Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio. Esercizi svolti. Tutorato di geometria e algebra lineare

Transcript

1 Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 017

2 1

3 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti: Dati due punti, trovare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per essi (vedi esercizio nella pagina seguente). Date le equazioni cartesiane di una retta, determinarne le equazioni parametriche (vedi esercizio a pagina 6). Dati tre punti, determinare le equazioni parametriche e cartesiana del piano passante per essi (vedi esercizio a pagina 8). Data l equazione cartesiana di un piano, determinarne le equazioni parametriche (vedi esercizio a pagina 10). Determinare il prodotto scalare tra due vettori (vedi esercizi a pagina 1 e a pagina 14). Determinare la posizione reciproca tra due piani (vedi esercizi a pagina 16 e a pagina 17). Determinare la posizione reciproca di due rette (vedi esercizi a pagina 18 e a pagina 1). Determinare la posizione reciproca tra retta e piano (vedi esercizio pagina 6). a Determinare la distanza tra punto e piano (vedi esercizio a pagina 9). Esercizi di riepilogo (vedi esercizi a pagina 3 e a pagina 35).

4 Esercizio 1 Dati i punti A = 1 1 e B = trovare le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i due punti dati. Soluzione L equazione parametrica vettoriale di una retta passante per due punti P 0 e P 1 è data dalla formula:, r : P = P 0 + t (P 1 P 0 ), t R dove con la differenza P 1 P 0 calcoliamo il vettore direttore della retta, ( mentre ) P 0 in questo caso indica di quanto è stata traslata la retta data da span OP 1 OP 0 rispetto all origine. E da notare il fatto che come vettore traslatore potevamo usare sia P 0 che P 1, in quanto è indifferente: l importante è che il punto usato appartenga alla retta. Lo stesso discorso vale per il vettore direttore: è indifferente fare P 1 P 0 o P 0 P 1 : al massimo nel secondo caso si otterrà un vettore direttore che è l opposto di quello del primo caso, il quale però definisce pur sempre la stessa direzione. Nel nostro caso quindi possiamo scegliere di scrivere: r : P = A + t (B A), t R r : r : r : x y = t z x 1 1 y = 1 + t z 1 x = 1 + t y = 1 t z = 1 + t (1) 3

5 Per ottenere le equazioni cartesiane della retta r, dobbiamo effettuare il procedimento detto di eliminazione dei parametri, nel quale risolviamo una delle equazioni che costituiscono il sistema (1) nella variabile t e poi la sostituiamo nelle altre due equazioni rimaste, ottenendo così le equazioni cartesiane della retta. E più facile farlo che dirlo: r : r : r : x = 1 + t y = 1 t z = 1 + t t = x 1 y = 1 t z = 1 + t t = x 1 y = 1 (x 1) z = 1 + (x 1) r : r : t = x 1 y = 1 x + z = 1 + x t = x 1 x + y 3 = 0 x + z + 3 = 0 quindi, non tenendo più conto della prima equazione, dato che non ha più alcuna utilità, otteniamo le equazioni cartesiane di r come: x + y 3 = 0 r : x + z + 3 = 0 NB. E da notare il fatto che quando si passa dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane è indifferente quale equazione del sistema si usi per ottenere la variabile t in funzione di x, y e z. Noi in questo caso abbiamo usato la prima equazione perché pareva la più semplice tra le tre; nulla vieta comunque di poter utilizzare le altre due equazioni. In tal caso tuttavia si potrebbe ottenere un risultato diverso, il che però non è affatto errato, in quanto esistono infinite rappresentazioni parametriche di una retta! L importante è che verifichiate 4

6 sempre che in due rappresentazioni parametriche diverse il vettore traslatore appartenga alla retta e che il vettore direttore di una rappresentazione non sia nien altro che il vettore direttore di un altra moltiplicato per uno scalare! 5

7 Esercizio Data la retta: r : x + y + 3z + 1 = 0 3x + y + z = 0 determinarne le equazioni parametriche. Soluzione In questo caso dobbiamo fare l inverso di quanto visto nell esercizio precedente, ovvero dobbiamo utilizzare il metodo di aggiunta dei parametri : r : x + y + 3z + 1 = 0 3x + y + z = 0 x + y + 3z + 1 = 0 r : 3x + y + z = 0 z = t x + y + 3t + 1 = 0 r : 3x + y + t = 0 z = t x + ( 3x t) + 3t + 1 = 0 r : y = 3x t z = t x 6x 4t + 3t + 1 = 0 r : y = 3x t z = t 5x t + 1 = 0 r : y = 3x t z = t 6

8 r : r : r : 5x = 1 t y = 3x t z = t x = t y = 3x t z = t x = t y = 3 ( t) t z = t r : r : r : x = t y = t t z = t x = t y = t z = t x 1/5 1/5 y = 3/5 + t 7/5 z 0 1 E così facendo l esercizio è svolto. 7

9 Esercizio 3 Dati i punti A = 3 1, B = 1 1 1, C =, 1 trovare le equazioni parametriche e l equazione cartesiana del piano π passante per i tre punti dati. Soluzione Trovare le equazioni parametriche di un piano passante per tre punti è molto simile a trovare le equazioni parametriche di una retta passante per due punti. Si ha infatti che il piano π ha come equazione parametrica vettoriale: π : P = A + α (B A) + β (C A), α, β R () Anche in questo caso, come per la retta, è indifferente che il vettore traslatore sia A, B oppure C: l importante è che sia un punto che appartiene al piano. Inoltre anche l ordine delle differenze tra vettori presenti nella () è indifferente. Quindi, passando alle equazioni parametriche vere e proprie: π : π : π : x y = 1 + α β 1, α, β R z 1 1 x 3 5 y = 1 + α 0 + β 1, α, β R z 1 3 x = 3 α 5β y = 1 + β z = α 3β Siccome abbiamo a che fare con un piano, per ottenere l equazione cartesiana del piano abbiamo ben parametri da dover esplicitare per poi sostituire nell unica equazione rimanente. Quindi: 8

10 π : π : x = 3 ( z 3β) 5 (y 1) β = y 1 α = z 3β x = 3 [ z 3 (y 1)] 5 (y 1) β = y 1 α = z 3β Trascuriamo le altre due equazioni, di cui non abbiamo più bisogno, e lavoriamo solamente con la prima: x = 3 [ z 3y + 3] 5y + 5 x = 8 [5 z 3y] 5y x = z + 6y 5y x = + z + y quindi l equazione cartesiana di π è data da: π : x y z + = 0 9

11 Esercizio 4 Dato il piano π : x + 3y + z + 1 = 0, determinarne le equazioni parametriche. Soluzione Mentre per passare dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane bisogna seguire il procedimento di eliminazione dei parametri, per fare l operazione contraria bisogna aggiungere dei parametri a partire dalle equaizioni cartesiane che si hanno. In questo caso abbiamo a che fare con un piano, che quindi è descritto da una sola equazione cartesiana. Nelle equazioni parametriche di un piano compaiono due parametri (solitamente li chiamiamo α e β); dobbiamo quindi aggiungere due parametri partendo dall equazione cartesiana. Ciò viene effettuato ponendo una tra le variabili x, y e z uguale a uno dei parametri da aggiungere. Anche in questo caso è più difficile dire come si fa che farlo: π : x + 3y + z + 1 = 0 π : π : π : π : x + 3y + z + 1 = 0 y = α z = β x + 3α + β + 1 = 0 y = α z = β x = 3α β 1 y = α z = β x 1 3 y = 0 + α 1 + β 0, z α, β R In questo caso abbiamo posto le variabili x e z rispettivamente uguali ai parametri α e β. Tuttavia nulla vietava di porre x = α e y = β o qualche altra combinazione. In questo esercizio qualsiasi combinazione è ammessa. Tuttavia non sempre è così. Nel caso in cui una variabile abbia già un valore fissato, per esempio nel caso del piano π : x + 1 = 0, si ha che x = 1 sempre, indipendentemente dai valori che assumeranno y e z. Si ha quindi che in questo caso, per ottenere le equazioni parametriche di π, non possiamo usare la x come variabile da porre uguale ad uno dei parametri tra α e β, in quanto non è vero che la x 10

12 varia al variare di α o di β! E bene tenere sempre a mente questa cosa, onde evitare di fare errori che facciano drizzare i capelli al professore... 11

13 Esercizio 5 Determinare il valore del prodotto scalare tra i vettori v = î + ĵ e u = î + ĵ. Soluzione Esistono due modi di procedere: il primo lavora sui vettori in sè, sfruttando la definizione di prodotto scalare u, v = u v cos θ; l altro modo invece lavora sulle coordinate dei due vettori dati secondo la formula u, v = xx + yy + zz. Proviamo entrambi i metodi. Metodo 1 In questo caso abbiamo che: [u] = ( ( 1, [v] = 1) ) v = = u = + = 8 = Quindi. u, v = cos θ Ora in teoria saremmo bloccati, in quanto non sappiamo nulla di quale sia il valore dell angolo θ compreso tra i due vettori. Tuttavia, dando una rapida occhiata ai due vettori, possiamo notare come entrambi appartengano alla stessa retta in quanto uno appartiene allo span dell altro. Infatti si ha che u = v. Quindi si nota ad occhio che l angolo compreso tra i due vettori è nullo, cioè pari a 0. Pertanto: u, v = cos 0 = 4 In questo caso siamo stati fortunati in quanto abbiamo potuto vedere ad occhio qual è l angolo compreso tra i due vettori; tuttavia ciò non accade praticamente quasi mai, ed è per tale motivo che è preferibile calcolare il prodotto scalare tra due vettori utilizzando la formula che vedremo tra poco che fa utilizzo delle coordinate dei vettori piuttosto che la definizione come in questo caso. Inoltre tale formula sarà anche l unica che ci permetterà di poter calcolare il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi appartenenti a R n, come vedremo quando arriveremo al capitolo 7. 1

14 Metodo In questo caso, avendo le coordinate dei due vettori, il loro prodotto scalare si calcola semplicemente in un passaggio come: u, v = = 4 13

15 Esercizio 6 Calcolare il prodotto scalare tra i vettori v = î + ĵ e u = 3î + 3ĵ. Soluzione Risolviamo questo esercizio usando entrambi i metodi come nel precedente. Metodo 1 In questo caso abbiamo: [u] = ( ( ) 1 3, [v] = 3 1) v = = u = 3 + ( 3 ) = = 1 = 3 Quindi. u, v = 3 cos θ = 6 cos θ Ci troviamo però di fronte ad un problema: non sappiamo quanto vale l angolo θ compreso tra i due vettori. Per poterlo determinare, dobbiamo prima calcolare gli angoli sottesi a ciascun vettore u e v e poi farne la differenza. Per una nota formula di trigonometria, si ha che: tan θ = sin θ cos θ Se si avesse una raffigurazione di tale situazione, disegnando un segmento che parte dalla punta del vettore e che cade perpendicolarmente sull asse delle ascisse, si ha che il vettore, l asse delle ascisse e tale segmento formano un triangolo rettangolo. Quindi si può facilmente intuire come: tan θ = sin θ cos θ = y x Ne consegue che: ( y θ = arctan x) 14

16 Quindi nel nostro caso: ( ) 1 θ u = arctan = π 1 4 ( ) 3 θ v = arctan = π 3 6 Quindi θ è uguale a: Quindi: θ = θ u θ v = π 4 π 6 = 6π 4π 4 = π 4 = π 1 u, v = 6 cos π 1 Tuttavia come possiamo ben notare cos (π/1) non sappiamo quanto vale, in quanto π/1 non è un angolo notevole. Possiamo quindi concludere che utilizzando tale metodo non sempre giungiamo a una soluzione numerica nel determinare il prodotto scalare tra due vettori. E per questo motivo che si utilizza il metodo che fa utilizzo delle coordinate dei vettori piuttosto che della definizione. Noi, quando possibile, d ora in poi useremo questo secondo metodo facente utilizzo delle coordinate dei vettori coinvolti. Metodo Tutto si può risolvere in una breve formula: u, v = = Come si può ben notare, al contrario di prima siamo giunti ad una soluzione numerica. 15

17 Esercizio 7 Dati i piani π 1 : x + 3y + z + 3 = 0 e π : x + 6y + 4z + 1 = 0, determinarne la posizione reciproca (cioè se sono paralleli, coincidenti o incidenti). Soluzione Siccome abbiamo le equazioni cartesiane dei due piani, conviene subito verificare se i due piani sono paralleli. Due piani infatti sono paralleli se il vettore normale di uno appartiene allo span del vettore normale dell altro. In altre parole, definiti: 1 n 1 = 3, n = 6, 4 dobbiamo verificare se: n 1 span (n ), ovvero se: 1 3 = α = α 3 = 6α = 4α α = 1 α = 3 6 = 1 α = 4 = 1 (3) Siccome abbiamo ricavato un valore univoco per il parametro α nel sistema (3), si ha che n 1 span (n ). Quindi i due piani sono paralleli. Tuttavia è necessario verificare se i piani, oltre ad essere paralleli, siano pure coincidenti, ovvero se le loro equazioni cartesiane rappresentino lo stesso piano. Per fare ciò, basta verificare che d 1 = (1/) d, in quanto come abbiamo visto prima il vettore normale di π 1 (che ha come coordinate i coefficienti delle variabili x,y e z) è legato a quello di π dalla relazione n 1 = (1/) n. Nel nostro caso abbiamo che d 1 = 3, d = 1 e quindi d 1 = 3d. Pertanto possiamo concludere che i due piani non sono coincidenti, ma solo paralleli. 16

18 Esercizio 8 Dati i piani π 1 : 3x + y + z + 1 = 0 e π : x + y + z + 3 = 0, determinarne la posizione reciproca (cioè se sono paralleli, coincidenti o incidenti). Soluzione Anche in questo caso, avendo già le equazioni cartesiane dei due piani, possiamo subito verificare se i due piani sono paralleli. Per fare ciò seguiamo lo stesso procedimento dell esercizio precedente: 3 1 n 1 =, n = 1, = α = α = α 1 = α α = 3 α = α = 1 Non vi è una soluzione univoca nel parametro α del sistema sopra mostrato: pertanto n 1 / span (n ). Ne consegue che i due piani non sono paralleli, e pertanto sono incidenti. 17

19 Esercizio 9 Date le rette: r 1 : r : x y 1 = 0 x z = 0 x y 1 = 0 y z 3 = 0 determinarne la posizione reciproca (cioè se sono parallele o incidenti e quindi complanari, oppure se sono sghembe). Soluzione Ci vengono fornite le equazioni cartesiane delle due rette; pertanto come prima cosa conviene controllare se le due rette sono incidenti, cioè se hanno un punto in comune. L eventuale punto in comune nel quale le due rette sono incidenti deve essere tale da soddisfare le equazioni cartesiane di entrambe le rette. Questo matematicamente parlando significa che il sistema costituito dall insieme delle equazioni cartesiane di entrambe le rette deve ammettere una soluzione univoca: x y 1 = 0 x z = 0 x y 1 = 0 y z 3 = 0 x y 1 = 0 x z = 0 y z 3 = 0 x = y + 1 x = z + z = y 3 x = y + 1 x = y 3 + z = y 3 x = y + 1 x = y 1 z = y 3 Tale sistema non ammette soluzioni in quanto la variabile x dovrebbe essere 18

20 contemporaneamente uguale a due valori diversi tra loro. Ne consegue che le due rette non sono incidenti. Dobbiamo quindi verificare se siano parallele, e quindi se vi è un piano che le contenga, oppure se sono sghembe. Per fare ciò, dobbiamo ottenere le equazioni parametriche di r 1 e r, così da poterne confrontare i rispettivi vettori Quindi direttori. r 1 : x y 1 = 0 x z = 0 r 1 : x y 1 = 0 x z = 0 x = t r 1 : t y 1 = 0 t z = 0 x = t r 1 : y = 1 z = t 1 v 1 = 1/ 1 r : r : r : r : v = x y 1 = 0 y z 3 = 0 y = t x t 1 = 0 t z 3 = 0 y = t x = 1 + t z = 3 + t x = 1 + t y = t z = 3 + t 1 Ora, avendo i vettori direttori delle rette, possiamo verificare se sono parallele. 19

21 In tal caso deve essere verificata la condizione v 1 span (v ): 1 1/ = α = α 1 = α 1 = α α = 1 α = 1 α = 1 Quindi v 1 span (v ) e le due rette sono parallele. 0

22 Esercizio 10 Date le rette: r 1 : r : x = 1 + 3t y = + t z = t x + y + z = 0 x + 3 = 0 determinarne la posizione reciproca (cioè se sono parallele o incidenti e quindi complanari, oppure se sono sghembe). Soluzione Verifichiamo come prima cosa se le due rette sono parallele. Per fare ciò, abbiamo bisogno di avere sottomano i vettori direttori di entrambe le rette: pertanto dobbiamo prima ricavare le equazioni parametriche della retta r : r : x + y + z = 0 x + 3 = 0 x = 3 r : y = t z = x y x = 3 r : y = t z = 6 t Quindi i vettori direttori delle due rette sono: 3 0 v 1 = 1, v = 1 1 Pertanto per poter verificare se sono parallele dobbiamo controllare se v 1 1

23 Span (v ): = α = 0 α = 1 α = Siccome tale sistema è palesemente non risolubile (di sicuro 3 = 0 è una uguaglianza non vera...), possiamo concludere che v 1 / Span (v ) e che le due rette non sono parallele. Quindi potrebbero essere incidenti oppure sghembe. Per verificare quale tra le due sia la posizione reciproca tra le rette, esistono due metodi e noi, per questioni didattiche, li utilizzeremo ambedue. Metodo 1 Ottengo le equazioni cartesiane di r 1 : x = 1 + 3t r 1 : y = + t z = t x = 1 + 3t r 1 : y = + t t = z x = z r 1 : y = + 1 z t = z x = r 1 : z y = + 1 z Moltiplico entrambe le equazioni per così da renderle più belle e facilmente leggibili: x = + 3z y = 4 + z x 3z = 0 y z 4 = 0

24 Per trovare l eventuale punto di intersezione P dobbiamo mettere in un unico sistema le equazioni cartesiane di r 1 e di r e verificare che vi sia una soluzione univoca: r 1 : x 3z = 0 y z 4 = 0 x + y + z = 0 x + 3 = 0 r 1 : x = 3 x 3z = 0 y z 4 = 0 x + y + z = 0 r 1 : x = 3 6 3z = 0 y z 4 = y + z = 0 r 1 : x = 3 3z = 8 z = y 4 y = 6 z r 1 : x = 3 z = 8 3 z = (6 z) 4 y = 6 z r 1 : x = 3 z = 8 3 z = 1 z 4 y = 6 z 3

25 r 1 : r 1 : x = 3 z = 8 3 3z = 8 y = 6 z x = 3 z = 8 3 z = 8 3 y = 6 z A questo punto ci fermiamo senza nemmeno calcolare il valore di y, in quanto abbiamo ottenuto due soluzioni diverse per z. Pertanto possiamo concludere che le due rette non hanno alcun punto in comune e quindi che sono sghembe. Metodo Prendiamo un generico punto su r 1 : x 1 + 3t P = y = + t, z t e sostituiamolo nelle equazioni cartesiane di r : (1 + 3t) + ( + t) + (t) = 0 r : (1 + 3t) + 3 = 0 + 6t + + t + t = 0 r : 1 + 3t + 3 = 0 (1 + 3t) + ( + t) + (t) = 0 r : (1 + 3t) + 3 = 0 + 6t + + t + t = 0 r : 1 + 3t + 3 = 0 9t = 4 r : 3t = 4 t = 4 r : 9 t = 4 3 Siccome non vi è una soluzione univoca in t, possiamo concludere che le due rette non sono incidenti e che quindi sono sghembe. 4

26 NB. Come si può ben notare, spesso è molto più comodo utilizzare questo metodo piuttosto che l altro per determinare se due rette sono incidenti... 5

27 Esercizio 11 Date la retta: e il piano: x = 3 + t r : y = + t z = 1 + t x = α π : y = β z = 5 α β determinarne la posizione reciproca (cioè se sono incidenti, se la retta è perpendicolare al piano, se sono paralleli oppure se la retta è contenuta nel piano). Soluzione Controlliamo per prima cosa se la retta e il piano sono paralleli, cioè se v Span (u 1, u ) r π =, dove v è il vettore direttore di r e Span (u 1, u ). v = 1 1 Riscriviamo il piano sottoforma di equazione parametrica vettoriale: x π : y = 0 + α 0 + β 1, α, β R z 5 1 Quindi: u 1 = 1 0, u =

28 Pertanto per verificare l eventuale parallelismo dobbiamo chiederci se v Span (u 1, u ): = α 0 + β = α 1 = β 1 = α β α = β = 1 1 = 4 1 = 5 F ALSO! Possiamo quindi concludere che il piano e la retta non sono paralleli senza nemmeno stare a controllare la condizione r π =. Possiamo provare a verificare se la retta è perpendicolare al piano. Per fare ciò abbiamo bisogno dell equazione cartesiana del piano: x = α π : y = β z = 5 α β z = 5 x y x + y + z + 5 = 0 n = 1 1 Quindi ci chiediamo: v Span (n)? 1 = t = t 1 = t 1 = t Si nota ad occhio che il sistema ammette la soluzione univoca t = 1. Quindi possiamo concludere che la retta r è perpendicolare al piano π. 7

29 Troviamo ora il punto di intersezione utilizzando il Metodo mostrato sulle slide che si possono trovare sulla pagina del sito di tutorato. Dobbiamo quindi scegliere un punto generico P appartenente a r e sostituirlo all interno dell equazione cartesiana di π così da poter ottenere una soluzione in t da sostituire all interno delle equazioni parametriche di r per ottenere il punto di intersezione cercato. Detta così può sembrar difficile: meglio passare ai calcoli: 3 + t P = + t 1 + t (3 + t) + ( + t) + ( 1 + t) + 5 = t + + t 1 + t + 5 = 0 6t + 1 = 0 t = Quindi, sostituendo il parametro t = all interno delle equazioni parametriche di r otteniamo il punto di intersezione cercato: 3 + ( ) P = + ( ) = = ( ) 1 3 8

30 Esercizio 1 1 Dato il punto P = e il piano π : x + y + 3z = 0, determinare la distanza 1 d (P, π) tra il punto e il piano. Soluzione Esistono due metodi per calcolare la distanza tra punto e piano. Metodo 1 Usiamo la formula: d (P, π) = ax P + by P + cz P + d a + b + c Quindi: d (P, π) = = = 7 14 = 7 14 Razionalizzando otteniamo: d (P, π) = = = = Metodo Se non ci si ricorda della formula usata nel Metodo 1, allora possiamo trovare la distanza tra il punto e il piano determinando le equazioni parametriche della 9

31 retta passante per il punto P e perpendicolare al piano π. Determinando poi il punto di intersezione tra tale retta e il piano, possiamo calcolare la distanza d (P, π) semplicemente come distanza tra tale punto di intersezione con il punto P. Trovare una rappresentazione parametrica per la retta r è molto semplice: r deve essere infatti perpendicolare a π e passante per P. Ne consegue che avrà come vettore direttore il vettore normale del piano: v = n = 1 3 Quindi le equazioni parametriche di r sono date da: r : r : x y = 1 + t 1, z 1 3 x = 1 + t y = + t z = 1 + 3t t R Troviamo quindi l intersezione tra r e π. Per fare ciò, utilizziamo il Metodo 3 mostrato sulle slide presenti sul sito del tutorato. Dobbiamo quindi prendere un punto generico della retta r: 1 + t P = + t, t R 1 + 3t e sostituirlo all interno dell equazione cartesiana di π: (1 + t) + ( + t) + 3 (1 + 3t) = 0 + 4t + + t t = 0 14t = 7 t = 1 Sostituendo t = (1/) all interno delle equazioni parametriche di r otteniamo il punto di intersezione cercato: 30

32 H = = = 1 + ( 1/) + ( 1/) ( 1/) 1 1 1/ 1 3/ 0 3/ 1/ Quindi possiamo calcolare la distanza tra il piano π e il punto P come la distanza tra il punti P e H: d (P, π) = d (P, H) = (x P x H ) + (y P y H ) + (z P z H ) ( = ( ) 1 ) = = 1 + ( ) ( ) 3 = = Siamo giunti allo stesso risultato ottenuto con la formula del Metodo 1 ; questo metodo è molto comodo quando non ci si ricorda più la formula precedentemente citata e inoltre fa ragionare di più su ciò che effettivamente si sta andando a fare... 31

33 Esercizio 13 Dati i punti: A = 1 1, B = 0 1 1, determinare: 1. d (A, B);. le equazioni parametriche della retta r passante per A e B; 3. il punto medio M tra A e B; 4. il punto P r tale che d (P, O) sia minima. Soluzione Punto (1) Per calcolare qual è la distanza tra A e B, basta fare utilizzo della formula: d (A, B) = (x A x B ) + (y A y B ) + (z A z B ) che nel nostro caso vuol dire: d (A, B) = (1 0) + (1 1) + ( ( 1)) = Punto () = 10 L equazione parametrica vettoriale della retta r passante per i due punti A e B è data dalla formula: r : P = A + t (B A), t R dove con la differenza B A calcoliamo il vettore direttore della retta, ( mentre A ) in questo caso indica di quanto è stata traslata la retta data da span OB OA rispetto all origine. Come già visto in precedenza, è da notare il fatto che come vettore traslatore potevamo usare sia B che A, in quanto è indifferente: l importante è che il punto 3

34 usato appartenga alla retta. Lo stesso discorso vale per il vettore direttore: è indifferente fare B A o A B: al massimo nel secondo caso si otterrà un vettore direttore che è l opposto di quello del primo caso, il quale però definisce pur sempre la stessa direzione. Nel nostro caso quindi abbiamo: r : x y = t z 1 r : x y = t 1 0 z 3 x = 1 t r : y = 1 z = 3t Punto (3) Per trovare il punto medio tra A e B, basta estendere quanto già si conosce riguardo al calcolo del punto medio tra due punti nel piano cartesiano. Ovvero il punto medio tra A e B sarè semplicemente dato dal vettore: Punto (4) M (A, B) = = = x A +x B y A +y B z A +z B / 1 1/ Per determinare qual è il punto della retta r che è più vicino all origine, basta effettuare un ragionamento molto semplice. Se noi infatti consideriamo una retta ν passante per l origine O e perpendicolare alla retta r, allora si ha che l intersezione tra le due rette corrisponde al punto P da noi cercato. Infatti, se ci immaginiamo quanto appena descritto, la retta ν, essendo perpendicolare a r e passando per O e per P, definisce il cammino più breve che collega i due punti O e P. Una volta determinate le coordinate di P basta determinarne la sua norma (cioè il modulo) per sapere qual è la distanza minima tra l origine e la retta r. Quello appena indicato è un ragionamento valido in generale quando bisogna calcolare la distanza minima tra una retta e un punto qualsiasi (anche 33

35 diverso dall origine O). Tuttavia in questo caso, dato che abbiamo a che fare con l origine, è possibile semplificare ulteriormente tale ragionamento. Possiamo infatti limitarci a trovare un punto della retta r che sia perpendicolare al suo vettore direttore: tale punto corrisponderà infatti al punto P da noi cercato. Non è quindi nemmeno necessario trovare prima le equazioni parametriche di ν. Questo è possibile solo perché il punto dal quale vogliamo calcolare la distanza minima dalla retta è l origine; in caso contrario sarebbe stato necessario sviluppare per intero il ragionamento inizialmente fatto. Quindi, prendiamo un generico punto appartenente alla retta r: 1 t P = 1, 3t affinché tale punto sia perpendicolare al vettore direttore della retta; il loro prodotto scalare deve essere nullo. Il vettore direttore della retta è dato da: v = 1 0, 3 quindi: OP, v = (1 t) ( 1) ( 3t) ( 3) = 0 t t = 0 t = 7 10 quindi il punto da noi cercato è dato da: 1 7/10 P = 1 1/10 3/10 = 1 1/10 Quindi la distanza minima della retta dall origine è data da: min (d (P, O)) = ( 3 OP = ) + ( 1 ) =

36 Esercizio 14 (Prova d esame del 18/09/013, es. n 5) ( Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R O, î, ĵ, ˆk ), si considerino il piano π : x + y z = 0 e il punto A = 1. 1 (a) Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per l origine e per il punto A (b) Determinare l equazione cartesiana del piano π per A parallelo a π (c) Determinare l intersezione P del piano π con l asse O z (d) Determinare la proiezione ortogonale A del punto A su π (e) Determinare l area del triangolo OAA Soluzione Punto (a) La retta in forma parametrica vettoriale è data da: r : P = P 0 + tv, v = (P 1 P 0 ), dove P 0 e P 1 sono i punti da cui passa. Nel nostro caso quindi abbiamo: r : P = 0 + t (A 0) r : r : x 0 0 y = 0 + t 1 0, z x = t y = t z = t t R 35

37 Dalle equazioni parametriche possiamo ottenere le equazioni cartesiane: x = t r : y = t z = t t = y r : x = t z = t t = y r : x = y z = y x y = 0 r : y + z = 0 Punto (b) Il piano π deve essere parallelo al piano π, quindi deve avere lo stesso vettore normale di quest ultimo: 1 n π = n π = 1 Quindi possiamo scrivere: π : ax + by + cz + d = 0 π : (1) x + () y + ( 1) z + d = 0 π : x + y z + d = 0 (4) L equazione cartesiana di π è tuttavia incompleta, in quanto resta ancora da determinare il parametro d. Tuttavia il piano, come chiesto dal testo dell esercizio, deve contenere anche il punto A. Quindi le coordinate del punto A, affinché questo appartenga al piano, devono soddisfare l equazione (4). Pertanto possiamo determinare il valore di d imponendo che il piano contenga il punto A, ovvero sostituendo le coordinate di A nell equazione cartesiana di π e risolvendo l equazione in d: 36

38 π : () + (1) ( 1) + d = d = 0 d = 5 Quindi l equazione cartesiana di π è: Punto (c) π : x + y z 5 = 0 Possiamo trovare la soluzione a questo quesito utilizzando due metodi. Metodo 1 Determiniamo una parametrizzazione di O z (ovvero dell asse z), cioè cerchiamo di dare una definizione parametrica all asse z, che non è nient altro che una retta passante per l origine, e che può essere scritta nel modo seguente: x 0 O z : y = t 0, t R z 1 x = 0 O z : y = 0 z = t Ora, utilizzando il Metodo mostrato sulle slide di teoria, prendiamo un generico punto appartenente alla retta O z : P = 0 0, t e lo sostituiamo nell equazione cartesiana di π; t 5 = 0 t = 5 Sostituendo il valore di t trovato all interno delle equazioni parametriche di O z otteniamo: 37

39 Metodo B = In questo caso semplicemente imponiamo nell equazione cartesiana il passaggio per l asse z. Quest ultimo infatti è caratterizzato dal fatto che qualsiasi punto che gli appartiene ha x = y = 0. Sostituendo tali valori all interno dell equazione cartesiana del piano, possiamo ricavare qual è il valore z del punto di intersezione tra l asse e il piano: z 5 = 0 z = 5 e quindi: Punto (d) B = Per determinare la proiezione ortogonale di A su π, devo determinare prima una rappresentazione (cartesiana o parametrica) della retta r passante per il punto A e perpendicolare al piano π; la proieizone ortogonale di A su π sarà quindi data dal punto di intersezione di tale retta con il piano. Quindi, tenendo conto che r ha come vettore direttore il vettore normale del piano π (in quanto è perpendicolare a quest ultimo), si ha che: r : P = A + n π t, t R r : x y z = + t = 1 + t = 1 t Quindi troviamo l intersezione tra la retta e il piano utilizzando il Metodo mostrato nelle slide di teoria. Quindi prendiamo un generico punto appartenente alla retta: + t P = 1 + t 1 t 38

40 E lo sostituiamo nell equazione cartesiana del piano π: ( + t) + (1 + t) ( 1 t) = 0 + t + + 4t t = 0 t = 5 6 Sostituendo il valore trovato di t nelle equazioni parametriche della retta r otteniamo: A = = 5/6 1 10/ /6 7/6 /3 1/6 che è la proiezione ortogonale di A su π. Punto (e) Per determinare l area del triangolo OAA dobbiamo procedere per passi. La costruzione geometrica a cui giungeremo al termine di tale procedimento è rappresentato nella figura 1. Come vedremo alla fine dell esercizio, per questo particolare caso che ci troviamo ad affrontare non è del tutto necessario effettuare tutti i calcoli che effettivamente andremo a fare, in quanto esiste una via più breve. 39

41 z A O π k x A y v Figura 1: La costruzione geometrica utilizzata per ottenere l area del triangolo OAA. Come vedremo più avanti nel corso dell esercizio, tale costruzione geometrica non è necessaria nel caso preso in esame. 1. Determiniamo il piano π passante per OAA. z O A π x A y Figura : Il piano π passante per OAA. 40

42 Quindi: π : P = 0 + α (A 0) + β (A 0) π : x y z = α β = α 3 β = α 1 6 β In equazioni cartesiane: π : π : π : π : π : x = α β y = α 3 β α = z 1 6 β x = z 1 3 β β y = z 1 6 β 3 β α = z 1 6 β x = z β y = z 5 6 β α = z 1 6 β x = z β β = 6 5 y 6 5 z ( x = z y 6 5 z) β = 6 5 y 6 5 z π : x = z y z π : x + y + 3z = 0. Determiniamo le equazioni della retta v passante per A, A : 41

43 z A O x A y v Figura 3: La retta v passante per A e A. v : P = A + t (A A ), t R v : v : x = + ( 6) 7 t y = 1 + ( 1 + 3) t z = 1 + ( 1 + 6) 1 t x = t y = t z = t In equazioni cartesiane: v : v : t = 6 5 x 1 5 y = t z = t t = 6 5 x 1 ( 5 y = x ) 1 ( 5 z = x ) 1 5 4

44 v : v : y = 1 + x 4 z = 1 x + x y 3 = 0 x + z 1 = 0 3. Determiniamo come deve essere il vettore direttore della retta k affinché la retta sia contenuta nel piano π. Se indichiamo con: a v k = b, c affinché la retta appartenga al piano deve essere verificata la condizione: v k n = v k, n π = 0 cioè: a + b + 3c = 0 a = 3c b Quindi: 3c b v k = b c e possiamo scrivere le equazioni parametriche di k nella forma: x 0 3c b k : y = 0 + t b, t R z 0 c x = ( 3c b) t k : y = bt z = ct dove saggiamente abbiamo scelto l origine come vettore traslazione, in quanto l unico punto conosciuto della retta k è, appunto, l origine. 43

45 4. Impongo la condizione che i vettori direttori di v e k siano ortogonali (in quanto le rette sono ortogonali tra loro) e quindi: v k v v = v k, v v = 0 cioè: 5 6 ( b 3c) b 5 6 c = 0 Da questa condizione ricaviamo che: 5b 15c + 10b 5c = 0 b = 4c che sostituito nelle equazioni parametriche di k ci da: x = ( 3c 4c) t k : y = 4ct z = ct x = 7ct k : y = 4ct z = ct Ora è indifferente il valore che diamo a c, in quanto al variare di c il vettore direttore scelto indicherà sempre la stessa direzione. Quindi scegliamo per comodità c = 1 ottenendo: x = 7t k : y = 4t z = t 44

46 z A O k x A y Figura 4: La retta k passante per l origine O, appartenente al piano π e perpendicolare alla retta v. 5. Troviamo il punto di intersezione H tra v e k, utilizzando il Metodo mostrato sulle slide per verificare se due rette sono incidenti. Quindi prendiamo un punto generico appartenente alla retta k: 7t P = 4t, t sostituiamolo nelle equazioni cartesiane della retta v: 14t 4t 3 = 0 v : 7t + t 1 = 0 18t = 3 v : 6t = 1 t = 1 v : 6 t = 1 6 Sostituendo tale valore di t all interno delle equazioni parametriche di k 45

47 otteniamo: H = H = 7 ( 1/6) 4 ( 1/6) 1/6 7/6 /3 1/6 Notiamo come il punto H coincida con il punto A ; come vedremo alla fine dell esercizio, ciò non è affatto dovuto ad una semplice casualità Determiniamo l area del triangolo: base = OA OA = (5/6) + (5/3) + ( 5/6) 5 = = = 6 altezza = OH 0 = (7/6) + ( /3) + ( 1/6) 49 = = 6 base altezza Area = = = NB. In realtà avremmo potuto calcolare l area del triangolo OAA con i soli dati di cui disponevamo in partenza. Infatti, come si può in parte notare dalla figura 1, abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo! Questo vuol dire che due dei suoi lati sono già la base e l altezza del triangolo, che quindi non vanno nemmeno calcolate. 46 6

48 In particolare infatti notiamo che se prendiamo il lato AA, rappresentato dal vettore: 7/6 5/6 OA OA = 1 + /3 = 5/3, 1 + 1/6 5/6 e ne facciamo il prodotto scalare con il lato OA = OH otteniamo: OA, OA OA = = 0, ovvero i due lati sono perpendicolari e l angolo tra loro compreso è di 90 : il triangolo è quindi rettangolo. Quindi la morale della favola è: se al prossimo appello vi viene chiesto di calcolare l area di un triangolo, verificate prima di tutto se avete a che fare con un triangolo rettangolo: una risposta positiva a tale domanda può portarvi a risolvere il problema risparmiando una gran quantità di calcoli e, soprattutto, di tempo... 47