Matrici diagonalizzabili

Capitolo INTRODUZIONE 2 Matrici diagonalizzabili Se una matrice A ha n autovalori λ i reali distinti, allora ha anche n autovettori v i reali linearimente indipendenti tra di loro: Av i = λ i v i, i {, 2, 3,, n} In questo caso la matrice A può essere diagonalizzata utilizzando una trasformazione T le cui colonne coincidono con gli autovettori v i : T = [ v v 2 v 3 v n Sulla diagonale della matrice A = T AT sono presenti tutti gli autovalori λ i della matrice A secondo l ordine dato dalla sequenza degli autovettori v i presenti all interno della matrice T: A = T AT = λ λ 2 λ 3 UnamatriceApuòesserediagonalizzatase e solo seperessaèpossibiletrovare un numero di autovettori v i linearmente indipendenti pari alla dimensione n della matrice stessa Una matrice A può essere diagonalizzata anche se non ha tutti gli autovalori λ i reali distinti Le matrici non diagonalizzabili possono essere portate in forma canonica di Jordan Tale forma canonica è quella che maggiormente si avvicina ad una forma diagonale Una matrice A può essere diagonalizzata anche se ha degli autovalori λ i complessi coniugati In questo caso gli autovettori v i sono complessi coniugati e la matrice di trasformazione T è complessa λ n

Capitolo 2 FORME CANONICHE 22 Forma canonica di Jordan Siano λ i, per i =,, h, gli autovalori distinti della matrice A e siano r i i corrispondenti gradi di molteplicità all interno del polinomio caratteristico: A (λ) = (λ λ ) r (λ λ 2 ) r 2 (λ λ h ) r h Una matrice A posta in forma canonica di Jordan A ha la seguente forma diagonale a blocchi: A = T AT = J 0 0 0 J 2 0 0 0 J h Adogniautovaloredistintoλ i dellamatriceacorrispondeunblocco di Jordan J i di dimensione pari alla molteplicità algebrica r i dell autovalore λ i, cioè pari al grado di molteplicità r i dell autovalore λ i all interno del polinomio caratteristico A (λ) A sua volta ogni blocco di Jordan J i ha la struttura di una matrice diagonale a blocchi: J i, 0 0 dimj i = r i 0 J J i = i,2 0 i =,, h 0 0 J i,mi SulladiagonaledelbloccodiJordanJ i sonopresentim i miniblocchi di Jordan J i,j, dove m i è la molteplicità geometrica dell autovalore λ i, cioè il numero di autovettori linearmente indipendenti v i,j associati all autovalore λ i La struttura di tutti i miniblocchi di Jordan J i,j è la seguente: J i,j = λ i 0 0 0 0 λ i 0 0 0 0 λ i 0 0 0 0 0 λ i 0 0 0 0 λ i dimj i,j = ν i,j j =,, m i

Capitolo 2 FORME CANONICHE 23 La dimensione ν i,j di ciascun miniblocco di Jordan J i,j è pari al dimensione della catena di autovettori generalizzati che è possibile determinare a partire dall autovettore v i,j Valgono le seguenti relazioni: n = h i= r i, r i = m i j= ν i,j La matrice A è diagonalizzabile se e solo se la dimensione ν i,j di tutti i miniblocchi di Jordan J i,j è unitaria: ν i,j = In questo caso tutti i miniblocchi di Jordan J i,j = λ i coincidono con il corrispondente autovalore λ i e tutti i blocchi di Jordan J i sono diagonali e caratterizzati dallo stesso autovalore λ i : J i,j = λ i, J i = λ i 0 0 0 λ i 0 0 0 λ i, dimj i = r i i =,, h Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica r i di ciascunautovaloreλ i èugualeallamolteplicitàgeometricam i,cioèseilnumero m i diautovettoriv i,j linearmenteindipendentiassociatiaciascunautovaloreλ i èugualeallamolteplicitàalgebricar i dell autovaloreλ i all internodelpolinomio caratteristico A (λ) Esempio Matrice in forma canonica di Jordan: A= 0 3 3 0 3, = J J 2, = J J 2,2 J 2, A (λ) = (λ+) 2 (λ+3) 3 n = 5, h = 2 λ =, λ 2 = 3 r = 2, r 2 = 3 m =, m 2 = 2 LamatriceAhadueautovaloridistintiλ = eλ 2 = 3 L autovaloreλ hamolteplicità algebrica r = 2 e molteplicità geometrica m = L autovalore λ 2 ha molteplicità algebrica r 2 = 3 e molteplicità geometrica m 2 = 2 Il blocco di Jordan J ha dimensione r = 2 ed è composto da un solo miniblocco J, Il secondo blocco di Jordan J 2 ha dimensione r 2 = 3 ed è composto da m 2 = 2 miniblocchi J 2, e J 2,2

Capitolo 2 FORME CANONICHE 24 Gli m i autovettori linearmente indipendenti v i,j associati all autovalore λ i si determinano risolvendo il seguente sistema lineare autonomo: (λ i I A)v i,j = 0, j =,, m i Il numero m i degli autovettori linearmente indipendenti v i,j è pari al numero di miniblocchi J i,j presenti all interno del blocco di Jordan J i Nel caso in cui si abbia m i < r i, il numero degli autovettori v i,j linearmente indipendenti non è sufficiente per diagonalizzare la matrice In questo caso occorreprocederealladeterminazionedellecatenev (k) i,j di autovettori generalizzati per i =, 2,, h, j =, 2,, m i e k =, 2,, ν i,j Gliautovettori generalizzativ (k) i,j si determinano risolvendo il seguente sistema di equazioni lineari: (A λ i I)v (2) i,j = v () i,j = v i,j (A λ i I)v (3) i,j = v (2) i,j (A λ i I)v (ν i,j) i,j = v (ν i,j ) i,j Il primo autovettore v () i,j = v i,j è noto Risolvendo la prima equazione del sistema si ricava l autovettore generalizzato v i,j, (2) il quale, sostituito nell equazione successiva permette di determinare l autovettore generalizzato v i,j, (3) e così via La particolare struttura quasi diagonale dei miniblocchi di Jordan J i,j si ottiene inserendo catene di autovettori generalizzati v (k) i,j tra le colonne della matrice di trasformazione T: T = [ v () i,j v (2) i,j v (ν i,j) i,j Se la molteplicità geometrica m i è uguale alla molteplicità algebrica r i, cioè se m i = r i, la catena di autovettori generalizzati v (k) i,j ha lunghezza unitaria ed è costituita dal solo autovettore v i,j

Capitolo 2 FORME CANONICHE 25 Esempio numerico in Matlab: clc; echo on % Matrice da portare in forma canonica di Jordan A =sym([ 73/29, -8/43, /29, 383/29, -23/258; 260/989, -249/989, -687/989, 759/989, -6889/978; 2885/989, 655/989, -4039/989, 230/989, -3905/989; 2273/989, -2079/989, 565/989, -326/989, -595/978; 4456/2967, -3052/989, 990/2967, 4778/2967, -3964/2967); % Il comando "jordan(a)" porta la matrice A in forma canonica di Jordan [V,AJ=jordan(A); AJ %%% Forma di Jordan della matrice A AJ = [ -3,, 0, 0, 0 [ 0, -3, 0, 0, 0 [ 0, 0, -,, 0 [ 0, 0, 0, -, 0 [ 0, 0, 0, 0, -3 V %%% Matrice degli autovettori generalizzati della matrice A V = [ -522/989, -242/989, 4760/2967, 23/989, 645020/406690 [ -406/989, -3334/2967, 2380/2967, 3334/2967, -42348/293335 [ -290/989, -3275/2967, 2975/2967, 3275/2967, -90387/642676 [ -348/989, -48/989, 785/989, 48/989, -86498/2053345 [ -580/989, -78/2967, 4760/2967, 78/2967, 966065/82338 % Verifica: le colonne di V sono gli autovettori generalizzati di A (A-(-3)*eye(5))*V(:,)==0 (A-(-3)*eye(5))*V(:,2)==V(:,) (A-(-)*eye(5))*V(:,3)==0 (A-(-)*eye(5))*V(:,4)==V(:,3) (A-(-3)*eye(5))*V(:,5)==0 % --> Vero % --> Vero % --> Vero % --> Vero % --> Vero

Capitolo 2 FORME CANONICHE 26 L evoluzione libera di un sistema discreto è la seguente: x(k) = A k x 0 = (TAT ) k x 0 = TA k T x 0 = T J 0 0 0 J 2 0 0 0 J h k T x 0 = T J k 0 0 0 J k 2 0 0 0 J k h T x 0 L evoluzione libera di un sistema tempo-continuo è la seguente: x(t) = e At x 0 = Te At T x 0 = Te J 0 0 0 J 2 0 0 0 J h t T x 0 = T e J t 0 0 0 e J 2t 0 0 0 e J ht T x 0 Per poter calcolare la potenza A k e l esponenziale e At della matrice generica A è sufficiente saper calcolare la potenza e l esponenziale del generico miniblocco di Jordan di dimensione ν: J = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = λi+n La matrice J può essere espressa come somma della matrice diagonale λi e di una matrice nilpotente N che ha elementi non nulli e unitari solo sulla prima sovradiagonale Nel caso ν = 5, si ha: N = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Capitolo 2 FORME CANONICHE 27 Le potenze della matrice N hanno la seguente struttura: N 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 cioè, la matrice N k ha elementi non nulli solo sulla k-esima sovradiagonale La matrice N è nilpotente di ordine ν perchè soddisfa alla seguente relazione: N ν = 0 dove ν = dimn La potenza k-esima della matrice J può essere espressa nel seguente modo: J k = (λi+n) k = λ k I+ k λ k N+ k 2 λ k 2 N 2 ++N k Sapendo che le potenze N h sono nulle per h ν, si ha che: J k = (λi+n) k = λ k I+ = Con il simbolo k λ k N+ λ k kλ k k(k ) 2 λ k 2 0 λ k kλ k 0 0 λ k k λ k 2 N 2 ++ 2 k ν 2 λ k ν+2 k ν k ν 2 0 0 0 λ k kλ k 0 0 0 0 λ k k λ k ν+ N ν ν λ k ν+ λ k ν+2 k si è indicato il seguente coefficiente binomiale: h k h = k(k )(k h+) h! Le funzioni f(λ,k) che compaiono all interno della matrice J k sono i modi del sistema discreto associati all autovalore λ

Capitolo 2 FORME CANONICHE 28 Nel caso tempo-continuo l esponenziale e Jt si calcola nel seguente modo: e Jt = e (λi+n)t = e λit e Nt = e λt Ie Nt = e λt n=0 t n n! Nn = e λt ν t n n=0n! Nn = e λt [ I+tN+ t2 2 N2 ++ tν (ν )! Nν = e λt te λt t2 2 t3 eλt 3! eλt t ν 3 tν 2 tν (ν 3)! eλt (ν 2)! eλt (ν )! eλt 0 e λt te λt t2 2 eλt 0 0 e λt te λt t ν 3 tν 2 (ν 3)! eλt (ν 2)! eλt t ν 3 (ν 3)! eλt 0 0 0 e λt 0 0 0 0 e λt te λt t2 2 eλt 0 0 0 0 0 e λt te λt 0 0 0 0 0 0 e λt Le funzioni del tempo f(λ,t) che compaiono all interno della matrice e Jt sono i modi del sistema tempo-continuo associati all autovalore λ La forma di Jordan è valida anche nel caso di autovalori λ i complessi coniugati Esempio numerico in Matlab: A =[ 6-3 -7; --> AJ=[-55+477i 0 0 0; -5-8 2 7; 0-55-477i 0 0; -20-6 -5-7; 0 0-285+386i 0; 0 6 8 6 0 0 0-285-386i [T,AJ=eig(A) % Porta la matrice A in forma di Jordan AJ T=[-049-07i -049+07i 067 067; 054 054-060+025i -060-025i; 030-042i 030+042i -03-005i -03+005i; -022+036i -02-036i -00-03i -00+03i Nel caso di autovalori λ i complessi coniugati anche le matrici T e AJ sono complesse e quindi di problematica utilizzazione In questo caso si preferisce utilizzare la forma reale di Jordan

Capitolo 2 FORME CANONICHE 29 Forma reale di Jordan Si faccia riferimento ad una matrice A di dimensione 6 caratterizzata da due autovalori complessi coniugati λ,2 con molteplicità algebrica r = 3 e molteplicità geometrica m = : λ,2 = σ ±jω, A (λ) = (λ λ ) 3 (λ λ 2 ) 3 = [(λ σ) 2 +ω 2 3 Sia v, v 2 e v 3 la catena di autovettori generalizzati associati all autovettore complesso v Applicando ad A la trasformazione di coordinate complessa : x = Tx, T = [ v v 2 v 3 v v 2 v 3 si ottiene una matrice complessa A in forma canonica di Jordan: A = T AT = λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ λ Si ottengono due miniblocchi di Jordan complessi di dimensione 3 Siano v ir e v ii la parte reale e la parte immaginaria dell autovettore generalizzato v i Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate: x = T x, T = [ vr v I v 2R v 2I v 3R v 3I la matrice A viene posta in forma reale di Jordan : Ã = T A T = σ ω 0 0 0 ω σ 0 0 0 0 0 σ ω 0 0 0 ω σ 0 0 0 0 0 σ ω 0 0 0 0 ω σ () In questo modo le evoluzioni libere dei sistemi lineari possono essere espresse come combinazione lineare di soli termini reali: x(k) = A k x 0 = TÃk T x 0, x(t) = e At x 0 = TeÃt T x 0

Capitolo 2 FORME CANONICHE 20 Indichiamo con λ e θ il modulo e la fase del numero complesso λ = σ+jω: λ = σ 2 +ω 2 θ = arctan ω σ σ = λ cosθ ω = λ sinθ Il miniblocco reale di Jordan J può essere espresso nel seguente modo: J = σ ω ω σ Valgono le seguenti relazioni: e Jt = Esempio in Matlab: syms sig w t J=[sig w; -w sig EJt=simplify(expm(J*t)) e σt cosωt e σt sinωt e σt sinωt e σt cosωt = λ ω cosθ sinθ sinθ cosθ, J k = λ k λ θ σ λ coskθ sinkθ sinkθ coskθ J = EJt = [ sig, w [ exp(sig*t)*cos(t*w), exp(sig*t)*sin(t*w) [ -w, sig [ -exp(sig*t)*sin(t*w), exp(sig*t)*cos(t*w) La potenza k-esima Ãk della matrice reale di Jordan à k = [ coskθ sinkθ λ k sinkθ coskθ [ cos(k )θ sin(k )θ k λ k sin(k )θ cos(k )θ 0 λ k [ coskθ sinkθ sinkθ coskθ à in () è la seguente: [ k(k ) cos(k 2)θ sin(k 2)θ 2 λ k 2 sin(k 2)θ cos(k 2)θ [ cos(k )θ sin(k )θ k λ k sin(k )θ cos(k )θ 0 0 λ k [ coskθ sinkθ sinkθ coskθ L esponenziale eãt della matrice reale di Jordan eãt = à in () è la seguente: e σt cosωt e σt sinωt te σt cosωt te σt sinωt t 2 2 eσt cosωt t 2 2 eσt sinωt e σt sinωt e σt cosωt te σt sinωt te σt cosωt t2 2 eσt sinωt t 2 2 eσt cosωt 0 0 e σt cosωt e σt sinωt te σt cosωt te σt sinωt 0 0 e σt sinωt e σt cosωt te σt sinωt te σt cosωt 0 0 0 0 e σt cosωt e σt sinωt 0 0 0 0 e σt sinωt e σt cosωt

Capitolo 2 FORME CANONICHE 2 Esempio Dato il seguente sistema dinamico: ẋ(t) = 0 2 2 x(t), x 0 = determinarel evoluzioneliberax(t)delsistemaapartiredallacondizioneinizialex(0) = x 0 La soluzione formale del problema è la seguente: x(t) = e At x 0 = Te At T x 0 dove T è la matrice di trasformazione che diagonalizza la matrice A Per determinare T occorre calcolare gli autovalori e gli autovettori di A: det(si A) = s 0 2 s s 2 = s(s 2 4s+5) = s[(s 2) 2 +) Gli autovalori sono s,2 = 2 ± j e s 3 = 0 L autovettore complesso v corrispondente all autovalore s = 2+j è il seguente: (s I A)v =o +j 0 2 +j j v =o v = L autovettore reale v 3 corrispondente all autovalore s 3 = 0 è: (s 3 I A)v 3 = Av 3 = o La seguente matrice di trasformazione T: T = [ v R v I v 3 = 0 2 0 2 2 porta la matrice A nella forma reale di Jordan: A = T AT = 2 j +j v 3 = o v 3 =, T = 5 2 0 2 0 0 0 0 =v R +jv I 2 2 3 3 L evoluzioneliberax(t)delsistemaapartiredallacondizioneinizialex 0 èquindilaseguente: x(t) = T e 2t cost e 2t sint 0 e 2t sint e 2t cost 0 0 0 T x 0