Corso di MIUE E CONTOLLI IDAULICI TUMENTI E LA MIUA DELLE VELOCITÀ CHE I BAANO ULL EFFETTO DOLE a ura di Andrea DEFINA Lua CANIELLO
EFFETTO DOLE 3 Eetto Doppler L eetto Doppler (J.C.A. Doppler 83-853) è l apparente ariazione della requenza di un onda perepita da un osseratore in moto relatio rispetto alla sorgente. Nel aso di onde sonore, he neessitano di un mezzo nel quale propagarsi (aria, aqua), è importante distinguere se è la sorgente o l osseratore a spostarsi. Nel aso di onde he non rihiedano un mezzo per propagarsi (lue) tale distinzione non è più neessaria ma insorgono alune ompliazioni legate alla relatiità del tempo. Onde austihe. Nel aso in ui sia la sorgente he l osseratore sono ermi rispetto al mezzo di trasmissione dell onda austia (Figura.a), le aratteristihe dell onda emessa: lunghezza, elerità di propagazione, e requenza =/, engono perepite immutate dall osseratore. Figura. Consideriamo il aso in ui sia la sorgente a muoersi on eloità erso l osseratore ome illustrato in Figura.b. L osseratore perepirà un onda sonora he iaggia anora on elerità ma è aratterizzata da una lunghezza d onda ridotta = - /. Oero perepirà l onda sonora on una requenza apparente data da: Quando inee è l osseratore a muoersi on eloità erso la sorgente la situazione risulta del tutto analoga a quella illustrata in Figura.a e l osseratore perepise immutata la lunghezza d onda ( = ). In tal aso, però, i è un apparente ariazione della elerità di propagazione he dienta =+. La requenza perepita dall osseratore sarà quindi: ()
EFFETTO DOLE 4 / ' (2) Nel aso in ui sia «, le due preedenti espressioni tendono a oinidere. In partiolare la () può essere siluppata ome segue: 2 (3) Nel seguito, aremo uso di questa orma approssimata he onsente di eitare la distinzione tra il moto della sorgente da quello dell osseratore. Onde elettromagnetihe. Nel aso di un onda elettromagnetia (lue) he iaggia on elerità indipendente dal mezzo al ontrario di un onda austia, la preedente distinzione non è più neessaria ma è neessario onsiderare gli eetti della dilatazione del tempo desritti dalla teoria della relatiità (eetto Doppler relatiistio). er le onde austihe, inatti, abbiamo taitamente assunto he il tempo misurato da un orologio solidale on la sorgente sorra on la stessa eloità del tempo misurato dall orologio in possesso dell osseratore. La teoria della relatiità i die he questo non è ero, e he in realtà per l osseratore le lanette dell orologio assoiato alla sorgente sembrano ruotare più lentamente. Una olta he questo eetto sia tenuto in onsiderazione, otteniamo la ormula relatiistia per l eetto Doppler. Dalle preedenti relazioni, in partiolare dall equazione (2), il periodo T =/ dell onda perepita dall osseratore ale: / T (4) er eetto della dilatazione temporale, però, l osseratore misurerà un periodo T =T /, essendo: 2 / (5) i arà quindi: / / / / T' 2 (6)
EFFETTO DOLE 5 iluppando la preedente espressione in serie di Taylor in un intorno di /=, la stessa, omunque, si ridue alla preedente equazione (2).. rinipio di unzionamento degli strumenti per la misura delle eloità nei luidi Generalità. Gli strumenti per la misura della eloità in un luido he si basano sull eetto Doppler, sruttano la presenza, nel luido, di partielle (limi, miroalghe, e.) he engono trasportati in sospensione dalla orrente e sono animati pratiamente dalla stessa eloità del luido. Gli strumenti, inatti, misurano la eloità di queste partielle e non quella del luido. Consideriamo la situazione illustrata in Figura.2: un sorgente emette un onda di requenza s e lunghezza s erso una partiella, immersa in un ampo luido animato da eloità diretta erso la sorgente. Figura.2 In base all equazione (2), la requenza perepita dalla partiella ale: (7) Il segnale he raggiunge la partiella iene in parte rilesso erso la sorgente. In altre parole la partiella dienta a sua olta una sorgente he emette un segnale di requenza diretto erso. e la sorgente unge anhe da rieitore (Figura.2, in basso), in base all equazione (3), la requenza perepita da ale:
6 EFFETTO DOLE 2 (8) La dierenza tra le requenze del segnale rieuto ed emesso è detta requenza Doppler e, utilizzando anora l ipotesi: «, ale: D 2 2 2 2 (9) 2 Dalla preedente relazione si eine immediatamente he, nota la lunghezza d onda del segnale emesso e misurata la requenza Doppler D, è possibile determinare la eloità della partiella e quindi la eloità del luido. Figura.3 Immaginiamo ora he la partiella si sposti lungo una direzione normale a quella del segnale emesso (Figura.3, a sinistra). In tal aso la requenza perepita dalla partiella oinide on la requenza del segnale originario. Ne onsegue he anhe = e la requenza Doppler è nulla. In base alla (9), questo strumento segnala quindi una eloità nulla della partiella. In altre parole, questo strumento (ostituito da una sola sorgente e da una sola rieente oinidenti) è in grado di misurare solo la omponente della eloità nella direzione della ongiungente la partiella alla stazione sorgente/rieente. In partiolare, on rierimento alle indiazioni riportate in Figura.3, si ha: D os( ) 2 () Un ulteriore problema legato al posizionamento della rieente in oinidenza della sorgente () è determinato dal atto he lungo il perorso del segnale emesso dalla sorgente sono presenti dierse partielle, poste a dierenti distanze dalla sorgente, ognuna delle quali rilette parzialmente il segnale. In tal modo resta indeterminato il punto in ui si eettua la misura (Figura.4, a sinistra).
EFFETTO DOLE 7 Figura.4 Inine, un altra ompliazione è data dal atto he il segnale emesso, raggiunta una partiella, iene in parte trasmesso, in parte riratto e solo una modesta razione iene rilessa (Figura.4, a destra). rima di edere ome sono risolti nella pratia i problemi su menzionati, ormuliamo il legame tra la eloità del luido e la requenza Doppler in modo più generale assumendo he la sorgente e il rieitore non siano oinidenti. Con rierimento alle indiazioni riportate in Figura.5, la requenza perepita dalla partiella, in base all equazione (2), ale: n () in ui n è il ersore he indiidua la direzione della ongiungente la sorgente e il punto di misura. i a notare he il segno meno he ompare nella () a dierenza della (2) è legato all uso della notazione ettoriale. Essendo e n non equiersi, seondo lo shema di Figura.5 il loro prodotto salare risulta inatti negatio. Analogamente, la requenza del segnale rilesso dalla partiella e perepita dal rieente, in base alla (3) ale: n (2) in ui n è il ersore he indiidua la direzione della ongiungente il rieente e il punto di misura.
EFFETTO DOLE 8 Figura.5 Nel omplesso, quindi, la requenza Doppler ale: ) ( D n n n n n n n n (3) Essendo i n n ) 2 2 sen( (4) l equazione (3) può essere sritta nella seguente orma i D ) 2 2 sen( (5) in ui i è il ersore he indiidua la direzione bisettrie dell angolo. Lo strumento illustrato in Figura.5 è quindi in grado di misurare la omponente della eloità nella direzione indiiduata dal ersore i. E da osserare he il rieitore è predisposto per perepire solo il segnale proeniente da una speiia direzione (n ) diersa da quella del segnale emesso (n ). In tal aso è unioamente indiiduato il punto (olume) di misura. Alla lue di quanto appena isto appare eidente ome il problema relatio alla indeterminatezza del punto di misura risulta risolto mantenendo distinte la sorgente e la
EFFETTO DOLE 9 rieente. i osseri tuttaia ome, nella pratia, il segnale elaborato dal rieente è quello rilesso non da una sola partiella ma da tutte le partielle ontenute nel osiddetto olume di misura (Figura.4, a destra). Tale olume, tuttaia, è normalmente piolo e tale da poter assumere uniorme la eloità del luido al suo interno. Come edremo meglio in seguito, l aggiunta di ulteriori rieenti onsentirà di determinare non più solo una omponente della eloità (i.e. lungo il ersore i di Figura.5) ma le due omponenti in un piano (usando 2 rieenti) o le tre omponenti nello spazio (usando 3 rieenti). imane anora da ommentare il problema legato all intensità del segnale he raggiunge la singola rieente he, per quanto messo in lue in preedenza (edi Figura.4, a destra) può risultare, in generale, sensibilmente attenuato rispetto al segnale emesso dalla sorgente in unzione anhe dalla densità di partielle trasportate in sospensione dalla orrente. Questo problema iene usualmente risolto ampliiando on opportuni dispositii il segnale di ritorno.
TUMENTI DI MIUA 2 trumenti di misura basati sull eetto Doppler 2. Anemometro laser Doppler (LDA: Laser Doppler Anemometer). L anemometro laser Doppler (LDA dall inglese Laser Doppler Anemometer) è, a olte indiato anhe on il nome di eloimetro laser Doppler (LDV dall inglese Laser Doppler Veloimeter). Lo shema dell anemometro laser Doppler per la misura di una omponente della eloità è illustrato in Figura 2.. Figura 2. Una sorgente di lue laser emette un onda di requenza nota. Il raggio luminoso iene diiso in due raggi paralleli he sono suessiamente deiati erso il punto oale di una lente he iene a rappresentare il olume di misura. Di atto, in orrispondenza a quest ultima è ome se ossero presenti due distinte sorgenti e 2. La requenza Doppler relatia al segnale emesso dalla sorgente, letta al otomoltipliatore, in base all equazione (3), ale D ( n n ) (6) Analogamente, la requenza Doppler relatia al segnale emesso dalla sorgente 2 e letta al otomoltipliatore ale D2 ( n2 n ) (7) La dierenza tra le due requenze Doppler può essere espressa ome segue 2sin( ) ( n n2 ) D D2 2sin( ) i 2 i (8) 2
TUMENTI DI MIUA Esiste quindi un legame lineare tra la requenza D - D2 letta al otomoltipliatore e la omponente della eloità in direzione perpendiolare a quella del asio luminoso emesso dalla sorgente laser. Tale legame non dipende dalla posizione del otomoltpliatore. Nella pratia, però, sussistono due problemi. Il primo è he il rieente non è in grado di distinguere il segno della dierenza D - D2. Il seondo è legato al atto he non è ageole misurare eloità prossime allo zero ui orrispondono alori di D - D2 anh essi prossimi a zero. er illustrare il primo problema assumiamo he il segnale rileato dal otomoltipliatore e proeniente dalla sorgente dopo la rilessione prodotta dalle partielle sia esprimibile mediante una unzione armonia semplie s a sin( t) (9) Analogamente, il segnale determinato dal asio luminoso proeniente dalla sorgente 2, aratterizzato da una requenza leggermente diersa sia s2 a sin( 2 t) (2) In ui le pulsazioni sono legate alle requenze dalla relazione: =2, risulta pertanto ( ) 2( ) 2( ) (2) 2 2 2 2 D D2 Il segnale s he giunge al otomoltipliatore è la sorapposizione dei due preedenti, oero s 2 2 s s2 2a sin( t) os( t) (22) 2 2 i tratta di un segnale modulato (edi Figura 2.2) he iene rileato dal otomoltipliatore ed elaborato per determinarne le aratteristihe
2 TUMENTI DI MIUA Figura 2.2 E da osserare, per la proprietà della unzione oseno, he se nella (22) si sostituise 2 - a - 2, il segnale resta inariato. In altre parole non è possibile rionosere il segno di D - D2 (edi Figura 2.3a sinistra). Inoltre per eloità prossime a zero (e quindi per dierenze di requenza D - D2 prossime a zero) è neessario attendere un tempo T estremamente lungo per rionosere il segnale e determinarne le aratteristihe. Figura 2.3 er oiare a questi inonenienti iene introdotto un ritardo di ase mediante la ella di Bragg. Mediante questa traslazione nelle requenze lette dal otomoltipliatore è possibile sia distinguere il segno della eloità, sia misurare eloità nulle. In tal aso il legame tra la requenza letta a otomoltipliatore e la eloità è indiato in Figura 2.3 (a destra). La dierenza D - D2 da utilizzare nell equazione (8) è data dalla dierenza. In questo modo, quando la requenza del segnale oinide on lo sasamento la eloità è nulla. er requenze superiori la eloità è positia mentre per requenze ineriori la eloità è negatia.
TUMENTI DI MIUA 3 2.2 Anemometro ad ultrasuoni (ADV: Aousti Doppler Veloimeter). Lo shema dell anemometro ad ultrasuoni per la misura di due omponenti della eloità è illustrato in Figura 2.4. Lo strumento è dotato di una stazione emittente () entrale e di alune stazioni rieenti ( i ), tante quante sono le omponenti di eloità da misurare. Utilizzando l equazione (5) on rierimento alla generia oppia - i è possibile alutare la omponente della eloità nella direzione indiiduata dal ersore i i. Essendo isse e note le posizioni delle dierse stazioni, mediante semplii relazioni trigonometrihe è possibile proiettare le omponenti di eloità osì determinate lungo preissati assi ortogonali. Figura 2.4 Nel aso di due rieenti (edi Figura 2.4) è possibile pertanto ottenere della eloità in un piano indiiduato dalla sorgente e dalle due rieenti. Nel aso di tre rieenti è inee possibile ottenere le tre omponenti della eloità nello spazio (Figura 2.5). Figura 2.5
4 TUMENTI DI MIUA 2.3 roilatore di eloità ad ultrasuoni (ADC: Aousti Doppler Current roiler) Un ADC tridimensionale usa quattro raggi (beams) per riostruire le tre omponenti della eloità più un inormazione addizionale ridondante ma non per questo inutile. rima di passare a desriere il prinipio di unzionamento di questo dispositio è opportuno sottolineare l assunzione ondamentale he sta alla base della misura tramite ADC, oero he la orrente dee potersi ritenere uniorme per strati di proondità ostante. Figura 2.6 In Figura 2.6 è riportata la oto di un ADC. Gli elementi sensibili del dispositio (sorgenti e rieenti ) sono posti in orrispondenza dei dishi isibili nella parte alta del dispositio osì ome mostrato nella oto. er eettuare la misura lo strumento iene immerso nel luido on gli elementi sensibili posti generalmente erso il basso (anhe se possono realizzarsi installazioni in ui lo strumento, ompletamente immerso, iene posto orizzontalmente al ine di misurare il proilo trasersale della orrente, o posizionato sul ondo e riolto erso l alto). Oltre alle installazioni isse è molto requente, per l uso durante ampagne saltuarie e itineranti, montare l ADC su imbarazioni dotate di motore (Figura 2.7) o su pioli atamarani he engono mossi a mano (Figura 2.). In tali asi il dispositio è orredato anhe di un G he onsente di olloare geograiamente in modo preiso le misure eettuate. Opportuni sotware onsentono di alutare il moto dell imbarazione e, pertanto, di orreggere la misura da tale disturbo.
TUMENTI DI MIUA 5 Figura 2.7 Figura 2.8 Ogni singolo raggio (beam) orientato in una speiia direzione risulta sensibile ad una diersa omponente della eloità. eondo quanto isto in preedenza relatiamente ad uno strumento ostituito da una sola sorgente e da una sola rieente oinidenti (edi Figura.2 e Figura.3) esso è, inatti, in grado di misurare solo la omponente della eloità nella direzione della ongiungente la partiella on la sorgente/rieente. Figura 2.9
6 TUMENTI DI MIUA In Figura 2.9 è riportato lo shema he permette di apire ome, utilizzando un ACD a due raggi, si possano riostruire le due omponenti della eloità nel piano indiiduato dai raggi stessi: lo strumento misura le due omponenti della eloità lungo i due raggi ( e 2 rispettiamente edi Figura 2.9a); essendo nota l inlinazione dei due raggi è possibile riostruire il ettore eloità (Figura 2.9b); è possibile riaare, inine, le due omponenti della eloità ( x, z ) seondo le direzioni degli assi ortonormali di rierimento (Figura 2.9). Dallo shema di Figura 2.9 permette di eidenziare ome le due omponenti di eloità misurate dallo strumento si rierisano a due punti distinti nello spazio ( e 2 in Figura 2.9) he hanno in omune solo la distanza dallo strumento, oero la medesima proondità all interno del ampo luido se, ome solitamente aade, lo strumento è immerso ertialmente poo al di sotto della superiie libera. Da iò risulta hiaro il motio per ui è neessario introdurre l assunzione ondamentale riportata in preedenza oero he la orrente dee potersi ritenere uniorme per strati di proondità ostante. Tornando al aso più generale dell ADC tridimensionale (Figura 2.6) tre oppie di sensori sarebbero strettamente neessari per riostruire le tre omponenti della eloità nello spazio. L uso di un quarto sensore, ome aentato in preedenza, onsente di aggiungere un inormazione addizionale ridondante oero onsente di stimare la osiddetta error eloity ome dierenza tra due dierse stime della omponete ertiale della eloità. La stima della error eloity onsente di eriiare la orrettezza dell assunzione relatia all uniormità della eloità nello spazio ampionato on le misure. Qualora error eloity non sia trasurabilmente piola la misura è da onsiderarsi non alida. i noti he una error eloity non trasurabile potrebbe nasere non solo a seguito di una non uniorme distribuzione della eloità ma anhe a ausa di un mal unzionamento della strumentazione. La più importante delle aratteristihe di un ADC è la possibilità di alutare l andamento della orrente in una determinata direzione (molto spesso, ma non neessariamente, la ertiale) diidendo il proilo di eloità in segmenti di spessore uniorme hiamati elle. Il alore di eloità ornito per la singola ella è onrontabile on la misura eettuata on un singolo orrentometro e, pertanto, un ADC può essere pensato ome equialente ad una serie di orrentometri uniormante distanziati lungo una direzione (edi Figura 2.). Le dierenze sostanziali tra i due dispositii (ADC e serie di orrentometri) sono le seguenti: i) la dimensione delle elle dell ADC è neessariamente ostante mentre i orrentometri possono essere posti a interassi ariabili e ii) la eloità misurata dall ADC è la eloità media
TUMENTI DI MIUA 7 all interno della singola ella (ome edremo meglio nel seguito) mentre il singolo orrentometro misura una eloità puntuale (si pensi ad esempio ad un ADV). Figura 2. Mentre nel aso degli strumenti aratterizzati da sorgente e rieente distinti il segnale può essere emesso dalla sorgente in ontinuo nel aso dell ADC si susseguono asi (più brei) di emissione e asi (relatiamente più lunghe) di riezione/asolto dell eo del segnale emesso. Tra esse è interposto un periodo (blank period), più o meno lungo, durante il quale l emettitore è in silenzio e il rieitore non è anora in asolto. Figura 2.
8 TUMENTI DI MIUA L eo di ritorno è poi suddiiso in interalli analizzati separatamente. Gli ehi delle rilessioni he aengono da partielle ia ia più lontane dalla sorgente impiegano, inatti, più tempo per tornare all ADC e pertanto gli interalli suessii in ui iene suddiiso il segnale di ritorno orrispondono alle elle progressiamente più distanti (edi Figura 2.) Figura 2.2 L ADC ornise un alore medio della eloità per iasuna delle elle in ui iene suddiiso il transetto analizzato. L operazione di media, tuttaia, non è uniorme all interno della singola ella: essa risulta maggiormente inluenzata dai alori di eloità he aratterizzano le partielle poste ad una distanza pari a quella del entro della ella e meno inluenzata dalla eloità agli estremi della ella stessa. Ciò risulta piuttosto eidente analizzando la Figura 2.2 in ui è riportato uno shema di unzionamento dell ADC nel piano Tempo-Distanza dallo strumento (si noti ome in questo tipo di rappresentazione la singola ella presenti orma romboidale). È opportuno sottolineare he due elle ontigue risultano parzialmente sorapposte e he tale sorapposizione indue un erto grado di orrelazione tra le eloità relatie alle elle stesse. In Figura 2.3 è hiarito shematiamente il motio di tale parziale sorapposizione: a parte gli ehi proenienti dal barientro della singola ella, tutti gli ehi relatii a distanze intermedie tra i barientri di due elle suessie risultano inluenzare, proporzionalmente alla iinanza ai due barientri stessi, la stima della eloità di entrambe le elle.
TUMENTI DI MIUA 9 Figura 2.3 Il grado di sorapposizione, e pertanto la orrelazione tra le eloità relatie alle singole elle, è unzione del rapporto tra: la durata dell impulso di emissione del segnale; il silenzio he preede l inizio della riezione e l ampiezza degli interalli di analisi dell eo (edi Figura 2.4). Figura 2.4 Conludendo si ritiene opportuno aennare al atto he, se neessario, l ADC può essere utilizzato anhe ome misuratore di torbidità oero di onentrazione di solidi sospesi. A seguito di un opportuna proedura di alibrazione (ottenibile, ad esempio, preleando diersi ampioni di luido e analizzandone la omposizione in termini di solidi sospesi) è possibile indiiduare la relazione tra la torbidità del luido e l intensità del segnale rilesso. isulta intuitio, inatti, da quanto isto relatiamente al prinipio di unzionamento degli strumenti
2 TUMENTI DI MIUA basati sull eetto Doppler (he sruttano proprio la rilessione di un segnale sonoro da parte delle partielle in sospensione nel luido) he una maggiore la onentrazione di materiale in sospensione produe una maggiore intensità del segnale rilesso e ieersa.
INDICE 2 INDICE Eetto Doppler. rinipio di unzionamento degli strumenti per la misura delle eloità nei luidi 5 2 trumenti di misura basati sull eetto Doppler 2. Anemometro laser Doppler (LDA). 2.2 Anemometro ad ultrasuoni (ADV). 3 2.3 roilatore di eloità ad ultrasuoni (ADC) 4