Sessione live #2 Settimana dal 24 al 30 marzo. Statistica Descrittiva (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili.

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1 Sessione lie # Settimana dal 4 al 30 marzo Statistica Descrittia (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili Lezioni CD: 3 4-5

2 Analisi congiunta Da un camione di 40 studenti sono stati rileati il eso e il oto ottenuto ad un esame. Di seguito e riortata la tabella con i dati già diisi in classi. oto eso Ricoiate con azienza la tabella sui ostri ogli... laoreremo un o su questi dati.

3 ) Calcolare le requenze assolute e relatie delle singole ariabili. Per il calcolo delle requenze marginali notiamo che er la ariabile eso: ( j) 4 i, ( i, j) non è altro che la somma dei alori contenuti nella j-esima colonna. Analogamente, le requenze marginali della ariabile oto sono la somma dei alori contenuti nella i-esima riga. Per ottenere le req. relatie, è suiciente diidere le req. assolute er l amiezza del camione di dati (40 nel nostro caso). oto eso r. ass. r. rel , , , ,3 r. ass r. rel. 0,5 0,75 0,35 0,5

4 ) Calcolare media e arianza delle singole ariabili. Dal momento che non abbiamo a disosizione i dati grezzi (sono già raggruati in classi), dobbiamo are delle iotesi er rocedere al calcolo di media e arianza (come già è stato atto nella rima SL). La iù naturale è quella di considerare i dati concentrati nel unto medio dell interallo della classe. Iniziamo con la ariabile oto. Ricordiamo le ormule: 4 40 i ( i) i 39 4 i ( i) ( i ) i Classe elem. centr. i (i) (i) i (i) ( i - media) [9,] ,0 [,4] ,0 3 [5,7] ,04 4 [8,30] ,83 somme N ,90 Media 5,55 Varianza 9,0

5 Procediamo analogamente con la ariabile eso i ( i) 39 4 i ( i) ( i ) i Classe elem. centr. i (i) (i) i (i) ( i - media) [50,60] ,50 [60,70] ,75 3 [70,80] ,50 4 [80,90] ,5 somme N ,00 Media 7,5 Varianza 00,6 Le deiazioni standard, radici quadrate delle arianze, sono: 3,00 0, 0

6 3) Calcolare l indice di correlazione. Occorre innanzitutto calcolare la coarianza, secondo la ormula seguente: 4 (, i j)( )( ),, i j 39 i, j Vi risarmiamo i calcoli. Il risultato che si ottiene è:, 0,693 L indice di correlazione si calcola con la ormula: ρ,, 0,03 Il iccolo alore dell indice mostra chiaramente che le ariabili oto e eso sono ortemente scorrelate (atto molto intuitio).

7 4) Ricostruire la requenze congiunte a artire da quelle marginali, iotizzando che le due ariabili siano indiendenti. In generale non è ossibile ricostruire le requenze congiunte a artire dalle marginali. Se erò le ariabili sono indiendenti, la requenza relatia congiunta è il rodotto delle requenze relatie marginali: rel rel rel, ( i, j) ( i) ( j) Da ciò segue la relazione tra le requenze assolute:, ( i, j) ( i) 40 ( j), doe naturalmente 40 è l amiezza del camione. Con questa ormula si uò ricostruire la tabella delle requenze congiunte. Conrontandola con l originale, si ede che i dati non sono troo dissimili: ciò è douto al atto che le nostre ariabili oto e eso sono eettiamente scorrelate. Nella agina seguente riortiamo la tabella ricostruita e quella originale.

8 eso Tabella ricostruita 9-0,75,38,75,3 5 oto -4,0,0,80, ,5 4,3 5,5 3, ,80 3,30 4,0, Tabella originale eso oto

9 5) Calcolare le requenze relatie condizionate er ciascuna delle due ariabili. Le requenze relatie condizionate della ariabile oto, corrisondenti a una classe j della ariabile eso, si ottengono così: - nella tabella delle requenze congiunte, si considerano le requenze che corrisondono alla classe j della ariabile eso (ossia, si considera la j- esima colonna); - si diidono dette requenze er la requenza marginale assoluta della classe j-esima della ariabile eso. Risulta iù chiaro illustrare tutto ciò in ratica. Tabella requenze congiunte oto Marginali eso eso ,67 0,09 0,43 0, ,67 0,8 0,4 0, oto Tabella requenze ariabile oto condizionata alla ariabile eso eso ,500 0,364 0,357 0, ,67 0,364 0,86 0,

10 Analogamente si rocede er troare le requenze relatie condizionate della ariabile eso relatia alla ariabile oto. Si costruisce così una analoga tabella. oto eso Tabella requenze congiunte Marginali oto Tabella requenze ariabile eso condizionata alla ariabile oto oto eso ,00 0,00 0,400 0,00-4 0,5 0,50 0,375 0, ,00 0,67 0,333 0, ,083 0,333 0,333 0,50

11 6) Scriere l equazione della retta che meglio interola l insieme delle coie di dati (oto, eso). Si tratta di regressione lineare. Come e stato dimostrato nelle lezioni, si uò determinare la retta che minimizza la somma dei quadrati delle distanze erticali dalle coie di dati. Scriiamo la retta come: A + doe A e B sono il coeiciente angolare e l intercetta risettiamente. Abbiamo già ricaato medie, arianze e coarianza, er cui ossiamo alicare le ormule er determinare A e B: A, 0,077 B B,, 69,535 Si noti che, come dee essere, questa retta assa er il ettore media (media, media): si ha cioé che A + B

12 8) Al di là dell esercizio, aea molto senso are la regressione lineare, nel nostro caso? Decisamente no. Quando si cerca la retta di regressione che meglio interola delle coie di dati, è erché si suone che ci sia tra le due ariabili una diendenza di tio lineare (eentualmente anche molto arossimata). Questo chiaramente non è il nostro caso! Altrimenti signiicherebbe che, all aumentare (o al diminuire, diende dal segno di A) del eso di una ersona, si arebbe un aumento corrisondente del oto reso all esame... e a tutti conerrebbe abbuarsi rima di un esame (o mettersi a dieta, sigh, se A è negatio)!

13 Quantili E stato rileato il reddito mensile, in migliaia di euro, di un camione di 7 amiglie. I risultati sono riortati in tabella, e oi disosti in ordine. Reddito Freq. 4 3 Dati ordinati:,,,,,, 3 ) Calcolare Q, Q3, mediana e il quantile /7. Iniziamo con Q, ossia il quantile 0,5. L amiezza del camione è 7. 0,5 7,75 Dato che,75 non è intero, se ne calcola la sua arte intera: [,75], e si rende il dato successio a. Il quantile 0,5 è quindi il secondo dato. Q ξ0,5 x

14 Si rocede analogamente er gli altri quantili. Dato che né 0,75*75,5 né 0,5*73,5 sono interi, si ha che: Q Q 3 ξ0,75 x[5,5] + x6 ξ0,5 x[3,5] + x4 Resta il quantile /7. Dato che /7*7 è un numero intero, il quantile /7 è deinito come la media aritmetica del secondo e terzo dato: ξ x + x 3 / 7 Si noti come in questo caso il quantile non coincida con uno dei dati osserati. Si osseri che i quantili Q e Q3 coincidono. Il atto di aere due quantili coincidenti non dee stuire: ciò aiene di requente quando si hanno ochi dati, er giunta rietuti.,5 Si tenga comunque a mente che ciò uò aenire anche se i dati sono tutti distinti. Ne edremo ora un esemio.

15 ) Calcolare i quantili 0,3 e 0,4 del seguente insieme di dati { } x i i,...,7 L amiezza del camione è 7. Si ha che 0,3*7, non è intero; bisogna renderne la arte intera, [,] e dunque il quantile 0,3 coincide col terzo dato, ossia ale 4. Se ora calcoliamo 0,4*7,8 notiamo che [,8] e dunque anche il quantile 0,4 coincide col terzo dato! Questa uguaglianza tra i quantili 0,3 e 0,4 - che aiene anche se i dati non sono rietuti è douta al atto che i numeri 0,3 e 0,4 sono molto raicinati, in raorto all amiezza del camione. Se aessimo auto un numero maggiore di dati distinti, questi quantili non sarebbero stati coincidenti. La morale di tutto ciò è che ha oco senso calcolare quantili molto raicinati, se si ha a disosizione un numero esiguo di dati.