Appunti di Geometria - Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Cambi di base e applicazioni lineari Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, con base assegnata e,..., e n } (ad esempio R n con la base standard); fissiamo due basi di V, B = v,..., v n } e C = w,..., w n } e denotiamo con B e C le matrici che hanno per colonne le coordinate di tali vettori rispetto alla base standard, ovvero, se v = b e +... + b n e n,, v n = b n e +... + b nn e n poniamo w = c e +... + c n e n,, w n = c n e +... + c nn e n B = b b n.. b n b nn C = c c n.. c n c nn Sia T : V V una applicazione lineare e sia A la matrice associata a T rispetto alla base e,..., e n } sia in partenza che in arrivo; ovvero, se dunque T (e ) = a e +... + a n e n,, T (e n ) = a n e +... + a nn e n A = a a n.. a n a nn Allora la matrice associata a T tra la base B in partenza e la base C in arrivo è C AB. Esempio Consideriamo R 4 con la base canonica e, e, e 3, e 4 } e siano B =,,, C =,,,
Sia inoltre T : R 4 R 4 data nella base canonica dalla matrice A = 3 Vogliamo la matrice associata a T tra la base B e la base C. Innanzitutto, scriviamo le matrici di cambio di base B = C = (tanto per ricordarlo, si verifica che quelle fornite sono due basi - anche se non è necessario farlo, se non esplicitamente richiesto dall esercizio - calcolando i determinanti e vedendo che non sono nulli). Scriviamo anche le loro inverse (ricordiamo che le matrici B e C portano le coordinate rispetto alla base B o C nelle coordinate rispetto alla base canonica, le inverse operano la trasformazione opposta). B = / / / C = /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 = 3 Allora la matrice associata a T dalla base B alla base C sarà C AB = 3 3 = 3 5 5 7 5 8 3 8 5 8 7 Se invece l esercizio avesse richiesto la matrice associata a T partendo dalla base C verso la base B, avremmo dovuto calcolare il prodotto B AC. Esempio Siano dati R e R 3 con le rispettive basi canoniche e sia T : R 3 R l applicazione che, in tali basi, è descritta dalla matrice ( ) A = 4
Dati i due insiemi B =, ( C = ) (, )} vogliamo verificare che sono basi rispettivamente di R 3 e R e scrivere la matrice associata a T tra di esse. Scrivendo le due matrici B = C = ( vediamo che entrambe hanno determinante non nullo e le loro inverse sono B = C = ( ) 3 Ora, poiché sono coinvolti due diversi spazi vettoriali, non c è possibile ambiguità su quale sia la base di partenza e quale sia la base di arrivo: T porta un vettore di R 3 in un vettore di R, quindi B sarà la base di partenza e C sarà la base di arrivo; tra queste due basi, la matrice sarà C AB, ovvero ( ) ( 4 ) ) = ( 5 8 9 4 3 ) Esercizio Date la base di R 3 B =, 4, 3 9 e l applicazione T : R 3 R 3 associata alla matrice A = /3 / / /3 rispetto alla base canonica, calcolare la matrice associata a T rispetto alla base B (sia come base di partenza che come base di arrivo). Esercizio Consideriamo R 3 e R 4 con le rispettive basi canoniche e l applicazione T : R 3 R 4 associata, in tali basi canoniche, alla matrice A = Siano poi dati gli insiemi B =,, 3
C =,,, Si verfichi che essi sono basi di R 3 e R 4 rispettivamente e si scriva la matrice associata a T rispetto a queste due basi. Esercizio 3 Sia R [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a. Consideriamo l applicazione T (p(x)) = d dx ((x + x + )p(x)) ovvero l applicazione che moltiplica un polinomio dato per x + x + e poi ne fa la derivata seconda. Ad esempio T (x x) = d dx ((x + x + )(x x)) = d dx (x4 x) = x Verficare che T è una applicazione lineare e scriverla prima rispetto alla base, x, x } in partenza e in arrivo, poi rispetto alla base, + x, + 5x + 5x } in partenza e in arrivo. Richiami Due matrici quadrate di lato n, M e N, si dicono simili se esiste una matrice quadrata invertibile A tale che Se due matrici sono simili, allora N = A MA. hanno lo stesso determinante (quindi sono entrambe invertibili o entrambe non invertibili). hanno lo stesso rango (quindi hanno la stessa dimensione dell immagine e la stessa dimensione del nucleo) 3. hanno gli stessi autovalori 4. le dimensioni degli autospazi associati sono le stesse 5. hanno lo stesso polinomio minimo 6. sono entrambe diagonalizzabili, oppure nessuna delle due lo è Più precisamente, due matrici sono simili SE E SOLO SE hanno la stessa forma canonica di Jordan. Esempio Le matrici ( ) ( ) non sono simili, in quanto la prima ha determinante, la seconda ha determinante 3. 4
Esempio Le matrici non sono simili. Entrambe hanno determinante nullo, quindi bisogna cercare qualche altra caratteristica per cui differiscono. Osserviamo che la prima ha rango 3, infatti ha determinante 3; del resto, la seconda ha rango, infatti le prime due colonne sono indipendenti, ma = 3 + 3 = Quindi, avendo rango diverso, le due matrici non sono simili. Esempio Le matrici ( ) ( ) 5 4 non sono simili. Entrambe hanno determinante, però la prima ha polinomio caratteristico t 5t mentre quello della seconda è t t, quindi non possono essere simili. Esercizio 4 Dire se le matrici 3 sono simili. Esercizio 5 Dire se le matrici sono simili Esercizio 6 Dire se le matrici 4 3 sono simili. 3 4 4 3 3 5
Dualità Richiami Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, con dim V = n, si dice spazio duale di V, e si indica con V, l insieme V = L : V K lineare} Si verifica facilmente che tale insieme è uno spazio vettoriale, definendo somma e prodotto per scalari in modo ovvio. Sia ora B = v,..., v n } una base di V ; definiamo le applicazioni lineari L,..., L n da V in K, ponendo i = j L i (v j ) = i j L insieme B = L,..., L n } si dice base duale rispetto a B ed è una base di V ; infatti, se λ L +... + λ n L n = si dovrà avere che ma (λ L +... + λ n L n )(v i ) = i =,..., n (λ L +... + λ n L n )(v i ) = λ L (v i ) +... + λ n L n (v i ) = λ i e dunque si dovrà avere che λ i = per i =,..., n. Questo prova l indipendenza lineare. Del resto, dato N V, è facile verificare, verificandolo sulla base B, che N = N(v )L +... + N(v n )L n e quindi B genera tutto V. Esempio Sia V = R 3 [x]. Verifichiamo che le applicazioni L i (p(x)) = a i i =,,, 3 con p(x) = a 3 x 3 + a x + a x + a, sono elementi di V. Basta verificare che tali applicazioni sono lineari; osserviamo che, dati p(x) = a 3 x 3 + a x + a x + a q(x) = b 3 x 3 + b x + b x + b se poniamo r(x) = p(x) + q(x) avremo che e dunque r(x) = (a 3 + b 3 )x 3 + (a + b )x + (a + b )x + (a + b ) L i (p(x) + q(x)) = L i (r(x)) = (a i + b i ) = L i (p(x)) + L i (q(x)) Analogamente si verifica che L i (λp(x)) = λl i (p(x)) per ogni λ R. Dunque le applicazioni L i sono elementi di V. 6
Esempio Sia V come sopra. Verifichiamo che L, L, L, L 3 } è una base di V. Volendo sfruttare la teoria esposta nei richiami, possiamo accorgerci che i = L i () = i i = L i (x) = i L i (x i = ) = i L i (x 3 i = 3 ) = i 3 e dunque L, L, L, L 3 } è la base duale rispetto a, x, x, x 3 }, che è una base di V. Esempio Sia V come sopra. Consideriamo, per k R, l applicazione M k (p(x)) = p(k) Verifichiamo che è un elemento di V. Come prima, basta vedere che è lineare; ed infatti, dati p(x) e q(x), si ha che e, dato λ R, si ha M k (p(x) + q(x)) = p(k) + q(k) = M k (p(x)) + M k (q(x)) M k (λp(x)) = λp(k) = λm k (p(x)) Esempio Siano V, M k per k R come sopra. Verificare che B = M a, M b, M c, M d } è una base di V se a, b, c, d R sono tutti distinti. Poiché già sappiamo che L, L, L, L 3 } è una base di V, ci basta calcolare le coordinate dei quattro vettori di B e controllare il determinante della matrice che le ha come colonne. Osserviamo che M a = M a () L +M a (x) L +M a (x ) L +M a (x 3 ) L 3 = L +al +a L +a 3 L 3 quindi le sue coordinate sono (, a, a, a 3 ). Dunque, vogliamo calcolare det a b c d a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 sottraendo l ultima colonna dalle altre, si ottiene det a d b d c d d a d b d c d d a 3 d 3 b 3 d 3 c 3 d 3 d 3 7
e sviluppando rispetto alla prima riga si trova a d b d c d ( ) det a d b d c d a 3 d 3 b 3 d 3 c 3 d 3 Ora, notiamo che a d = (a d)(a + d) e a 3 d 3 = (a d)(a + ad + d ), quindi possiamo raccogliere un fattore (a d) dalla prima colonna, uno (b d) dalla seconda e uno (c d) dalla terza, ottenendo ( )(a d)(b d)(c d) det a + d b + d c + d a + d(a + d) b + d(b + d) c + d(c + d) ora, possiamo sottrarre d volte la seconda riga dalla terza e poi d volte la prima riga dalla seconda, ottenendo ( )(a d)(b d)(c d) det a b c a b c Ripetendo il ragionamento dall inizio su questa seconda matrice (che però è più piccola) otteniamo ( ) ( )(a d)(b d)(c d)(a c)(b c) det a b ovvero (a d)(b d)(c d)(a c)(b c)(a b) Quindi non è nullo, se i quattro numeri sono tutti diversi tra loro, dunque B è una base di V. Nota La matrice a b c d a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 si dice matrice di Vandermonde, può essere n n per ogni n (ovviamente coinvolgendo n diversi numeri reali al posto di a, b, c, d) ed ha sempre determinante non nullo (e pari al prodotto di tutte le possibili differenze, scegliendo con cura i segni) se tutti i numeri sono distinti. Ad esempio, per n = 6, tale matrice è a b c d e f a b c d e f a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3 a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 f 4 a 5 b 5 c 5 d 5 e 5 f 5 e il suo determinante è (f a) (f b) (f c) (f d) (f e) (e a) (e b) (e c) (e d) (d a) (d b) (d c) (c a) (c b) (b a) 8
Esercizio 7 Sia V = R 3 [x]; dire se le seguenti applicazioni sono elementi di V (sia p(x) = a 3 x 3 + a x + a x + a un generico elemento di V ). i. L(p(x)) = p() + p() ii. L(p(x)) = p () iii. L(p(x)) = a iv. L(p(x)) = p () + p () v. L(p(x)) = (x + 3)p() vi. L(p(x)) = e a + e a vii. L(p(x)) = p(x)dx viii. L(p(x)) = sin(p()) Esercizio 8 Sia V come sopra; consideriamo, per ogni k R, l applicazione N k (p(x)) = Quindi, ad esempio, se p(x) = x + 3x, N k (p(x)) = k k p(x)dx [ x x 3 + 3xdx = 3 + 3x ] k = k3 3 + 3k Dimostrare che N k V per ogni k R e che N a, N b, N c, N d } è una base di V se a, b, c, d R sono tutti diversi. Esercizio 9 Sia V = R [x] e sia M k (p(x)) = p(k), per k R. Trovare la base B di V che genera come base duale di V la seguente M, M, M } 3 Applicazione trasposta Richiami Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione n, sia B = v,..., v n } una base di V e sia B = L,..., L n } la sua base duale (base di V ). Consideriamo una applicazione lineare T : V V, associata, nella base B, ad una matrice A. L applicazione trasposta di T è l unica applicazione lineare T t : V V tale che (T t (L))(v) = L(T (v)) per ogni L V e per ogni v V. Vogliamo calcolare la sua matrice associata nella base B. Osserviamo che L (w) non è altro che la prima componente di w rispetto alla base B, quindi L (T (v)) è la prima componente di T (v) (dell immagine di v tramite T ) nella base B, quindi se noi ora al posto di un generico v mettiamo v, otterremmo che L (T (v )) è la prima componente dell immagine di v, ovvero sia a, il primo elemento della prima colonna di A (infatti, le colonne di A sono le coordinate delle immagini di v,..., v n tramite T ). 9
D altra parte, per definizione L (T (v )) = (T t (L ))(v ) Ora, per ogni M V, le sue coordinate nella base B sono i suoi valori sugli elementi della base B, ovvero (M(v ),..., M(v n )). Quindi (T t (L ))(v ) è la prima coordinata rispetto alla base B dell immagine di L tramite T t, ovvero è il primo elemento della prima colonna della matrice associata a T t nella base B. Dunque, tale elemento è a. Ora, il secondo elemento della prima colonna della matrice associata a T t sarà (T t (L ))(v ) che, per definizione, è uguale a L (T (v )) ovvero al primo elemento della seconda riga di A. Più in generale, l elemento sulla i-esima riga e j-esima colonna della matrice di T t sarà (T t (L j ))(v i ) ovvero L j (T (v i )), ovvero l elemento sulla j-esima riga e i-esima colonna della matrice A. Quindi, la matrice associata a T t nella base B è proprio A t, la trasposta di A, ovvero la trasposta della matrice associata a T nella base B. In generale, se ho due spazi vettoriali di dimensione finita sul campo K, V e W, data una applicazione lineare T : V W, posso definire T t : W V di modo che (T t (L))(v) = L(T (v)) per ogni v V e L W. ATTENZIONE: La trasposta si gira, ovvero, se T va da V a W, la sua trasposta T t va da W a V. Fissando una base B di V e una base C di W, otterremo una matrice A che descrive T rispetto a queste due basi; allora, costruendo le basi duali B e C (basi rispettivamente di V e W ), avremmo che la matrice associata a T t dalla base C alla base B sarà proprio A t, la trasposta di A. Esempio Consideriamo R 3 e R con le rispettive basi canoniche; sia T : R 3 R la proiezione sulle prime due componenti (ovvero T (a, a, a 3 ) = (a, a )). Date le basi B =,, ( C = ) (, determinare la matrice associata a T t : (R ) (R 3 ) rispetto alle basi duali C e B. Dalla teoria, sappiamo che tale matrice è la trasposta della matrice associata a T rispetto alle basi B e C; quest ultima è facilmente calcolabile, in quanto, rispetto alle due basi canoniche, T è rappresentata dalla matrice ( ) A = )} Inoltre, dette ( ) B = C =
si ha che la matrice associata a T tra le due basi B e C è ( ) ( ) ( ) C AB = = Dunqe, la matrice associata a T t tra la base C e la base B è A t = Esempio Sia V = R 4 con la base canonica e, e, e 3, e 4 }; consideriamo il suo duale V con la base duale della base canonica, L, L, L 3, L 4 }. Per definizione di base duale, Siano ora L i a a a 3 a 4 = a i i =,, 3, 4 M = L + L M = L3 + 3L 4 M 3 = L + 3L 3 M 4 = L + L 4 Verificare che B = M, M, M 3, M 4 } è una base di V e determinare la base B = v, v, v 3, v 4 } di V che ha B come base duale. Le coordinate degli M i rispetto alla base duale della base canonica sono le colonne della seguente matrice 3 3 il cui determinante è 5, dunque gli M i formano una base. Ora, sia T : V V l applicazione lineare sul duale definita da T (L i ) = M i Rispetto alla base duale della base canonica, T è associata alla matrice A = 3 3 Noi vogliamo trovare dei vettori v, v, v 3, v 4 } tali che i = j M i (v j ) = i j Ovvero sia tali che (T (L i ))(v j ) = i = j i j
Se riusciamo a trovare T : V V tale che T t = T, avremo che Ma allora, se vogliamo che (T (L i )(v j ) = (T t (L i ))(v j ) = L i (T (v j )) (T (L i ))(v j ) = i = j i j si dovrà per forza avere che T (v j ) = e j. Quindi, i vettori cercati saranno T (e ), T (e ), T (e 3 ), T (e 4 ). Per trovare una tale T, basta considerare l applicazione che, rispetto alla base canonica, è associata alla matrice A t (che chiameremo A): A = 3 3 questa è la matrice della applicazione T cercata rispetto alla base canonica. Dunque i vettori voluti sono le immagini della base canonica tramite A, ovvero sono le colonne di A, che è Dunque, i vettori cercati sono 9/5 v = 4/5 4/5 v = 8/5 9 3 4 5 4 3 8 9 6 /5 /5 /5 9/5 v 3 = 3/5 /5 3/5 6/5 v 4 = /5 /5 /5 /5 Ricapitolando, dati gli elementi del duale M, M, M 3, M 4, detta A la matrice che ha come colonne le loro coordinate rispetto alla base duale della base canonica, devo calcolare la matrice (A t ) ; le colonne di quest ultima saranno le coordinate, rispetto alla base canonica, di quattro vettori v, v, v 3, v 4 che hanno gli M i come base duale. Esercizio Sia definita da Dato l insieme T a a a 3 T : R 3 R 4 = a + a a 4a 3 a + a 3 + a 4 a a 4 B =,, 3
verificare che è una base di R 3 e scrivere la trasposta di T rispetto alla base B di (R 3 ) e alla base duale di quella canonica in (R 4 ). Esercizio Consideriamo R 3 con la base canonica e il suo duale (R 3 ) con la base canonica duale. Verificare che le seguenti applicazioni a a a M a = a + 3a 3 M a = a + a M 3 a = a + a 3 a 3 a 3 a 3 sono elementi del duale e che formano una base. Determinare i vettori v, v, v 3 } in R 3 da cui M, M, M 3 } si ottengono come base duale. 3