Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare

Definizione (Vettore applicato) Un vettore applicato nel punto O e avente il secondo estremo nel punto P viene indicato con la scrittura v = OP. Un vettore è caratterizzato da: una direzione; un verso; un modulo ( v ); P v O Figura: Un vettore.

Definizione (Somma tra vettori ) B C OB OC O OA Figura: La somma di due vettori OA e OB non aventi la stessa direzione si ottiene costruendo il parallelogramma OACB che ha per lati OA e OB; il vettore somma corrisponde a OC, ossia alla diagonale del parallelogramma con un estremo in O e l altro in C. A

Definizione (Moltiplicazione vettore scalare) Il segmento orientato w = OS = α OP = αv, con α R, ha la stessa direzione di OP e verso concorde a quest ultimo se α > 0. S OS = α OP v P O

Definizione (Vettore differenza) Il vettore differenza w = OB OA si ottiene costruendo il parallelogramma avente per lati i vettori OB e OA. Se trasliamo A di un vettore pari a w, ossia AB, troviamo B; in altre parole, B = A + w. C B w = OC OB OC A OA O OA A

Definizione (Span di un vettore) Fissato un vettore non nullo u E 3 O, possiamo considerare l insieme di tutti i vettori applicati che si ottengono moltiplicando u per un numero reale. Indichiamo tale insieme con: Span (u) = { } v E 3 O v = αu, α R z u v = α u x y

Definizione (Vettori linearmente indipendenti) Due vettori u e v di E 3 O sono detti: linearmente indipendenti, se v / span (u) o viceversa; linearmente dipendenti, se v span (u) o viceversa; z z v = α u u v u x y x y Figura: Vettori linearmente dipendenti (a sinistra) e indipendenti (a destra).

Definizione (Equazioni parametriche di una retta) Una retta r in forma parametrica in E 3 O è l insieme di tutti e soli i punti P che possono essere descritti mediante una scrittura del tipo: P = P 0 + tv, t R detta equazione parametrica vettoriale per la retta r. x x 0 v 1 [P] = y, [P 0 ] = y 0, [v] = v 2, z z 0 v 3 x x 0 v 1 x = x 0 + tv 1 y = y 0 + t v 2 = y = y 0 + tv 2 z z 0 v 3 z = z 0 + tv 3

z r v t v P = P 0 + t v P 0 x y Figura: Una retta passante per il punto P 0 e avente come vettore direttore v.

Definizione (Equazioni parametriche di una retta passante per due punti dati) Dati due punti P 0 e P 1, l equazione parametrica della retta r passante per P 0 e P 1 è data da: P = P 0 + tv, t R, v = P 1 P 0 x [P] = y, [P 0 ] = z x 0 y 0 z 0 x1, [P 1 ] =, x x 0 x 1 x 0 x = x 0 + t (x 1 x 0 ) y = y 0 + t y 1 y 0 = y = y 0 + t (y 1 y 0 ) z z 0 z 1 z 0 z = z 0 + t (z 1 z 0 ) y 1 z 1

z r P 1 P 0 P 1 P 0 x y Figura: Una retta passante per i punti P 0 e P 1.

Definizione (Equazioni parametriche di un piano) Un piano π in E 3 O è l insieme di tutti e soli i punti P che si possono descrivere nel seguente modo, che chiameremo rappresentazione (o equazione) parametrica vettoriale del piano: P = P 0 + αu + βv, α, β R, x x 0 u 1 [P] = y, [P 0 ] = y 0, [u] = u 2, [v] = z z 0 u 3 v 1 v 2, v 3 x x 0 u 1 v 1 x = x 0 + αu 1 + βv 1 y = y 0 + α u 2 + β v 2 = y = y 0 + αu 2 + βv 2 z z 0 u 3 v 3 z = z 0 + αu 3 + βv 3

z u π v x y Figura: Un piano avente vettori generatori u e v.

Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3 punti dati) Dati tre punti P 0, P 1 e P 2, le equazioni parametriche del piano π contenente i punti dati sono date da: P = P 0 + αu + βv, α, β R, u = P 2 P 0, v = P 1 P 0 x x 0 x 1 x 2 [P] = y, [P 0 ] = y 0, [P 1 ] = y 1, [P 2 ] = y 2 z z 0 z 1 z 2 x y = z x 0 x 2 x 0 x 1 x 0 y 0 + α y 2 y 0 + β y 1 y 0 = z 0 z 2 z 0 z 1 z 0

Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3 punti dati) x = x 0 + α (x 2 x 0 ) + β (x 1 x 0 ) = y = y 0 + α (y 2 y 0 ) + β (y 1 y 0 ) z = z 0 + α (z 2 z 0 ) + β (z 1 z 0 )

z P 2 P 0 π P 2 P 0 x P 1 P 0 P 1 y Figura: Un piano passante per i punti P 0, P 1, P 2.

Definizione (Equazioni cartesiane di una retta) Una retta scritta sotto forma di equazioni cartesiane è vista come l intersezione tra due piani distinti contenenti la stessa retta: r : { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

Definizione (Retta: passaggio da equazioni parametriche a cartesiane) Per passare dalle equazioni parametriche di una retta a quelle cartesiane bisogna usare il metodo dell eliminazione dei parametri. Secondo tale metodo, una volta che si è proceduto a scrivere le equazioni parametriche in forma di sistema, bisogna esplicitare in una o più equazioni i parametri rispetto alle altre variabili e poi sostituirli a turno nelle altre equazioni allo scopo di ottenere, nelle equazioni in cui si effettua la sostituzione, termini che non dipendono dal parametro ma solo dalle coordinate x, y e z.

Esempio Troviamo le equazioni cartesiane della seguente retta scritta in forma parametrica: x r : y z = 2 + t = 1 + t = 1 + 2t Usiamo il metodo di eliminazione dei parametri: x = 2 + t r : t = y 1 z = 1 + 2t x = 2 + (y 1) r : t = y 1 z = 1 + 2 (y 1)

Esempio Ora che si è effettuata la sostituzione del parametro nelle altre due equazioni, non è più necessaria l equazione iniziale, quindi la si può scartare. Risolvendo i calcoli si ottiene: r : { x = 1 + y z = 1 + 2y che riscritto in modo più elegante diventa: { x y = 1 r : 2y z = 1 Queste ultime rappresentano le equazioni cartesiane della retta r.

Definizione (Retta: passaggio da equazioni cartesiane a parametriche) Per passare dalle equazioni cartesiane di una retta a quelle parametriche bisogna usare il metodo di aggiunta dei parametri. Secondo tale metodo, bisogna scegliere una tra le coordinate x, y e z e trasformarla nel parametro t della retta in forma parametrica. Dopo aver fatto ciò (si tratta semplicemente di rinominare una coordinata chiamandola t anziché x, y o z) si procede a sostituire nelle altre equazioni il parametro t laddove compare la variabile a cui noi abbiamo assegnato il nome t.

Esempio Troviamo le equazioni parametriche della seguente retta scritta in forma cartesiana: r : { x y = 1 2y z = 1 Usiamo il metodo di aggiunta dei parametri. Scegliamo per esempio di porre y = t: y = t r : x y = 1 2y z = 1 y = t r : x t = 1 2t z = 1

Esempio Ora che si è effettuata la sostituzione del parametro, possiamo riordinare le equazioni e scriverle in modo più elegante: x = 1 + t r : y = t z = 1 + 2t Queste ultime rappresentano le equazioni parametriche della retta r. E da notare che essendoci molte possibilità nel scegliere quale coordinata verrà trasformata nel parametro t, le varie equazioni parametriche che si possono ottenere possono essere diverse tra di loro: pertanto trovare equazioni parametriche diverse usando coordinate diverse non vuol dire che si è commesso un errore!

Esempio E bene stare attenti quando si vuole passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche che non ci sia nessuna variabile bloccata. Per variabile bloccata si intende una variabile che compare in un equazione in cui c è solo lei e nella quale le viene assegnato un valore scalare. Per esempio nel seguente caso: r : { x = 1 y + z = 1 la variabile x è una variabile bloccata in quanto le è assegnato il valore 1. In questo caso non possiamo porre x uguale al parametro t in quanto ci troveremmo ad avere la scrittura t = 1 che non ha senso. Quindi, quando si ha una variabile bloccata, è bene sempre ricordare che tale variabile non può essere usata nella fase di assegnamento del parametro: in tal caso bisogna per forza utilizzare una delle altre due variabili (in questo caso y o z).

Definizione (Equazione cartesiana di un piano) L equazione cartesiana di un piano si ottiene considerando il piano come l insieme dei punti dello spazio che soddisfa la seguente condizione: π = {P ε OP OP0, n = 0} x P = y, P o = z x 0 y 0 z 0 a, n = b, vettore normale c In tal caso il piano può essere scritto equivalentemente in due modi: a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + c (z z 0 ) = 0

Definizione (Equazione cartesiana di un piano) Oppure in modo equivalente, eseguendo i calcoli nella formula precedente e raccogliendo tutti i fattori che non dipendono da x, y e z: con ax + by + cz + d = 0 d = (ax 0 + by 0 + cz 0 )

Definizione (Piano: passaggio da equazioni parametriche a cartesiana) Per passare dalle equazioni parametriche di un piano a quella cartesiana bisogna usare il metodo dell eliminazione dei parametri come visto per la retta. L unica cosa che cambia in questo caso è che i parametri da eliminare sono due (α e β) e quindi i calcoli sono leggermente più elaborati.

Esempio Troviamo l equazione cartesiana del seguente piano scritto in forma parametrica: x π : y z = α + β = β = 1 + α + β Usiamo il metodo di eliminazione dei parametri: x = α + β π : β = y z = 1 + α + β x π : β z = α + y = y = 1 + α + y

Esempio A questo punto la seconda equazione (β = y) non serve più e può essere trascurata. Si procede quindi con il trovare il valore di α. π : { α = x y z = 1 + α + y Sostituendo la prima equazione nell ultima e riscrivendo il tutto in maniera ordinata otteniamo l equazione cartesiana del piano: π : { α = x y z = 1 + x y + y π : z = 1 + x π : x z = 1

Definizione (Piano: passaggio da equazione cartesiana a parametriche) Per passare dall equazione cartesiana di un piano a quelle parametriche bisogna usare il metodo di aggiunta dei parametri. Secondo tale metodo, bisogna scegliere tra le coordinate x, y e z e trasformarne due di esse nei parametri α e β come visto per il caso della retta. Nell assegnare i parametri alle coordinate vale lo stesso discorso fatto per la retta riguardo alle eventuali variabili bloccate.

Esempio Troviamo le equazioni parametriche del seguente piano scritto in forma cartesiana: π : x z = 1 Usiamo il metodo di aggiunta dei parametri. Scegliamo per esempio di porre y = α e z = β: y = α r : z = β x z = 1 y = α r : z = β x β = 1

Esempio Quindi infine otteniamo: x r : y z = 1 + β = α = β

Definizione (Prodotto scalare) Il prodotto scalare tra due vettori u e v è definito come: u, v = u v cos θ oppure, in coordinate: x u = y, v = z x y z u, v = xx + yy + zz

Definizione (Proiezione ortogonale di un vettore su un altro) Dati due vettori u e v, la proiezione ortogonale di v su u è data dal vettore w così definito: w = u, v u, u u

v w u Figura: La proiezione ortogonale del vettore v sul vettore u.

Definizione (Norma di un vettore) Dato un vettore v = xî + yĵ + zˆk è definita come: v = v, v = x 2 + y 2 + z 2

Definizione (Distanza tra due punti) La distanza tra due punti A e B è uguale alla norma del vettore differenza B A: d(a, B) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2

Definizione (Distanza punto-piano) Dati un punto A = x A y A z A la distanza tra il punto e il piano è pari a: e un piano π : ax + by + cz + d = 0, d (A, π) = ax A + by A + cz A + d a 2 + b 2 + c 2

Definizione (Fascio proprio di piani) E dato dall insieme Ϝ r dei piani contenenti una data retta r. I piani appartenenti al fascio sono tutti e soli quelli la cui equazione può essere scritta nella forma: λ (a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + µ (a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 ) = 0 (λ, µ) (0, 0) dove a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0 rappresentano due piani π 1 e π 2 distinti appartenenti al fascio.

Definizione (Fascio improprio di piani) E dato dall insieme Ϝ n dei piani aventi la stessa direzione normale n. I piani appartenenti al piano sono tutti e soli quelli la cui equazione può essere scritta nella forma: a 0 x + b 0 y + c 0 z + d = 0, a 0 0 dove [n] = b 0 0, d R c 0 0

Definizione (Posizione reciproca tra piani) Dati due piani: π 1 : ax + by + cz = d π : a x + b y + c z = d i due piani possono essere tra loro: paralleli; coincidenti; incidenti.

Definizione (Piani paralleli) I piani π e π sono paralleli se e solo se i vettori normali n e n generano la stessa retta, ovvero se e solo se n Span (n). Quindi esiste un numero reale non nullo k tale che: a = ka, b = kb, c = kc

z n n π π x y Figura: Due piani paralleli hanno vettori normali linearmente dipendenti tra loro.

Definizione (Piani coincidenti) I piani π e π sono coincidenti se e solo se sono paralleli e se d = kd. Ovvero se: a = ka, b = kb, c = kc, d = kd

Definizione (Piani incidenti) I piani π e π sono incidenti se non sono paralleli e non sono coincidenti; allora la loro intersezione è una retta: r = π π e nessuna delle condizioni precedenti si verifica.

z n π r n π x y Figura: Due piani incidenti hanno vettori normali linearmente indipendenti tra loro e definiscono una retta in E 3 O.

Definizione (Posizione reciproca tra rette) Due rette r 1 e r 2 aventi rispettivamente i vettori direttori v 1 e v 2 E 3 O possono essere tra loro: parallele; incidenti; sghembe; complanari.

Definizione (Rette parallele) Le rette r 1 e r 2 sono parallele se e solo se hanno la stessa direzione, ovvero se e solo se i loro vettori direttori generano la stessa retta, cioè se e solo se v 2 Span (v 1 ) (o viceversa).

z r 1 r 2 v 1 v 2 x y Figura: Due rette parallele hanno vettori direttori linearmente dipendenti tra loro.

Definizione (Rette incidenti) Le rette r 1 e r 2 sono incidenti se e solo se si intersecano in un unico punto r 1 r 2 = {P}. Esistono due metodi per poter determinare il punto di intersezione P.

z r 1 x P y r 2 Figura: Due rette incidenti hanno un solo punto in comune. Se hanno più di un punto in comune, allora sono coincidenti.

Algoritmo - Metodo 1 Avendo le equazioni cartesiane di r 1 e r 2, basta metterle a sistema: { (equazioni cartesiane di r1 ) (equazioni cartesiane di r 2 ) se il sistema ammette una soluzione, allora le due rette sono incidenti; se il sistema ammette infinite soluzioni, allora le due rette sono coincidenti; se il sistema non ammette soluzioni, allora le due rette non sono incidenti;

Algoritmo - Metodo 2 Avendo le equazioni parametriche di r 1 e l equazione cartesiana di r 2, si effettuano i seguenti passi: Considero un generico punto P 1 = P 01 + t 1 appartenente x alla retta r 1 e lo sostituisco al posto delle coordinate y z nelle equazioni cartesiane di r 2 : { a1 x P1 + b 1 y P1 + c 1 z P1 + d 1 = 0 a 2 x P1 + b 2 y P1 + c 2 z P1 + d 2 = 0 Risolvo il sistema considerando il parametro t 1 come variabile;

Algoritmo - Metodo 2 Se il sistema è risolubile, allora le due rette sono incidenti e il punto di intersezione P può essere trovato determinandone le coordinate dalla equazioni parametriche di r 1, dando al parametro il valore t 1 = t, dove t è la soluzione del sistema; se invece il sistema non è risolubile, allora vuol dire che le due rette non sono incidenti.

Definizione (Rette sghembe) Le rette r 1 e r 2 sono sghembe se non sono parallele e non sono incidenti. In altre parole se non vi nessun piano che le contenga entrambe: n 1 / span (n 2 ) r 1 r 2 =

z r 1 r 2 x y Figura: Due rette sghembe hanno come intersezione l insieme vuoto.

Definizione (Rette complanari) Le rette r 1 e r 2 sono complanari se sono parallele o incidenti.

z r 1 r 2 π x y Figura: Due rette parallele (come in figura) o incidenti sono complanari.

Definizione (Posizione reciproca retta-piano) Una retta r avente vettore direttore v e un piano avente vettore normale n e giacitura {u 1, u 2 } possono essere reciprocamente nelle seguenti posizioni: incidenti; perpendicolari (la retta r è perpendicolare al piano π); paralleli; la retta r è contenuta nel piano π.

Definizione (Retta e piano incidenti) Una retta r e un piano π sonon incidenti se e solo se si intersecano in un unico punto: r π = {P} Esistono tre metodi per poter determinare il punto di intersezione P.

z r P π x y Figura: Una retta e un piano sono incidenti se hanno un punto in comune.

Algoritmo - Metodo 1 Avendo le equazioni parametriche di r e le equazioni parametriche di π, si ha che la retta e il piano sono incidenti se e solo se: v / Span (u 1, u 2 ), cioè se e solo se: v, n 0 Questo metodo è il più comodo per poter determinare se una retta e un piano sono incidenti.

Algoritmo - Metodo 2 Avendo le equazioni cartesiane di r e π,basta metterle a sistema: { (equazioni cartesiane di r) (equazione cartesiana di π) se il sistema ammette una soluzione, allora il piano e la retta sono incidenti; se il sistema ammette infinite soluzioni, allora la retta è contenuta nel piano; se il sistema non ammette soluzioni, allora la retta e il piano sono paralleli;

Algoritmo - Metodo 3 Avendo le equazioni parametriche di r e l equazione cartesiana di π, si effettuano i seguenti passi: Considero un generico punto P 1 = P 01 + t 1 appartenente x alla retta r 1 e lo sostituisco al posto delle coordinate y z nell equazione cartesiana di π: ax P1 + by P1 + cz P1 + d = 0 Risolvo l equazione considerando il parametro t 1 come variabile;

Algoritmo - Metodo 3 Se il sistema è risolubile, allora retta e piano sono incidenti e il punto di intersezione P può essere trovato determinandone le coordinate dalla equazioni parametriche di r 1, dando al parametro il valore t 1 = t, dove t è la soluzione dell equazione; se invece il sistema non è risolubile, allora vuol dire che la retta e il piano sono paralleli.

Definizione (Retta perpendicolare al piano) La retta r è perpendicolare al piano π se e solo se la direzione di r coincide con la direzione normale al piano, cioè: v Span (n) Esistono tre metodi per poter determinare il punto di intersezione P, e sono gli stessi visti per il caso della retta e piano incidenti.

r z v n P π x y Figura: Una retta è perpendicolare ad un piano se il vettore direttore della prima è linearmente dipendente al vettore normale del secondo (nella figura vettore direttore e normale sono stati disegnati rispettivamente sulla retta e sul piano per ragioni di chiarezza espositiva: in realtà si trovano tutti nell origine O!)

Definizione (Retta e piano paralleli) La retta r e il piano π sono paralleli se e solo se: v Span (u 1, u 2 ) r π = La prima condizione equivale a dire che: v n = v, n = 0

z n r v π x y Figura: Una retta e un piano sono paralleli se non hanno punti in comune e se il prodotto scalare tra il vettore direttore della retta e il vettore normale del piano è nullo, cioè se tra di loro c è un angolo di 90.

Definizione (Retta contenuta nel piano) La retta r è contenuta nel piano π se e solo se: v Span (u 1, u 2 ) r π

z r u 1 v u 2 π x y Figura: Una retta è contenuta in un piano se il suo vettore direttore appartiene allo Span dei vettori generatori del piano e se esiste almeno un punto che appartiene sia alla retta che al piano. In questo caso nell immagine i vettori generatori del piano e il vettore direttore della retta sono stati disegnati a partire dall origine come è giusto che sia...