Fondamenti di Automatica per Ing. Elettrica Prof. Patrizio Colaneri 2 Seconda prova in itinere del 22 Gennaio 28 Cognome Nome Matricola Firma Durante la prova non è conentita la conultazione di libri, dipene e quaderni. Queto facicolo contiene 5 eercizi. Si prega di non allegare alcun foglio. 2 Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioingeneria, Politecnico di Milano, 233 Milano, Italy, email: colaneri@elet.polimi.it
2 I. Eercizio αl() Figura. Figura dell eercizio Si conideri il itema in figura, dove L() = 2 ( + )( + 5). Si tudi la tabilità del itema retroazionato in funzione di α, e i traccino i due rami (diretto e invero) del luogo delle radici. Si tudi la tabilità del itema in funzione di α applicando il criterio di Nyquit. Il luogo delle radici è rappreentato in figura. 4 Root Locu 5 Root Locu 3 4 Imaginary Axi (econd - ) 2 - -2-3 -4-6 -4-2 2 4 6 Real Axi (econd - ) Imaginary Axi (econd - ) 3 2 - -2-3 -4-5 -4-3 -2-2 3 Real Axi (econd - ) Figura 2. Luogo delle radici Si ha aintotica tabilità per 5 < α <. 4 Nyquit Diagram 3 2 Imaginary Axi - -2-3.4.2 -.2 -.4.5.5-4 - -.5.5.5 2 2.5 3 Real Axi Figura 3. Diagramma di Nyquit
3 Si conideri il itema retroazionato in figura, dove II. Eercizio 2 y u y R() G() d R Figura 4. Figura dell eercizio 2 G() = Si ricavi R() (di tipo PID) in maniera tale che: 3 ( + )( + ), y (t) = ram(t), d R (t) = in(t) l errore y y a regime ia in media minore di. e ampiezza minore di.; ω c.5 rad/ec; φ m 45 o. Per avere l errore a tranitorio eaurito minore di. in ampiezza e media, L(j) <. e il guadagno del regolaore deve eere tale che 3µ R <. cioè µ R > 3. Scelgo il regolatore come con cui ho.2 R() = 4 ( ( L() = (.. frequenza di taglio.536 rad/ e margine di fae φ m = 48.4 o + )( + ) + )(. + ) (3 )(.2 + ) + )(. + )( + ) 2 Bode Diagram Gm =.9 db (at.46 rad/), Pm = 48.4 deg (at.536 rad/) Magnitude (db) - 27 Phae (deg) 8 9-6 -4-2 2 Frequency (rad/) Figura 5. Diagramma di Bode di modulo e fae di L()
4 Si conideri il itema in figura, III. Eercizio 3 H() d G() y Figura 6. Figura dell eercizio 3. dove d(t) = α in(t) e Si ricavi H() tale che lim t y(t) =. G() = +. La funzione di traferimento da d a y è + G()H(). Allora + G(jω)H(jω) ω= = affinché lim t y(t) =. Queto implica H(j) = = (j + ). G(j) Per interpolazione, i conideri H() = α +T, da cui Si ricava α = 2 e T =, per cui riulta αj + jt = j + j + + T (j a) = αj. H() = 2 +
5 IV. Eercizio 4 G (z) G 2 (z) G 3 (z) Figura 7. Figura dell eercizio 4 Si conideri il itema in figura, dove G (z) = z, G 2(z) = (z )z, G 3(z) = α. Si tudi la tabilità del itema al variare del parametro reale α. Si conideri il polinomio caratteritico del itema, χ(z) = z 3 z 2 + α. Si conideri ora la traformazione bilineare z = +, da cui i ricava χ() = (2 α)3 + (4 + 3α) 2 + (2 3α) + α. Applicando il criterio di Routh-Hurvitz, il itema è aintoticamente tabile per < α < + 5 2.
6 V. Eercizio 5 T y e (k) R (z) ZOH G() y Figura 8. Figura dell eercizio 5 Si conideri il itema in figura, dove i convertitori ono in fae e incroni (periodo T ) e inoltre e y = ca(t). G() = ( + )( + 2), Trovare T e R (z) tale che e(t) tende a zero a regime con un tempo di aetamento di econdo, e i abbia margine di fae maggiore o uguale a 45 o, eguendo il punto di vita analogico e adottando la tranformazione di Tutin. Il itema ad anello chiuo ha un modo dominante che è circa uguale alla pulazione critica ω c e il tempo di aetamento è t a = 2π ω c. Per t a =, cegliamo ω c 6 rad/. Imponiamo la pulazione di campionamento Ω c = ω c = 6 rad/. Il tempo di campionamento riulta T.. La preenza del mantenitore genera un T deterioramento del margine di fae di φ ZOH = ω c 2 =.3 rad 7o. Scegliamo il regolatore come da cui ho R() = L() = 6( + 2) 6 ( + ), e margine di fae φ m = 8 o φ c φ ZOH = 8 o 6.6 o 7 o = 46.4 o. Applicando la traformazione di Tutin = 2 (z ) T (z+), il regolatore digitale è R 66z 54 (z) = (z ).