PARTE PRIMA: MECCANICA La meccanica è il settore della fisica che studia equilibrio e moto dei corpi, e le cause che generano il moto. Il movimento è il fenomeno fisico più importante che osserviamo attorno a noi. La rivoluzione dei pianeti intorno al sole, il vento che soffia, gli animali che corrono, nuotano e volano, le molecole di gas che spingono un pistone, sono tutti fenomeni di moto. L esperienza indica che il moto di un corpo è influenzato dalla presenza di altri corpi, cioè dalla interazione con essi. Compito del fisico è di scoprire le leggi che causano e regolano questi moti in relazione alle interazioni con gli altri corpi. Molte regole e principi generali si applicano a tutti i tipi di moto, indipendentemente dalla natura delle interazioni tra i corpi. L'insieme di questi principi e teorie costituisce la meccanica. La meccanica si suddivide in 3 branche: Cinematica, Statica e Dinamica MECCANICA Cinematica Descrive il moto indipendentemente dalle cause che lo provocano Statica Dinamica Identifica le condizioni di equilibrio Studia il moto in relazione alle cause che lo provocano (forze) Quando la meccanica è applicata allo studio dei liquidi viene chiamata idraulica. Quando studia equilibrio e moto di corpi aeriformi, prende il nome rispettivamente di aerostatica ed aerodinamica.
Cap.: Cinematica (I) Concetti introduttivi. Moto e Quiete. Un corpo è in moto se la sua posizione cambia nel tempo rispetto ad un sistema di riferimento; altrimenti, il corpo è in quiete. Sistema di riferimento. Che lo stato sia di moto o di quiete dipende quindi dal sistema di riferimento scelto. Immaginate di essere seduti in treno dopo aver messo una bottiglietta d acqua sul tavolino. Per voi la bottiglietta è in quiete. Ma se il treno attraversa una stazione senza fermarsi, un passeggero in stazione considererà il treno in moto, e con esso anche la bottiglietta. Questo succede perché voi sul treno ed il passeggero in stazione adottate due sistemi di riferimento diversi, in moto l uno rispetto all altro. Se questi osservatori adottano come sistema di riferimento la carrozza del treno su cui stanno viaggiando, allora considerano in quiete la bottiglietta d acqua sul tavolino. Un osservatore in stazione considererà quella stessa bottiglietta in moto assieme a tutto il treno se adottasse la stazione come sistema di riferimento. Se due osservatori adottano sistemi di riferimento differenti ma in quiete tra loro, allora osservano lo stesso tipo di moto. Legge oraria e traiettoria. La legge oraria è la relazione che lega la posizione di un corpo al tempo. Viene indicata analiticamente fornendo le tre funzioni s x (t), s y (t) ed s z (t) che legano il tempo t alle componenti sugli assi X,Y e Z della posizione del corpo nello spazio. La traiettoria è invece la curva descritta dal corpo nello spazio. E una curva geometrica in cui non compare il tempo t.
Esempio: un volo in mongolfiera. Il vostro viaggio inizia all istante t0, quando salite sul pallone e completate i preparativi per la partenza. All'istante t l aria nel pallone si è scaldata a sufficienza: sganciate quindi i tiranti. Da questo istante la mongolfiera si solleva verticalmente alla velocità di m/s. Decidete di fermarvi all istante t, riducendo il riscaldamento dell aria nel pallone. Ma ora una debole corrente d aria di 0.3 m/s sposta la mongolfiera verso Est. Solo all istante t 3 vi accorgete che vi state spostando troppo ed allora iniziate la discesa a terra sgonfiando velocemente il pallone. La velocità di discesa è m/s. Ritoccate terra in un punto diverso da dove siete partiti, all istante t 4.
Nei grafici seguenti sono mostrate traiettoria e legge oraria della mongolfiera, disegnati da un osservatore che si trovava davanti alla porta di ingresso della villetta. L origine degli assi coincide con la porta di ingresso. L asse Y è orientato verticalmente verso l alto; l asse X verso Est; l asse Z verso Sud Traiettoria componente verticale s Y (t) Legge Oraria Y componente orizzontale s X (t) X 0 t t t 3 t 4 t componente s Z (t) Z 0 t t t 3 t 4 t 0 t t t 3 t 4 t
Quiz. Osserviamo un falchetto volteggiare sopra la nostra testa all altezza di 0 m. Improvvisamente plana verso terra, perdendo quota proporzionalmente al quadrato del tempo di planata e spostandosi verso Est proporzionalmente al tempo di planata. Descrivere legge oraria e traiettoria della planata del falchetto. Soluzione. Prendiamo come origine degli assi la nostra posizione, l asse Y rivolto verso l alto, l asse X rivolto verso Est. L istante t0 corrisponde all inizio della planata. Avremo: Legge Oraria: s y ( t) 0 at s x ( t) bt Traiettoria: Indichiamo per semplicità con x la posizione sull asse X al tempo t, s x (t), e con y la posizione al tempo t sull asse Y, s y (t). y 0-at x bt dalla seconda equazione tx/b e sostituendo t nella prima equazione otteniamo: y cx +0 con c-(a/b ) Quindi la traiettoria è una parabola nel piano X-Y Nel seguito del capitolo parleremo di Moto Rettilineo. In particolare analizzeremo il Moto Rettilineo Uniforme e il Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato. Il moto curvilineo verrà analizzato nel capitolo seguente. Moto Rettilineo Il moto è rettilineo quando la traiettoria è una linea retta. Se orientiamo l'asse cartesiano X nella direzione della traiettoria, le componenti s Y ed s Z saranno sempre uguali a zero, e l unica componente dello spostamento diversa da zero è quella sull asse X : s X. Quindi nel caso del moto rettilineo potremo descrivere lo spostamento con un unica funzione s(t). Velocità nel Moto Rettilineo Velocità: è la rapidità con cui un corpo cambia posizione. Consideriamo la legge oraria s(t) che descrive la posizione s del corpo ad ogni istante t. All'istante t il corpo si trova in posizione s(t ), e all'istante t in s(t ). Lo spostamento compiuto dal corpo nel periodo di tempo tra t e t è allora s(t )-s(t ). Velocità media V m nell intervallo tra t e t : è la differenza tra posizione finale ed iniziale (cioè lo spostamento) divisa per il tempo impiegato a cambiare posizione: V m ( t,t ) s ( t ) s( t ) t t
Esempio. Allenate un atleta a correre gli 8000 metri. Durante una seduta di allenamento in pista, prendete i tempi parziali dell atleta ad ogni giro (400 metri) per tutto il percorso. In teoria, il moto non è rettilineo: infatti ad ogni giro di pista l atleta ripassa per il punto di partenza e lo spostamento s risulta pari a zero. In questo caso è però utile semplificare il problema immaginando che la traiettoria sia rettilinea: in questo modo lo spostamento s coincide con la distanza percorsa. I dati raccolti sono i seguenti: giro: 0 3 0 9 0 percorrenza [m]: 0 400 800 00 4000 7600 8000 tempo [s]: 0 80 57 3 749 40 497 Disegnate il grafico della distanza percorsa ad ogni rilievo cronometrico ottenendo: Calcolate quindi la velocità media sull intera prova, cioè dall istante della partenza, t 0 s, fino al completamento del 0 giro di pista, nell istante t 497 s ( 497) s( 0) s 8000 V m ( 0,497) 5,344 [m][s] - 497 0 497 Per verificare se lo sforzo è stato regolare, calcolate ora la velocità media sui primi 0 giri e sugli ultimi 0 V m V m ( 0, 749) s s 4000 749 ( 749,497) 5.35[ m][ s] 5.34[ m][ s] 4000 748
Ripetete ora il calcolo per valutare la velocità media di ogni giro di pista: V V... V m m m0 ( 0, ) (, + ) s 0 0 s 400 [ m][ s] 80 400 [ m][ s] 77 400 [ m][ s] 77 Disegnate ora l andamento della velocità medie sull intero percorso, sulla prima e sulla seconda metà del percorso, o su ogni giro di pista: In pratica, calcolando la velocità media su intervalli di tempo sempre più piccoli, si ottengono profili di velocità con una risoluzione grafica sempre più fine. Il livello di dettaglio ottenuto calcolando la velocità media su ogni giro di pista permette di ricavare informazioni utili per l allenamento non ottenibili dalla media globale. Se a correre fosse stato un ciclista con un tachimetro capace di indicare il tempo n dell nesimo giro della ruota, di lunghezza S, allora la granulazione del profilo di velocità sarebbe stata così fine da poter trascurare l ampiezza dell intervallo n, Quindi quando è possibile misurare la velocità media su intervalli molto piccoli, il profilo di V m (t, t+) può essere considerato continuo, e dipendente solo dell istante corrente t: v(t). Questo conduce in maniera naturale a definire il concetto di velocità istantanea.
Velocità istantanea all'istante t, v(t): è la velocità media nell intorno dell istante t su di un periodo tempo così piccolo da poter essere considerato virtualmente di durata nulla. Matematicamente, essa è il valore limite a cui giunge la velocità media quando l intervallo tende al valore zero. Per indicare il valore limite quando tende a zero, si usa la speciale notazione: lim 0 Quindi: v(t) lim V ( t,t ) + lim 0 m t 0 s ( t + ) s( t) Nota: la velocità istantanea v(t) è allora la pendenza della legge oraria s(t). Accelerazione nel Moto Rettilineo Accelerazione: è la rapidità con cui il corpo cambia velocità. Accelerazione media A m nell intervallo tra t e t : è la differenza tra le velocità istantanee negli istanti t e t divisa per l intervallo di tempo in cui avviene la variazione di velocità: A m ( t,t ) v ( t ) v( t ) t t Accelerazione istantanea nel punto t, a(t) Analogamente alla definizione di velocità istantanea avremo che: a(t) lim A ( t, t ) 0 m + lim 0 v ( t + ) v( t) Nota: l'accelerazione istantanea è la pendenza della velocità istantanea: a(t)
Analisi Grafica Osservando un grafico della legge oraria s(t), cosa possiamo dire sulla velocità v(t)? Se s(t) cresce col tempo t (cioè se il grafico è "in salita") allora s(t )>s(t ) per t >t. Quindi la velocità V m [s(t )-s(t )]/[t -t ] è positiva. Viceversa se il grafico è "in discesa" allora s(t )<s(t ) e la velocità è negativa. Se il grafico è "piatto" s(t )s(t ) e la velocità è nulla. Esempio: Quiz Grafico della velocità di un automobile in funzione del tempo. Descrivere in modo qualitativo l'accelerazione dell'automobile in figura.
Moto Rettilineo Uniforme E' il moto rettilineo che avviene a velocità costante. Per definizione v(t) v Troviamo accelerazione e legge oraria di tale moto. a Ma lim 0 v ( t + ) v( t) v(t+)-v(t)v- v0 per cui a0 e non c è accelerazione. Inoltre se la velocità è costante, allora la velocità media V m all interno di qualsiasi intervallo di tempo t e t è uguale a v. In particolare questo vale per t t e t 0: ( ) s( 0) s t Vm ( 0, t ) v t 0 quindi s(t)-s(0)v t Per comodità indichiamo la posizione iniziale s(0) con s 0 ; otteniamo: s(t) vt +s 0 Le equazioni del moto sono riassunte nella seguente tabella: Moto Rettilineo Uniforme (velocità costante v; posizione iniziale s 0 ) accelerazione a(t) 0 velocità v(t) v legge oraria s(t) vt+ s 0
Esempio. Mentre pedalate alla velocità costante di 0 km/h vi cade per terra la borraccia, ma ve ne accorgete solo dopo minuti. A che distanza vi trovate dalla borraccia quando vi accorgete di averla persa? Quanto tempo impiegate a riprenderla se tornate indietro pedalando a 5 km/h? Il moto è rettilineo? Verosimilmente no (è probabile che percorriate delle curve mentre pedalate). Ma in questo caso possiamo immaginare che la traiettoria avvenga lungo una linea retta senza che cambino i risultati. Il moto è rettilineo uniforme? Nel suo complesso, no. Infatti la velocità cambia (da +0km/h a 5km/h). Però possiamo scomporre il moto complessivo in due parti, andata e ritorno, ognuna a velocità costante. Analisi dell andata. Sia t 0 0 l istante in cui perdete la borraccia; s 0 0 il punto in cui la perdete; t [min]0 [s] l istante in cui vi accorgete di averla persa. t0 t X La velocità in questo tratto è costante e pari a v A 0 km/h s 0 0 s(t )? 0x000/3600 [m][s] - 5.56 [m][s] - Il moto è rettilineo uniforme. La legge oraria è: s(t) v A t+ s 0 s(t)5.56 t All istante t lo spazio percorso è: s(t ) 5.56 0667 [m] Analisi del ritorno. v R -5 km/h -6.9 [m][s] - è la velocità con cui tornate indietro (negativa perché di verso opposto all asse X); s 0 667 [m] il punto di partenza di questa seconda parte del moto. t? t0 X s(t)0 s 0 667 Il moto è ancora rettilineo uniforme, ma la legge oraria ora è diversa: s(t) v R t+ s 0 s(t) -6.9t+667. Quando si raggiunge la borraccia s vale 0. Si trova il tempo impiegato risolvendo l equazione: -6.9t+6670 La soluzione è: t 667/6.9 96.6 [s] Quiz L anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. La luce si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità di 300'000 km/s. Trovare quanto vale un anno luce nel sistema MKS. Quiz Udite il rombo di un tuono 5 s dopo aver visto il lampo del fulmine. Supponete infinita la velocità della luce, e assumete che la velocità del suono sia '000 km/h. A che distanza è caduto il fulmine?
Esempio. In una gara a stile libero il nuotatore A precede di 3 e 68 millesimi il nuotatore B. I due nuotatori hanno nuotato alla velocità costante di.8 e.7 [m][s] -. Dire: ) con quanti metri di vantaggio A ha preceduto B. ) il tempo finale del vincitore, T F ; 3) di che gara si tratta. ) Conviene considerare come osservatore un giudice di gara, ed assumere come origine del sistema di riferimento (s0) il bordo di arrivo della piscina. Consideriamo quindi il moto del nuotatore B a partire dall istante (t0) in cui il nuotatore A finisce la sua gara. Il moto è rettilineo uniforme. L equazioni di moto del nuotatore B sono: a B (t)0 v B (t).7 s B (t).7t+s 0 Il nuotatore B raggiunge il bordo della piscina (origine dell asse s) dopo 3,68 s e quindi: cioè s B (3,68)0.7 3,68+s 0 0 Il nuotatore B è quindi distanziato di s 0 -.7 3.68-5.556 m. ) Prendiamo come sistema di riferimento il nuotatore B. In questo modo, possiamo assumere che il nuotatore A si muova di moto rettilineo uniforme alla velocità costante di 0. m/s rispetto a B. Consideriamo come istante di inizio (t0) il momento in cui il giudice dà il via alla gara. L equazioni di moto di A rispetto a B sono: a A/B (t)0 v A/B (t)0. s A/B (t) 0.t A fine della gara, cioè al tempo tt F, A ha accumulato 5.556 m di vantaggio su B. Quindi s A/B (T F ) 5.556 0. T F 5.556 da cui: T F 5.556/0. 55.56 s.
3) A questo punto sappiamo che il vincitore ha impiegato 55.56 s per coprire la distanza di gara alla velocità costante di.8 m/s. Prendiamo nuovamente come punto di riferimento il giudice, come origine (s0) il bordo di partenza della piscina e come istante di inizio (t0) il via della gara. L equazioni di moto di A rispetto al giudice sono: a A (t)0 v A (t).8 s A (t).8t La distanza percorsa da A in 55.56 s è s A (55.56).8 55.56 00 m. Quindi si tratta di una gara di 00 stile libero.