Taratura di una bilancia dinamometrica Gruppo 6: Favitta, Ferrara, Morvillo, Tortorici, Vitale Svolta il 04/12/2017 Indice I Introduzione 1 1 Introduzione teorica 2 2 Gli strumenti utilizzati 4 2.1 La carta millimetrata......................... 4 2.2 La bilancia elettronica........................ 4 2.3 La bilancia dinamometrica...................... 4 II L esperienza di laboratorio 5 III Analisi dei dati ottenuti 6 3 La curva di risposta 7 4 La curva di taratura 9 5 Riassumendo... 10 IV Appendice A 11 V Appendice B 13 1
Part I Introduzione Fra le tante esperienze che uno studente deve affrontare nel corso di laurea in Scienze Fisiche, indispensabile è la pratica in laboratorio nella quale si affronta l aspetto che più distingue la Fisica da, per esempio, una scienza astratta quale la Matematica, ovvero l aspetto sperimentale, l applicazione rigorosa del metodo scientifico. Questa esperienza ci ha visti coinvolti nella pratica della misurazione di grandezze fisiche, dell analisi degli errori, dell analisi dei dati sperimentali per fare qualcosa alla base dell atto di misurazione:la taratura dello strumento, nel nostro caso una bilancia dinamometrica. Abbiamo utilizzato uno strumento digitale, ovvero una bilancia elettronica di precisione, per misurare le massecampione. Per la schematizzazione dei dati e la loro tabellizzazione abbiamo usato un foglio di calcolo di Libre Office Calc, oltre ad esserci muniti di una controparte manoscitta; per l analisi e il rendimento grafico dei dati, quindi l analisi della curva di risposta e della curva di taratura, SciDavis. Il modus operandi è stato determinato dalla scheda prelevata dal sito del professore, Aurelio Agliolo Gallitto, secondo le disposizioni gentilmente indicateci dal medesimo. 1 Introduzione teorica Il modello fisico che abbiamo usato per l esperienza considera un sistema con una molla di massa trascurabile fissata verticalmente a un sostegno e a cui è agganciato un corpo A di generica massa m che possiamo modellizzare per i nostri fini come punto materiale.questo è rappresentato graficamente in Figura 1(immagine presa da Mazzoldi,Saggion,Voci, Problemi di Fisica generale:meccanica,termodinamica ). Sappiamo che sul corpo A agiscono la forza peso F peso = mg,dove g è l accelerazione di gravità, e la forza elastica F elastica = -kx (Legge di Hooke) dove k è la costante elastica e x è l elongazione della molla, ovvero la variazione della lunghezza della molla(certamente il vettore x è lo spostamento dalla posizione di riposo). La forza peso e la forza elastica hanno la stessa direzione,ma verso opposto quindi lo studiamo come moto unidirezionale.per i fini relativi alla taratura del nostro strumento dobbiamo determinare un legame tra la massa del corpo e la deformazione della molla,ma,quando il sistema è in equilibrio, deve valere la (1): 2
Figura 1: F peso + F elastica = 0 mg kx = 0 m = k g x (1) La (1) ci fornisce,quindi, una relazione lineare tra la massa del corpo e l elongazione x della molla ed è un informazione utile per l esperienza. Aggiungiamo che la legge di Hooke vale quando abbiamo condizioni ideali o vicine ad esse,quindi quando tutto ciò non provoca danni o significative deformazioni nella molla,e naturalmente vale la (2): x = l l 0 (2) dove l 0 è la lunghezza della molla a riposo ed l è la lunghezza del molla con il corpo di massa m agganciato. Da aggiungere inoltre la teoria degli errori di cui però si è già abbondantemente discusso nella precedente relazione sulla I esperienza di laboratorio e dunque si rimanda a quella per evitare il tedio nel nostro lettore. Qui ci limiteremo solo a citare le formule più strettamente necessarie quando la situazione lo richiederà.e stato fondamentale per l esperienza conoscere bene e saper affrontare concetti relativi agli strumenti quali sensibilità,risoluzione,errore di precisione e classe di precisione per poter essere in grado di analizzare la curva di risposta e la curva di taratura. 3
2 Gli strumenti utilizzati 2.1 La carta millimetrata La carta millimetrata è uno speciale tipo di supporto cartaceo traslucido suddiviso in quadretti di 1 mm per lato, marcati più significativamente per ottenere dei quadrati di 5 mm per lato.ci è stata indispensabile soprattutto per misurare l elongazione della molla, come poi sarà spiegato.abbiamo un errore di lettura di 0.5 mm(perché la sua risoluzione è di 1mm/div) e consideriamo quello l errore assoluto sull elongazione, non riscontrando altri errori di tipo casuale o strumentale. 2.2 La bilancia elettronica Nonostante lo schermo digitale sembri rassicurare sull inesistenza di errori, la bilancia elettronica, come qualsiasi strumento digitale, non è esente da errori strumentali, infatti lo schema a blocchi di uno strumento digitale ci ricorda che essa funziona grazie a a un rivelatore e a un trasduttore che sono analogici.perciò è il manuale del costruttore che ci fornisce come calcolare l errore di precisione e l errore di lettura dello strumento, che in questo caso ammontano rispettivamente all errore percentuale sul valore misurato (in particolare allo 0.2% di esso) il primo e all ultima cifra significativa (che viene usualmente indicata come LSD, dall inglese Last Significative Digit) il secondo; questo implica che l errore strumentale nella misura della massa δ M è la somma tra l errore di precisione e quello di lettura: δ M = 0.002 V.M. + LSD (3) dove V.M. è il valore misurato della massa. 2.3 La bilancia dinamometrica Il dinamometro è uno strumento che di base non serve a misurare la massa, ma la forza. Il dinamometro analogico (da cui deriva la nostra bilancia dinamometrica) è costituito da una molla contenuta all interno di un tubo di plastica trasparente. Applicando una forza ad esso, la molla si allungherà fino a che, l indice, di conseguenza indicherà l intensità della forza applicata al dinamometro. Il 4
meccanismo di misurazione sfrutta la legge di Hooke come in (1) ma considera la generica forza F=kx(sono considerati qui solo i moduli). Invece,la nostra bilancia dinamometrica deve misurare la massa dei corpi che vengono attaccati sul gancio, ma per questo ci viene in soccorso la (1) che vale se le condizioni reali sono abbastanza vicine al nostro modello.naturalmente la (1) pone dei limiti perché,dato il valore praticamente fisso di g in laboratorio,la nostra bilancia dinamometrica non sarà ugualmente utilizzabile sulla vetta di un monte abbastanza elevato, in un ascensore in caduta libera oppure sulla Luna. Perciò la bilancia misurerà attraverso una scala graduata in un unità di misura della massa (nel nostro caso in grammi) e a ogni tacca deve corrispondere l elongazione della molla dovuta al valore di massa riportato nella stessa tacca. Inoltre,la nostra bilancia è uno strumento analogico,quindi ha un rivelatore, un trasduttore e un visualizzatore.nel nostro caso la molla è sia rivelatore sia trasduttore e il visualizzatore è l indicatore, che fa indice mobile sulla nostra scala graduata. L errore di lettura sulla carta millimetrata (che durante la fase di taratura abbiamo affiancato allo strumento) è pari a mezza divisione della stessa, ovvero a mezzo millimetro, come abbiamo scritto sopra. Quando la bilancia dinamometrica sarà tarata avrà un errore di lettura sulla scala a lei affiancata (chiaramente in grammi) pari a metà divisione, il valore di ciascuna divisione e il relativo errore derivanti dalla nostra taratura verranno trattati nella Part III. Part II L esperienza di laboratorio Ci sono stati consegnati la bilancia elettronica, delle masse-campione, un gancio (separato dalla bilancia dinamometrica stessa, e dal peso rilevante) su cui posizionarli per appenderli alla molla ed una striscia di carta millimetrata con un po di scotch ai bordi. Con la massima cura si è cercato di attaccare il più dritto possibile la striscia alla molla incapsulata in un cilindro di materiale plastico, di funzione prevalentemente protettiva.partiamo quindi con una bilancia dinamometrica non tarata. 5
La misurazione della massa dei campioni Prima di studiare la risposta della molla abbiamo controllato la bontà delle masse-campione forniteci. Infatti, poteva sembrare inizialmente ragionevole supporre l incertezza di ogni massa trascurabile in quanto masse-campione, ma un giusta verifica ci ha mostrato quanto in realtà i valori di massa scritti su ognuna di esse si discostano dai valori che abbiamo misurato con la bilancia elettronica.per fortuna non abbiamo riscontato per ogni massa significativi intervalli di dispersione. Abbiamo subito intuito che non sarebbe stata un ottima idea misurare singolarmente ogni campione, perchè li avremmo interscambiati e confusi durante le misurazioni. Ci siamo quindi decisi a misurare singolarmente il gancio, il gancio+base, e poi a misurare via via i sistemi gancio+base+pesi, subito prima di misurare l elongazione della molla da essi prodotta. Ogni campione di massa (composto, lo ricordiamo, da gancio+base+masse-campioni, con masse variabili) è stato quindi numerato, misurato e poi posto nella bilancia dinamometrica. La deformazione della molla Abbiamo prima di tutto attaccato con la massima cura la striscia di carta millimetrata alla molla, segnandoci sopra una tacca che corrispondeva al punto di riposo della stessa. Dopo aver tristemente appurato, con l aiuto del professore, che il tavolo sul quale ci trovavamo fosse non livellato con il terreno, e che le nostre mani sul banco avrebbero anch esse influenzato la corretta misurazione dell allungamento della molla, abbiamo deciso di porre la bilancia dinamometrica sul robusto tavolo accanto, ed abbiamo misurato di volta in volta l elongazione della molla : nel frattempo abbiamo misurato le masse con la bilancia elettronica (che avrebbe riportato un errore assai trascurabile sulle masse per colpa del leggero dislivellamento del tavolo) ed a trascrivere i dati via via ottenuti su supporto cartaceo e digitale. Durante la scrittura dei dati, abbiamo chiaramente affiancato ai valori di massa e lunghezza registrati i rispettivi errori dipendenti dalla bilancia elettronica e dalla carta millimetrata, già discussi. Verso la fine dell esperienza, ci siamo resi conto che sarebbe stato ragionevole provare a trovare più campioni e con masse mirate. In questo modo avremmo poi avuto più chiarezza durante l analisi grafica dei dati e una regione di linearità meno limitata e più definita. In definitiva abbiamo quindi misurato 19 campioni, numerandoli in modo crescente in base alla massa misurata con la bilancia elettronica e ne abbiamo misurato le elongazioni che provocavano alla nostra molla. 6
Part III Analisi dei dati ottenuti Descritto nei dettagli l apparato e la procedura usati passiamo alla processo effettuato di taratura della nostra bilancia dinamometrica. Grazie all attività di misurazione svolta in laboratorio abbiamo ottenuto la tabella (4): Campione M(g) δ M (g) x(mm) δ x (mm) 1 1.0 0.10 0.0 0.5 2 2.0 0.10 1.0 0.5 3 5.70 0, 11 2.0 0.5 4 10.20 0, 12 5.0 0.5 5 15.30 0, 13 7.0 0.5 6 20.20 0, 14 10.0 0.5 7 25.60 0, 15 12.0 0.5 8 41.00 0, 18 20.0 0.5 9 56.1 0.2 27.0 0.5 10 71.3 0.2 35.0 0.5 11 86.6 0.3 42.0 0.5 12 101.3 0.3 49.0 0.5 13 116.7 0.3 57.0 0.5 14 131.8 0.4 65.0 0.5 15 146.5 0.4 72.0 0.5 16 161.7 0.4 79.0 0.5 17 177.1 0.4 87.0 0.5 18 182.2 0.5 89.0 0.5 19 187.2 0.5 92.0 0.5 (4) 3 La curva di risposta Sfruttando questi valori possiamo analizzare la curva di risposta con SciDavis. Mettendo i dati della tabella (4) nella tabella di SciDavis e facendo il grafico elongazione-massa con le barre d errore otteniamo la Figure 2. Ci aspettiamo dalla (1) una funzione lineare.e infatti possibile notare dalla Figure 2 che i campioni 1,2 e 3 si discostano significativamente dall andamento lineare delle altre masse(mentre le altre seguono un andamento lineare); dalle limitate informazioni forniteci dalle nostre misure dobbiamo, perciò, porre come 7
Figure 2: 8
valore di soglia del nostro strumento 10.20 kg, poiché il campione 4 è il campione della regione di linearità con massa più piccola, mentre come portata 187.2 g, il valore massimo da noi misurato e presso cui comunque la funzione mostra di essere ancora lineare. Sfruttiamo il metodo delle due rette di massima e minima pendenza per trovare la sensibilità della bilancia dinamometrica, con il suo valore best e l errore assoluto associato senza imporre il passaggio dall origine per la significativa arbitrarietà dello zero.infatti,noi abbiamo posto lo zero del nostro strumento dove il c Abbiamo disegnato con SciDavis le due rette di massima e minima pendenza come nell Appendice A. Sfruttando le proprietà di SciDavis troviamo i valori della pendenza massima s max e della pendenza minima s min : s max 0.498 m /kg (5) s min 0.486 m /kg (6) Perciò, la sensibilità s, con il valore best della sensibilità s best e l errore assoluto associato δ s, è uguale a: s = s best ± δ s = s max + s min 2 ± s max s min 2 (492 ± 6) 10 3 m/kg (7) 4 La curva di taratura Presi i dati della regione di linearità della curva di risposta, li abbiamo riportati in un grafico massa-elongazione per analizzare la curva di taratura. Non abbiamo posto l origine del grafico nella soglia per poter visualizzare con maggiore chiarezza le intercette con l asse delle masse e anche per difficoltà tecniche imposteci da SciDavis. In questo caso non conviene usare il metodo delle due rette di massima e minima pendenza perché otteremmo così un punto (l intersezione tra le rette di massima e minima pendenza) con accuracy nulla(la distanza tra le due rette sarebbe nulla,come ci aspettiamo dal grafico nell Appendice A), ma prendere tra il fascio improprio di rette parallele passanti per i nostri punti sperimentali la retta con intercetta massima e quella con intercetta minima. Otteniamo il grafico nell Appendice B. Ricaviamo così il coefficiente di taratura K come la pendenza delle due rette e l accuracy δ Mp come la semidifferenza tra l intercetta massima M 1 e l intercetta minima M 2 : 9
K 2.04 kg /m (8) δ Mp = M 1 M 2 2 2.25g ( 1.75g) 2 2 g (9) Troviamo quindi la classe di precisione ε fs% del nostro strumento: ε fs% = δ M 100 = 2 g 100 1.1 (10) M fs 187.2 g dove M fs è il valore di fondoscala(da noi stabilito come uguale alla portata). Inoltre, troviamo la risoluzione R dello strumento come rapporto tra il campo di misura C (la differenza tra la portata M fs e la soglia M fs )e il numero di divisioni n nella scala graduata della carta millimetrata tra la soglia e la portata: R = C n = M fs M fs n = (187.2 10.20) g 87div 2.03 g /div (11) L errore di lettura δ Ml è uguale al prodotto tra la risoluzione R e mezza divisione, quindi: δ Ml = R 1 2 div = 2.03 g /div 1 div 1 g (12) 2 5 Riassumendo... Abbiamo determinato caratteristiche fondamentali del nostro strumento,quali soglia, portata, sensibilità,coefficiente di taratura, classe di precisione, risoluzione ed errore di lettura,tarando,quindi, lo strumento.li riportiamo qui assieme: M fs = 187.2g M sf = 10.20 g (13) K 2.04 kg /m ε fs% 1.1 (14) ε fs% 1.1 (15) R 2.03 g /div δ Ml 1 g (16) 10
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Part IV Appendice A 12
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Part V Appendice B 14
References [1] John R. Taylor, Introduzione all analisi degli errori, lo studio nelle incertezze nelle misure fisiche [2] Aurelio Agliolo Gallitto, Introduzione al laboratorio di fisica:gli errori nelle misure sperimentali [3] Mazzoldi, Saggion, Voci, Problemi di Fisica generale: Meccanica, Termodinamica 15