Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura II Appello corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, // NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi spazi MATRICOLA e NOME (NO COGNO- ME) In TIPOLOGIA scrivere Geometria (9 o CFU), Geometria (5 CFU) oppure Geometria (5 CFU) Geometria = svolgere gli Esercizi ), ), 4) e 6) in ore e 4 min Geometria = svolgere gli Esercizi ), ) e ) in ore Geometria = svolgere gli Esercizi 4), 5) e 6) in ore IMPORTANTE: GIUSTIFICARE chiaramente i passaggi peculiari e le affermazioni che si danno e motivare le strategie di risoluzione che si scelgono. Senza giustificazioni precise, anche formule giuste non possono essere considerate a punteggio pieno. MATRICOLA e NOME: TIPOLOGIA:
SOLUZIONI COMPITO Esercizio. [ punti] Sia dato il sistema lineare di equazioni e 4 indeterminate, avente per matrice completa la matrice C := α α α α α α α dove α e un parametro reale. (i) Stabilire per quali valori del parametro α il sistema risulta compatibile. (ii) Per tutti i valori del parametro α trovati al punto (i) che determinano compatibilita del sistema, scrivere la soluzione generale del sistema lineare corrispondente. Svolgimento. Denotiamo con A la matrice dei coefficienti del sistema lineare che ha come matrice completa la matrice C. A è quindi costituita dalle prime quattro colonne di C. Osserviamo che det A(, ;, ) =, quindi r(a). Poiche det A(, ;, ) =, per calcolare il rango di A, basta andare a calcolare i determinanti di tutte le sottomatrici che si ottengono orlando A(, ;, ). In particolare, osserviamo che r(a) = se, e solo se, sono soddisfatte simultaneamente le equazioni, α + α α = e α =. Dalla incompatibilità del sistema costituito da queste due equazioni polinomiali, deduciamo che r(a) =, per ogni α R. Quindi, in ogni caso il sistema di partenza è compatibile, grazie al teorema di Rouché-Capelli. Inoltre, per ogni valore di α R, le soluzioni del corrispondente sistema dipenderanno da 4 = parametro reale. Casistica: Se α =, il sistema lineare dato è omogeneo e le soluzioni sono della forma (,,, t), t R. Se α, siccome det A(,, ;,, 4) = α, allora ponendo X = t otteniamo il sistema lineare di equazioni e indeterminate, con termini noti dipendenti da t: αx αx = α t X αx 4 = αt αx X + αx 4 = t Tale sistema è risolvibile con il metodo di Gauss-Jordan. Per ogni valore di α, le soluzioni dipendono dal parametro t R e sono della forma ( (X, X, X X 4 ) = t, αt + α + t α t α., α t + α + α + t α, α t α t αt + α + t α ).
Esercizio. [ punti] Nello spazio vettoriale R, munito della base canonica e, siano assegnati i vettori u =, u =, u = espressi in componenti rispetto alla base e: (i) Verificare che i tre vettori costituiscono una base u per R. (ii) Siano dati i vettori x = e y =, le cui componenti si intendono rispetto alla base e. Verificare che sono linearmente indipendenti e trovare le loro componenti rispetto alla base u. (iii) Si consideri lo spazio vettoriale R dotato di base u e siano Y, Y, Y le coordinate nel riferimento (R, u). Trovare le equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio W := Lin{x, y} nelle coordinate Y, Y, Y. (iv) Trovare un qualsiasi vettore z non appartenente a W e scrivere le componenti di z in base e. Svolgimento. (i) Notiamo che la matrice che ha come colonne i vettori di u e la matrice M e,u =,, che ha determinante uguale a. Pertanto u e una base. (ii) L indipendenza lineare di vettori e un concetto indipendente dalla rappresentazione di essi in componenti rispetto ad una base. Pertanto, la matrice che ha per colonne le componenti dei vettori x, y in base e ha manifestamente rango. Questo implica che i due vettori sono linearmente indipendenti. Per trovare le componenti di questi vettori in base u, si puo procedere indifferentemente utilizzando la matrice inversa di M e,u oppure esprimendo i vettori x, y come combinazione lineare dei vettori di u. Si ottiene cosi x = u u + u, y = u + u. (iii) Con queste componenti, abbiamo che W e descritto dalle equazioni parametriche e dall equazione cartesiana Y = t, Y = t + s, Y = t + s 5Y + Y Y =.
4 (iv) Notiamo che, nelle cooordinate date nel riferimento (R, u), il vettore u ha componenti u =. Esse non soddisfano l equazione cartesiana di W. Pertanto, si puo scegliere z = u, le cui componenti in base e sono gia note. Esercizio. [ punti] Nello spazio vettoriale euclideo (R 4,, ), dotato della base canonica e e del prodotto scalare standard,, sia U il sottospazio di equazioni cartesiane { X X = X + X 4 = Sia P l operatore lineare su R 4 dato dalla proiezione ortogonale sul sottospazio U. (i) Stabilire il rango di P. (ii) Stabilire se P e un operatore diagonalizzabile ed, in caso affermativo, trovare la sua forma diagonale in un opportuna base. (ii) Determinare la matrice M e (P ), cioe la matrice rappresentativa dell operatore P in base canonica e. Svolgimento. (i) La codimensione di U in R 4 e. Pertanto U e un piano vettoriale. Pertanto P, essendo l operatore di proiezione ortogonale su U ha necessariamente come immagine U e cone nucleo U, quindi U ha rango. (ii) Dalle equazioni cartesiane di U si trova facilmente U = Lin{u := e, u := e + e e 4 }. Di conseguenza U e definito da equazioni cartesiane { X = X + X X 4 = Pertanto, si ha ad esempio che U = Lin{u := e + e, u 4 := e + e 4 }. Consideriamo allora R 5 = U U con base u data da Per definizione di P, in base u si ha: u := u, u, u, u 4. M u (P ) = quindi P e diagonalizzabile, M u (P ) e la sua forma diagonale (in altri termini la base u e una base diagonalizzante).
5 (iii) La matrice cambiamento di base e Pertanto M e,v = M e (P ) = M e,u M u (P )M u,e = M e,u M u (P )M e,u =. /5 /5 /5 /5 /5 /5 /5 /5 /5 Esercizio 4. [ punti] Nello spazio cartesiano R, con riferimento cartesiano ortogonale standard RC(O; x, x, x ), sia data la famiglia di rette { X + X + X = l a : X = a dove a R e un parametro. (i) Descrivere la famiglia di rette l a in R (stabilire i.e. se la famiglia forma una stella di rette in R, un fascio di rette in R, ecc...) (ii) Sia data la retta r, passante per il punto P =. ed avente vettore direttore u =. Verificare che esiste un unico valore a = a per cui r e l a sono complanari. Trovare esplicitamente l equazione cartesiana di l a. (iii) Trovare esplicitamente equazioni parametriche ed un equazione cartesiana del piano che contiene entrambe le rette r e l a. (iv) Stabilire le mutue posizioni in R della coppia di rette (r, l a ), per ciascun valore del parametro a R. Svolgimento. (i) La famiglia delle rette l a costituisce ovviamente un fascio improprio di rette (parallele) contenute tutte nel piano π : X + X + X =. Il vettore direttore di tutte queste rette e dato da v =, che si ottiene risolvendo il sistema lineare omogeneo associato alla giacitura di tutte le rette l a. (ii) La retta r non e mai parallela a nessuna delle rette l a, visto che i vettori direttori non sono proporzionali. Pertanto l unica possibilita per avere che la retta r sia complanare con una retta della famiglia l a e che r e l a siano incidenti. La retta r non e parallela al piano π, dato che il suo vettore direttore non soddisfa l equazione della giacitura di π. Pertanto r e π saranno incidenti in un punto Q.
6 Le equazioni parametriche di r sono Y =, Y = + t, Y = + t. Per trovare Q basta considerare allora + ( + t) + + t = che fornisce t = 8. Il punto Q ha quindi coordinate Q =. In definitiva, la retta l a e la retta della famiglia passante per il punto Q, che fornisce a = 5. Pertanto la retta della fascio improprio l a che e complanare a r e la retta l 5 che ha equazioni cartesiane appunto X + X + X + = = X + 5. (iii) Il piano che contiene r e l 5 e il piano passante per Q (equivalentemente P ) e con giacitura generata dai vettori direttori u e v. Pertanto, le sue equazioni parametriche scalari sono X = s, X = + t s, X = + t e una sua equazione cartesiana e X + X X =. (iv) Abbiamo gia osservato che le rette l a non sono mai parallele alla retta r. Percio : la coppia (r, l 5 ) e una coppia di rette incidenti in R, la coppia (r, l a ) e una coppia di rette sghembe in R, per ogni a R \ { 5 }. Esercizio 5. [ punti] Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale standard RC(O; x, x ), sia data la conica C, di equazione cartesiana X + 4X X + X + X + =. (i) Stabilire che C e una conica a centro. (ii) Classificare C, scrivendo epslicitamente la sua forma canonica affine in opportune coordinate (non si richiede di calcolare l affinita che porta C nella sua forma canonica affine). (iii) Determinare le direzioni degli assi di simmetria di C di modo che formino una base positivamente orientata di R e calcolare l angolo formato da tali assi di simmetria. (iv) Denotata con C la forma canonica affine di C, stabilire se l angolo fromato dagli assi di simmetria di C rimane invariato rispetto a quello formato dagli assi di simmetria di C. 5
7 Svolgimento: (i) La matrice simmetrica completa associata a C è la matrice à =. Otteniamo det(ã) e det(a) = <. Pertanto C e una conica a centro. (ii) Visto che il determinante di A viene negativo, gli autovalori di A sono discordi e quindi C e un iperbole generale. La sua forma canonica affine, in opportune coordinate, e Z Z =. (iii) Il polinomio caratteristico della forma quadratica associata a C e P (T ) = T 4T che ha come soluzioni ± 5. Un generatore v dell autospazio V + 5 sara la direzione di uno dei due assi di simmetria. L autospazio si determina risolvendo il sistema lineare ( + 5)X + X = = X + (5 + 5)X ( + ) 5 che fornisce v =. Per il teorema spettrale degli operatori autoaggiunti, l altro autovettore (e quindi la direzione dell altro asse di simmetria) e necessariamente ortogonale a v. Per ( avere una ) base positivamente orientata allora prenderemo come generatore + L angolo e θ = π/ come discende 5 direttamente dal Teorema spettrale, dal fatto che A e autoaggiunto e che i due autovalori di A erano distinti. (iv) Gli assi di simmetria della forma canonica affine sono gli assi del riferimento cartesiano (Z, Z ), pertanto esso e sempre π/. Esercizio 6. [ punti] Nello spazio cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale standard RC(O; x, x, x ), sia data la quadrica Σ di equazione cartesiana Σ : X 6X X + X X + X X =. (i) Classificare Σ e stabilire se Σ possa essere doppiamente rigata. (ii) Stabilire che Σ contiene una famiglia unidimensionale L di rette, tutte parallele fra loro. Determinare il vettore direttore di tutte le rette della famiglia L. (iii) Determinare l equazione cartesiana di una curva contenuta in Σ, passante per l origine e che tagli ciascuna retta della famiglia L in un solo punto. Svolgimento: (i) Con i soliti metodi, si determina che rg(ã) = e rg(a) =, pertanto Σ e un cilindro parabolico. Percio Σ e solo rigata ma non doppiamente rigata. (ii) Il piano tangente in O a Σ ha equazione X X + X =. Tagliando Σ con tale piano otteniamo il sistema X X = = (X X ) che determina la retta r X X = = (X X )
8 contata con molteplicita. Pertanto r e una generatrice del cilindro e quindi i parametri direttori sono l =, m =, n =. (iii) Per trovare una direttrice di Σ passante per O, si puo prendere il piano normale alla generatrice r passante per O, che ha equazione X + X + X =. In definitiva la direttrice che consideriamo e D : X + X + X = = X 6X X + X X + X X.