1 PRELIMINARI 1.1 NOTAZIONI denota l insieme vuoto. a A si legge a appartiene a A oppure a è elemento di A. B A si legge B è un sottoinsieme di A e significa che ogni elemento di B è anche elemento di A; B A include il caso in cui A = B. B A si legge B è un sottoinsieme proprio di A e significa che ogni elemento di B è elemento di A e inoltre almeno un elemento di A non è elemento di B. : si legge tale che. A B si legge A unione B ; A B = {a : a A oppure a B}. A B è costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B. A B si legge A intersezione B ; A B = {a : a A e a B}. A B è costituito dagli elementi che appartengo sia ad A che a B. A \ B si legge A meno B ; A \ B = {a : a A e a / B}. L insieme A \ B è costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. A c è detto insieme complementare di A; A c = {a : a / A}. L insieme A c è costituito da tutti gli elementi che non appartengono ad A. A B è detto prodotto cartesiano di A e B; A B = {(a, b) : a A, b B}. Se a b, allora (a, b) (b, a): quindi l insieme A B è, in generale, diverso dall insieme B A. 1
La freccia significa implica. Per esempio: se A B e B C A C. La freccia significa se e solo se. Per esempio x = 0 x = 0 significa per ogni. Per esempio x 2 0 x R si legge x al quadrato è non negativo per ogni x appartenete ai numeri reali. 1.2 INSIEMI NUMERICI Utilizzeremo le seguenti notazioni. N numeri naturali N = {0, 1, 2, 3,..., n,...,}. Z numeri interi Z = {..., n,..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n,...,}. Q numeri razionali Q = { m n, m, n Z, n 0 }. Proposizione 1.1 Tra due numeri razionali esiste sempre un altro numero razionale. Dimostrazione. Siano p, q Q con p < q. Sia r = p+q 2, allora r Q e p < r < q. Si osservi che dalla proposizione precedente segue che tra due numeri razionali esistono infiniti numeri razionali. Proposizione 1.2 I numeri razionali ammettono sempre una rappresentazione decimale finita o periodica. Esempio 1.3 Per esempio 89 = 7, 8. Infatti: 89 = 0 + 3 + 4 = 0 + 3 + 4 = 10 + 7 + 4 = 10 + 7 + 40 10 1 = 10 + 7 + 8 10 1 = 7, 8 2
Esempio 1.4 Per esempio 29 = 9, 666666666666. Infatti: 3 29 3 = 27 + 2 = 27 3 3 + 2 3 = 9 + 20 3 10 1 = 9 + 18 + 2 10 1 = 9 + 6 10 1 + 2 3 3 10 1 = 9 + 6 10 1 + 6 10 2 + 2 3 10 2 = 9 + 6 10 1 + 6 10 2 + 2 3 10 2 + = 9 + 6 10 k = 9, 666666666666 k=1 Si può dimostrare che non esiste alcun numero razionale x tale x 2 = 2. Affinchè l equazione x 2 = 2 ammetta soluzione occorre considerare l insieme dei numeri reali. I numeri reali R sono tutti gli allineamenti decimali, finiti e infiniti. Indichiamo con R l insieme dei numeri reali. Un numero reale è un qualsiasi allineamento decimale, finito o infinito, periodico o non periodico. Valgono le seguenti inclusioni: N Z Q R. Gli elementi di R \ Q sono detti numeri irrazionali. Utilizzeremo la notazione R + = {x R : x > 0}. Proposizione 1. (Densità di Q in R). Dati a, b R con a < b, esiste q Q tale che a < q < b. Approssimazione dei numeri reali mediante i numeri razionali. Dalla precedente proposizione segue che un qualsiasi numero reale può essere approssimato con una successione di numeri razionali. Nel senso seguente. Sia α R. Ad ogni numero intero positivo n N \ {0}, possiamo associare un razionale q n compreso tra a ed a + 1 n, in formule α < q n < α + 1 n. Osserviamo che il numero 1 n diventa sempre più piccolo al crescere di n, quindi q n si avvicina sempre più ad α al crescere di di n. Si scrive anche lim q n = x n + e si legge limite per n che tende all infinito di q n uguale ad α. Quando usiamo una calcolatrice per determinare 2 otteniamo 1.414213 che non è esattamente 2, ma è un numero razionale (infatti ha un numero finito di cifre dopo la virgola) che approssima 2. 3
1.3 SOMMA, PRODOTTO E ORDINAMENTO IN R Indichiamo con + la somma e con il prodotto tra numeri reali. Allora valgono le seguenti proprietà. (I) a + b = b + a a, b R (proprietà commutativa). (II) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c R (proprietà associativa). (III) 0 R : a + 0 = a a R (elemento neutro per la somma). (IV) a R a R : a + ( a) = 0 (elemento inverso per la somma). (I ) a b = b a a, b R (proprietà commutativa). (II ) (a b) c = a (b c) a, b, c R (proprietà associativa). (III ) 1 R 1 0 : a 1 = a a R (elemento neutro per il prodotto). (IV ) a R a 1 R : a a 1 = 1 (elemento inverso per il prodotto). (V) (a + b) c = a c + b c a, b, c R (proprietà distributiva). In R sottrazione e divisione sono definite rispettivamente mediante a b = a + ( b) e a b = a b 1. Se ci limitiamo all insieme dei numeri naturali N, allora non valgono (IV) e (IV ). Se ci limitiamo all insieme dei numeri interi relativi Z, allora non vale (IV ). L insieme dei numeri razionali Q soddisfa tutte le proprietà sopra elencate. Spesso il simbolo utilizzato per indicare il prodotto viene omesso. Definizione 1.6 Sia A un insieme. Chiamiamo ordinamento in A una relazione < sugli elementi di A tale che (i) se x, y A, allora vale una e una sola tra le tre relazioni x < y, x = y, y < x; (ii) se x, y, z A, x < y e y < z, allora x < z (proprietà transitiva). Un insieme munito di un ordinamento è detto insieme ordinato. La relazione < è detta relazione d ordine sugli elementi di A. L insieme dei numeri reali munito dell usuale relazione d ordine < è un insieme ordinato. 4
L insieme dei numeri reali munito dell usuale relazione d ordine < è un insieme ordinato. Retta reale. Consideriamo una retta r e fissiamo un punto indicato con 0 e chiamato origine della retta. Facciamo corrispondere al punto 0 l elemento neutro zero rispetto alla sommae fissiamo una unità di misura, cioè a destra di 0 fissiamo la posizione del numero 1. I numeri reali possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i punti della retta r, in modo che ad ogni numero reale corrisponda un punto di r e viceversa ad ogni punto di r corrisponda un numero reale. Come è consuetudine a destra di 0 ci sono tutti i numeri reali positivi e a sinistra ci sono tutti i numeri negativi. In questo modo otteniamo una rappresentazione geometrica dei numeri reali. Valgono le seguenti proprietà: (i) se x < y, allora x + z < y + z z R; (ii) se 0 < x e 0 < y, allora 0 < x y; (iii) se x < y e c > 0, allora c x < c y; (v) se x < y e c < 0, allora c y < c x; (vi) se x < 0 e y < 0, allora x y > 0; (vii) se x < 0 e y > 0, allora x y < 0; (viii) se x > 0 e y > 0, allora x y > 0; Esercizio 1.7 Risolvere la disequazione 2x < 0 evidenziando le proprietà algebriche utilizzate. Per (i): 2x + 2x < 0 + 2x. Per (III) e (IV): < 2x. Per (iii): 2 1 < 2 1 2x. Per (II ), (III ) e (IV ): 2 1 < x. Risultato: x > 2. Ovviamente non è necessario scrivere tutti questi passaggi quando si risolve una disequazione, ma è indispensabile essere consapevoli delle proprietà algebriche implicitamente utilizzate.
1.4 INTERVALLI REALI Definizione 1.8 Siano a, b R con a < b. I seguenti insiemi si dicono intervalli reali. (a, b) = {x R : a < x < b}; [a, b) = {x R : a x < b}; (a, b] = {x R : a < x b}; [a, b] = {x R : a x b}; (, b) = {x R : x < b}; (, b] = {x R : x b}; (a, + ) = {x R : a < x}; [a, + ) = {x R : a x}; (, + ) = {x R : < x < + } = R. Si dicono aperti i seguenti intervalli: (a, b); (, b); (a, + ). Si dicono chiusi i seguenti intervalli: [a, b]; [a, + ); (, b]. L intervallo (a, b] si dice aperto a sinistra e chiuso a destra. L intervallo [a, b) si dice chiuso a sinistra e aperto a destra. 1. POTENZE E RADICI REALI Proposizione 1.9 (Esistenza della radice reale n-esima) Dati y R + e n N \ {0}, esiste un unico x R + tale che x n = y. Tale numero si indica con y 1/n oppure con n y ed è chiamato radice n-esima di y. Si osservi che n y è la soluzione non negativa dell equazione (con incognita x) x n = y. 6
Esempio 1.10 Sia y = 16 e n = 4, allora la radice n-esima di y è x = 2. Infatti 2 4 = 16. La radice quarta di 16 è 4 16 = 2, mentre le soluzioni reali dell equazione x 4 = 16 sono due: x = 2 e x = 2. Definizione 1.11 (Potenze con esponente intero). Siano a R + e k Z. La potenza a k è il numero reale a k = k volte {}}{ a...a se k > 0 a k = 1 se k = 0 a k = ( a 1) k se k < 0. Definizione 1.12 (Potenze con esponente razionale). Siano a R +, q = m n, con m Z e n N\{0}. Definiamo a q = (a m ) 1/n. La radice quadrata viene usualmente indicata con y. Nella definizione seguente anticipiamo la nozione di limite che verrà introdotta in seguito. Definizione 1.13 Potenze con esponente reale. Siano x R e a R +. Sia q n una successione di numeri razionali tale che lim n + q n = x. La potenza a x è il numero reale a x = lim n + aqn. 1.6 DISTANZA EUCLIDEA Definizione 1.14 Sia E un insieme. Una applicazione d : E E R + {0} è detta distanza se gode delle seguenti proprietà (i) d(x, y) = d(y, x) xy E (proprietà simmetrica); (ii) d(x, y) = 0 x = y; (iii) d(x, y) d(x, z) + d(y, z) xy z E (disuguaglianza triangolare). 7
Definizione 1.1 Sia a R. Si chiama modulo o valore assoluto di a il numero non negativo definito da: a se a 0 a = a se a < 0. Si osservi che x = x 2 x R. Proposizione 1.16 Valgono le seguenti proprietà (1) a 0 a R; (2) a = 0 a = 0; (3) ab = a b a, b R; (4) a + b a + b a, b R (disuguaglianza triangolare). Dalla definizione segue che, per a > 0, abbiamo x a a x a e x a x a oppure x a. Esercizio 1.17 Risolvere la disequazione 1 2x 4. Abbiamo 1 2x 4 4 1 2x 4 4 1 1 2x 1 4 1 2x 3 2 2x 2 3 2 2 x 3 2. Corollario 1.18 L applicazione d : E E R + {0} definita da d(x, y) = x y x, y R è una distanza su R ed è detta distanza euclidea. Dimostrazione. Per dimostrare il Corollario occorre verificare le proprietà (i), (ii) e (iii) della Definizione 1.14. La (i) segue dalla (2) della Proposizione 1.16. Per verificare la proprietà simmetrica si osservi che dalla Definizione 1.1 segue che x = x x R; 8
in particolare d(x, y) = x y = y x = d(y, x) x, y R. È facile verificare che la (iii) della Definizione 1.14 e la (4) della Proposizione 1.16 sono equivalenti. In particolare applicando la (iii) della Definizione 1.14, con a = x z e b = z y, si ottiene d(x, y) = x y = x z + z y x z + z y = d(x, z) + d(y, z). Dati due punti A = (a 1, a 2 ) e B = (b 1, b 2 ) del piano cartesiano R 2 = R R, poniamo d(a, B) = a 21 b21 + a 2 2 b2 2. È facile verificare che l applicazione così definita gode delle proprietà (i), (ii) e (iii) della Definizione 1.14. Essa è chiamata distanza euclidea in R 2. Analogamente si definisce la distanza euclidea in R n. 9