Modulo di Meccanica e Termodinamica 1) Misure e unita di misura 2) Cinematica: + Moto Rettilineo + Moto Uniformemente Accelerato [+ Vettori e Calcolo Vettoriale] + Moti Relativi 3) Dinamica: + Forza e Moto (le leggi di Newton) + Attrito + Energia Cinetica e Lavoro + Energia Potenziale 4) Meccanica dei Sistemi 5) Meccanica dei Fluidi 6) Basi di Termologia e Termodinamica
Energia potenziale L Energia Potenziale U (o W) e l energia associata ad una data configurazione di un sistema di corpi che esercitano reciprocamente delle forze La fisica stabilisce come calcolare l energia potenziale di un sistema o meglio come si immagazzina o si trasforma da una forma ad un altra Abbiamo analizzato la relazione tra lavoro ed energia cinetica. Vediamo ora la relazione tra lavoro ed energia potenziale. es del pomodoro: sia nella fase di salita che di discesa l energia potenziale gravitazionale la definiamo come l opposto del lavoro svolto dalla forza gravitazionale ΔU = - L In generale: ΔU = - xf xi F. dx
Il lavoro compiuto infatti può essere espresso come la differenza di una quantità funzione solo della posizione dipendente dal tipo di forza che stiamo studiando: Forza Peso: L = -(mgy b -mgy a ) = - (U b -U a ) U(y) = mgy (e L=-ΔU) Forza Elastica: L = -(½kx 22 - ½kx 12 ) = - (U 2 -U 1 ) U(x) = ½kx 2 (e L=-ΔU) L Energia Potenzia U compare sempre come variazione ΔU, sono importanti le variazioni di energia potenziale, non tanto il valore assoluto E definita a meno di una costante. Diremo che l energia potenziale è definita a meno di una costante additiva arbitraria: U gravitazionale = mgh+u 0 U elastica = ½kx 2 +U 0
Forze conservative - forza di gravita Una forza è conservativa quando il lavoro compiuto da essa su un corpo per spostarlo da un punto A a un punto B non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalla posizione di A e B Calcoliamo il lavoro per andare da A a B direttamente o passando per C + La forza di gravità è costante ovunque Il Lavoro per il percorso A C B è mgh + Il Lavoro da A a C è mgh (dove h è l altezza del punto A rispetto al piano di riferimento), infatti la forza e lo spostamento hanno la stessa direzione + Il Lavoro da C a B è nullo infatti la forza e lo spostamento sono perpendicolari Il lavoro per il percorso A B è ancora mgh Infatti il prodotto scalare dello spostamento obliquo per la forza peso è sempre mgh A C La forza gravitazionale (la forza peso) è una forza conservativa B
Forze conservative - forza elastica Supponiamo di avere una molla di costante k e un corpo di massa m e di operare in assenza di attrito Scegliamo il sistema di riferimento unidimensionale con origine come nella figura. Calcoliamo quindi il lavoro necessario per muovere il corpo da x 1 a x 2 Si vede quindi che il risultato ottenuto non dipende dalla traiettoria ma solo dalla posizione iniziale e finale (x 1 e x 2 ) Anche la Forza Elastica è una forza conservativa
...e forze non conservative Abbiamo visto che la forza gravitazionale ed elastica sono forze conservative Consideriamo ora la forza d attrito Supponiamo di avere un oggetto fermo in un piano nel punto A e che vogliamo muoverlo fino a B; calcoliamo quindi il lavoro della forza di attrito dinamica per andare direttamente da A a B o passando per C A Il Lavoro per il percorso A C B L= -F a AC - F a CB = -F a (AC+CB) Il Lavoro per il percorso A B L= -F a AB C B Il Lavoro in questo caso dipende dal percorso L Attrito non è una forza conservativa
Lavoro delle forze conservative + il lavoro complessivo netto svolto da una forza conservativa su una particella che si muove su un percorso chiuso e zero + il lavoro svolto da una forza conservativa su una particella che si muove tra 2 punti qualsiasi non dipende dal particolare percorso
Per una forza conservativa il lavoro compiuto muovendosi da una posizione e tornando nella stessa posizione (cioè lungo una linea chiusa) è nullo Infatti in questo caso ΔU=0, poiché la posizione iniziale e finale è la stessa Se considero una forza conservativa e uno spostamento infinitesimo nella direzione e nel verso di F possiamo scrivere: Data la funzione energia potenziale posso ricavare la forza per ogni punto dello spazio
Un ascensore sale dal piano terra all ultimo piano: per fare questo devo applicare una forza esterna, il lavoro che la forza esterna fa è positivo il sistema è l ascensore; la forza conservativa è la forza di gravità + l ascensore sale; l energia potenziale dell ascensore aumenta; ΔU è positivo e il lavoro fatto dalla forza gravitazionale è negativo + l ascensore scende; l energia potenziale diminuisce; ΔU è negativo, non ho bisogno di nessuna forza esterna. Il lavoro viene fatto dalla forza di gravità ed è positivo. Queste 2 quantità (in assenza di attrito) sono uguali e di segno opposto: la somma è nulla Il lavoro che l ascensore fornisce quando scende è esattamente uguale al lavoro svolto dalla forza esterna durante la fase di salita.
Un bradipo di massa m= 2 kg si sporge da un ramo a 5 m di altezza: a) qual e l energia potenziale U del sistema bradipo-terra se prendiamo come U(0) =0 e consideriamo y0 nullo al: 1) il suolo 2) la base del balcone a 3 m dal suolo 3) il ramo 4) 1 m sopra il ramo b) il bradipo cade a terra. Per ciascuna configurazione qual e la variazione di energia potenziale?
Campo di forze Si definisce campo vettoriale/scalare una regione dello spazio in cui ad ogni punto posso associare un vettore/scalare Un campo di forze è quindi una regione dello spazio in cui ad ogni punto è associata una forza Noi viviamo in un campo di forze gravitazionale Conoscendo quindi il valore della funzione energia potenziale U (x,y,z)=mgy, posso calcolare il valore della forza che agisce su ogni corpo immerso nel campo di forze in ogni punto dello spazio
energia potenziale gravitazionale e conservazione energia meccanica le (1) e (2) sono le equazioni base per la risoluzione di qualunque problema cinematico dove l accelerazione e costante. Consideriamo un sistema meccanico in presenza di un campo di forze conservativo Le uniche forme di energia che ci interessano sono l energia meccanica potenziale e NB: 5 grandezze incognite x-x cinetica 0, v, t, a, v 0 Considero il sistema ad un dato istante e calcolo l energia totale del sistema: la (1) non contiene x-x 0 mentre la (2) non contiene v possiamo inoltre combinare (1) e (2) in 3 modi diversi in modo da E tot =ΣK+ ΣU rendere implicita, volta per volta, la dipendenza da una data variabile: Supponiamo ora che uno dei corpi del sistema (in precedenza vincolato in una posizione ad una altezza diversa da 0), stia ora cadendo a causa della forza di gravità e consideriamo l istante t finale =t iniziale +1 secondi Ripetiamo il conto dell energia totale. Nella somma precedente devo solo considerare la variazione di energia cinetica del corpo che è caduto e la variazione di energia potenziale Le due variazioni si annullano! L energia totale è conservata. Questa conclusione è sempre vera se il campo di forze è conservativo e siamo in assenza di attrito.
energia potenziale elastica e conservazione Vediamo ora lo stesso problema ad un sistema elastico in assenza di attrito. Allungo la molla dalla posizione di riposo di uno spostamento A e all istante t=0 lascio la molla libera da fattori esterni. L origine del sistema di riferimento è nel punto a riposo della molla Il moto è armonico semplice, la cui legge è x(t)=acosωt L energia potenziale per ogni istante è U = ½kx 2 = ½kA 2 cos 2 ωt L energia cinetica si ottiene ricordando che per il moto armonico v=dx/dt=-aω sinωt K= ½mv 2 = ½m(-Aω sinωt ) 2 = ½mω 2 Α 2 sin 2 ωt Ricordo inoltre che per il moto armonico di una molla ω = (K/m) e quindi si ottiene: L energia totale è costante e non dipende dal tempo!
Il pendolo Il Pendolo è un altro caso di moto armonico anche in questo caso siamo in un campo di forze conservativo (il campo gravitazionale) e l energia totale si conserva
generalizziamo Un esempio di una funzione energia potenziale e la forza derivata Da questo grafico possiamo dedurre molte informazioni sul moto di una particella all interno del campo di forze
generalizziamo K = Etot -U K e massima in x = x2 K e 0 in x1, punto di inversione (barriera di potenziale il moto si inverte)
lavoro delle forze non conservative In presenza di forze non conservative (come l attrito) si può calcolare ancora il lavoro svolto Facciamo un esempio: un corpo che si muove su un piano orizzontale nel campo di forze gravitazionale In assenza di attrito le forze applicate al corpo sono la forza peso e la reazione vincolare normale alla superficie. Se il corpo si muove, per il primo principio della dinamica il moto è rettilineo uniforme poiché la risultante delle forze è nulla. L energia cinetica è costante (la velocità non varia) e l energia potenziale pure (il piano è orizzontale quindi non varia la coordinata verticale) In presenza di attrito, esiste una forza che si oppone al moto. Il moto è uniformemente decelerato. In un certo periodo di tempo il corpo si ferma. L energia potenziale del corpo non è variata (il piano è orizzontale). L energia cinetica invece è completamente scomparsa L Energia MECCANICA non si è conservata! Che fine ha fatto???
conservazione o non conservazione? Ci sono poche sicurezze nella vita... ma la conservazione dell energia è una di queste In questo caso uno studio più attento del sistema in esame, può mostrare che l energia cinetica si è trasformata in calore (che noi sappiamo essere un altra forma di energia) Qualunque sistema studiamo, avremo che l energia totale del sistema si conserva e se non è così, significa che stiamo trascurando qualche cosa!