Pigreco-Day 14 marzo 2014 Matematica e Incertezza Imparare a conoscere i possibili errori che si commettono in situazioni di incertezza per evitare di fare scelte sbagliate e dare giudizi errati. PasquiniIlaria 5 a sez. A Melchiorre Simone 5 a sez. C Liceo Scientifico G. Galilei Lanciano
ESEMPIO 1) TEORIA DELLA PROBABILITA CONDIZIONALE A= UN UOMO E MALATO DIMENTE B = UN UOMO CREDE CHE SUA MOGLIE GLI LEGGA NEL PENSIERO P(A B)= PROBABILITA CHE SE UN UOMO CREDE CHE SUA MOGLIE GLI LEGGA NEL PENSIERO, EGLI SIA MALATO DI MENTE P(B A)= PROBABILITA CHE SE UN UOMO E MALATO DIMENTE, EGLI CREDA CHE SUA MOGLIE GLI LEGGA NEL PENSIERO
ESEMPIO 2 ) A = IL FIDANZATO MENTE SULLE SUE ATTIVITA SERALI B = IL FIDANZATO HA UNA RELAZIONE EXTRACONIUGALE P(A B)= PROBABILITA CHE SE UN FIDANZATO HA UNA RELAZIONE, EGLI MENTA SULLE SUE ATTIVITA SERALI P(B A)= PROBABILITA CHE SE UN FIDANZATO MENTE SULLE SUE ATTIVITA SERALI, EGLI ABBIA UNA RELAZIONE RAGIONAMENTO DELLA FIDANZATA la probabilità che il mio fidanzato menta sulle sue attività serali è più alta se ha una relazione extraconiugale, quindi IL MIO FIDANZATO HA UNA RELAZIONE EXTRACONIUGALE HA CONFUSO LE DUE PROBABILITA!!
come cambia la probabilità di un evento se è preceduto da condizioni 1) Problema delle figlie MA come CONDIZIONE UNA E FEMMINA 1 3
2) Problema della bambina di nome Rebecca = Rebecca MA come CONDIZIONE UNA SI CHIAMA REBECCA 1 2
3) Test per l HIV e errori medici Lei è risultato positivo al test dell HIV, ha 9990 possibilità su 10000 di morire entro 10 anni.! Il medico NON sta riferendo una STATISTICA errata, MA ciò che sta riferendo NON è CONSONO alla SITUAZIONE 10 su 10000 sono i campioni di sangue positivi al test dell HIV che in realtà non sono affetti da HIV. Il medico sta facendo CONFUSIONE A: Non sono realmente sieropositivo B: Sono positivo ai test P(A B) P(B A)
-Analizziamo la situazione 1) Definiamo lo spazio campionario -Uomini bianchi eterosessuali 2) Individuiamo le 4 categorie in cui può essere diviso lo spazio campionario a. Positivi al test e sieropositivi (veri positivi) b. Positivi al test e non sieropositivi (falsi positivi) c. Negativi al test e sieropositivi (falsi negativi) d. Negativi al test e non sieropositivi (veri negativi) 3) In un gruppo di 10000 persone nel 1989 a. 1 su 10000 è sieropositivo e positivi al test b. 10 su 10000 (della slide precedente) falsi positivi c. 0 su 10000 falsi negativi d. 9989 su 10000 sono sani Tra tutti i coloro risultati positivi al test(10+1=11 su 10000) solo 1 su 11 è realmente affetto dall HIV. Il dottore non avrebbe dovuto dire che il paziente aveva 9990 possibilità di morire su 10000 ma avrebbe dovuto dire che anche se positivo al test aveva 10 possibilità su 11 di essere comunque sano
Per valutare la validità di un test dobbiamo considerare la reale incidenza della malattia NB. In un test il tasso di falsi positivi è costante In un gruppo sociale troviamo: 1) MASCHI BIANCHI 1/10000 vero positivo ETEROSESSUALI 10/10000 falsi positivi 1 su 11 possibilità di essere malati 2) MASCHI BIANCHI 100/10000 vero positivo OMOSESSUALI 10/10000 falsi positivi 10 su 11 possibilità di essere malati
4) Bayes in tribunale La probabilità che i due bambini siano morti di SIDS è 1 su 73milioni, dunque lei è accusata di duplice omicidio! Si presenta un altra volta un errore di INVERSIONE. L avvocato sta facendo confusione A: bambini affetti da SIDS P(A B) P(B A) B: bambini morti Qualche anno dopo la ROYAL STATISTICAL SOCIETY affermò che la sentenza non era basata su dati statistici esatti infatti: -la PROBABILITA che 2 fratelli (e non due estranei) muoiano di SIDS è più alta di 1 su 73 milioni -tale probabilità risulta essere 9 volte superiore a quella che 2 fratelli siano stati uccisi dalla madre
5) Torniamo all inizio Applichiamo il TEOREMA DI BAYES per risolvere il problema di MONTY HALL -consideriamo i 3 scenari possibili se il giocatore non cambiasse e quelli se egli cambiasse ogni volta Scegli una porta Scegli una porta con la capra Scegli una porta con la capra Scegli una porta con la macchina non cambi cambi non cambi cambi non cambi cambi Vinci la capra Vinci l auto Vinci la capra Vinci l auto Vinci l auto Vinci la capra 1 3 POSSIBILITA DI VINCITA 2 3
SE NON CONSIDERIAMO LE PREMESSE 50 e 50? Dopo che il conduttore apre una porta rimangono solo 2 porte dunque ho apparentemente il 50% di probabilità di vincere SE CONSIDERIAMO LE PREMESSE - il conduttore fa scegliere una porta - Il conduttore apre una porta perdente - il conduttore offre il cambio della porta Dopo che il conduttore apre una porta perdente rimangono solo 2 porte e se cambio, le probabilità di vincita sono del 66%.
Spunti e informazioni tratti da: Leonard Mlodinov, La Passeggiata dell Ubriaco Le leggi scientifiche del caso,