EEMENTI TRIANGOARI E TETRAEDRICI A ATI DIRITTI Nella ricerca di unificazione delle problematiche in vista di una generalizzazione delle procedure di sviluppo di elementi finiti, gioca un ruolo importante l'individuazione di opportuni sistemi di riferimento. Estendendo il concetto di trasformazione è possibile anche individuare opportune coordinate che definendo una mappatura del dominio fisico in un dominio equivalente permettono di semplificare la formulazione: è questo il caso delle coordinate naturali o adimensionali. Esse costituiscono un primo passo di quella generalizzazione completa che è invece rappresentata dalla formulazione parametrica, di cui si discuterà successivamente. a definizione di coordinate naturali assume significato solo in relazione all'elemento che si sta trattando. In generale, un sistema di riferimento di dimensione n è tale se una n-pla di valori delle coordinate consente di identificare in maniera univoca un punto del dominio. a relazione di trasformazione tra il sistema di riferimento dell elemento e quello delle coordinate del modello globale, nelle quali l'elemento viene definito, deve mantenere questa capacità e quindi deve essere tale da individuare una corrispondenza biunivoca dei due domini. I passaggi necessari per la formulazione dell'elemento in queste coordinate risulterà essere notevolmente lo semplificata. Ci limitiamo, per ora, all'esame di elementi con i lati diritti introducendo questo tipo di metodologia; successivamente provvederemo a rimuovere questa limitazione con una formulazione completamente generale. Coordinate naturali nel caso mono-dimensionale: COORDINATE DI INEA Il caso più semplice che possiamo analizzare è quello delle coordinate naturali di un segmento. u Consideriamo su detto segmento, i cui estremi hanno coordinate ed, un punto generico di coordinata : questi divide il segmento in due parti di lunghezza rispettivamente ed ; definiamo queste lunghezze come differenza tra la dimensione del campo e la distanza dall'estremo cui sono riferite e il punto : = ( ) = ( ) ( ) = = ( ) = ( ) ( ) = si ottiene quindi: = = rapportando alla lunghezza dell'elemento questi due termini otteniamo due parametri adimensionali = = tra i quali vale evidentemente la relazione + = che deriva dal fatto che la somma di ed è pari ad. I parametri i prendono il nome di Coordinate di linea, in quanto una coppia di loro valori consente l individuazione univoca di un punto nel dominio monifimensionale. Inoltre è immediato osservare che le due funzioni che le rappresentano mostrano le seguenti caratteristiche: hanno valore unitario in corrispondenza dell estremo di pertinenza
hanno valore nullo in corrispondenza dell'altro estremo esibiscono un andamento lineare nel tratto intermedio. Poiché, nota la dimensione del campo, una delle due coordinate è ridondante, dovendo sussistere la relazione di normalizzazione, consideriamo solo la coordinata i. Se sua espressione si mette in evidenza la coordinata si ottiene dapprima = = e quindi con semplici passaggi = = ( ) = + ( ) = + e riconoscendo nel termine (-) la seconda coordinata naturale, grazie alla relazione di normalizzazione, otteniamo: = = ( ) = + ( ) = + Questa espressione rappresenta la trasformazione tra le coordinate naturali i e la coordinata cartesiana. Essa mette in corrispondenza, mediante una operazione di mappatura, il dominio cartesiano, descritto dalla variabile, con quello naturale. Introducendo la coordinata omogenea, i legami diretto ed inverso sono esprimibili in forma matriciale come: = = avendo utilizzato, oltre alle relazioni di mappatura, anche il legame di normalizzazione tra le due coordinate naturali. Possiamo notare altresì le coordinate d area pesano le coordinate fisiche dei due estremi del dominio. Appare allora evidente in questa relazione la struttura di una forma di interpolazione: le coordinate naturali possono qindi essere utilizzate per definire una forma interpolatoria: u = [N()]{d} = [ () ()]{d} Infatti elaborando questa espressione otteniamo, con semplici passaggi, le note formule dell'interpolazione lineare dei parametri nodali: u u u u = [ ]{d} = ( ) u = + u e espressioni delle derivate delle funzioni di forma possono essere determinate ricorrendo alla concatenazione delle derivate. Infatti poiché la coordinata diventa funzione delle coordinate naturali avremo che u ( u+u ) = = u e u = u
mentre differenziando le espressione di definizione delle coordinate di linea si ricavano le seguenti relazioni: ( )/ = = ( )/ = = Sostituendo le relazioni appena ricavate si ottiene la seguente espressione del legame deformazione spostamento: u u u u u = + = u + u = = u u Si può notare come pur non avendo utilizzato un sistema di riferimento locale dell elemento la determinazione dell espressione delle funzioni di interpolazione sia risultata particolarmente semplice. 'impiego delle coordinate naturali consente di semplificare anche l'integrazione sul dominio corrispondente; nel caso mono-dimensionale vale la seguente formula: k j k! j! d = ( + k + j)! applicazione di questa formula è particolarmente semplice: si sostituisce alla variabile la sua espressione in funzione delle coordinate naturali, dopodiché si applica la formula di integrazione ai singoli termini così determinati. Come esempio proviamo ad integrare due polinomi, lineare e quadratico. 0 d = + d = d + d = d + 0 d = d = 0 0 d!0! = ( + + 0)! 0!! = ( + 0 + )! + + d = = che ovviamente coincide con l'integrale esatto della funzione nel dominio,. 0 0 d = + + d = d + d + d 0!0! d = = ( + + 0)! 0 0!! d = = ( + 0 + )!!! d = = ( + + )! d = ( + + ) = ( )( + + ) che anche in questo caso coincide con l'integrale esatto: d = = ( ) = ( )( + + )
Coordinate naturali in dominio bidimensionale: COORDINATE D'AREA In maniera del tutto analoga a quanto visto per il segmento, colleghiamo un punto P, arbitrariamente posizionato all'interno di un triangolo con i tre vertici. y ato A ato P A A ato In questo modo vengono individuate tre sotto-aree triangolari, A,A,A che, una volta normalizzate con l'area del triangolo originale A, costituiscono le Coordinate d'area del triangolo. A A A = = = A A A Come nel caso mono-dimensionale esse permettono di individuare con univocità un punto qualsiasi del triangolo. Anche in questo caso esiste una equazione di vincolo che permette di determinare la terza coordinata note le altre due: + + = che, come estensione del caso monodimensionale, deriva dal fatto che l'area totale del triangolo è data dalla somma di quelle dei tre sotto-triangoli individuati dal punto P. Anche in questo caso definiamo le relazioni diretta ed inversa che legano i due riferimenti: = y y y y y y y y y y y y = A y y y y y e dove il determinante della matrice di trasformazione [X] ha valore pari al doppio dell'area del triangolo ed è dato da det[ A] = ( )( y y) ( )( y y) = A a matrice appena definita coincide con quella utilizzata per la costruzione dell elemento di triangolo a deformazione/sforzo costante con il metodo in Base a. Anche in questo caso, possiamo dire che due qualsiasi delle coordinate d'area, così come una coppia di coordinate cartesiane,y, permettono di individuare univocamente un punto all'interno del triangolo. e formule di interpolazione sul dominio sono ottenute generalizzando quelle del caso monodimensionale: s = [N]{d} = [ ]{d} Dovendo integrare dei termini derivativi ([B]) e trattandosi di un dominio bidimensionale occorrerà tenere conto della variazione di metrica tra i due riferimenti con la nota regola di differenziazione: 4
s s s s = + + s s s s = + + i termini rappresentanti la variazione delle coordinate d'area rispetto a quelle fisiche possono essere calcolati derivando la relazione inversa ( ) che permette di determinare le seguenti due matrici riga: y y y y y y = = = A A A = = = A A A infatti = {} [ A] {} ([ A] {} {} ) = = [ A] Quindi le derivate delle coordinate d area rispetto alle coordinate fisiche,y sono date dalle ultime due colonne dell inversa di [A]. Gli sviluppi più frequentemente utilizzati per la formulazione di elementi finiti sono quello lineare e quello parabolico. Sviluppo lineare: s= a + a + a Sviluppo quadratico: s= a + a + a + a4 + a5 + a6 Si può notare che, a differenza di quanto avviene per le funzioni di forma polinomiali, in questo caso gli sviluppi di ordine superiore non sono delle espansioni di quello di ordine inferiore ma sono caratterizzati da espressioni completamente differenti. Anche per il dominio triangolare disponiamo di una formula di integrazione specifica: k j m k! j!m! d = A ( + k + j + m)! Coordinate naturali in dominio tridimensionale: COORDINATE DI VOUME Assegnato un tetraedro definito da vertivci, il generico punto P, arbitrariamente posizionato al suo interno, diivide il volume in quattro tetraedri aventi come base una delle facce del tetraedro stesso e come vertice il punto rimanente. 5
4 V y P ato In questo modo vengono individuate quattro sotto-volumi tetraedrici, V,V,V e V4 che, una volta normalizzati con il volume del tetraedro orginale V, costituiscono le Coordinate di volume del tetraedro : V V V V4 = = = 4 = V V V V che permettono di individuare con univocità un punto qualsiasi del tetraedro. Anche in questo caso esiste una equazione di vincolo che permette di determinare una coordinata note le altre tre: + + + 4 = che ovviamente deriva dal fatto che il volume del tetraedro è dato dalla somma di quelli dei quattro sottotetraedri individuati dal punto P. Anche in questo caso definiamo le relazioni diretta ed inversa che legano i due riferimenti: = 4 y y y y y4 z z z z z 4 4 e formule di interpolazione sul dominio sono ottenute generalizzando quelle del caso monodimensionale: s = [N]{d} = [ 4]{d} Dovendo integrare dei termini derivativi ([B]) e trattandosi di un dominio tridimensionale occorrerà tenere conto della variazione di metrica tra i due riferimenti con la nota regola di differenziazione: s s 4 s s/ s/ / / / 4/ s 4 s/ = s/y = /y /y /y 4 /y s s s/ /z s 4 /z /z /z 4/z s / 4 z z z z z s 4 i termini rappresentanti la variazione delle coordinate d'area rispetto a quelle fisiche possono essere calcolati derivando la relazione inversa ( ). Gli sviluppi più frequentemente utilizzati per la formulazione di elementi finiti sono quello lineare e quello parabolico. Sviluppo lineare: 6
s= a + a + a + a4 4 Sviluppo quadratico: s= a + a + a + a + a + a + a + a + a + a 4 4 5 6 7 4 8 9 4 0 4 Anche per il dominio tetraedrico disponiamo di una formula di integrazione specifica: k j m n k! j!m!n! 4 d = 6V ( + k + j + m + n)! EEMENTI DI TRIANGOO E' abbastanza evidente che in termini di generalizzazione delle possibilità operative, un elemento triangolare è superiore ad un elemento rettangolare: non avendo a disposizione, per ora, una tecnica per la realizzazione di elementi quadrangolari di forma generica e possibilmente anche curva (nel senso di elementi rettangolari curvati), risulta più pratico avere a disposizione elementi triangolari. Con questi elementi la corretta approssimazione di una forma qualsiasi è normalmente ottenibile con elementi di dimensioni più grandi e senza tutti i problemi legati alla necessita' di realizzare forme il più possibile rettangolari e piani. Esaminiamo la procedura, basata sulle coordinate d'area, per la generazione di elementi triangolari a lati diritti. Consideriamo la famiglia di elementi triangolari a lati diritti di ordine crescente di cui sono rappresentati in figura i primi tre esponenti (si noti che è estremamente difficile reperire in letteratura elementi di ordine superiore al cubico). Fig. 7.5 Zien Triangolo a deformazione costante in coordinate d'area Svilupiamo la formulazione dell'elemento triangolare a deformazione costante. Si tratta della riformulazione dello stesso elemento precedentemente sviluppato con altra tecnica. elemento è rappresentato nella figura seguente, dove sono stati individuati anche gli elementi per la definizione delle coordinate d area. y ato A ato A A ato Assumiamo le sei componenti di spostamento dei tre nodi come incognite dell'elemento e organizziamole nel vettore di incognite nodali: T {d} = [u v u v u v ] 7
In base a questa scelta è possibile ipotizzare una variabilità lineare delle componenti di spostamento u,v nel volume dell'elemento: s= a + a + a a definizione dei coefficienti della forma di interpolazione avviene utilizzando l'interpolazione dei valori nodali: u 0 0 0 {s} = = [N]{d} = {d} v 0 0 0 a funzione di forma così ricavata relativa al generico nodo è caratterizzata dall'andamento riportato in figura. Funzione interpolante in coordinate d'area inee a costante e ricordando la definizione dell'operatore differenziale [D]: / 0 [D] = 0 / y /y / di pervenire all'espressione della matrice [B] / 0 / 0 / 0 [B] = [D][N] = 0 / y 0 / y 0 / y /y / /y / /y / e ricordando le espressioni ricavate per questi termini: y y y y y y = = = A A A = = = A A A abbiamo infine y y 0 y y 0 y y 0 [B] = 0 0 0 A y y y y y y diviso A Questi termini possono essere determinati anche utilizzando la regola di derivazione; consideriamo, a titolo d esempio, le derivate della funzione N: N N N N = + + N N N N = + + e derivate delle funzioni di interpolazione rispetto alle coordinate d'area sono banali: essendo N = 8
abbiamo N N N = ; = 0; = 0 per cui otteniamo: N = + 0 + 0 = N = + 0 + 0 = Si può quindi ottenere lo stesso risultato partendo direttamente dalla definizione tradizionale della matrice [B]. Dall'esame della matrice, contenente solo termini costanti, risulta evidente che l'elemento è in grado di descrivere uno stato di deformazione/sforzo costante. Infine, poiché l'elemento è a spessore t costante, considerando il materiale uniforme nel volume e tenendo conto dell'invarianza della matrice [B] rispetto alla posizione, per la matrice di rigidezza avremo: T T [k] = t [B] [E][B]ddy= At[B] [E][B] 66 6 6 dove è stata indicata A l'area dell'elemento. Essa può venire calcolata come mediante il determinante della matrice di definizione della mappatura. Questo risultato non è però indifferente alla sequenza di numerazione dei nodi del triangolo, in particolare una sequenza oraria determina un valore negativo dell'area. a modalità di lavoro dell'elemento, se in stato piano di sforzo o di deformazione, viene definita mediante la struttura dei coefficienti della matrice elastica del materiale [E]. Si può verificare che la matrice così ottenuta coincide con quella precedentemente determinate con il metodo di Ritz (o in Base a). Triangolo a deformazione lineare in coordinate d'area 'elemento triangolare a deformazione lineare è descritto in figura dove, in particolare appare la sequenza di numerazione dei nodi.. y ato 6 A 5 ato A A 4 ato Assumiamo le nove componenti di spostamento dei sei nodi come incognite dell'elemento e organizziamole nel vettore di incognite nodali: T {d} = [u u u u 4 u5 u6 v v v v4 v5 v 6] In base a questa scelta è possibile ipotizzare una variabilità quadratica delle componenti di spostamento u,v nel volume dell'elemento: s= a + a + a + a4 + a5 + a6 a definizione dei coefficienti della forma di interpolazione avviene al solito imponendo i valori nodali dello spostamento con lo schema operativo precedentemente esaminato del metodo in base α; ciò permette di arrivare alla seguente espressione: 9
u N 0 {s} = = [N]{d} = {d} i v 0 N i cioè una matrice di dimensioni nella quale ogni sottomatrice [N i] è una matrice riga contenente le 6 funzioni di forma, da valutare nel generico punto, aventi le seguenti espressioni: N =( ) N4 = 4 N =( ) N5 = 4 N =( ) N6 = 4 Tenendo conto che le derivate di queste funzioni nel riferimento locale sono: N = 4 / / / N = 4 4/ 5/ N = 4 6/ / N = 4 / / N = 4 4/ N = 4 5/ 6/ / / N = 4 / 4/ N = 4 5/ N = 4 6/ e ricordando infine la definizione il legame tra le due metriche e dell'operatore differenziale [D] nel caso piano: / 0 [D] = 0 / y /y / si perviene all'espressione della matrice [B]; in particolare i termini non nulli della prima riga sono dati da: N N / = = (4 )(y y ) + 0+ 0 A i N / = = + i A + N / = = + + i A N4 4/ = = + i A A + N5 5/ = = + + i A A N6 6/ = = + + i A A N 0 (4 )(y y ) 0 N 0 0 (4 )(y y ) N 4 (y y ) 4 (y y ) 0 N 0 4 (y y ) 4 (y y ) N 4 (y y ) 0 4 (y y ) 'organizzazione della matrice [B] sarà: Ni/ 0 [B] = 0 Ni/y Ni/y N i/ cioè una matrice di dimensioni nella quale ogni sotto-matrice le 6 funzioni di forma derivate rispetto alla direzione specificata. [N i/... ] è una matrice riga contenente 0
Infine assumendo, come tipicamente succede, che l'elemento sia a spessore t costante, per la matrice di rigidezza avremo: T [k] t [B] [E][B]ddy = 66 6 6 Anche in questo caso la modalità di lavoro dell'elemento, se in stato piano di sforzo o di deformazione, viene definita mediante la struttura dei coefficienti della matrice elastica. Esempio COOK h B ν=.5 P A h 4h Tipo Elemento N. Elementi N. G.d.. Freccia /FV Sforzo/SV CST 8 60 0.859 0.854 CST 5 576 0.96 0.956 ST 60 0.998 0.986