Istituzioni di Probabilità - A.A

Istituzioni di Probabilità - A.A. 25-26 Prima prova di verifica intermedia - 29 aprile 25 Esercizio. Sia (X n ) n una successione di v.a. i.i.d. centrate con < X P-q.c., sia λ R ed F una v.a. integrabile ed indipendente da (X n ) n. Si consideri il processo (F n ) n, definito ricorsivamente via F n (ω) := λf n (ω) + X n (ω), per ogni n, per ogni ω Ω.. Il processo (F n ) n è markoviano (rispetto alla filtrazione naturale associata)? 2. Determinare tutti i λ R tali che (F n ) n sia una martingala.. Mostrare che, se λ, il processo (λ n F n ) n è una martingala. Se λ >, tale martingala converge in L e P-q.c., per n? 4. Se λ < e la legge di F coincide con quella di n= λn Y n, dove (Y n ) n è una successione di v.a. i.i.d. ciascuna con legge identica a X, allora le v.a. (F n ) n hanno tutte la stessa legge. 5. (Facoltativo) Se λ <, mostrare che il processo (F n ) n converge in legge per n. Il processo converge P-q.c.? e in probabilità? Soluzione. Notiamo intanto che, per ogni n, vale l identità F n = λ n F + λ n i X i, () infatti il membro a destra soddisfa la ricorrenza e, per n =, coincide con F (e c è un unica soluzione della ricorrenza lineare data).. Sì, vale la proprietà di Markov. Infatti, per ogni g : R R orel limitata, per ogni n, vale E [g(f n+ ) F n ] = E [g(λf n + X n+ ) F n ] = g(λy + x)dν(x) R y=fn dove l ultima identità segue dal fatto che F n è F n -misurabile e X n+ è indipendente da F n, e indichiamo con ν := (X ) # (P) la legge comune delle (X n ) n. (Nel caso di tempi discreti, è sufficiente mostrare la proprietà di Markov soltanto per tempi consecutivi.) 2. Il processo (F n ) n è ovviamente adattato alla sua filtrazione. Per mostrare che, per ogni n, la variabile aleatoria F n è integrabile, notiamo che F è integrabile per ipotesi e, per n, l espressione () implica la disuguaglianza E [ F n ] λ n E [ F ] + λ n i E [ X i ] λ n E [ F ] + Possiamo anche usare la disuguaglianza λ n i <. E [ F n ] λ E [ F n ] + E [ X n ] λ E [ F n ] +

che ricorsivamente ci permette di ottenere ancora la stima sopra. Consideriamo l ortogonalità degli incrementi. Per n, vale E [F n+ F n ] = E [λf n + X n+ F n ] = λf n da cui (F n ) n è una martingala se e solo se ( λ)f n =, P-q.c. per ogni n, e questo vale se e solo se λ = (infatti, il processo F n non è identicamente nullo).. Poniamo M n := F n λ n, per n. Per quanto visto sopra, il processo è integrabile e adattato, perciò basta mostrare l ortogonalità degli incrementi. Questo segue perché gli incrementi M n+ M n = X n+ λ (n+), per n sono indipendenti e centrati. Se λ >, la martingala è limitata in L 2 : E [ ] n Mn 2 = E [ (M i+ M i ) 2] n E [ Xi+] 2 λ 2i λ 2 < da cui segue convergenza in L 2 (per risultati generali segue anche in L e P-q.c.). 4. Siano ϕ e ψ le funzioni caratteristiche di F e X, rispettivamente. Si ha λ n Y n = Y + λ λ n Y n+, n= dove il termine a sinistra e il secondo termine a destra hanno la stessa distribuzione di F, ed il primo e secondo termine a destra sono indipendenti. Dunque ϕ (x) = ψ(x)ϕ (λx). Consideriamo ora la funzione caratteristica ϕ di F. Per definizione di F (notare che F e X sono indipendenti), n= ϕ (x) = ψ(x)ϕ (λx) = ϕ (x), e dunque F ha la stessa distribuzione di F. Ripetendo il ragionamento per F 2, F,... si ottiene quanto richiesto. Per una dimostrazione alternativa, senza usare le funzioni caratteristiche, ragioniamo come segue. Poiché l enunciato dipende solamente dalla legge di (F n ), che è funzione della legge di F e di X, possiamo supporre che le variabili aleatorie ((Y n ) n, (X n ) n ) siano definite su un medesimo spazio di probabilità, siano indipendenti ed identicamente distribuite e valga F = n= λn Y n. Per induzione, oppure per la (), vale, per n, F n = λ n n λ i Y n + λ i X n i = g((x n, X n,..., X, Y, Y,...)) dove poniamo g : (z i ) λi z i, che è una funzione misurabile su [, ] N. Di conseguenza, poiché la legge del blocco (X n, X n,..., X, Y, Y,...) su [, ] è la stessa di (Y i ) i, ne deduciamo che la legge di F n è la stessa di F e quindi non dipende da n. 2

5. Mostriamo che c è convergenza in legge: per ogni n la legge di F n coincide con quella di n G n := λ n F + λ i X i, per via dell identità (), che esprime F n come funzione del blocco (F, X, X 2,..., X n ), e del fatto che la legge di tale blocco coincide con quella di (F, X n, X n,..., X ), per indipendenza. D altra parte, G n converge in L e P-q.c. verso la v.a. G = λi X i, e in particolare in legge. Come conseguenza, anche le F n convergono in legge verso G. Non c è convergenza né P-q.c. né in probabilità. Ecco un semplice argomento contro la convergenza P-q.c.: se ci fosse, potremmo dedurne che X n = F n λf n ( λ)f converge quasi certamente. Ma la successione (X n ) n consiste di v.a. i.i.d. (non identicamente nulle) e pertanto non convergono P-q.c. (perché non convergono neppure in probabilità, vedi sotto). Analogamente, se F n F in probabilità, allora X n = F n λf n ( λ)f, in quanto la convergenza in probabilità è metrizzabile. D altra parte, se n m, P[ X n X m ɛ] = P[ X X 2 ɛ] > e (X n ) n N non può essere di Cauchy in probabilità. Esercizio 2. Sia ( t ) t un moto browniano su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) (assumere che t t (ω) sia continuo per ogni ω Ω).. Mostrare che ω s(ω)ds definisce una variabile aleatoria avente legge gaussiana e determinarne media e varianza. 2. Determinare una funzione [, ] t u(t) in modo tale che il processo X t := ( t u(t) sds) t [,] sia indipendente da sds. Mostrare che tale funzione è unicamente determinata ed il processo (X t ) t [,] è gaussiano (fissare tale u e quindi X nel seguito).. Determinare E [X s ] e Cov(X s, X t ), per s, t [, ], mostrare che la legge di (X t ) t [,] coincide con legge di ( X t ) t [,]. 4. Mostrare che, per ogni k, le k-marginali del processo (nx t/n 2) t [,] convergono in legge alle k-marginali di ( t ) t [,], per n (cioè, per ogni t <... < t k, le v.a. k-dimensionali (nx t /n 2,..., nx t k /n 2) convergono in legge a ( t,..., tk )). 5. (Facoltativo) Mostrare che la successione di processi (nx t/n 2) t [,] converge in legge a ( t ) t [,], dove i processi sono intesi come variabili aleatorie a valori nello spazio metrico C([, ]; R) (ricordiamo che la convergenza in legge verso X di variabili aleatorie (X n ) n a valori in spazi metrici è definita dalla validità di lim n E [ϕ(x n )] = E [ϕ(x)], per ogni ϕ continua e limitata). Soluzione 2.. Per caratterizzarne la legge, notiamo ad esempio che la legge di s ds è gaussiana in quanto n s ds = lim n n i, qc, n

e la legge di n n i è Gaussiana. Ricordiamo che il limite in legge di variabili n aleatorie gaussiane è ancora una variabile aleatoria gaussiana. Inoltre ( E s ds E s ds = E[ s] ds =, ) 2 = E[ s t ] ds dt = s t ds dt =. 2. Con un argomento limite simile a quello sopra, ( applicato ad una qualunque famiglia di tempi t,..., t k otteniamo che t,..., tk, ) sds è una variabile gaussiana. Di conseguenza, anche il processo X = (X t ) t [,] è gaussiano (per qualunque scelta di u) e la legge congiunta di (X, sds) è gaussiana. Perciò, è sufficiente trovare u in modo tale che, per ogni t [, ], X t sia scorrelato da sds, quindi imponiamo ] = E [X t s ds = E [ t s ds] u(t) t = sds + tds u(t) = t t2 2 u(t) (2) da cui u(t) = t( t/2), per t [, ], è unicamente determinato. t. Vale E [X t ] = e ( )] E [X s X t ] = E [X s t u(t) r dr [( ) ] = E s u(s) r dr t = min {s, t} u(s) E [ t r ] dr = min {s, t} u(s)(t( t/2) = min {s, t} u(s)u(t)/. () Un processo gaussiano è unicamente determinato dalla media e covarianza. asta perciò notare che ( X t ) t [,] ha media E [ X t ] = E [X t ] = covarianza E [( X s )( X t )] = E [X s X t ], per s, t [, ]. 4. Fissati t <... < t k, notiamo che la v.a. k-dimensionale (nx t /n 2,..., nx t k /n 2) ha legge gaussiana di media e covarianza E [ [ { nx ti /n 2nX ] t j /n 2 = n 2 ti min n, t } j u(t ] i/n 2 )u(t j /n 2 ) min {t 2 n 2 i, t j }, per n, perché u(t/n 2 )n = ( t/n 2 )t/n. Di conseguenza, la legge converge verso una gaussiana k-dimensionale di media e covarianza Q i,j = min {t i, t j }, per i, j {,..., k} e quindi la v.a. converge in legge verso ( t,..., tn ). 5. Sappiamo che, se ( t ) t è un moto rowniano, anche (n t/n 2) t è un moto rowniano, e in particolare hanno la stessa legge (la misura di Wiener su C([, ); R)). Dalla definizione di X, possiamo scrivere, nx t/n 2 = n t/n 2 u(t/n 2 ) 4 s ds, per t [, n 2 ]

e quindi in particolare per t [, ]. Con un cambio di variabili s = s /n 2 nell integrale, otteniamo nx t/n 2 = n t/n 2 u(t/n2 ) n n 2 n s /n 2ds, per t [, n 2 ]. Di conseguenza, la legge del processo (nx t/n 2) t [,] coincide con la legge del processo t u(t/n2 ) n n 2 s ds, per t [, ]. Per concludere, ci basta mostrare che il processo u(t/n2 ) s ds converge verso, come variabile aleatoria a valori nello spazio C([, ], R). Poiché u(t/n 2 ) n 2 sup n s ds n 2 n s ds sup u(t/n 2 ) t [,] n n 2 t [,] e il secondo fattore a secondo membro (è deterministico e) converge verso zero, basta ad esempio usare il fatto che n 2 n s ds è uniformemente limitata in L 2 (per via del riscalamento, la sua legge coincide con quella di sds). 5