6. Scambio termico 6.. Introduzione Lo studio dei fenomeni di scambio termico si uò ricondurre a due variabili: la temeratura e il flusso di calore. La temeratura indica l energia molecolare media di un sistema; il flusso di calore indica lo scambio di energia termica da un coro a un altro. Su scala microscoica l energia termica è legata all energia cinetica delle molecole; la temeratura di un materiale è tanto iù alta, quanto iù elevata è l agitazione termica delle molecole che lo costituiscono. In virtù del secondo rinciio della termodinamica i cori che hanno una maggiore energia cinetica molecolare media cedono sontaneamente questa energia ai cori che hanno un energia cinetica molecolare media minore. I flussi di calore tra due regioni diendono da svariate rorietà materiali, tra cui conduttività termica, calore secifico, densità, emittività suerficiale. Nel caso del trasorto di calore in un fluido sono molto imortanti la sua velocità di flusso e la sua viscosità. Il meccanismo di trasferimento di calore uò essere di tre tii: er conduzione, er convezione e er irraggiamento. Il trasferimento er conduzione avviene nei solidi e nei fluidi in quiete o in moto laminare. È definito come un rocesso di carattere molecolare nel quale arte dell energia delle molecole della orzione iù calda di un mezzo materiale (la cui energia molecolare media è ertanto maggiore) si trasferisce alle molecole di una orzione iù fredda, senza che abbia luogo trasorto di materia. Tale rocesso ha luogo er effetto di collisioni molecolari dirette, in seguito all azione di vibrazioni e urti. Nei metalli una orzione significativa dell energia termica viene trasferita grazie al movimento degli elettroni di conduzione. La convezione è definita come il rocesso macroscoico, che ha luogo solo nei fluidi, nel quale il fluido iù caldo si sosta (o viene fatto sostare) in zone del fluido a temeratura inferiore, rimescolandosi e cedendo arte della roria energia termica. Se il moto del fluido è unicamente generato dalle differenze di densità rovocate dalle differenze di temeratura, la convezione si dice naturale; se il moto del fluido è rodotto meccanicamente, la convezione viene detta forzata. L irraggiamento è il trasferimento di calore da un coro a un altro che avviene er emissione e assorbimento di energia raggiante. Tutti i cori emettono energia raggiante in tutte le direzioni, in quantità che diendono dalla loro temeratura. In questo caso l energia è trasortata dai fotoni della radiazione elettromagnetica aartenenti essenzialmente alla regione infrarossa e visibile dello settro elettromagnetico. Quando le temerature sono uniformi, il flusso radiativo tra oggetti è in condizioni di equilibrio e quindi non avviene alcun trasferimento netto di energia termica. Quando le temerature non sono uniformi, il flusso radiativo rovoca un trasorto dell energia termica dalle suerfici iù calde a quelle iù fredde. In molti casi i rocessi di scambio termico ossono avvenire grazie al contributo di tutti e tre i meccanismi sora citati. 6.. Conduzione La legge fondamentale che regola il trasferimento di calore er conduzione fu formulata nel 8 da Jean-Batiste-Joseh Fourier: [] q ka dt dx dove q raresenta il calore trasferito er unità di temo, A è l area della sezione del coro normale all asse lungo cui fluisce il calore, dt dx è il gradiente di temeratura nella direzione di flusso del calore, e k è un arametro fisico, detto conducibilità termica, che diende dalle caratteristiche materiali del coro e che solitamente varia con la temeratura. La tab. riorta i valori della conducibilità di alcuni solidi e quello della temeratura a cui tali valori sono stati misurati. In molti casi si assume che k vari con la temeratura secondo una relazione lineare del tio: [] k k ( + α 0 T) Sesso conviene riferirsi a un suo valore medio relativo all intervallo di temeratura in gioco. Il coefficiente k ha, nel caso dei fluidi, valori molto iù iccoli di quelli misurati er i solidi, come si uò osservare dalla tab.. Nei casi in cui manchino dati serimentali, la conducibilità termica uò essere stimata con buona arossimazione imiegando relazioni emiriche che correlano k con il calore secifico, il eso molecolare e la viscosità del fluido. La [] uò essere utilizzata er derivare l equazione tridimensionale non stazionaria er la trasmissione del calore nei solidi e nei fluidi in quiete: VOLUME V / STRUMENTI 303
ASPETTI PROCESSISTICI Oro tab.. Conducibilità termica di alcuni solidi Materiale Ferro uro Acciaio (% C) Temeratura ( C) Conducibilità (kj/h m C) 8.053,785 00.060,07 8 3,0 00 8,355 8 63, 00 6,35 Magnesio 0-00 57,03 Sughero 0,55 [3] c r T t x k T x y k T y z k + + T q z + dove c è il calore secifico a ressione costante del coro, r è la sua densità, x, y e z raresentano le coordinate rettangolari e q indica la velocità di generazione di calore er unità di volume del coro dovuta a reazione chimica o nucleare, o rovocata dal assaggio di corrente elettrica. È necessario secificare oortune condizioni iniziali e al contorno er oter ottenere la soluzione della [3], che fornisce la temeratura nel coro in funzione del temo e della osizione. La [3] uò essere trasformata in coordinate sferiche o cilindriche er adattarsi meglio alla geometria del roblema allo studio. Si osservi che, se k deve essere considerata come una funzione della temeratura, la [3] diventa non lineare, e quindi non è iù risolvibile analiticamente, a eccezione di ochi casi articolari. tab.. Conducibilità termica di alcuni fluidi Fluido Temeratura ( C) Conducibilità (kj/h m C) Ammoniaca liquida 5/ 30,80 Benzene 30 0,59 60 0,5 Glicerina 0,0 Alcol etilico 0 0,65 Alcol metilico 0 0,78 0, Conduzione stazionaria Quando il flusso di calore è stazionario, q nella equazione di Fourier è una costante. Allo stesso modo, T t nella [3] si annulla. Assumendo k costante, la [3] diventa: q [] T k In assenza di generazione di calore (q 0) è ossibile integrare direttamente la [], ottenendo: [5] q ka T T x x Variando oortunamente le coordinate, si ottiene la soluzione del roblema della conduzione del calore in diverse situazioni di imortanza ratica. Per studiare il caso della conduzione radiale in un cilindro cavo, si indica con L la lunghezza del cilindro, con R i e R e i suoi raggi interno ed esterno e con T i e T e le temerature della faccia interna e di quella esterna. Il flusso di calore attraverso uno strato elementare a distanza R dall asse del cilindro e di sessore dr (fig. ) è dato da: [6] q krl dt dr Searando le variabili e integrando si ottiene: kl( [7] i e) q Re ln Ri È anche ossibile esrimere il flusso radiale come se avvenisse attraverso uno strato iano equivalente di sessore (R e R i ) e area A eq : [8] q ka T T eq ( i e ) Re Ri con [9] A LR eq lm dove R lm è il raggio medio logaritmico definito come [0] R lm R R e i ln( R R e i) dr R T i R i T e L Acqua 38,6 93,5 R e 00 0,8 Idrogeno 0 0,60 Biossido di carbonio 0 0,05 fig.. Trasmissione del calore er conduzione in un cilindro cavo. 30 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO Per risolvere il roblema relativo alla conduzione radiale attraverso uno strato sferico, si indicano con R i e R e i raggi interno ed esterno dello strato e con T i e T e le temerature delle corrisondenti suerfici. Il calore trasmesso attraverso uno strato elementare a distanza R dal centro della sfera e di sessore dr è dato da: [] q k R dt dr Searando le variabili e integrando si ottiene: kr R T T i e( i e) [] q R R e i Anche in questo caso si uò esrimere il calore trasmesso attraverso uno strato iano equivalente di sessore (R e R i ). La suerficie equivalente è data da: [3] A RR AA eq i e i e cioè è la media geometrica delle suerfici interna ed esterna dello strato sferico. Un altro caso di notevole interesse ratico è quello della trasmissione attraverso una serie di conduttori di uguale suerficie; si faccia, er esemio, riferimento a tre areti iane consecutive, aventi aree A, A, A 3, sessori x, x, x 3, conducibilità k, k, k 3, e siano DT, DT, DT 3 i salti di temeratura tra le suerfici che delimitano le areti. Poiché il flusso di calore attraverso ciascuna delle tre areti deve essere il medesimo, si ha: [] q ka T ka T ka 3 3 T3 x x x3 Definendo er ciascuna arete una resistenza termica: x [5] r ka si ottiene: [6] T qr T qr T3 qr3 e sommando tra loro i singoli DT i si ottiene: [7] qr ( + r+ r3) T+ T+ T3 T ovvero: Ti Ti Te [8] q rt rt dove r T raresenta la resistenza comlessiva data dalla somma delle singole resistenze: [9] rt r+ r +... + rn La [7] è analoga alla legge di Ohm er un sistema di resistenze in serie. Un esemio di trasmissione del calore attraverso una serie di conduttori di sezione variabile è dato dal sistema formato da due cilindri concentrici A e B di uguale lunghezza L e conducibilità k e k, considerate costanti. La temeratura della suerficie iù interna è T i, quella della suerficie in corrisondenza della quale i due cilindri sono a contatto è T n e quella della suerficie iù esterna è T e. Per il cilindro A è: [0] k L T T i n q ) Rn ln( R i ovvero Rn q ln Ri [] i n k L e er il cilindro B: k L T T n e [] q ) Re ln( Rn ovvero: Re q ln Rn [3] i e k L ertanto LT ( T i e) [] q R R n e ln + ln k R k R i n Se invece si considera un sistema di due sfere cave si ricava: ( i e) [5] q R R R R n i e n + krr krr i n n e Se la temeratura di un materiale è funzione di due coordinate saziali, si ha il caso della conduzione di tio bidimensionale e la relativa equazione, avendo assunto k costante, è: [6] + T T q x y k Se q è nullo, la [6] diventa l equazione di Lalace, la cui soluzione analitica è ossibile soltanto er condizioni al contorno e geometrie articolari (Carslaw e Jaeger, 959). Quando non è ossibile ottenere una soluzione analitica, si imiegano soluzioni grafiche o numeriche, utilizzando er esemio i metodi alle differenze finite. Conduzione non stazionaria Quando le temerature dei materiali sono funzioni dello sazio e del temo, sono necessarie equazioni iù comlesse di quelle introdotte in recedenza. L equazione iù generale è la [3], tridimensionale non stazionaria. Nella maggior arte dei casi le soluzioni ai roblemi ratici che coinvolgono fenomeni di conduzione non stazionaria richiedono l imiego di soluzioni numeriche da sviluare al comuter. È ossibile recuerare in letteratura un amia casistica er roblemi corrisondenti a svariate geometrie e condizioni al contorno. I roblemi monodimensionali si esrimono tramite le seguenti equazioni: T [7] T q α + t x c r valida er coordinate rettangolari; T [8] α t R R R T + q R c r valida er coordinate cilindriche, e T [9] α t R R R T R + q c r valida er coordinate sferiche. VOLUME V / STRUMENTI 305
ASPETTI PROCESSISTICI Nelle ultime tre equazioni è stato introdotto il arametro a, detto anche diffusività termica, definito come: [30] α k c r Queste equazioni sono state risolte nei casi della lastra iana, del cilindro e della sfera immersi in un fluido. Le soluzioni sono ottenute sotto forma di serie infinite e i risultati sono solitamente riortati in grafico sotto forma di curve caratterizzate da quattro raorti adimensionali che, nel caso in cui q 0, sono (Gurney e Lurie, 93): [3] Y T T kt X T T0 rcr m k R x [3] m n oure n hr T m Rm Rm dove T è la temeratura dell ambiente; T 0 è la temeratura iniziale uniforme del coro; T è la temeratura del coro in un determinato unto, al temo t, misurato dall inizio del rocesso di raffreddamento o riscaldamento; k è la conducibilità termica del coro che si assume uniforme e costante al variare della temeratura; r è la densità del coro che si assume uniforme; c è il calore secifico del coro; h T è il coefficiente globale di trasferimento di calore tra l ambiente e la suerficie del coro, esresso come calore trasferito er unità di temo, er unità di area della suerficie e er unità di differenza di temeratura tra la suerficie e l ambiente; R è la distanza che intercorre, nella direzione in cui viene trasmesso il calore, dal unto o dal iano a metà del coro al unto in esame; R m è il raggio della sfera o del cilindro, metà dello sessore della lastra scaldata da entrambi i lati, sessore della lastra scaldata da un lato e erfettamente isolata dall altro; x è la distanza che intercorre, nella direzione lungo cui viene trasmesso il calore, dalla suerficie di un coro seminfinito al unto in esame. Solitamente, nell eseguire le integrazioni, c, h T, k, R, R m, T, x e r sono assunti costanti. In fig. sono riortati i risultati nel caso di una lastra indefinita; tali risultati vengono esressi riortando famiglie di curve, corrisondenti a diversi valori di m e n, in cui Y è riortato in scala logaritmica sull asse delle ordinate e X in scala lineare sull asse delle ascisse; risultati analoghi si ottengono nel caso di un cilindro e di una sfera. Il roblema della conduzione attraverso una lastra immersa in un fluido si semlifica notevolmente se la lastra è così sottile e il materiale ha conducibilità termica così elevata che la temeratura, su tutto lo sessore della lastra, ossa essere considerata costante. Si suonga che la lastra abbia volume V, suerficie totale A, temeratura iniziale T 0, e sia in contatto con aria iù fredda a una temeratura uniforme T ; a ogni istante la quantità di calore dq trasferita nel temo dt è roorzionale alla suerficie A, alla differenza tra la temeratura T della lastra e quella dell aria attraverso il coefficiente h: dq [33] ha( T T ) dt Nelle condizioni oste il valore numerico di h è relativamente iccolo e la corrisondente velocità di trasferimento di calore er area unitaria è quindi anch essa iccola. Di conseguenza, se il valore della conducibilità k è elevato e la lastra è sottile, la temeratura della lastra si uò considerare uniforme, e sviluando un bilancio termico si ottiene: [3] dq ha( T T ) dt V rc dt Assumendo ha V rc costante, la [3] uò essere facilmente integrata ottenendo: [35] e 0 ha Vrc t 6..3 Convezione Il trasorto del calore nei fluidi è agevolato dalla ossibilità di rimescolamento del fluido stesso. Nel caso della convezione fig.. Soluzione del roblema della conduzione non stazionaria er una lastra indefinita di sessore R m. (T' T)/(T' T 0 ),0 0,7 0,5 0,3 0, 0, 0,07 0,05 0,03 0,0 0,0 0,007 0,005 n 0,8 n 0,6 n 0, n 0, n 0 n n 0,8 n 0,6 n 0, n 0, n 0 m 6 m n n 0,8 n 0,6n 0, n n 0,8 n 0,6 n 0, n 0, n 0 n 0,n 0 m m 0,003 m 0 m 0,5 0,00 0,0,0 3,0,0 5,0 a t/r m 306 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO naturale tali movimenti di rimescolamento derivano dalle differenze di densità nella massa fluida, dovute alle diverse temerature resenti nei vari unti. I movimenti ossono erò anche essere rodotti meccanicamente tramite agitazione, oure tramite il moto di un fluido in un condotto: in questi due casi si dice che il calore viene trasmesso er convezione forzata. Quest ultima è la situazione iù comune nelle industrie di rocesso, dove sesso un fluido caldo e uno freddo, searati da una arete, vengono omati attraverso l aarecchiatura di scambio termico. Nello studio dei meccanismi che controllano lo scambio di calore in un aarecchiatura di questo tio bisogna tenere conto del fatto che nel moto di un fluido attorno a un solido, anche quando il cuore del fluido è in moto turbolento, si crea, nelle vicinanze immediate della suerficie, un film in cui il fluido è in flusso laminare. Nella zona del film laminare il calore viene trasferito revalentemente tramite conduzione molecolare. La resistenza dello strato laminare al flusso di calore varia con il suo sessore, e uò essere resonsabile del 95% della resistenza totale er alcuni fluidi, o soltanto dell % er altri. Il cuore turbolento del fluido e lo strato di transizione comreso tra zona turbolenta e film laminare offrono una resistenza al trasferimento del calore che è funzione della turbolenza e delle rorietà termiche del fluido. È quindi ossibile concludere che in questo caso il flusso comlessivo di calore è in realtà l effetto di diversi meccanismi, in cui la conduzione agisce congiuntamente a effetti convettivi. Lo studio dei roblemi di convezione naturale richiederebbe la soluzione simultanea delle equazioni accoiate di bilancio della quantità di moto e dell energia, ma questo aroccio rigoroso è ossibile solo er il roblema geometricamente molto semlice del iatto verticale. Si ricorre allora ai metodi dell analisi dimensionale che trovano in generale amlissima alicazione nello studio dei roblemi di scambio termico. Essi ermettono di determinare le esressioni er i coefficienti liminari di scambio, facendo ricorso a arametri adimensionali: i arametri geometrici del roblema e le rorietà del fluido vengono raggruati in grandezze adimensionali, che costituiscono le variabili significative del roblema, in modo tale che l effetto di ciascun fattore non debba essere determinato in maniera indiendente. Questo metodo oera solo sulle dimensioni, e quindi non fornisce valori numerici, ma ermette di stimare l influenza relativa dei vari arametri. Così facendo, si semlifica notevolmente l indagine delle correlazioni serimentali tra dati. L analisi dimensionale ermette di dedurre che il arametro caratteristico dei roblemi di convezione naturale è il numero di Grashof, N Gr, un raorto adimensionale dato da: 3 [36] N l r gβ T Gr µ dove l raresenta una dimensione caratteristica del sistema, g è l accelerazione di gravità, b è il coefficiente di esansione termica del fluido, m la sua viscosità dinamica e DT è la differenza tra la temeratura dell interfaccia fluido-arete e quella del cuore del fluido. Si ricava la seguente correlazione, detta equazione di Nusselt: m [37] N a N N Nu ( Gr Pr ) (dove a è un arametro adimensionale) nella quale aaiono altri due grui adimensionali, il numero di Nusselt [38] N Nu hl k e il numero di Prandtl [39] N c µ Pr k Nelle [38] e [39] k raresenta la conducibilità termica del fluido e c il suo calore secifico a ressione costante. Le rorietà del fluido vengono valutate a una temeratura T f che è la media aritmetica tra la temeratura nel cuore del fluido T e la temeratura della arete T s. Dalla relazione [37] uò anche essere ricavata un equazione dimensionale, nella quale le rorietà del fluido sono riunite in un unico fattore b: m 3m [0] h b( T) l Anche nel caso della convezione forzata, le trattazioni rigorose si limitano a geometrie semlici e a situazioni di moto laminare, mentre le analisi di situazioni in flusso turbolento solitamente si basano su modelli deterministici che erò non sono in grado di rodurre correlazioni alicabili in fase di rogetto. Per lo studio di geometrie comlicate si utilizzano erloiù correlazioni emiriche, che tuttavia hanno sesso validità limitata. Nella convezione forzata i coefficienti di scambio sono fortemente influenzati dalle caratteristiche del flusso, che a loro volta diendono da svariati fattori, quali l intensità della turbolenza, le condizioni di ingresso e le condizioni resso la arete. Anche in questo caso si fa ertanto largo uso dei metodi dell analisi dimensionale. Per lo studio del roblema dello scambio di calore verso o da fluidi che scorrono all interno di tubi cilindrici, si distinguono tre regimi di moto, a seconda del valore assunto dal numero di Reynolds: [] N r vd Re µ dove v è la velocità lineare del fluido all interno del tubo e D è il diametro del tubo stesso. Le rorietà del fluido vengono valutate nel cuore della fase fluida. Se N Re.00 il regime di moto è laminare: la velocità delle articelle di fluido si mantiene arallela alle areti del tubo e assume un rofilo arabolico, nulla alle areti e massima in corrisondenza dell asse del tubo. Quando N Re 0.000 il regime di moto è turbolento e corrisonde a una situazione in cui è resente anche la comonente trasversale della velocità. Mentre nel regime laminare il moto del fluido si mantiene ordinato e le sue articelle si muovono senza rimescolamenti lungo linee di corrente facilmente individuabili, nel regime turbolento esso è caratterizzato da moti caotici (vortici) che rovocano rimescolamento. La resenza di fluttuazioni rovocate dall irregolarità del moto otenzia il trasferimento di quantità di moto e di energia nella direzione normale alle areti del tubo, e ciò rovoca un aumento dei coefficienti di scambio termico. Per.00 N Re 0.000 si ha il cosiddetto regime di transizione, in cui i due moti laminare e turbolento sussistono contemoraneamente in modo instabile e la situazione non è chiaramente determinata. In letteratura sono state sviluate svariate soluzioni teoriche, er varie geometrie e condizioni al contorno, relative al roblema del trasferimento di calore er un fluido che scorre in un tubo in regime laminare, iotizzando che esso sia in gran arte dovuto alla conduzione. Tuttavia queste soluzioni erloiù trascurano i fenomeni di convezione naturale, che nella ratica assumono sesso un imortanza rilevante; è quindi consigliabile fare invece ricorso a relazioni emiriche ricavate serimentalmente. L analisi dimensionale suggerisce di correlare i dati in termini di numero di Nusselt, N Nu, oure in termini VOLUME V / STRUMENTI 307
ASPETTI PROCESSISTICI di numero di Graetz: [] N N N D Gz Re Pr L mentre gli effetti della convezione naturale sono condensati nel numero di Grashof, N Gr. Per tubi circolari orizzontali, con N Gr 00, la correlazione raccomandata è quella di Hausen (93): 0, 0, 085N µ Gz b [3] N 366, + Nu + 3 0, 07( N ) / Gz µ w nella quale si tiene arossimativamente conto della variazione delle rorietà del fluido attraverso il fattore adimensionale (m b m w ), dove m b è la viscosità alla temeratura media del fluido (alla quale sono valutate anche c, r e k), mentre m w è la viscosità alla temeratura della arete. Se N Gr 00 l equazione consigliata, er DT e diametri iccoli, è quella di Sieder e Tate (936): 0, 3 µ b [] N 86, ( N ) Nu Gz µ w Un esressione iù generale, valida er tutti i diametri e tutti i DT, si ottiene inserendo un fattore 0,87[ 0,05(N Gr ) 3 ] nel secondo membro della []. Per i tubi verticali, invece, è consigliabile usare i grafici derivati da Pigford (955). Il flusso attorno a un coro immerso in un fluido è detto laminare se lo strato limite è laminare su tutto il coro, anche se il flusso della corrente rinciale è turbolento. In questo caso vale la correlazione generale: m 3 [5] N C N N Nu r ( Re ) ( Pr ) nella quale i valori di C r e m diendono dalla geometria del coro e dal suo orientamento risetto al flusso rinciale. Per redire lo scambio termico er un fluido che scorre con moto turbolento in un tubo sono state rooste svariate correlazioni. L uso dell analisi dimensionale ermette di ricavare la seguente relazione: e f [6] N A N N Nu ( Re ) ( Pr ) dove e e f sono coefficienti emirici e devono essere ricavati serimentalmente. La formula di Sieder e Tate er moto turbolento è: 0, 08, 033, µ b [7] N 0, 03 N N Nu ( Re ) ( Pr ) µ w dove, analogamente a quanto fatto nel caso del moto laminare, è stato introdotto il coefficiente adimensionale (m b m w ). Se si introduce il numero di Stanton, N St, definito come: N Nu h [8] N St N N cvr Pr Re le due formule di Sieder e Tate si ossono anche scrivere 0, 3 3 µ b D [9] N N N St ( Pr ) 86, Re L w ( ) 3 µ nel caso di regime laminare, e 0, 3 µ b [50] N N N St ( Pr ) ( Re ) 0, 0, 03 µ w nel caso di regime turbolento. Si uò quindi tracciare un diagramma in scala logaritmica (fig. 3) da cui è ossibile derivare i coefficienti liminari er tutte le regioni di moto, riortando (h c G) b (c m k) 3 b (m w m b ) 0, in ordinata e (N Re ) b in ascissa; G è la velocità di massa, ari a rv. L equazione [9] è qui raresentata da una serie di curve che corrisondono a vari valori del raorto (L/D) e che terminano in corrisondenza di N Re.00. Le orzioni di curve corrisondenti al regime di transizione sono tracciate a mano, in modo tale che esse artano da questi unti terminali e vadano oi a raccordarsi tangenzialmente con la curva che corrisonde al regime turbolento. Questo diagramma viene largamente alicato, anche se resenta le seguenti limitazioni: in regime laminare, esso sottostima il coefficiente di trasferimento quando il DT è iuttosto elevato e le correnti di convezione naturali disturbano il rofilo di velocità; in regime laminare, esso sottostima il coefficiente di trasferimento quando il DT è tanto elevato da far sì che la temeratura del film sueri leggermente il unto di ebollizione del fluido, rovocando la formazione di bolle di vaore sulla suerficie del tubo. Se la temeratura della massa fluida è al di sotto del unto di ebollizione queste bolle condensano, ma la loro resenza rovoca turbolenza che aumenta il valore del coefficiente di trasferimento; in regime turbolento, quando 0 L D 00, gli effetti di ingresso diventano rilevanti e una correlazione iù adeguata è: [5] N 08, 3 L 0, 036( N ) ( N ) Nu Re Pr D se il fluido è un metallo liquido, N Pr assume valori bassi risetto a quelli degli altri fluidi; la resistenza al trasorto di calore dovuta al film in arete è bassa, a causa dell elevata conduttività termica e quindi l esonente /3 er N Pr non fornisce una stima corretta del coefficiente di trasferimento termico. Sulla base di calcoli teorici e dati serimentali (Rohsenow e Hartnett, 973) è consigliato l uso della seguente correlazione: [5] Tutte le formule fin qui riortate si riferiscono a condotti cilindrici ma ossono facilmente essere estese a condotti di sezione non circolare, sostituendo al diametro D il diametro equivalente D eq, definito dal raorto: A [53] D eq P (h/c G) b (c m/k) b /3 (mw /m b ) 0, 0,05 0,0 0,00 N, 8 0, 085 N N + Nu ( Re Pr ) L/D 50 L/D 00 L/D 00 L/D 00 0, 87 0, 05 0,0005 0 0 3 0 0 5 0 6 0 7 (N Re ) b fig. 3. Valutazione del coefficiente di trasferimento er il roblema di convezione forzata nel caso di un fluido che scorre in un tubo. 308 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO Numero di strati tab. 3. Valori di D da usare nell equazione [5] in funzione del numero di strati di tubi 3 5 6 7 8 9 D 0,7 0,7 0,83 0,87 0,9 0,9 0,96 0,97 0,99 0 e oltre dove A indica l area della sezione del condotto e P il erimetro bagnato, ossia il erimetro che il liquido tocca all interno del condotto. Talvolta i fluidi vengono riscaldati facendoli assare ortogonalmente a uno strato di tubi e il calcolo di h uò essere condotto utilizzando la formula roosta da McAdams (95): 06, 0 hd Du c e [5] k 033, r µ, 33 max µ k In questo caso le rorietà del fluido vengono stimate alla temeratura del film suerficiale, calcolata come la media aritmetica di T b e T w ; D e è il diametro dei tubi e u max è la velocità del fluido attraverso l area libera minima tra file di tubi; infine il valore di D diende dal numero di strati di tubi come riortato in tab. 3. Esistono anche dei grafici utilizzati er rodurre stime iniziali dei coefficienti di scambio er liquidi e gas imiegati in oerazioni di riscaldamento e raffreddamento a un unica fase, all interno di tubi, oure all esterno di strati di tubi. I valori forniti da questi grafici vanno erò oi verificati con calcoli iù dettagliati, che tengano debitamente conto della velocità del fluido, della differenza di temeratura e della geometria dell aarecchiatura. 6.. Condensazione I fenomeni di scambio che avvengono in un fluido che subisce un cambiamento di fase richiedono un trattamento secifico. Il cambiamento di fase di un vaore saturo nel suo stato liquido viene detto condensazione. Il trasferimento di calore associato con la condensazione è solitamente classificato come convettivo, ma sesso anche la conduzione fornisce contributi non trascurabili. Il trasorto di calore da un vaore condensante è un fenomeno che si incontra molto sesso nelle alicazioni ratiche dell industria chimica. I riscaldatori a vaore e i condensatori di testa delle colonne di distillazione sono soltanto gli esemi iù noti. È ossibile distinguere due tii di condensazione: quella a film e quella a gocce. Nel rimo caso il vaore che condensa forma sulla suerficie solida un film di liquido che fluisce verso il basso, bagnandola comletamente. Il fluido condensante, quando ha una scarsa adesione alla suerficie, forma gocce che non la bagnano interamente, lasciandone una sostanziale orzione in contatto diretto con il vaore. La condensazione a gocce dà delle velocità di scambio molto iù alte (da 6 a 8 volte) di quelle offerte dalla condensazione a film. Il film liquido infatti fornisce delle resistenze al trasorto di calore iù elevate. Tuttavia, oiché la condensazione a gocce è molto instabile, essa viene imiegata raramente, anche se uò essere facilitata in linea di rinciio introducendo articolari sostanze nel vaore, e nei calcoli di rogetto dell aarecchiatura si assume sesso che la condensazione abbia luogo con un meccanismo a film. Nello sviluo delle formule di calcolo del coefficiente di trasferimento termico er la condensazione su una arete verticale si iotizza che il film di liquido che si deosita fluisca verso il basso con moto laminare, costituendo quindi la maggiore resistenza al flusso del calore liberato dal vaore condensante, e che lo sessore del film sia una funzione della lunghezza del flusso, da calcolare utilizzando leggi idrodinamiche aroriate. Nusselt (96), integrando sull intera lunghezza del flusso, ricavò la seguente esressione er il calcolo di h: 3 3 µ [55] h 7 Γ k 3 r g, µ Il raorto G m raresenta il numero di Reynolds alicabile a questo tio di flusso. Per areti verticali G è definito come il flusso di condensato er unità di erimetro bagnato (er i tubi) o larghezza bagnata (er i iatti). Per i tubi: [56] Γ W N π D F t dove N t raresenta il numero di tubi e W F è il flusso nel film, valutato sul fondo del tubo dove è massimo. Tuttavia è stato dimostrato serimentalmente che la [55] sottostima h, ed è quindi referibile utilizzare un coefficiente ari a,85 invece di,7 (McAdams, 95). Questa discreanza è robabilmente dovuta al fatto che delle discontinuità della suerficie di scambio, oure delle sollecitazioni esercitate dal vaore all interfaccia vaore-film, o altri tii di disturbo, ossono creare turbolenze nel film. Le correlazioni riortate tuttavia trascurano l influenza del numero di Prandtl, che viceversa uò essere rilevante, ed è er questo motivo che Dukler (959) roose un aroccio migliorativo della classica teoria di Nusselt, ottenendo come risultato il grafico mostrato in fig., che correla gli effetti del numero di Prandtl e del numero di Reynolds sul coefficiente di h[m /k 3 r g] /3,0 0, Dukler Nusselt N Pr c m/k 0 5 0,0 0.000 0.000 00.000 N Re, G/m 0, fig.. Valutazione del coefficiente di trasferimento er la condensazione a film di un vaore uro su una arete verticale, calcolato con la teoria di Nusselt e con la teoria di Dukler. 0,5 VOLUME V / STRUMENTI 309
ASPETTI PROCESSISTICI tab.. Valori del fattore F l al variare della disosizione geometrica dei tubi Disosizione dei tubi trasferimento. È interessante osservare come esso non evidenzi un ben determinato numero di Reynolds di transizione. Si nota altresì che le deviazioni dai risultati della teoria di Nusselt diminuiscono al diminuire del numero di Reynolds terminale. Inoltre, quando N Pr 0, si ricavano dei valori di h inferiori a quelli che si calcolano con la teoria di Nusselt. Per quanto riguarda invece la condensazione su un singolo tubo orizzontale, la teoria di Nusselt ermette di derivare la seguente correlazione: 3 3 µ [57] h 5 Γ k 3 r g, µ In questo caso è: [58] Γ WF L Quando si tratta il roblema di un insieme di tubi in cui il fluido gocciola dai tubi sueriori sulle file iù in basso, rovocando un aumento dello sessore via via che si va verso il basso, ur mantenendo il flusso laminare, è necessario ridefinire G. In questo caso il flusso totale condensato deve essere diviso er il numero di file verticali di tubi N vtr su cui gocciola il condensato: [59] Γ W NvtrL Se i tubi sono circolari, il valore di N vtr si uò stimare come: [60] N F ( N ) 05, vtr t Il valore del fattore F diende dalla sistemazione geometrica dei tubi (tab. ). In realtà il gocciolamento del condensato da fila a fila rovoca l insorgere di una certa turbolenza, e la [57] ertanto sottostima h. Per questo motivo sesso al secondo membro si utilizza un fattore,85, oure la correlazione di Dukler (v. ancora fig. ), sebbene questa sia stata originariamente sviluata er areti verticali. Quando i numeri di Reynolds er i film cadono nel camo turbolento si usano, in assenza di correlazioni secifiche, l equazione [57] o la fig.. 6..5 Ebollizione Il cambiamento di fase di un liquido saturo al suo stato di vaore viene comunemente denominato ebollizione o vaorizzazione. L ebollizione viene sesso utilizzata er trasferire calore nei rocessi chimici. Per esemio, il calore necessario a eseguire una distillazione viene erloiù fornito mediante un ribollitore. Lo scambio termico che ha luogo durante l ebollizione viene classificato come convettivo, oiché le bolle rovocano lo sviluo di una consistente turbolenza, ma in generale vari meccanismi ortano il loro contributo. Per esemio la vaorizzazione uò avvenire er effetto dell assorbimento del F l Triangolare,0 Triangolare ruotata, A quadrato,05 A quadrato ruotato,9 calore, er radiazione e convezione, alla suerficie di una massa di liquido, oure er effetto dell assorbimento di calore er convezione naturale da una arete calda che si trovi al di sotto della suerficie libera del liquido e, in quest ultimo caso, la vaorizzazione avviene quando il liquido sorassaturo raggiunge la suerficie libera. La vaorizzazione uò aver luogo anche da film in caduta (e in questo caso il rocesso è l inverso della condensazione descritta in recedenza), o er esansione di liquidi surriscaldati via convezione forzata sotto ressione. Quando una massa di liquido saturo viene riscaldata, non solo la velocità di flusso del calore, ma anche il coefficiente di trasferimento termico h variano al variare della differenza tra la temeratura dell interfaccia fluido-arete T w e quella del cuore del liquido T b. Per acqua a ressione atmosferica, il coefficiente varia lentamente al crescere della differenza di temeratura, se T w T b DT 5 C. Molto iù raido è l aumento er DT 5 C, finché si verifica un massimo stretto quando la differenza di temeratura è ari a un valore critico. Ulteriori aumenti della differenza di temeratura rovocano diminuzioni del coefficiente. La siegazione è la seguente: quando DT 5 C, il cambio di fase avviene er evaorazione all interfaccia vaore-liquido, ma quando DT 5 C numerose bolle si formano in corrisondenza della suerficie riscaldante, da cui successivamente si staccano. Quest ultimo meccanismo di trasferimento del calore si chiama ebollizione nucleata, e roduce elevati coefficienti di trasmissione. Quando erò DT suera un valore critico DT c, le bolle di vaore tendono a formare uno strato continuo intorno alla suerficie, isolandola e eggiorando quindi le condizioni di scambio termico. Questo meccanismo viene detto ebollizione a film. L effetto del DT sul coefficiente di trasferimento er l acqua a ressione atmosferica è mostrato in fig. 5. In generale il valore di DT c diende dalla natura della suerficie solida e dal liquido, ma è erloiù comreso tra 0 e 30 C. In corrisondenza della differenza di temeratura critica si ottiene il massimo flusso di calore. Nella ratica si tende a oerare con valori di DT inferiori a DT c, er evitare di cadere nelle condizioni di ebollizione a film, in corrisondenza della coefficiente di trasferimento (kw/m K) 60 0 0 0 8 6 6 8 0 0 0 60 DT (K) fig. 5. Coefficiente di trasferimento er acqua in ebollizione, all esterno di un singolo tubo orizzontale sommerso nella massa d acqua. 30 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO quale la suerficie di scambio termico funziona in condizioni di scarsa efficienza. Oltretutto, oiché il film di vaore agisce da isolante, si rischia un surriscaldamento del tubo di metallo dalla arte calda. Per rogettare un ribollitore è quindi molto imortante essere in ossesso di una stima del massimo flusso di calore, che diende in maniera significativa dalla densità dei vaori generati. Le oerazioni a bassa ressione e sotto vuoto ossiedono maggiori otenzialità risetto alla ossibilità di oerare in condizioni di ebollizione nucleata. Il massimo flusso di calore er una massa di fluido riscaldata da un unico tubo orizzontale uò essere calcolato sulla base di una correlazione, esressa in termini di ressione oerativa e di ressione critica del fluido c, alicabile alla maggior arte dei fluidi, inclusi acqua e idrocarburi (Mostinski, 963): 035, 090, [6] ( q A) 367 max c c c dove le ressioni sono esresse in kpa. Secondo la [6] il massimo flusso di calore cresce quando aumenta artendo da 0, fino a raggiungere un massimo quando è ari al 8% di c, er oi decrescere a zero via via che si avvicina a c. La [6] vale quando il riscaldamento viene imartito da un unico tubo orizzontale, ma quando esso viene fornito da un gruo di tubi orizzontali il rilascio del vaore dagli elementi riscaldanti è meno immediato a causa della rossimità dei tubi adiacenti. In generale, aumentando il numero di tubi, e diminuendo la loro distanza, diminuisce (q A) max. In qualche caso (q A) max si riduce addirittura al 0% del valore che si otterrebbe con un singolo tubo. Il coefficiente di trasferimento termico in condizioni di ebollizione nucleata si uò calcolare utilizzando, tra le altre, la seguente correlazione (Mostinski, 963): 07, 07,, 0 q 069, [6] h 0, 00c A, 8 + 0 c + c c Questa correlazione non tiene conto dell effetto della natura della suerficie riscaldante e uò essere considerata accettabile er tubi commerciali, laddove tubi estremamente lisci offrono un numero inferiore di siti er la nucleazione delle bolle e quindi forniscono valori del coefficiente di trasferimento inferiori. La turbolenza creata dall ebollizione in grui di tubi orizzontali uò dare valori del coefficiente che sono almeno il doio di quelli ottenuti er un singolo tubo. Un esressione è stata roosta anche er il coefficiente di trasferimento in condizioni di ebollizione a film: [63] ( ) 3 kv rl rv rvg h 0, 60 vdo T µ 6..6 Scambiatori di calore Nella maggior arte dei disositivi industriali er la trasmissione del calore, quest ultimo viene trasferito da un fluido caldo a uno freddo attraverso una suerficie solida. Il disositivo iù semlice usato a questo scoo è lo scambiatore a doio tubo (o a fluidi coassiali), in cui uno dei fluidi ercorre il condotto esterno, mentre l altro assa nel tubo interno. Per gli scambiatori a doio tubo sono ossibili due recise modalità di scambio, definite in controcorrente quando i due flussi rocedono in versi oosti, o in equicorrente quando i due flussi rocedono nello stesso verso. Siano T c e T h, risettivamente, la temeratura del fluido freddo e quella del fluido caldo, T ci e T co le temerature in ingresso e in uscita del fluido freddo e T hi e T ho le temerature in ingresso e in uscita del fluido caldo. In equicorrente, la temeratura del fluido freddo in uscita non uò mai suerare la temeratura di uscita del fluido caldo (T ho T co ). Tanto iù elevata è la suerficie di scambio termico, quanto iù T co si avvicina a T ho. In controcorrente si uò verificare che T co T ho, erché qui si verifica un maggior recuero termico. Mentre il salto di temeratura er lo scambio in controcorrente non subisce grosse variazioni, er quello in equicorrente, esso varia da un massimo nella sezione di ingresso fino a un minimo nella sezione di uscita (fig. 6). Il trasferimento di calore tra due fluidi searati da una arete iana viene generalmente descritto usando l equazione: [6] q UA( Th Tc) secondo la quale il calore q trasferito nell unità di temo dal fluido caldo al fluido freddo è uguale al rodotto tra un fattore di roorzionalità U, denominato coefficiente globale di trasferimento, l area della suerficie A attraverso cui fluisce il calore e la differenza tra le temerature dei due fluidi, T h T c. L equazione [6] si alica solo localmente, o quando le condizioni di scambio si mantengono costanti su tutta l aarecchiatura, altrimenti deve essere esressa in forma differenziale: [65] dq U( Th Tc) da Il coefficiente globale di trasferimento tiene conto di una serie di resistenze al flusso di calore che si resentano in un sistema di questo tio e che includono i fluidi stessi (r h e r c ), i deositi dovuti allo sorcamento sul lato caldo e sul lato freddo della arete che seara i fluidi (r hs e r cs ), e la stessa arete solida (r w ). Il coefficiente globale di trasferimento si uò esrimere come l inverso della somma delle resistenze in serie: [66] U r + r + r + r + h hs w cs r c L inverso di ciascuna di queste resistenze si chiama conduttanza e si indica con h. Le conduttanze dei due fluidi, h h e h c, sono i coefficienti di scambio liminare. Il flusso di calore (q/a) attraverso ognuna delle singole resistenze è il medesimo; il salto di temeratura attraverso ciascuna resistenza è inversamente roorzionale al valore di h: [67] T T T hi T ci h q A r q h Ah A T c ingresso equicorrente h T ho T co uscita T T ho T ci B T c ingresso controcorrente T hi uscita fig. 6. Andamento delle temerature dei due fluidi er uno scambiatore in equicorrente (A) e er uno scambiatore in controcorrente (B). T co VOLUME V / STRUMENTI 3
ASPETTI PROCESSISTICI La differenza tra la temeratura del fluido caldo e quella del fluido freddo è data dalla somma dei DT er le singole resistenze. Solitamente la arete solida, di sessore y, è costituita da un materiale conduttore e la quantità di calore che lo attraversa è data da: [68] q k y A T w Molto sesso r w è trascurabile, sia erché lo sessore della arete è molto basso, sia erché il valore k della conducibilità è molto elevato. Per sorcamento si intende qualunque strato, o deosito, di materiale estraneo su una suerficie che deve scambiare calore. Questi materiali solitamente hanno una bassa conduttività termica, e quindi manifestano un elevata resistenza allo scambio termico. Tali strati si ossono creare er effetto della deosizione di sostanze finemente suddivise eventualmente resenti nei fluidi di rocesso, oure er cristallizzazione di qualche sostanza la cui solubilità alla temeratura alla quale si trova la arete sia iù bassa di quella alla temeratura del cuore del fluido. La formazione di strati iuttosto sessi e duri di sorcamento alla arete è causata da reazioni di olimerizzazione e talvolta da rodotti di corrosione delle areti stesse. Come detto, quando le condizioni di scambio variano lungo l aarecchiatura, è necessario usare la [65]. Un esressione del flusso di calore in funzione delle temerature di ingresso e uscita del fluido caldo (T hi e T ho ) e del fluido freddo (T ci e T co ) uò essere ricavata con le seguenti iotesi: a) il coefficiente di trasferimento globale U è costante su tutta l aarecchiatura; b) lo scambiatore oera in condizioni stazionarie; c) il calore secifico dei due fluidi è costante er tutta la lunghezza dello scambiatore; d) non si verificano cambiamenti di stato nel sistema; e) le disersioni di calore sono trascurabili. In articolare, se i flussi dei fluidi avvengono in controcorrente si ricava: ( [69] q UA T T hi co ) ( ho ci ) hi co ln ho ci La differenza di temeratura efficace, detta differenza di temeratura media logaritmica, è quindi data da: ( T T hi co ) ( ho ci ) [70] T lm hi co ln ho ci Se invece i flussi dei due fluidi avvengono in equicorrente si ricava: ( [7] q UA T T hi ci ) ( ho co ) hi ci ln ho co In questo caso la differenza di temeratura media logaritmica è data da: ( T T hi ci ) ( ho co ) [7] T lm hi ci ln ho co Il coefficiente globale di trasferimento U uò essere valutato direttamente tramite la [66] solo se l area di scambio è costante, come accade nel caso di trasferimenti attraverso areti iane. Tuttavia la maggior arte delle aarecchiature resenta suerfici di scambio tubolari, in cui l area esterna A o è sueriore a quella interna A i. La [66] deve quindi essere modificata in modo da riferire tutte le resistenze alla stessa suerficie, in articolare quella utilizzata er definire A. Solitamente, nel caso di aarecchiature tubolari ci si riferisce alla suerficie esterna e il coefficiente globale di trasferimento è quindi dato da: [73] U A A r A A r A o o o + + A r + r + r i is wos o i i lm La resistenza della arete metallica del tubo viene moltilicata er il raorto tra la suerficie esterna e una suerficie media, calcolata dal valore medio logaritmico del raggio del tubo definito nella [0]. Infine bisogna rendere in considerazione il caso in cui U non sia costante, ma vari con la temeratura dei due fluidi. In questo caso si iotizza erloiù che la diendenza sia lineare, del tio: [7] U α T+ β Integrando la [65] si ottiene l esressione seguente: [75] q A U T T U T T c( hi co) h( ho ci) U T T c( hi co) ln U h( ho ci) dove U c e U h sono risettivamente i valori del coefficiente di trasferimento nel unto iù freddo e nel unto iù caldo dello scambiatore. In ratica gli scambiatori di calore a tubi coassiali sono raramente utilizzati, erché offrono una suerficie di scambio limitata. Gli scambiatori iù largamente imiegati sono quelli a fascio tubiero, che sono versatili e ossono essere imiegati anche in resenza di cambiamenti di stato (er esemio, condensazioni ed ebollizioni) con ressioni oerative che vanno da valori vicini a condizioni di vuoto a valori dell ordine di 0 MPa. In ratica gli scambiatori a fascio tubiero sono costituiti da due iastre a cui sono connessi un certo numero di tubi (fascio tubiero), osti all interno di un mantello. Con questa disosizione si riesce a comattare in oco sazio una grande suerficie di scambio. In fig. 7 sono raresentati due disegni schematici di scambiatori. Uno dei due fluidi ercorre il fascio dei tubi: nel caso iù semlice entrando da una testata e uscendo da quella oosta, nel caso iù generale ercorrendo arte dei tubi in un senso e invertendo oi la direzione di flusso e riercorrendo altri tubi in senso inverso, er oi tornare a invertire la direzione, e così via, fino a comiere n ercorsi entro il fascio tubero (n assi); lo scambiatore di fig. 7A è a assi, quello di fig. 7B a assi. L altro fluido scorre nell involucro cilindrico che contiene i tubi e investe i tubi stessi in modo iuttosto comlesso. Solitamente, infatti, er migliorare lo scambio termico vengono rioste all interno dell involucro delle aratie, che chiudono arzialmente la sezione dell involucro, lasciandosi attraversare dai tubi: tali aratie sono fissate alternativamente su lati oosti dell involucro. Il fluido si muove quindi a zigzag, investendo i tubi in direzione grosso modo erendicolare nello sazio comreso tra due aratie, e muovendosi invece all incirca arallelamente ai tubi in corrisondenza delle 3 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO fig. 7. Scambiatori di calore a fascio tubiero: A, a assi; B, a assi. finestre. La riduzione di sezione, che rovoca un aumento di velocità, e il fatto che il fluido colisca frontalmente, almeno in arte, il fascio tubiero causano un aumento della turbolenza e quindi un miglioramento del coefficiente di trasferimento. Solitamente le aerture delle aratie corrisondono a circa il 5% della sezione totale dell involucro. Il calcolo del coefficiente di trasferimento er il lato del tubo è immediato, oiché si ossono utilizzare i criteri già visti er il caso di flussi in condotti tubolari (v. ancora fig. 3). Meno semlice è il calcolo del coefficiente er il fluido che scorre nell involucro, dato che il regime di moto in questo caso è iuttosto comlesso. Tuttavia sono state rooste alcune correlazioni, come quella di Kern (950): [76] k µ k µ f simile alla [5]. Il diametro equivalente D eq è calcolato dalla [53]. G eq indica una velocità di massa equivalente. In corrisondenza dell aertura di una aratia, dove il flusso è arallelo ai tubi, si stima una velocità di massa G w dal raorto tra la ortata in massa del fluido e l area della sezione libera, S w, che è l area totale dell aertura a cui deve essere sottratta la somma delle sezioni dei tubi che l attraversano. D altra arte nello sazio comreso tra due aratie, dove il flusso è normale ai tubi, l area della sezione libera, S s, uò essere arossimativamente calcolata dall esressione y L x D s y T, dove D s è il diametro dell involucro, y T è la distanza tra gli assi di due tubi vicini e che si trovano sulla stessa fila orizzontale, y L è la distanza tra due tubi vicini sulla stessa fila orizzontale (y L y T D e ) e x è la distanza tra due aratie successive. Si noti che D s y T raresenta il valore arossimato del numero dei tubi e quindi anche del numero degli sazi liberi in corrisondenza del diametro dell involucro, mentre il rodotto y L x fornisce l area dello sazio libero tra due tubi vicini. Quindi nello sazio tra le aratie si uò stimare una velocità di massa G s data dal raorto tra la ortata in massa del fluido e S s. La velocità di massa equivalente G eq, introdotta nella [76], si uò calcolare dalla media geometrica di G w e G s : [77] hd G 055, 3 e eq eq eq D G 036, G G ws A B c µ µ 0, Le formule tio la [69], ricavate er sistemi a tubo coassiale, valgono anche er gli scambiatori a fascio tubiero, ur di introdurre un fattore correttivo Y, in quanto in tali aarecchiature i due flussi non sono né in controcorrente né in equicorrente. Il valore di Y è semre minore di e diende dal tio di scambiatore e dalle temerature di ingresso e uscita dei due fluidi. I valori di Y sono stati calcolati (Kern, 950) er una serie di flussi di interesse comune, semre sotto le assunzioni rima menzionate, che erano state introdotte er ricavare l equazione [69]. In generale valori di Y minori di 0,8 sono considerati inaccettabili e la corrisondente configurazione dello scambiatore viene giudicata inefficiente. Negli scambiatori si tende a mantenere elevate le velocità dei fluidi in modo da ottenere dei coefficienti di scambio iù alti ossibile, senza elevare oltre limiti ragionevoli le erdite di carico. 6..7 Irraggiamento Un coro riscaldato emette radiazioni elettromagnetiche di intensità e frequenze diendenti dalla sua temeratura. Per esemio, se il filamento di una lamada a incandescenza viene riscaldato elettricamente, sia la quantità di energia emessa nell unità di temo sia la orzione di radiazione visibile emessa aumentano all aumentare della temeratura. A una temeratura inferiore a 00 C la radiazione emessa dalla lamada non è erceita dall occhio umano, ma viene avvertita dall eidermide come calore. La descrizione quantitativa di questo fenomeno si basa sulla meccanica quantistica, ma in termini qualitativi esso uò essere siegato osservando come, quando si fornisce energia a un coro solido, alcuni degli atomi e delle molecole che lo costituiscono si ortino su stati eccitati, tendendo erò a tornare sontaneamente a stati di minore energia. Quando ciò accade l energia viene emessa sotto forma di radiazioni elettromagnetiche, che diendono dalle variazioni subite dagli atomi e dalle molecole negli stati elettronico, vibrazionale e rotazionale e quindi sono distribuite su diverse lunghezze d onda. Il rocesso inverso, detto assorbimento, ha luogo quando, fornendo dell energia raggiante a un coro, se ne rovoca il assaggio a uno stato di energia sueriore. Questo è ciò che accade quando l energia raggiante colisce una suerficie solida. L energia raggiante che incide sulla suerficie di un coro è in arte assorbita, in arte riflessa e in arte trasmessa. Si uò quindi scrivere: [78] a+ r+ τ dove a indica l assorbività, ovvero la frazione di energia assorbita dal coro, r è la riflettività, ovvero la frazione riflessa, e t la trasmittività, ovvero la frazione trasmessa. Per la maggior arte, i materiali di interesse ratico sono costituiti da sostanze oache con trasmittività nulla. I cori che assorbono tutta l energia incidente sono detti cori neri. Nessuna suerficie reale si comorta in ratica come un coro nero. Il miglior esemio di coro nero è raresentato da una cavità vuota a areti oache in comunicazione con l ambiente er mezzo di un foro di area trascurabile risetto alla suerficie della cavità. Tutta l energia raggiante che entra nella cavità vi rimane intraolata e il foro si comorta come un coro nero. Due cori di area A e A contenuti in una cavità isolata emettono esternamente le energie raggianti A e e A e, dove e raresenta il otere emissivo totale, cioè l energia emessa er temo unitario e suerficie unitaria nell emisfera situata VOLUME V / STRUMENTI 33
ASPETTI PROCESSISTICI sora ciascuna suerficie elementare. Si indichi oi con e B l energia incidente sull unità di suerficie dei due cori roveniente dalla suerficie della cavità, e con a e a i oteri assorbenti dei due cori, ovvero il raorto tra la radiazione assorbita e quella incidente. In condizioni di equilibrio termodinamico l energia incidente e assorbita da ciascun coro deve eguagliare quella emessa er cui è: [79] ea B α Ae ; ea B α Ae ovvero: e [80] e e α B α Questa relazione stabilisce che in condizioni di equilibrio il raorto tra il otere assorbente e il otere emissivo è uguale er tutti i cori (legge di Kirchhoff). Per un coro nero a, quindi e e B. Il otere emissivo del coro nero diende esclusivamente dalla temeratura. Il raorto tra il otere emissivo di una suerficie generica e quello del coro nero è detto emissività della suerficie e viene indicato come: 00 e l (u.a.) 90 80 70 60 50 0.00 C [8] ε e e i B 30 In condizioni di equilibrio termico l emissività di un coro eguaglia il suo otere assorbente. Oltre al otere emissivo totale si definisce anche il otere emissivo secifico e l, che raresenta l energia emessa in emisazio er unità di suerficie, unità di temo e in un intervallo di lunghezza d onda comreso tra l e l dl. Il otere emissivo totale diende, oltre che dalla temeratura termodinamica T, anche dalla lunghezza d onda l. Per il coro nero tale diendenza fu trovata da Planck nel 900 (Planck, 93): 5 5 πhcλ c λ P [8] e dλ λ hck P B e λ T c T e λ dove c è la velocità della luce nel vuoto, ari a,9979 0 8 m/s, k B è la costante di Boltzmann, ari a,3807 0 3 J/K, h P è la costante di Planck ari a 6,66 0 3 J s, mentre c e c sono le cosiddette rima e seconda costante della legge di Planck che valgono, risettivamente, 3,703 0 6 J m /s e,387 0 m K. In fig. 8 è raresentata la diendenza di e l dalla lunghezza d onda er diversi valori della temeratura. Ognuna delle curve ottenute a una data temeratura resenta un massimo er una lunghezza d onda che varia al variare della temeratura stessa secondo la legge di Wien: [83] λ max 0, 898 T dove il valore della costante è esresso in cm K. Il otere emissivo totale del coro nero si ricava da quello secifico attraverso un integrazione su tutto lo settro delle lunghezze d onda. Utilizzando l esressione di e l fornita dalla legge di Planck e calcolando l integrale, si ottiene la legge di Stefan-Boltzmann: e B c T c st, dove s ha il valore di 5,67 0 8 W/(m K ). Calcolo dell energia raggiante trasmessa tra due suerfici Per calcolare l energia raggiante trasmessa tra due suerfici, sarebbe necessario considerare lo scambio di radiazioni monocromatiche e integrare in tutto lo settro di lunghezze 0 0 0.50 C.00 C 0 3 5 l (mm) fig. 8. Diendenza del otere emissivo secifico dalla lunghezza d onda er diversi valori della temeratura. d onda. Per semlicità erò si referisce calcolare l energia che i due cori scambierebbero se fossero neri, usando la legge di Stefan, e moltilicare il risultato ottenuto er l emissività della suerficie in gioco. In generale le emissività dei cori sono funzioni della temeratura e della natura delle suerfici. Suerfici metalliche a bassa temeratura ossono raggiungere valori dell emissività intorno a 0,05, che ad alte temerature crescono fino a 0,70. L emissività di una suerficie metallica ossidata uò variare tra 0,65 e 0,95, a seconda della temeratura della suerficie stessa. Mattoni, vetro, marmo e carta hanno emissività generalmente maggiori di 0,90. L assorbività di una suerficie diende, oltre che dalla natura della suerficie e dalla sua temeratura, anche dalla distribuzione settrale della radiazione incidente. Se il coro che riceve la radiazione assorbe tutte le lunghezze d onda con uguale assorbività, esso è chiamato grigio e la sua assorbività è indiendente dalla distribuzione energetica della radiazione incidente. In tal caso l assorbività a è uguale all emissività del coro nero alla sua temeratura. A questo unto è ossibile calcolare la trasmissione di energia raggiante tra due suerfici di solidi searati da un mezzo non assorbente. Se si tratta di due suerfici arallele a estensione infinita, grigie, con emissività e ed e a temeratura T e T, il coro emette, er unità di temo e di suerficie, 3 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO l energia raggiante e e st, della quale la frazione e è assorbita dal coro e la frazione ( e ) è riflessa nuovamente. Questa a sua volta sarà in arte assorbita e in arte riflessa, e così via. Si dimostra che l energia assorbita dalla suerficie, er unità di suerficie emittente, è data da: q T [8] σ A + ε ε e analogamente: q T [85] σ A + ε ε Quindi l energia comlessivamente trasmessa da a è: q [86] σ A ( T T ) + ε ε Se le due suerfici sono nere, essendo e e, la [86] diventa: q [87] σ A ( T T ) Se invece le due suerfici non sono arallele e hanno estensione finita, è necessario introdurre un fattore geometrico F, detto fattore di vista, definito come la frazione dell energia emessa dalla suerficie A in tutte le direzioni che viene intercettata dalla suerficie A. Per cui è: [88] AFAF In resenza di diverse suerfici che comlessivamente ricevono tutta l energia raggiante emessa da un unica suerficie A è valida la seguente relazione: [89] F + F + F3 + F +... Se A non vede nessuna arte di sé stessa, F 0. I valori dei fattori geometrici che intervengono nella soluzione dei roblemi iù comuni sono stati calcolati e riortati in diagrammi. Il calcolo ratico dei fattori di vista è comunque sesso iuttosto comlicato. I diagrammi ricavati da Hottel (950, 95) ermettono di derivare i fattori di vista nel caso dell irraggiamento diretto tra due rettangoli adiacenti, disosti in iani erendicolari, e nel caso dell irraggiamento diretto tra forme identiche ooste in iani aralleli. Quando le due suerfici arallele raggianti sono connesse da una suerficie riflettente, l energia non viene scambiata solo direttamente tra le due suerfici, ma in arte anche er riflessione attraverso la suerficie riflettente. In questo caso la quantità di calore scambiato si otrà quindi esrimere tramite la formula: [90] q σf A ( T T ) σf A ( dove i valori del fattore geometrico F _ T T ) risultano semre sueriori a quelli di F in quanto la resenza di una suerficie riflettente tra due suerfici arallele aumenta la quantità di calore scambiato nell unità di temo. Se si considera una cavità chiusa, come l interno di una fornace, essa uò essere suddivisa in un certo numero di suerfici radianti A, A,, mentre il resto della cavità uò essere considerato come un unica suerficie riflettente A R a temeratura uniforme T R. Se esistono due suerfici radianti A e A, indicando con F il loro fattore geometrico, F R quello fra la rima suerficie e la suerficie riflettente, F R quello fra la suerficie riflettente e la seconda suerficie e infine F RR quello della suerficie riflettente con sé stessa (se la suerficie è iana F RR 0) si uò dimostrare che: F F R R [9] F F + FRR infatti la frazione F dell energia emessa dalla A è direttamente assorbita dalla A, e quest ultima riceve anche la frazione F R ( F RR ) della radiazione inizialmente incidente su A R. Le considerazioni svolte sora sono valide, urché si ammetta che le suerfici radianti in gioco siano nere. Un calcolo esatto del calore trasmesso tra due suerfici non nere risulta erò troo comlesso, e viene quindi semlificato assumendo che le suerfici siano grigie. Se si considerano in una cavità due suerfici raggianti A e A con emissività e ed e, si uò dimostrare che il calore scambiato, dovuto al meccanismo combinato di radiazione diretta, suerficie riflettente e riflessione multila all interno della cavità, si uò esrimere con la formula: [9] q σa ( T T Φ ) σaφ ( T T ) dove il fattore F è dato da: [93] Φ + + A F ε A ε L equazione [9], che è la iù generale tra quelle resentate sora er descrivere lo scambio termico, uò essere utilizzata er derivare un coefficiente di trasferimento termico. Essa infatti uò essere riscritta nella forma: T T [9] q σ A ( Φ ) dalla quale si ottiene la seguente esressione er il coefficiente di trasferimento: [95] h T σφ T Irraggiamento dei gas Nello studio dell irraggiamento di suerfici solide si uò assumere con buona arossimazione che i cori in esame siano grigi, ovvero che l emissività o l assorbività siano indiendenti dalla frequenza della radiazione. Nello studio dell irraggiamento dei gas è invece necessario tener conto di tale diendenza. Infatti, se la radiazione di un coro nero assa attraverso una massa di gas, l assorbimento ha luogo solo in alcuni intervalli di frequenza dello settro infrarosso. Analogamente, se il gas è riscaldato irradia energia nello stesso intervallo di frequenza. Tali frequenze infrarosse sono rodotte dalle transizioni delle molecole fra i livelli quantici rotazionali e vibrazionali. In ratica, fra i gas contenuti nei rodotti di combustione, mono- e biossido di carbonio, vaor d acqua, biossido di zolfo, cloruro di idrogeno e idrocarburi osseggono un arezzabile valore dell emissività. Viceversa, i gas aventi molecole biatomiche simmetriche quali l azoto, l ossigeno e l idrogeno non hanno un emissività significativa. L emissività e l assorbività di una miscela gassosa diendono dai suoi comonenti radianti e sono roorzionali alla loro concentrazione e allo sessore medio L della massa gassosa. VOLUME V / STRUMENTI 35
ASPETTI PROCESSISTICI I valori dell emissività dei gas iù imortanti diendono dalla temeratura, dalla loro ressione arziale e dallo sessore L della massa gassosa che, a sua volta, uò essere calcolato mediante la formula: V [96] L 085, S dove V è il volume del gas e S è la suerficie totale. L emissività totale, o assorbività, di una miscela di gas è minore della somma di quelle dei comonenti uri. Se, er esemio, si considera una miscela di CO e H O, si ha: [97] ε ε + ε C g CO HO dove e g è l emissività del gas a una data temeratura, e CO è l emissività del CO alla stessa temeratura, e H O è l emissività dell acqua, C è un termine correttivo che diende da e CO e da e H O. Forni Una delle alicazioni industriali iù imortanti del trasferimento di calore via irraggiamento è raresentata dai forni, che sono largamente imiegati nelle raffinerie etrolifere, er la distillazione del greggio a ressione atmosferica e sotto vuoto, nel cracking termico e in molte oerazioni di servizio. I forni sono aarecchiature in cui la maggior arte del calore totale viene trasferita mediante irraggiamento diretto da una fiamma verso suerfici in grado di assorbire calore. Queste suerfici, dato che la radiazione rocede essenzialmente in linea retta, devono essere in grado di vedere la sorgente che emette la radiazione. Abitualmente, nei forni industriali i cori che ricevono il calore sono dei tubi all interno dei quali è contenuto il fluido che deve essere riscaldato, e che a loro volta sono contenuti in areti costituite da un materiale a elevata riflettività: non è quindi facile determinare er via teorica i ercorsi coerti dalle radiazioni, e la velocità di scambio termico. Generalmente er i forni il flusso di calore si uò esrimere con la formula: [98] q IsA (T T ) dove T è la temeratura della sorgente, T è la temeratura dei tubi, A è una suerficie efficace dei tubi e I è un fattore adimensionale di scambio. Nella maggior arte dei forni i tubi sono collocati in una o due file, immediatamente davanti alle areti. Parte della radiazione colisce direttamente i tubi, che la assorbono, mentre la orzione rimanente colisce le areti, che in arte la riflettono e in arte la diserdono nell atmosfera. È ossibile stimare una suerficie iana efficace, A c, a cui viene attribuita emissività unitaria, er sostituire nei calcoli di rogetto la suerficie totale dei tubi, moltilicando il numero dei tubi er la loro lunghezza esosta alla radiazione e er la distanza tra i loro centri. Poiché l insieme dei tubi non assorbe erò tutta l energia emessa dalla fiamma, è necessario calcolare anche un fattore di efficienza di assorbimento a. Un metodo di calcolo er a fu sviluato da Hottel (93). Il valore del fattore di scambio I diende sorattutto dall emissività dei gas rodotti nella combustione e dalla radiazione riflessa dalle areti. Parametri imortanti, sulla base di quanto discusso oco sora, sono quindi la concentrazione di CO e H O, la temeratura del gas e lo sessore della massa gassosa. Poiché la gran arte dell energia che colisce le areti viene riflessa nella direzione dei tubi, i forni che hanno amie arti di areti esoste alla radiazione sono in grado di trasferire er radiazione iù calore er unità di suerficie, di quelli in cui le areti siano molto schermate dai tubi. Bibliografia generale Fanaritis J.P. et al. (980) Heat exchange technologies (heat transfer), in: Grayson M. (executive editor) Kirk-Othmer encycloedia of chemical technology, New York, John Wiley, 978-98, 6v.; v.xii, 9-70. Graetz L. (880) «Mathematik für Physiker», 5, 36. Holman J.P. (007) Heat transfer, New York, McGraw-Hill. Incroera F.P., DeWitt D.P. (00) Fundamentals of heat and mass transfer, New York, John Wiley. Bibliografia citata Carslaw H.S., Jaeger J.C. (959) Conduction of heat in solids, Oxford, Clarendon. Dukler A.E. 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Elenco dei simboli A a A e A eq A i c area della sezione del coro normale alla direzione di flusso del calore; sezione di un tubo assorbività di un coro suerficie esterna di uno strato sferico suerficie equivalente er roblemi di scambio termico attraverso un cilindro cavo, o uno strato sferico suerficie interna di uno strato sferico velocità della luce nel vuoto 36 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI
SCAMBIO TERMICO c calore secifico a ressione costante D diametro di un tubo D eq diametro equivalente di un tubo D s diametro dell involucro cilindrico di uno scambiatore e otere emissivo totale di un coro e l otere emissivo secifico di un coro F i, j fattori di vista F arametro dell equazione [60] g accelerazione di gravità G velocità di massa di un fluido in uno scambiatore h coefficiente di trasferimento di calore h T coefficiente globale di trasferimento di calore tra l ambiente e la suerficie di un coro, in un roblema di conduzione non stazionaria k conducibilità termica k B costante di Boltzmann L lunghezza di un cilindro o di un tubo; sessore di una massa gassosa l dimensione caratteristica del sistema, in roblemi di conduzione naturale N Gr numero di Grashof N Gz numero di Graetz N Nu numero di Nusselt N Pr numero di Prandtl N Re numero di Reynolds N St numero di Stanton N t numero dei tubi N vtr numero di file verticali di tubi su cui gocciola il condensato ressione c ressione critica di un fluido q calore scambiato er unità di temo q velocità di generazione del calore r resistenza termica di una arete R distanza che intercorre, in un roblema di conduzione non stazionaria, nella direzione in cui viene trasmesso il calore, dal unto o dal iano a metà del coro al unto in esame r riflettività di un coro r c resistenza allo scambio di calore offerta dal fluido freddo, in uno scambiatore r cs resistenza allo scambio di calore offerta dallo sorcamento sul lato del fluido freddo, in uno scambiatore. R e raggio esterno di un cilindro cavo, o di uno strato sferico r h resistenza allo scambio di calore offerta dal fluido caldo, in uno scambiatore r hs resistenza allo scambio di calore offerta dallo sorcamento sul lato del fluido caldo, in uno scambiatore. R i raggio interno di un cilindro cavo, o di uno strato sferico R lm raggio medio logaritmico R m in roblemi di conduzione non stazionaria: raggio della sfera o del cilindro, oure metà dello sessore della lastra scaldata da entrambi i lati, oure sessore della lastra scaldata da un lato e erfettamente isolata dall altro r w resistenza allo scambio di calore offerta dalla arete, in uno scambiatore S s area della sezione libera nello sazio comreso tra due aratie, in uno scambiatore S w area della sezione libera nell involucro di uno scambiatore T temeratura termodinamica t temo T temeratura dell ambiente T 0 temeratura iniziale di un coro, in un roblema di conduzione non stazionaria T b temeratura nel cuore di un fluido T c temeratura del fluido freddo, in uno scambiatore T ci temeratura di ingresso del fluido freddo, in uno scambiatore T co temeratura di uscita del fluido freddo, in uno scambiatore T e temeratura della faccia esterna di un cilindro cavo, o della suerficie esterna di uno strato sferico T h temeratura del fluido caldo, in uno scambiatore T hi temeratura di ingresso del fluido caldo, in uno scambiatore T ho temeratura di uscita del fluido caldo, in uno scambiatore T i temeratura della faccia interna di un cilindro cavo, o della suerficie interna di uno strato sferico T n temeratura della suerficie di contatto tra due cilindri, o due sfere, concentrici T s temeratura di arete U coefficiente globale di trasferimento u max velocità di un fluido attraverso l area libera minima tra file di tubi V volume di un coro v velocità lineare di un fluido all interno di un tubo W F flusso in un film condensante x distanza tra due aratie successive di uno scambiatore Y fattore correttivo nel caso in cui i flussi non siano né in equicorrente né in controcorrente Y raorto adimensionale (eq. [3]) y T distanza tra gli assi di due tubi vicini di uno scambiatore Lettere greche r densità a diffusività termica b coefficiente di esansione termica di un fluido m viscosità dinamica di un fluido m b viscosità di un fluido alla sua temeratura media m w viscosità di un fluido alla temeratura della arete D arametro dell equazione [5] G flusso di condensato er unità di erimetro t trasmettività di un coro e emissività di una suerficie l lunghezza d onda s costante di Stefan-Boltzmann Stefano Carrà MAPEI Milano, Italia VOLUME V / STRUMENTI 37