Appello di Febbraio di Fondamenti di Automatica A.A. 1-11 Febbraio 11 Prof. SILVIA STRADA Tempo a disposizione: h. 3 m. Nome e Cognome: Matricola: Firma: N.B. Svolgere i vari punti nello spazio che segue ogni esercizio. ESERCIZIO 1 punti: su 3 Si consideri il sistema lineare invariante a tempo continuo con ingresso u(t) e uscita y(t) descritto dalle seguenti matrici, dove α è un parametro reale: [ ] [ ] 8 α A =, B = 3α 1, C = [ 1], D = 1. Si trovino i valori del parametro α, che può variare da a +, per cui il sistema è asintoticamente stabile.. Si calcoli, in funzione di α, il guadagno statico del sistema. 3. Si trovi il movimento libero dell uscita del sistema per α =, x 1 () =, x () = 3.. In corrispondenza di α =, si trovi l espressione della funzione di trasferimento G(s) tra l ingresso u(t) e l uscita y(t) e in seguito si calcoli la risposta forzata dell uscita del sistema ad uno scalino unitario di u(t).
ESERCIZIO punti: 3 su 3 Si consideri il sistema massa-molla-smorzatore della figura. r rappresenta la posizione orizzontale della massa M (supposta concentrata in un punto), F è la forza esterna applicata alla massa, mentre k e D sono la costante elastica della molla e il coefficiente d attrito rispettivamente. Si scrivano le equazioni, di stato e di uscita, del sistema dinamico che descrive il sistema meccanico assegnato. ESERCIZIO 3 punti: 8 su 3 In figura è rappresentato il diagramma di Bode del modulo (asintotico ed esatto) della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento H(s) di un sistema lineare asintoticamente stabile. H(s) ha tutti gli zeri a parte reale negativa e guadagno positivo. 1. Si tracci, nell apposito spazio che segue (figura 1), il diagramma di Bode della fase (asintotico ed esatto) della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento H(s).. Si dica, motivando la risposta, quale fra gli andamenti riportati in figura (cfr. pagina seguente), rappresenta la risposta allo scalino unitario del sistema H(s). 3. Si dica, motivando la risposta, quale fra i diagrammi riportati in figura 3 (cfr. pagina seguente), rappresenta il diagramma di Nyquist del sistema con funzione di trasferimento H(s). 3
3 Diagramma di Bode Modulo 5 15 1 db 5 5 1 15 1 1 1 1 1 1 1 1 3 pulsazione. Si determini, dai diagrammi di Bode, l espressione approssimata della risposta di regime y (t) del sistema con funzione di trasferimento H(s) quando u(t) = sen(1t) sen(.1t). E J A? E? @ E E =, E F = H J E A J @ E - A J J H E? = A 1 B H = E A Figure 1: Carta semi-logaritmica per il tracciamento del diagramma di Bode della fase
Step Response 1 5 Amplitude 5 1 15 1 3 5 6 Time (sec) (a) 18 Step Response 16 1 1 Amplitude 1 8 6 1 3 5 6 7 8 9 1 Time (sec) (b) 1 Step Response 9 8 7 Amplitude 6 5 3 1 1 3 5 6 Time (sec) (c) Figure : Risposte allo scalino 5
Nyquist Diagram Nyquist Diagram 8 5 6 3 Imaginary Axis Imaginary Axis 1 1 3 6 8 6 8 1 1 Real Axis 5 6 8 1 Real Axis (a) (b) Nyquist Diagram Nyquist Diagram 8 1 6 8 6 Imaginary Axis Imaginary Axis 6 6 8 8 6 8 1 1 Real Axis 1 5 5 1 15 Real Axis (c) (d) Figure 3: Diagrammi di Nyquist 6
ESERCIZIO punti: 5 su 3 Si consideri il sistema a tempo discreto descritto dalla seguente equazione di stato x k+1 = Ax k + Bu k k intero positivo dove, A = 1 1 1, B = 1 1. Si determini la forma di Jordan della matrice A.. Si determinino i modi del sistema e il loro carattere (convergente/limitato/non limitato). 7
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ESERCIZIO 5 punti: 6 su 3 Si prenda in considerazione lo schema a blocchi della figura, in cui: 6(s.5) G 1 (s) = e G (s ) (s) = 1 1 + s. G (s) u u 1 + - G 1 (s) + + y 1. Ponendo u (t) =, si studi la stabilità del sistema.. Ora si supponga che sia u (t). Si studi la stabilità del sistema con anche questo ingresso. 3. Si determini l andamento qualitativo dell uscita y(t) se u 1 (t) = sca(t 5) (scalino unitario applicato all istante 5). 9
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ESERCIZIO 6 punti: 6 su 3 Si conosce la funzione d anello di un sistema di controllo con retroazione negativa unitaria: L(s) = 1 s(1 + 5s)(1 +.s) 1. Si traccino i diagrammi asintotici di modulo e fase di L(jω) negli appositi spazi che seguono e si trovino i valori approssimati di pulsazione critica, margine di fase e margine di guadagno.. Si dica se il sistema in anello chiuso associato a L(s) è asintoticamente stabile. 3. Si dica se e come varierebbero pulsazione critica, margine di fase, margine di gaudagno e proprietà di stabilità in anello chiuso se, nell anello, ci fosse anche un ritardo e s. E J A? E? @ E E =, E F = H J E A J @ E - A J J H E? = A 1 B H = E A E J A? E? @ E E =, E F = H J E A J @ E - A J J H E? = A 1 B H = E A Figure : Carta semi-logaritmica per il tracciamento dei diagrammi di Bode 11
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ESERCIZIO 7 punti: su 3 Si scriva la sequenza di comandi Matlab da digitare al prompt per visualizzare le risposte del sistema con funzione di trasferimento 1(1 1s) G(s) = (1 + s) agli ingressi u(t) = sca(t) e v(t) = ram(t). 13