Progettazione dell armatura trasversale in funzione della duttilità di curvature richiesta: prima formulazione di base

Progettazione dell armatura trasversale in funzione della duttilità di curvature richiesta: prima formulazione di base Franco Braga, Rosario Gigliotti DiSG - Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università Sapienza, Via Eudossiana 18, 00184 Roma. Michelangelo Laterza, Michele D Amato DiSGG Dipartimento di Strutture, Geotecnica, Geologia applicata all Ingegneria, Università degli Studi della Basilicata, viale dell Ateneo Lucano, 85100 Potenza. Keywords: armatura trasverale, confinamento, duttilità, edifici in c.a., presso-flessione ABSTRACT In designing RC membratures subjected to flexure and axial load a crucial point is the amount of transverse reinforcement to be applied to critical regions of columns. It allows to achieve the required section ductility coherently with the assumed global ductility. This approach is adopted by recent seismic codes which provide design equations linking the transverse reinforcement amount to the ductility curvature of critical regions and to the axial load ratio of a column. In line with this approach parametric analyses on fiber sections reinforced by simple hoops under flexure and axial load have been performed. Confinement effects have been computed with the analytical model proposed by Braga, Gigliotti and Laterza (2006). Starting from the obtained results design equation of transverse reinforcement amount has been proposed. By applying the used methodology design equations referring to different arrangements of transverse reinforcement may be proposed in future works. 1 INTRODUZIONE Le recenti normative sismiche internazionali (le neozelandesi NZS 3101, l Eurocodice 8, le norme italiane NTC-08) esplicitano l approccio prestazionale nella progettazione antisimica delle strutture. Al fine di realizzare strutture economicamente convenienti, esse accettano il danneggiamento degli elementi strutturali primari impiegando regole e dettagli costruttivi atti a favorire i meccanismi duttili inibendo la formazione di quelli fragili. In tal modo le escursioni in campo plastico di una struttura possono verificarsi senza repentine perdite di resistenza nei riguardi delle azioni laterali e garantendo la portanza dei carichi verticali. Il dimensionamento dell armatura trasversale in funzione della capacità dissipativa richiesta rappresenta senza dubbio un punto cruciale per tale strategia di progettazione. Coerentemente con la capacità dissipativa globale fissata le recenti normative antisismiche forniscono equazioni prestazionali che legano la duttilità di curvatura richiesta alla percentuale del carico assiale ed al quantitativo di armatura trasversale da disporsi all interno delle zone critiche degli elementi presso-inflessi in c.a.. E noto, infatti, che l armatura trasversale consente di raggiungere elevate curvature in campo plastico in quanto: esercita un azione di confinamento sul nucleo di calcestruzzo compresso aumentandone sia la resistenza sia la duttilità; ed esclude l instabilità prematura delle armature longitudinali, riducendone la snellezza. Nella presente memoria viene presentata una prima formulazione dell equazione prestazionale che lega la duttilità di curvatura richiesta al quantitativo dell armatura trasversale portando in conto gli effetti del confinamento con il modello analitico BGL (Braga et al. 2006, Braga et al. 2009a). L equazione è stata ricavata a partire da regressioni effettuate sui risultati di analisi monotoniche momento-curvatura eseguite su sezioni quadrate a fibre al variare di differenti parametri quali: l armatura trasversale e longitudinale, la percentuale del carico assiale, la resistenza del calcestruzzo e dell acciaio. La tipologia di sezione impiegata può considerarsi rappresentativa di colonne esistenti in c.a. realizzate in Italia secondo il D.M. 09/01/1996 in assenza di dettagli costruttivi. In tal modo,

analogamente a quanto accade per le strutture di nuova progettazione, sarà possibile stabilire la duttilità di curvatura disponibile delle sezioni critiche in funzione del quantitativo dell armatura trasversale presente. 2 DUTTILITÀ DI CURVATURA RICHIESTA Le principali normative internazionali esplicitano la duttilità di curvatura richiesta in funzione del fattore di struttura assunto per l edificio in progettazione. Le normative antisismiche neozelandesi (NZS 3101), ad esempio, definiscono due differenti tipologie di sistemi resistenti in c.a. per le azioni sismiche: strutture duttili (ductile structures) e strutture a limitata duttilità (structures of limited ductility). Alle prime viene conferita una maggiore capacità dissipativa (fattore di struttura q=6) nei riguardi dell azioni laterali rispetto alle seconde (q=3). I quantitativi di armatura trasversale sono forniti da equazioni prestazionali che dipendono dalla classe di duttilità. La duttilità di curvatura u y è stata assunta pari a 20 e 10 rispettivamente per le strutture duttili e quelle a limitata duttilità. L Eurocodice 8 (EC8), invece, individua tre classi di duttilità strutturale: bassa (low ductility, DCL), media (medium ductility, DCM) ed alta (high ductility, DCH). La progettazione in bassa duttilità viene eseguita in assenza di dettagli costruttivi conferendo alla struttura una scarsa capacità dissipativa. Tale classe strutturale viene raccomandata solo in zone con bassa sismicità e per essa può adottarsi un fattore di struttura globale q pari a 1.5. Le classi DCM e DCH, invece, si ottengono in accordo a specifiche regole di progettazione tese a conferire alla struttura un adeguata capacità dissipativa nei riguardi delle azioni sismiche di progetto escludendo la formazione di meccanismi fragili. Con riferimento alle strutture regolari intelaiate, il fattore di struttura assume il valore di q=5,85 e q=3,9, rispettivamente per edifici progettati in DCH ed in DCM. La duttilità di curvatura richiesta alle sezioni delle zone critiche può calcolarsi mediante la relazione: Figura 1. Duttilità di curvatura al variare del periodo fondamentale T 1 a) fino a 1 sec; b) fino a 4 sec 1 c q T T T T 2q 1 T T 1 2 1 c 1 1 c (1) dove q è il fattore di struttura (duttilità globale) assunto; T 1 è il periodo fondamentale della struttura entrambi riferiti al piano verticale di inflessione in esame; e T c è il periodo dello spettro della componente orizzontale a cui corrisponde la fine del tratto con pseudo accelerazione costante. La duttilità di curvatura è definita come il rapporto tra la curvatura corrispondente all 85% della resistenza a flessione e la curvatura di prima plasticizzazione (corrispondente allo snervamento dell acciaio teso o al raggiungimento della deformazione di compressione del 2 nella fibra di calcestruzzo più esterna). Non è specificato, tuttavia, se la duttilità richiesta calcolabile con l eq. (1) si riferisca alle sezioni critiche delle travi o dei pilastri. In figura 1 viene riportata la duttilità di curvatura richiesta ottenuta con l eq. (1) ed amplificata del coefficiente 1,5. I grafici ottenuti mostrano che la duttilità di curvatura richiesta, fissata la categoria di sottosuolo e la classe di duttilità, varia notevolmente nell intervallo più usuale di T 1 per le costruzioni intelaiate. Per

strutture molto rigide, inoltre, la duttilità richiesta può raggiungere, per sottosuolo di categoria D, valore poco inferiore a 100, all incirca 6 volte la duttilità di curvatura richiesta per T 1 >T C. In figura 2, invece, è riportato il rapporto per ciascuna categoria di sottosuolo tra la duttilità di curvatura richiesta per DCH e DCM al variare di T 1. Si noti come tale rapporto rimanga al variare del periodo di poco superiore a 1,5, rapporto quest ultimo tra i due fattori di struttura assunti per le due classi di duttilità DCH e DCM. Le Norme Tecniche per le Costruzioni italiane (NTC-08) individuano due classi di duttilità al variare della capacità dissipativa globale: Classe di Duttilità Alta (CD A ) e Classe di Duttilità Bassa (CD B ) e corrispondono, rispettivamente, alle classi DCH e DCM dell EC8. La duttilità di curvatura richiesta alle sezioni critiche si calcola con l eq. (1) e deve amplificarsi almeno di un coefficiente pari a 1,5. L approccio progettuale adottato, dunque, è analogo a quanto riportato nell EC8. In figura 3 è riportato un confronto tra la duttilità di curvatura richiesta nelle zone critiche per la classe di duttilità alta (figura 3a) e bassa (figura 3b). Al fine di semplificare i confronti, la duttilità di curvatura richiesta secondo le NTC-08 è stata calcolata assumendo lo stesso valore T C riportato nell EC8. I confronti effettuati mostrano che la richiesta di duttilità di curvatura calcolata con l EC8 e le NTC-08 coincidono con quanto fornito dalla NZS 3101 solo nel caso di bassa duttilità per periodi maggiori di 0,5 sec. Figura 3. Confronti tra la duttilità di curvatura richiesta alle zone critiche a) per strutture con alta duttilità; b) strutture con bassa duttilità L approccio progettuale adottato dalle normative esaminate evidenzia l importanza nella progettazione antisismica delle strutture di una corretta valutazione della duttilità di curvatura delle sezioni critiche in c.a.. Pertanto, essa deve valutarsi a partire da modelli analitici capaci di descrivere l effettivo comportamento non lineare delle sezioni portando in conto gli effetti del confinamento e gli scorrimenti delle barre longitudinali. Figura 2. Rapporto tra la duttilità di curvatura richiesta per DCH e DCM secondo l EC8 3 EQUAZIONE DI PROGETTO DELL ARMATURA TRASVERSALE: FORMULAZIONE DI BASE Nel presente paragrafo viene illustrata la procedura utilizzata per ricavare una prima formulazione dell equazione di progetto dell armatura trasversale per sezioni pressoinflesse in c.a. portando in conto gli effetti del confinamento con il modello BGL (Braga et. al 2006, Braga et al. 2009a). La procedura impiegata è del tutto generalizzabile per qualsiasi tipologia di sezione e configurazione di armatura trasversale. Di seguito si riportano i principali risultati relativi ad una sezione quadrata in cui l armatura trasversale

è costituita da una staffa semplice in assenza di legature multiple. Come già anticipato, tale tipologia può intendersi come rappresentativa di strutture esistenti in c.a. realizzate in accordo al D.M. 09/01/1996 in assenza di dettagli costruttivi. L equazione di progetto per l armatura trasversale è stata ricavata a partire dai risultati ottenuti con simulazioni numeriche al variare dei seguenti parametri (tabella 1): percentuale di carico assiale =P/f c A g. Sono stati considerati quattro valori del carico assiale: 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8; resistenza cilindrica del provino di calcestruzzo non confinato f c. Le analisi sono state effettuate con riferimento a tre diversi valori di f c : 30 MPa, 40 MPa e 50 MPa; percentuale geometrica t dell armatura trasversale definita come: Vol. armat. trasv. di conf. t (2) Vol. cls conf. con valori appartenenti all intervallo 0,005-0,035 (con incrementi di 0,005); percentuale geometrica dell armatura longitudinale s data dal rapporto: Area tot. armat. long. s (3) Area lorda sez. trasv. variabile nell intervallo 0,005-0,03 (con incrementi di 0,005); resistenza a snervamento dell acciaio longitudinale e trasversale pari f y = 400 MPa; rapporto c/h (copriferro/altezza della sezione) pari a 0,06. Le analisi momento-curvatura sono state effettuate con il programma open source OpenSees (http://opensees.berkeley.edu/) su una sezione a fibre soggetta a presso-flessione retta. Tabella 1. Intervalli dei parametri nelle analisi effettuate Parametro Intervallo considerato Incremento =P/f c A g 0,2-0,8 0,2 f c (MPa) 30, 40, 50 - t 0,005-0,035 0,005 s 0,005-0,03 0,005 L 500 mm c/h 0,06 u / y 5-20 5 f y (MPa) 400 - Figura 4. Definizione della sezione a fibre e modelli analitici di materiale utilizzati In ciascuna analisi effettuata è stato applicato dapprima un carico assiale costante e successivamente una curvatura crescente fino al raggiungimento del valore ultimo corrispondente alla rottura della sezione. Gli effetti del confinamento sono stati portati in conto assegnando al nucleo del calcestruzzo confinato il legame analitico BGL (Braga et al. 2006), attualmente disponibile nelle librerie di OpenSees (Braga et al. 2009a), mentre al copriferro è stato assegnato il legame di calcestruzzo non confinato. Nelle simulazioni effettuate all acciaio dell armatura longitudinale è stato assegnato un legame elastico-perfettamente plastico in perfetta aderenza. La deformazione a compressione del calcestruzzo confinato corrispondente alla rottura a trazione della prima staffa è stata valutata caso per caso per via numerica mediante l approccio energetico proposto da Mander et al. (1998) e modificato da Braga et al. (1999). I criteri adottati per il calcolo della resistenza della sezione e della duttilità di curvatura disponibile della sezione sono analoghi a quelli adottati nello studio pubblicato da Watson et al. (1994). Tale studio è stato utilizzato per la formulazione delle equazioni di progetto dell armatura trasversale riportate nelle norme neozelandesi NZS 3101. 3.1 Definizione della curvatura di primo snervamento e della curvatura ultima La duttilità di curvatura disponibile per ciascuna sezione in c.a. analizzata è stata calcolata con riferimento al legame bilineareassociato al legame momento-curvatura M- ottenuto dall analisi (figura 5). Dapprima è stato individuato il punto di primo snervamento ( y, M i ) della sezione. Tale punto è associato al raggiungimento della prima delle due seguenti condizioni: a) la fibra più esterna del

calcestruzzo (del copriferro) raggiunge la defomazione dello 0,002 a compressione; b) la fibra dell armatura longitudinale tesa d acciaio più sollecitata raggiunge la resistenza a snervamento f y. Il duplice criterio per la definizione del punto di primo snervamento è preferibile al criterio convenzionale del solo snervamento dell armatura tesa in quanto, per carichi assiali elevati, tale condizione potrebbe non verificarsi. La resistenza del diagramma bilineare è stata posta pari al picco di resistenza M i a flessione della sezione mentre il punto di snervamento è stato ricavato con una proporzione: y M i (4) M ' y ' y La curvatura ultima u è stata definita, per ciascuna analisi effettuata, in corrispondenza al raggiungimento della prima delle seguenti condizioni: momento resistente della sezione pari a 0,8M i, dove M i rappresenta il momento resistente di picco della sezione; raggiungimento la deformazione ultima dell acciaio, posta pari al 7,5%; rottura a trazione della prima staffa. L instabilità delle barre longitudinali è stata trascurata in quanto in tutte le analisi effettuate il passo staffe è minore di 6d b, dove d b è il diametro minimo delle barre longitudinali. 3.2 Formulazione di base dell equazione di progetto dell armatura trasversale Nella figura 6 e figura 7 si riportano i primi risultati ottenuti con le analisi effettuate al variare delle grandezze indicate nella tabella 1. In ciascun diagramma viene rappresentato al variare della percentuale del carico assiale la percentuale meccanica di armatura trasversale ( s m) richiesta nei casi analizzati al variare della duttilità di curvatura assunta. Inoltre, viene riportata la retta di regressione al 95-esimo percentile ottenuta con il metodo dei minimi quadrati. I primi risultati ottenuti confermano che, a parità di carico assiale, la duttilità di curvatura disponibile cresce al crescere del quantitativo di armatura trasversale impiegato. Inoltre, per una data duttilità di curvatura, l armatura trasversale da impiegare è tanto maggiore quanto maggiore è il carico assiale agente. Si noti come le analisi eseguite mostrino che per elevate percentuali di carico assiale (maggiore di 0.6) la duttilità di curvatura disponibile non raggiunge mai il valore 20. Vale la pena ricordare che, ad esempio, le norme italiane NTC-08 e l EC8 limitano al 55% per CD A /DCH ed al 65% CD B /DCM la percentuale massima del carico assiale di progetto per i pilastri di edifici con strutture a telaio. Alla luce dei risultati ottenuti la relazione tra il rapporto volumetrico di armatura trasversale s m e la percentuale di carico assiale P/f c A g può rappresentarsi con buona approssimazione mediante una legge di tipo lineare: P sm A B ' fa c g (5) dove m è dato dal rapporto f y /0,85f c; A e B sono due coefficienti funzione della percentuale meccanica dell armatura longitudinale t m e della duttilità di curvatura u / y. Sulla base dei primi risultati ottenuti, per il coefficiente A (figura 8 e 9) e B (figura 10) vengono proposte le seguenti relazioni: A m (6) t Figura 5. Definizione del diagramma bilineare associato della sezione u B 0, 003 0, 0042 y dove 2 u u 0, 0028 0, 0753 0,3373 y y (7) (6 ) 2 u u 0, 001 0, 0376 0, 4378 y y (6 )

Figura 6. Rette di regressione di s m per a) t m = 0,1; b) t m = 0,2; c) t m = 0,3; e d) t m = 0,4 ottenute per una duttilità di curvatura u / y =5 Figura 7. Rette di regressione di s m per a) t m = 0,1; b) t m = 0,2; c) t m = 0,3; e d) t m = 0,4 ottenute per una duttilità di curvatura u / y =20

L eq. (5) rappresenta una prima formulazione dell equazione di progetto dell armatura trasversale per sezioni quadrate con staffa semplice portando in conto l effetto del confinamento con il modello analitico BGL. Essa può riscriversi nella forma: Figura 8. Rette di regressione del coefficiente A per i diversi livelli di duttilità di curvatura considerati Ash f P 0,425 bs f f A ' c A ' y c g B (7) dove A sh è l area trasversale complessiva di confinamento (pari a 2A h dove A h è l area della staffa impiegata); s è il passo e b è la distanza tra i bracci dell armatura trasversale (riferiti all asse baricentrico della staffa). Figura 9. Determinazione dei coefficienti e di A [eq. (6)] Figura 10. Determinazione del coefficiente B dell eq. (5) (valore medio per ciascun livello di duttilità u / y considerato) 4 CONFRONTI In figura 11 e 13 si riportano i confronti tra il diametro armatura trasversale richiesto dall EC8 e delle NZS3101 con quanto invece ricavato con l equazione di progetto proposta per tre differenti valori della duttilità di curvatura: 10, 16 e 20. Per poter meglio comparare gli effetti delle prescrizioni di norma, nei confronti effettuati, non si è tenuto conto della percentuale meccanica minima di armatura trasversale richiesta nelle zone critiche dall EC8. In figura 12 e 14, invece, i risultati vengono confrontati con riferimento alle classi di duttilità alta e bassa stabilite dalle normative analizzate. La sezione in esame è quadrata di lato 500 mm, con un passo di armatura trasversale pari a 50 mm e 100 mm, ed è rinforzata complessivamente con 820 distribuiti uniformemente lungo il perimetro del nucleo confinato della sezione. La percentuale di carico assiale investigata è compresa tra 0,1 e 0,8. Il valore 0,1 rappresenta il limite al di sopra del quale l elemento strutturale è classificato come colonna secondo l EC8. Il limite 0,8, invece, è un valore ben al di sopra del limite consentito tanto per l EC8 quanto per le NTC-08 nelle zone critiche dei pilastri. Come precedentemente ricordato tale limite è pari al 55% ed al 65% del carico di rottura per strutture intelaiate progettate, rispettivamente, in alta e bassa duttilità. I confronti effettuati mostrano che, relativamente ai casi esaminati, l EC8 fornisce quantitativi di armatura trasversale maggiori rispetto alle altre relazioni esaminate e che tali differenze crescono al crescere sia del passo staffe sia della duttilità di curvatura richiesta.

Figura 11. Confronti tra i diversi diametri di armatura trasversale ottenuti con riferimento ad un passo staffa s=50 mm ed a tre differenti livelli di duttilità di curvatura: a) 10, b) 16 e c) 20. Figura 13. Confronti tra i diversi diametri di armatura trasversale ottenuti con riferimento ad un passo staffa s=100 mm ed a tre differenti livelli di duttilità di curvatura: a) 10, b) 16 e c) 20. Figura 12. Confronto tra il diametro di armatura richiesto dall EC8 e dalle NZS3101 con quanto ottenuto con l equazione di progetto proposta per l alta e la bassa classe di duttilità (passo staffa s=50 mm) Figura 14. Confronto tra il diametro di armatura richiesto dall EC8 e dalle NZS3101 con quanto ottenuto con l equazione di progetto proposta per l alta e la bassa classe di duttilità (passo staffa s=100 mm)

5 CONCLUSIONI Nella presente memoria è stata proposta una prima formulazione dell equazione di progetto per le sezioni in c.a. con riferimento alla tipologia di sezioni quadrate con staffa semplice portando in conto gli effetti del confinamento con il modello analitico BGL (Braga et al. 2006). Le analisi effettuate potranno estendersi anche al caso di sezioni con legature multiple e/o rettangolari in presso-flessione deviata. Inoltre, potranno eseguirsi anche analisi cicliche momento-curvatura che consentiranno di valutare l influenza del degrado sulla risposta ciclica della sezione. Il lavoro presentato rappresenta un primo contributo alla valutazione della duttilità disponibile delle sezioni di edifici esistenti in c.a.. Esso dovrà completarsi effettuando analisi parametriche rimuovendo l ipotesi di perfetta aderenza tra le barre longitudinali ed il calcestruzzo (Braga et al. 2009b) con l aggiunta di eventuali rinforzi esterni per la progettazione dell intervento locale. A partire dal presente lavoro, infine, potrà formularsi un approccio progettuale unitario delle sezioni in c.a. che porti opportunamente in conto gli effetti del confinamento e degli scorrimenti nelle zone critiche degli elementi presso-inflessi. Noto il quantitativo di armatura trasversale richiesto, potranno impiegarsi nei diversi stati limite gli stress-blocks del calcestruzzo confinato (Braga et al. 2007) per il calcolo della resistenza della sezione, ricavando in modo più accurato le sollecitazioni di progetto derivanti dalla gerarchia delle resistenze. capacità di pilastri e travi in c.a. di strutture esistenti e di nuova progettazione. XII Convegno ANIDIS L Ingegneria Sismica in Italia, 10-14 Giugno, Pisa. Braga, F., Gigliotti, R., Laterza, M., D Amato, M., S. Kunnath 2009a. Analisi non lineari di strutture in c.a.: implementazione in OpenSees del modello BGL di calcestruzzo confinato. XIII Convegno ANIDIS L Ingegneria Sismica in Italia, 28 Giugno-2 Luglio, Bologna. Braga, F., Gigliotti, R., Laterza, M., D Amato, M., 2009b. Modellazione non lineare di strutture esistenti in c.a.: confronti con risultati sperimentali. XIII Convegno ANIDIS L Ingegneria Sismica in Italia, 28 Giugno-2 Luglio, Bologna. D.M. 14/01/2008. Norme Tecniche per le Costruzioni Eurocodice 8, CEN 2003. Mander, J. B. Priestley, M. J. N. Park, R. 1988. Theoretical Stress Strain Model for Confined Concrete, Journal of Structural Engineering, 114(8), 1804-1826. NZS 3101:2006, Part1 and Part2. Concrete Structures Standard-The Design of Concrete Structures. Standards Association of New Zealand. Wellington OpenSees Command Language, University of California. Watson, S., Zahn, F., A., Park, R., 1994. Confining reinforcement for concrete columns, Journal of Structural Engineering ASCE, 120(6), 1798-1824. RINGRAZIAMENTI Si ringrazia lo studente Michele Vito Casamassima per le analisi eseguite con OpenSees durante la propria tesi di laurea. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Braga, F., Corrado, G., F., Laterza, M. 1999. Valutazione della deformazione ultima del calcestruzzo in funzione delle caratteristiche geometriche e meccaniche delle armature di confinamento. IX Convegno ANIDIS L Ingegneria Sismica in Italia, 20-23 Settembre, Torino. Braga, F., Gigliotti, R., Laterza, M., 2006. Analytical stressstrain relationship for concrete confined by steel stirrups and/or FRP jackets, Journal of Structural Engineering ASCE, 132(9), 1402-1416. Braga, F., Gigliotti, R., Laterza, M., D Amato, M., 2007. Valutazione analitica degli effetti del confinamento sulla