COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

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1 icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente speso nell acquisto di pane e di minestra. Come si è visto nella Sezione 4.1, è possibile scrivere il vincolo di bilancio di Elena in forma matematica: + Y (1) In questo caso, indica i decilitri di minestra mentre indica invece gli etti di pane; è il prezzo del singolo decilitro di minestra e è il prezzo del pane per ettogrammo. Una funzione di utilità assegna un certo indice di utilità ad ogni possibile paniere di consumo. Supponiamo che la funzione di utilità U (, ) rappresenti il sistema di preferenze di Elena; per lei, effettuare la miglior scelta significa individuare, fra i panieri acquistabili, quello associato all indice di utilità più elevato. In altre parole, il problema di scelta di Elena può essere rappresentato, in termini matematici, come segue: scegliere e in modo da massimizzare U (, ) () soggetto al vincolo (1) Tale problema consiste in pratica in una massimizzazione vincolata ovvero, nella massimizzazione di una funzione (nota come funzione obiettivo) soggetta ad un determinato vincolo. uesto Approfondimento descrive due metodi comunemente utilizzati per la risoluzione di questo tipo di problemi. er rendere la spiegazione più semplice, ci focalizzeremo sulle sole soluzioni interne, utilizzando la stessa funzione di utilità per illustrare entrambi i metodi: U (, ) = log ( ) + log ( ) () Il metodo computazionale Anche se non si conosce la metodologia di calcolo, si può comunque risolvere il problema di Elena attraverso l utilizzo di un foglio elettronico, come Excel. er mostrare come fare, supponiamo che Y = 100, =, e =. Ipotizziamo inoltre che le preferenze di Elena siano rappresentabili attraverso la funzione di utilità (). Il foglio elettronico riportato nella pagina successiva mostra un confronto fra alcune delle scelte possibili di Elena. La colonna A riporta la spesa complessiva nell acquisto di minestra: la spesa minima, in questo caso, ammonta a 10; ogni volta aggiungiamo un ulteriore spesa di 10, fino a raggiungere la somma complessiva di 90. La colonna B mostra invece la spesa complessiva sostenuta per l acquisto di pane: tale somma rappresenta la differenza fra i 100 di dotazione e la cifra riportata nella colonna A. Nella colonna C sono indicati i decilitri di minestra acquistati, uguali al numero riportato nella colonna A diviso per il prezzo unitario del singolo decilitro di minestra ( ). La colonna D mostra, analogamente, la quantità di pane consumata: essa è pari al numero nella colonna B diviso per il prezzo del pane all etto ( ). Le colonne E ed F riportano il logaritmo dei numeri collocati, rispettivamente, nelle colonne C e D. La colonna G, per concludere, mostra il livello di utilità associato a ciascun paniere, calcolato secondo la formula (): tale livello è quindi pari a due volte il numero nella colonna E più tre volte il numero nella colonna F.

2 icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl Guardando alla tabella, possiamo notare come la migliore fra le scelte disponibili sia rappresentata dalla combinazione che prevede 40 di spesa per minestra (corrispondenti a 1, decilitri) e 60 di spesa per il pane (ovvero 0 etti). uesto paniere è associato ad un indice di utilità pari a 6,68, il valore più alto fra quelli all interno della colonna G. ossiamo quindi affermare che il paniere numero 5 è il miglior paniere acquistabile? Verifichiamo se Elena può fare meglio trasferendo un euro di spesa dall acquisto di minestra a quello di pane, o viceversa. er farlo, aggiungiamo ulteriori panieri alternativi a quelli mostrati nella tabella. Aumentiamo inoltre il numero di cifre oltre la virgola per i valori dell indice di utilità mostrati nella colonna G, al fine di rendere più accurata la nostra misurazione del benessere. Anche con tali aggiunte, la miglior scelta rimane quella di spendere 40 in minestra e 60 in pane. Se Elena trasferisse anche solo un euro di spesa fra due beni, il suo indice di utilità si ridurrebbe in ogni caso. Nel modo reale, i problemi di questo tipo sono generalmente più molto complessi e spesso risulta difficile o del tutto impossibile risolverli con l ausilio del foglio elettronico (o anche attraverso il calcolo matematico). Fortunatamente, oggigiorno sono disponibili alcuni sofisticati strumenti computazionali. Sfruttando la potenza dei calcolatori, i decisori pubblici e gli economisti sono quindi in grado di risolvere una vasta gamma di problemi pratici. Risolvere il problema attraverso il calcolo. Il metodo di base per massimizzare le funzioni obiettivo comunemente utilizzate nell ambito dell economia politica consiste nel prendere le derivate prime di tali funzioni e porle uguali a zero (le cosiddette condizioni del prim ordine per la massimizzazione) 1. Il problema descritto nell espressione () è in realtà un poco più complicato, dal momento che si richiede di massimizzare una funzione rispettando però un dato vincolo. Come procedere, allora? In questa sezione, vedremo due diversi approcci. Il primo è più semplice, mentre il secondo è più generale e consente di risolvere un maggior numero di casi. Il metodo di sostituzione. Talvolta, quando ci viene chiesto di massimizzare una funzione a più variabili soggetta ad un vincolo, possiamo riscrivere il vincolo stesso rispetto ad una di queste variabili ed esprimendola quindi come funzione di tutte le altre. uesto accorgimento ci consente allora di sostituire tale variabile all interno della funzione obiettivo, riducendo il numero di variabili rispetto alle quali si massimizza. Tale procedura è nota come metodo di sostituzione. 1 Il procedimento che considereremo si applica in caso di funzioni-obiettivo concave; una funzione è detta concava se la sua derivata seconda è negativa.

3 icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl roviamo ora ad applicare tale metodo al problema descritto nell espressione (). Sulla base dell assunzione di non sazietà, sappiamo che la miglior scelta per Elena giace necessariamente sulla linea di bilancio. Ciò significa che il simbolo che compare nell espressione (1) può essere sostituito dal simbolo di uguaglianza. Utilizziamo allora questa formula per esprimere, la quantità di pane, in termini di, la quantità di minestra: Y B = S (4) La formula (4) determina quanto pane può comprare Elena una volta acquistata una quantità di minestra. Sostituendo la formula (4) all interno della funzione di utilità, otteniamo la seguente espressione: Y U, (5) uando Elena acquista decilitri di minestra e spende il rimanente denaro per il pane, il suo paniere di consumo raggiunge il livello di utilità determinato dalla formula (5). Consideriamo ora il seguente problema: Scegliere in modo da massimizzare Y U, (6) uesto è un modo alternativo di rappresentare il problema contenuto nell espressione (). A differenza di questo, nell espressione (6) non compaiono però vincoli: il vincolo è stato infatti eliminato riscrivendolo in funzione di una delle variabili (in questo caso ). Una volta sostituita l espressione ottenuta al posto della variabile, è possibile procedere ora alla massimizzazione dell utilità rispetto ad un unica variabile ( ), invece che rispetto a due ( e ). er risolvere il problema descritto nell espressione (6), occorre quindi calcolare la derivata prima della funzione rispetto alla variabile ed imporre che sia pari a zero: U U = 0 (7) U/ e U/ rappresentano, rispettivamente, le derivate parziali della funzione U rispetto a e. Dal momento che U/ misura il tasso al quale l utilità complessiva U varia a fronte di incrementi di, questa derivata rappresenta l utilità marginale della minestra, U. Allo stesso modo, U/ rappresenta l utilità marginale del pane, U B. ossiamo allora riscrivere la formula (7) in questi termini: U U = (8) uesta espressione equivale, ovviamente, all espressione (6) contenuta nella Sezione 5.. Esempio 5A.1 assimizzazione dell utilità con il metodo di sostituzione. Utilizziamo ora il metodo di sostituzione per massimizzare la funzione di utilità () rispettando il vincolo di bilancio del consumatore. Sostituendo la (4) nella () otteniamo:

4 icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl Y U ( = +, ) log( ) log (9) Differenziamo tale espressione rispetto a e imponiamo la derivata uguale a zero: Y = 0 (10) ossiamo allora riscrivere il tutto come segue: Y = (11) Dopo aver moltiplicato per ed una volta riarrangiati i termini, otteniamo: = Y (1) 5 In altre parole, Elena spenderà sempre due quinti del suo reddito per l acquisto di minestra, e i rimanenti tre quinti per il pane: 5 = Y (1) (La formula (1) può essere ottenuta sostituendo la formula (1) nella (4)). uesto è lo stesso risultato che avevamo calcolato in precedenza, assumendo = 100 and =. er determinare la quantità di minestra acquistata, dividiamo ambo i membri della formula (1) per ; analogamente, per calcolare la quantità acquistata di pane divideremo i due membri della formula (1) per. Abbiamo usato il metodo di sostituzione per risolvere un problema relativo alla scelta fra soli due beni, ma lo stesso approccio può ovviamente essere utilizzato anche in casi con un numero maggiore di beni. Tutto ciò che va fatto è considerare due soli beni alla volta, tenendo fissa la spesa relativa a tutti gli altri. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange assiamo ora ad un metodo di soluzione dei problemi di massimizzazione vincolata più potente e soprattutto più generale: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Ogni qualvolta sia richiesto di massimizzare una funzione di N variabili soggetta ad un insieme di K restrizioni, questo metodo consente di trasformare il problema originario in un problema di massimizzazione non vincolata di una funzione di N + K variabili. Nel nuovo problema di massimizzazione, la funzione obiettivo sarà uguale alla funzione obiettivo originaria più un nuovo termine per ognuno dei vincoli. Ciascuno di questi nuovi termini consiste in una nuova variabile, detta per l appunto moltiplicatore di Lagrange, che moltiplica un espressione ottenuta riarrangiando il vincolo originario. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si può applicare anche in quei casi in cui è impossibile riscrivere un vincolo rispetto ad una variabile (e dunque in funzione delle altre), come richiesto invece dal metodo di sostituzione. Assumendo che le preferenze di Elena soddisfino il principio di non sazietà, già sappiamo che la soluzione del problema di ottimo si collocherà sulla retta di bilancio. A questo punto, creiamo un moltiplicatore di

5 icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl Lagrange (nell esempio successivo, denotato con la lettera greca lambda λ) per ogni vincolo dato e consideriamo come nuova funzione obiettivo: U (, ) + λ (Y ) (14) La prima parte della nuova funzione obiettivo, U(, ), è in realtà la funzione obiettivo originaria; la seconda parte, invece, è composta dal prodotto tra il moltiplicatore di Lagrange λ e l espressione Y, che è sempre uguale a zero quando il vincolo di bilancio è soddisfatto. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ci porta a massimizzare la funzione dell espressione (14) rispetto alle variabili, e λ, senza l imposizione di alcun vincolo. Un noto ed importante teorema matematico ci garantisce che la soluzione individuata per il problema di massimizzazione libera rappresenta la soluzione anche del problema originario di massimizzazione vincolata rappresentato nell espressione (). Dal momento che il nuovo problema di ottimizzazione associato al metodo Lagrangiano non contiene alcuna restrizione, possiamo risolverlo prendendo semplicemente le derivate della nuova funzione obiettivo rispetto a ciascuna delle variabili in gioco ed imporle uguali a zero. er, la condizione di prim ordine sarà: U λ = 0 (15) Ricordando che U/ = U, è possibile riscrivere la formula (15) come segue: U = λ (16) Allo stesso modo, la condizione di prim ordine per sarà: U = λ (17) Combinando le formule (16) e (17), possiamo quindi concludere che U U = (18) Tale uguaglianza equivale, ovviamente, a quella dell espressione (8) ed anche a quella dell espressione (6) della Sezione 5. (a pagina 141). er concludere, resta da calcolare la condizione di prim ordine per λ: Y = 0 (19) uest ultima condizione è quella che ci assicura che la soluzione deve necessariamente collocarsi sulla retta di bilancio: in altre parole, la scelta migliore di Elena è rappresentata dal paniere sulla retta di bilancio che soddisfa l equazione (18). 5A. La massimizzazione dell utilità con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange Utilizziamo il metodo dei oltiplicatori di Lagrange per massimizzare la funzione di utilità () rispettando il vincolo di bilancio del consumatore. Una volta applicato il metodo Lagrangiano, il problema è quindi quello di scegliere, e λ in modo da massimizzare: log ( ) + log ( ) + λ (Y ) (0)

6 icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston La condizione di prim ordine per è: Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl λ = 0 (1) Tale condizione può essere riscritta come segue: = 1 λ () In modo speculare, la condizione di prim ordine per è data da: = 1 λ () Combinando le espressioni () e (), otteniamo: = (4) In altre parole, Elena dovrebbe spendere due terzi del suo reddito per la minestra e il restante terzo per il pane. La condizione di prim ordine per λ è ancora data dall espressione (19), che dà la formula per la retta di bilancio. Non resta quindi che cercare quei valori di e che soddisfano sia la (19) che la (4). Sostituendo all interno della (19) il termine con l espressione ricavata dalla (4) si ottiene: + Y = 0 (5) Risolvendo per si giunge all equazione (1), esattamente come prima. Combinando la (1) con il vincolo di bilancio si ottiene invece l equazione (1) come soluzione per.