j x k ) β x β ν j x ν k α k x ν k. k=1

1. DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DI BASE 3 Dato che β < 2m, β = ν + β ν), si ha che ν m oppure β ν m. Quindi, per 1), o la somma N α j x β ν j è uguale a zero, o la somma Nk=1 α k x ν k è uguale a zero. Si può mostrare che ogni polinomio di grado più grande di 2m non può essere condizionatamente semi-)definito positivo di ordine m. La condizionata positiva definitezza di ordine m di una funzione Φ può essere interpretata anche come la positiva definitezza della matrice A Φ,X = Φ x j x k )) sullo spazio dei vettori α tali che α j p l x j ) =, 1 l Q = dimπ m 1 R d). In questo senso, A Φ,X è definita positiva sullo spazio dei vettori α perpendicolari ai polinomi. In particolare, abbiamo che ogni scelta di un vettore α C N e di un insieme di punti a due a due distinti X = {x 1,..., x N } che soddisfino la 1) per ogni polinomio di grado minore di m, definisce un funzionale lineare λ α,x := α j δ xj, dove δ x denota la valutazione puntuale in x delta di Dirac in x). Definiamo π m 1 R d) lo spazio di tutti questi funzionali. Allora nella definizione di funzione condizionatamente semi-)definita positiva il vettore α è ammissibile se e solo se λ α,x π m 1 R d). Dato che la matrice A Φ,X è condizionatamente semi-)definita positiva di ordine m, è anche definita positiva su un sottospazio di dimensione N Q, dove Q = dimπ m 1 R d). La matrice A Φ,X ha quindi la proprietà che almeno N Q dei suoi autovalori sono positivi. Per m = 1 possiamo trarre delle conclusioni ancora più forti. Teorema 1.4. Supponiamo che la funzione Φ sia condizionatamente definita positiva di ordine 1 e che Φ ). Allora la matrice A Φ,X ha un autovalore negativo e N 1 autovalori positivi, e in particolare è invertibile. Come già visto per le funzioni semi-definite positive, le funzioni condizionatamente semi-definite positive possono essere caratterizzate come funzioni condizionatamente semi-definite positive integralmente. Proposizione 1.5. Una funzione continua Φ è condizionatamente semidefinita positiva di ordine m se e solo se Φ x y) γ x) γ y)dxdy R d R d

4 per ogni γ C R d) che soddisfa R d γ x) p x) dx = per ogni p π m 1 R d). Possiamo ora enunciare un ultimo importante risultato: da una funzione condizionatamente semi-definita positiva di ordine m si può facilmente costruire una funzione condizionatamente semi-definita positiva di ordine minore di m. Proposizione 1.6. Supponiamo che Φ sia una funzione condizionatamente semi-definita positiva di ordine m > e che l m sia fissato. Se y 1,..., y M R d e β C M \ {} soddisfano M β j p y j ) = per ogni p π l 1 R d), allora la funzione Ψ x) := M β j β k Φ x y j + y k ) è condizionatamente semi-definita positiva di ordine m l. 2. Caratterizzazione analoga a quella di Bochner Nel caso delle funzioni definite positive, abbiamo visto che la caratterizzazione integrale data da Bochner è risultata molto utile ricordiamo: una funzione continua Φ è semi-definita positiva se e solo se è la trasformata di Fourier di una misura di Borel µ su R d non negativa e finita). Per le funzioni condizionatamente definite positive esiste un risultato analogo che vedremo in seguito; in particolare, vedremo che è possibile fornire una caratterizzazione delle funzioni condizionatamente definite positive utilizzando la loro trasformata di Fourier. A questo scopo, è necessario modificare la nozione classica di trasformata di Fourier, e definire uno speciale sottospazio dello spazio di Schwartz S ricordiamo: uno spazio di Schwartz è uno spazio di funzioni che, insieme alle loro derivate, decrescono velocemente, più di un polinomio). Definizione 2.1. Per m N, l insieme di tutte le funzioni γ S che soddisfano γ ω) = O ω m 2 ) per ω 2 è indicato con S m. Nel seguito, faremo sempre riferimento a funzioni di base lentamente crescenti, cioè a funzioni che crescono al massimo come un particolare polinomio fissato. Osserviamo che questa non è una restrizione, perchè si può dimostrare che ogni funzione condizionatamente definita positiva di ordine m cresce al massimo come un polinomio di grado 2m. Definizione 2.2. Supponiamo che Φ : R d C sia continua e lentamente crescente. Una funzione misurabile Φ ) L loc 2 R d \ {} è detta trasformata di Fourier generalizzata di Φ se esiste un intero m N tale che

2. CARATTERIZZAZIONE ANALOGA A QUELLA DI BOCHNER 5 l equazione Φ x) γ x)dx = Φ ω)γ ω) dω R d R d è soddisfatta per ogni γ S 2m. L intero m è detto ordine di Φ. Notiamo che l ordine m della trasformata di Fourier generalizzata corrisponde allo spazio S 2m, e non allo spazio S m. Inoltre, se Φ è la trasformata di Fourier generalizzata di ordine m allora ha anche ordine l m; quindi quando si parlerà di ordine faremo riferimento al più piccolo ordine m possibile. Sono necessarie alcune osservazioni. Se la trasformata di Fourier generalizzata esiste, essa è unica a meno di insiemi di misura di Lebesgue nulla. Se Φ L 1 {R d} allora la sua trasformata di Fourier classica e la sua trasformata di Fourier generalizzata coincidono, e l ordine è zero. Lo stesso vale per Φ L 2 {R d}. La trasformata di Fourier generalizzata e la trasformata di Fourier distribuzionale coincidono sull insieme S 2m. In questo capitolo, siamo interessati solo alla trasformata di Fourier generalizzata Φ continua su R d \ {} e che ha una singolarità nell origine; l ordine della singolarità determina il più piccolo ordine m della trasformata di Fourier generalizzata. Il prossimo risultato ci dà un esempio di una trasformata di Fourier generalizzata, e mostra anche in che modo la funzione Φ è determinata dalla sua trasformata di Fourier generalizzata. Proposizione 2.1. Supponiamo che Φ = p sia un polinomio di grado minore di m. Allora per ogni funzione test γ S m vale R d Φ x) γ x)dx =. 3) Quindi la trasformata di Fourier generalizzata di p è la funzione identicamente nulla e ha ordine m/2. Viceversa, se Φ è una funzione continua che soddisfa 3) per ogni γ S m allora Φ è un polinomio di grado minore di m. Per arrivare a definire la caratterizzazione analoga a quella di Bochner, dobbiamo ora capire come si costruiscono le funzioni di S 2m. Uno stratagemma è quello di usare centri e coefficienti che soddisfino le richieste di una funzione condizionatamente definita positiva. Lemma 2.2. Supponiamo che i centri a due a due distinti x 1,..., x N R d e α C N \ {} siano scelti in modo che l equazione 1) sia soddisfatta per ogni p π m 1 R d). Allora α j e ixt j ω = O ω m 2 )

6 vale per ω 2. Possiamo ora finalmente enunciare il risultato principale. Questo afferma che l ordine della trasformata di Fourier generalizzata determina il minimo ordine di una funzione condizionatamente definita positiva. Teorema 2.3. Supponiamo che Φ : R d C sia continua, lentamente crescente, e che abbia una trasformata di Fourier generalizzata Φ di ordine m che sia continua su R d \ {}. Allora Φ è condizionatamente definita positiva di ordine m se e solo se Φ è non negativa e non identicamente nulla. Per ragioni che saranno chiare in seguito, proponiamo una diversa versione del teorema valida per la forma quadratica. Corollario 2.4. Supponiamo che Φ : R d C sia continua e lentamente crescente. Supponiamo inoltre che Φ abbia una trasformata di Fourier generalizzata Φ di ordine m continua su R d \ {}, non negativa, e che non tende a zero all infinito. Allora per ogni scelta di centri a due a due distinti x 1,..., x N R d e per ogni α C N tali che 1) sia soddisfatta per ogni p π m 1 R d), vale α j α k Φ x j x k ) = 2π) d/2 R d 2 α j e iωt x j Φ ω) dω. 3. Esempi di trasformate di Fourier generalizzate Calcoliamo ora le trasformate di Fourier generalizzate delle più famose funzioni di base, che possono essere usate per dimostrare che le funzioni di base sono condizionatamente definite positive. Inoltre, le trasformate di Fourier generalizzate ci sono di aiuto per la stima dell errore e la stima della stabilità del processo di interpolazione che vedremo nel prossimo capitolo. Come primo esempio, vediamo la trasformata di Fourier generalizzata della funzione multiquadratica. Useremo la notazione t per indicare il più piccolo intero maggiore o uguale a t R. β, Teorema 3.1. La funzione Φ x) = c 2 + x 2) 2 per x R d, c > e β R \ N possiede la trasformata di Fourier generalizzata) Φ ω) = 21+β Γ β) di ordine m = max, β ). ) β d/2 ω 2 K d/2+β c ω 2 ), ω, c

3. ESEMPI DI TRASFORMATE DI FOURIER GENERALIZZATE 7 Teorema 3.2. La funzione Φ x) = x β 2, per x Rd, β >, β / 2N possiede la trasformata di Fourier generalizzata di ordine m = β/2. Φ ω) = 2β+d/2 Γ d + β) /2) Γ β/2) ω β d 2, ω, Dimostrazione. Dimostriamo nel caso d = 1 e β = 1, quindi la funzione Φ è f x) = x. Ricordiamo che per le trasformate di Fourier vale la seguente formula per le derivate: f x) = ix f x), e f x) = ix) 2 f x). Calcoliamo le derivate di f: f è la funzione di Heaviside: { 1, se x > f x) = H x) = 1, se x < f è la derivata distribuzionale: f x) = 2δ x), infatti: f ) x) = f x) < f, φ >= < f, φ > φ C R) e quindi H x) = 2δ x) < 2δ x), φ >= H x) φ x) dx [ + R ] 2φ ) = 1 φ x) dx + 1 φ x) dx 2φ ) = [φ + ) φ ) φ ) + φ )] Si ha che: quindi otteniamo: 2φ ) = 2φ ) f x) = ix) 2 f x) = x 2 f x) f x) = 2δ x) = 2 2π f x) = 2 1 2π x 2. E proprio il risultato che volevamo, infatti per d = 1, β = 1 2 1+1/2 Γ 1) Γ 1/2) = 23/2 1 2 2 π =. π L ultimo esempio riguarda le thin-plate splines. Teorema 3.3. La funzione Φ x) = x 2k 2 log x 2, per x Rd, k N, possiede la trasformata di Fourier generalizzata Φ ω) = 1) k+1 2 2k 1+d/2 Γ k + d/2) k! ω d 2k 2 di ordine m = k + 1. e

8 Ora risulta semplice decidere se le funzioni appena analizzate sono condizionatamente definite positive. Nel prossimo teorema, con m intendiamo il più piccolo ordine possibile. Corollario 3.4. Le seguenti funzioni Φ : R d R sono condizionatamente definite positive di ordine m: 1) Φ x) = 1) β c 2 + x 2 2) β, β >, β / N, m = β 2) Φ x) = 1) β/2 x β 2, β >, β / 2N, m = β/2 3) Φ x) = 1) k+1 x 2k 2 log x 2, k N, m = k + 1 4. Funzioni radiali condizionatamente definite positive Come nel caso delle funzioni semi-definite positive, è possibile fornire una caratterizzazione delle funzioni condizionatamente semi-definite positive che fa uso delle funzioni radiali. Per semplicità omettiamo i dettagli, e ci concentriamo sulle funzioni in una variabile che sono condizionatamente semi-)definite positive su ogni R d, arrivando ad un risultato sulla falsa riga della caratterizzazione di Schoenberg ricordiamo: una funzione ) φ è completamente monotona su [, ) se e solo se Φ := φ 2 2 è semi-definita positiva su ogni R d ). TeoremaMicchelli) ) 4.1. Sia data φ C [, ) C, ). La funzione Φ = φ 2 2 è condizionatamente semi-definita positiva di ordine m N su ogni R d se e solo se 1) m φ m) è completamente monotona su, ). ) Dimostrazione. Mostriamo il primo verso: supponiamo che φ 2 2 sia condizionatamente definita positiva di ordine m, allora 1) m φ m) è completamente monotona. Per m =, il risultato è dato dal teorema di Schoenberg. Per il passo induttivo, assumiamo che il risultato ) sia vero per m e dimostriamo che è vero per m + 1. Prendiamo φ 2 2 condizionatamente semidefinita positiva di ordine m + 1 su ogni R d. Fissiamo una dimensione d. Per h > consideriamo la funzione a d + 1)-variabili: ) x Ψ h x) = 2φ x 2 ) x ) 2 φ + hed+1 φ hed+1, x R d+1, 2 2 dove e d+1 è il d + 1)-esimo vettore di norma 1. Per il teorema 1.6) abbiamo che Ψ h è condizionatamente semi-definita positiva di ordine m su R d+1, e in particolare, per il teorema 1.1), anche su R d. La restrizione di Ψ h su R d è data da: Ψ h x) = 2 [ φ x 2 2 ) φ x 2 2 + h )] =: 2ψ h x 2 2 2 2 ), x R d.

4. FUNZIONI RADIALI CONDIZIONATAMENTE DEFINITE POSITIVE 9 Quindi, per l ipotesi induttiva, 1) m ψ m) h è completamente monotona su, ) per ogni h > cioè 1) m+l ψ m+l) [ ] h = 1) m+l φ m+l) r) φ m+l) r + h) per r >, l N. Ma questo significa che in particolare vale 1) m+l+1 φ m+l) r + h) φ m+l) r) h per ogni r >, l N, h >. Facendo tendere h a zero, otteniamo 1) m+1+l φ m+1+l) r) per ogni r >, l N, per cui abbiamo il risultato voluto. Viceversa supponiamo ) che 1) m φ m) sia completamente monotona su, ), allora Φ = φ 2 2 è condizionatamente semi-definita positiva di ordine m. Per il teorema visto la lezione precedente, si può scrivere 1) m φ m) r) = e rt dµ t) dove µ è una misura di Borel non negativa su [, ). Usando la formula di Taylor, otteniamo dove con T m 1 indichiamo il polinomio di Taylor di grado m 1) 1 r φ r) = T m 1 r) + r t) m 1 φ m) t) dt m 1)! = T m 1 r) + 1)m m 1)! = T m 1 r) + 1)m m 1)! r r t) m 1 e rs dµ s) dt r r r t) m 1 e rs dtdµ s) Applichiamo ora la formula di Taylor alla funzione r e rs, otteniamo e rs 1 r = P m 1 rs) + r t) m 1 d m m 1)! dt m e ts) dt Da cui = P m 1 rs) + s)m m 1)! r t) m 1 e ts dt. r r t) m 1 e ts dt = [ e rs P m 1 rs) ] m 1)! s) m. Quindi, inserendo tale risultato nella rappresentazione di φ otteniamo φ r) = T m 1 r) + [ e rs ] dµ s) P m 1 rs) s m. Ora prendiamo i centri a due a due distinti x 1,..., x N R d e α R d che soddisfano 1) per ogni p π m 1 R d). Dalla proposizione 1.3) sappiamo che

1 la forma quadratica di un polinomio di grado minore di 2m è identicamente nulla, quindi possiamo concludere che ) α j α k φ x j x k 2 2 = α j α k e s x j x k 2 dµ s) 2 s m dato che la gaussiana è definita positiva. Vale il seguente corollario. Corollario 4.2. Supponiamo che la funzione φ del ) teorema 4.1) non sia un polinomio di grado al massimo m; allora φ 2 2 è condizionatamente definita positiva di ordine m su ogni R d. Il teorema di Micchelli fornisce uno strumento molto potente per decidere se una funzione radiale data è condizionatamente definita positiva su ogni R d. Per dimostrare la sua utilità, vediamolo applicato ad alcune funzioni. Esempio 4.1. La funzione multiquadratica φ r) = 1) β c 2 + r 2) β, con c, β >, β / N, è condizionatamente definita positiva di ordine m = β su ogni R d. Dimostrazione. Definiamo f β r) = 1) β c 2 + r ) β. La derivata k- esima è f k) β r) = 1) β β k β β 1) β k + 1) c 2 + r). Quindi 1) β f β ) β r) = β β 1) β β + 1) c 2 + r ) β β è completamente monotona e m = β è la più piccola scelta possibile che rende 1) m f m) β completamente monotona. Quindi, per il teorema di Micchelli, φ è condizionatamente definita positiva di ordine m. Esempio 4.2. La funzione φ r) = 1) β/2 r β, con β >, β / 2N, è condizionatamente definita positiva di ordine m = β/2 su ogni R d. Esempio 4.3. La spline thin-plate φ r) = 1) k+1 r 2k log r) è condizionatamente definita positiva di ordine m = k + 1 su ogni R d. 5. Interpolazione con funzioni condizionatamente definite positive Nel capitolo 6, lo studio delle funzioni definite positive è servito per risolvere il problema di interpolazione. Già all inizio della lezione abbiamo però visto che la funzione interpolante definita come s f,x x) = N α j Φ x x j ) non funziona nel caso delle funzioni condizionatamente definite positive. Fortunatamente un piccolo cambiamento nella definizione di funzione interpolante garantisce la solvibilità della matrice di interpolazione.

5. INTERPOLAZIONE CON FUNZIONI CONDIZIONATAMENTE DEFINITE POSITIVE11 Dato un insieme di centri X = {x 1,..., x N } definiamo l interpolante di una funzione f come Q s f,x x) = α j Φ x x j ) + β k p k x). k=1 Qui, Q denota la dimensione dello spazio dei polinomi π m 1 R d) e p 1,..., p Q formano una base di π m 1 R d). Per far fronte agli ulteriori gradi di libertà, alle solite condizioni di interpolazione aggiungiamo le condizioni s f,x x j ) = f x j ), 1 j N, α j p k x j ) =, 1 k Q. Chiedere che l interpolante soddisfi queste condizioni, è equivalente a chiedere che esista la soluzione del sistema [ ] [ ] [ AΦ,X P α f X P T = β ] 4) dove A Φ,X = Φ x j x k )) R NxN e P = p k x j )) R NxQ. Il sistema 4) ovviamente ha soluzione se la matrice di sinistra, che indichiamo con ÃΦ,X, è invertibile. Teorema 5.1. Supponiamo che Φ sia condizionatamente definita positiva di ordine m e che X sia un insieme di centri π m 1 R d) -unisolvente. Allora il sistema 4) ammette un unica soluzione. Dimostrazione. Supponiamo che α, β) T stia nello spazio nullo della matrice ÃΦ,X, e dimostriamo che α, β) T =, ) T. Vale A Φ,X α + P β = P T α = La seconda equazione significa che α soddisfa la condizione 1) per ogni p π m 1 R d). Moltiplicando la prima equazione per α T abbiamo T = α T A Φ,X α + P α) T β = α T Aα. Per ipotesi, Φ è condizionatamente definita positiva di ordine m, quindi possiamo concludere che α = e P β =. Inoltre, poichè X è π m 1 R d) -unisolvente, allora β =.

12 La richiesta che X sia π m 1 R d) -unisolvente è necessaria per l unicità della soluzione del sistema, ma non per l esistenza. Il metodo descritto in questa sezione può essere generalizzato usando delle funzioni arbitrarie linearmente indipendenti p 1,..., p Q su R d al posto dei polinomi. Inoltre la funzione condizionatamente definita positiva può essere sostituita da un nucleo condizionatamente definito positivo Φ : Ω Ω C.