Rappresentare i nessi logici con gli insiemi È un operazione molto utile in quesiti come quello nell Esempio 1, in cui gruppi di persone o cose vengono distinti in base a delle loro proprietà. Un elemento appartiene ad un insieme se soddisfa la proprietà che definisce quell insieme. Per capire come trarre vantaggio da questa operazione, prima rivediamo brevemente le proprietà di base degli insiemi, successivamente come queste risultino utili negli esercizi. Proprietà fondamentali Esempio A: In un ufficio alcuni impiegati utilizzano il computer. Alcuni impiegati che usano il computer soffrono di emicrania. La frase alcuni impiegati utilizzano il computer ci informa che c è un gruppo di elementi, gli impiegati, e ci obbliga a distinguerli, almeno mentalmente, in due gruppi (perché guardando le informazioni che seguono, intuiamo che il fatto che un impiegato usi il computer sia una informazione rilevante). Rappresentiamo questa informazione con una linea chiusa che divide gli impiegati che usano il computer dagli altri. Impiegati che NON utilizzano il computer Impiegati che utilizzano il computer Intersezione La seconda frase, alcuni impiegati che usano il computer soffrono di emicrania, introduce una nuova proprietà che alcuni impiegati possiedono e altri no: questo vuol dire che dobbiamo disegnare un altro insieme, cioè una linea chiusa che separa chi soffre di emicrania da chi non ne soffre. Poiché vi sono impiegati che hanno sia la proprietà che la proprietà i due insiemi si intersecano (cioè hanno una parte in comune). Inoltre gli insiemi così rappresentati indicano, come è sottointeso nel testo, che tutte le combinazioni sono possibili: un impiegato può avere e non (verde acqua), e non (fucsia), entrambi (indaco), o nessuna delle due proprietà (bianco).
ed Né né Esempio Abis: Se la frase fosse stata chi soffre di emicrania non utilizza il computer i due insiemi e sarebbero stati disgiunti, cioè l intersezione sarebbe stata vuota. Né né Differenza In esempi come questo, potremmo essere interessati all insieme degli elementi che godono di una proprietà e non godono di un altra, cioè all insieme differenza; ad esempio, l insieme degli impiegati che usano il computer e non soffrono di emicrania è l insieme differenza fra l insieme e quello. Questo lo rappresentiamo come l insieme privato della sua intersezione con l insieme. Notiamo come l operazione opposta, la differenza fra e individua un insieme diverso. meno meno Nell Esempio 1bis, in cui ed sono disgiunti, la differenza fra ed ci restituisce l insieme invariato (poiché non vi abbiamo sottratto nulla), e vale anche il viceversa.
Esempio B: In un ufficio alcuni impiegati utilizzano il computer. Tutti gli impiegati che usano il computer hanno la divisa gialla. Giuseppe ha la divisa gialla, si può dunque dire con certezza che utilizza il computer per il suo lavoro? Se tutti gli elementi che sono caratterizzati da una certa proprietà, sono caratterizzati anche da un'altra, si tratta di un inclusione (gli impiegati che usano il computer sono un sottoinsieme di quelli con la divisa gialla). In tal caso non è possibile che un impiegato utilizzi il computer senza divisa gialla, mentre se un impiegato ha la divisa gialla non sappiamo se utilizza il computer oppure no; il testo non ci dice nulla in proposito, pertanto non lo possiamo affermare con certezza (la risposta è NO). Impiegati che indossano la divisa gialla Impiegati che utilizzano il computer Domanda: come è fatto l insieme differenza fra divisa gialla e? E l insieme differenza fra e divisa gialla? Esempio C: In un ufficio alcuni impiegati utilizzano il computer. Possono usufruire del servizio mensa sia gli impiegati che utilizzano il PC, sia quelli che hanno l ufficio al settimo piano. Se Pablo lavora al computer nel suo ufficio, che si trova in fondo al corridoio del settimo piano, può usufruire del servizio mensa? L insieme degli impiegati che possono mangiare a mensa è composto dall unione di due insiemi: - l insieme degli impiegati che usano il PC (fucsia) - l insieme degli impiegati del settimo piano (verde limone) In altre parole fanno parte dell insieme unione (rappresentato dalle linee diagonali) tutti coloro che hanno una delle due caratteristiche (PC \ settimo piano) o entrambe (dunque la risposta è SI). Impiegati che utilizzano il computer Impiegati del settimo piano
A cosa stare attenti negli esercizi. ESERCIZIO Il signor Brown ha un podere, al centro del quale vi è un ameno laghetto guarnito da una grande varietà di fiori. Parlando di tale podere, il signor Brown afferma: ci sono quattro tipi di animali nel mio podere: pesci, anfibi, uccelli e mammiferi. Nel podere un animale verde sicuramente è un pesce o un anfibio. Nel mio podere i mammiferi e gli anfibi non verdi sono gli unici che rovinano i fiori. Non ci sono mammiferi nella zona del lago, dove ci sono invece degli anfibi.. Se quel che dice il signor Brown è vero, è possibile affermare con certezza che: a) Non c e nessuno che rovina i fiori nella zona del lago. b) Nella zona del lago gli anfibi sono tutti verdi. c) Se sparissero tutti gli anfibi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago. d) Se sparissero tutti gli anfibi verdi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago. e) Ci sono uccelli nella zona del lago. Come procediamo La frase ci sono quattro tipi di animali nel mio podere: pesci, anfibi, uccelli e mammiferi, ci informa che un insieme, quello degli animali nel podere, ha quattro sottoinsiemi. In quale di questi due modi li rappresentereste? A B Animali nel podere Animali nel podere Sono in effetti giusti entrambi; però possono essere resi più semplici, eliminando le regioni in cui non vi sono elementi. Ad esempio, la parte di piano con la stellina, quella degli animali del podere che non sono né pesci, né anfibi, né uccelli, né mammiferi, è comunque vuota, perché l unione dei quattro tipi forma la totalità degli animali. Inoltre, poiché non esistono animali che siano sia mammiferi che uccelli ecc, è superfluo rappresentare le intersezioni (vuote) come è stato fatto nel caso B. Sottoinsiemi tutti disgiunti la cui unione forma l insieme totale costituisce una partizione, che è utile rappresentare così:
Nel podere un animale verde sicuramente è un pesce o un anfibio. Come disegnare l insieme degli animali verdi? Prendiamo l unione di pesci e anfibi (linea rossa), e disegniamoci dentro l insieme degli animali verdi (linea verde), in modo che, volendoci inserire un animale, esso sia costretto a stare nell unione pesci anfibi: Nel mio podere i mammiferi e gli anfibi non verdi sono gli unici che rovinano i fiori. Per rappresentare l insieme degli animali che rovinano i fiori, non è necessario aggiungere divisioni, ma solo evidenziare l unione fra mammiferi e anfibi non verdi, perché la frase dice che tutti i mammiferi e tutti gli anfibi non verdi rovinano i fiori e nessun altro. Per semplificare la notazione inseriamo un pallino rosa in ogni sottoinsieme che soddisfa la proprietà di rovinare i fiori. Non ci sono mammiferi nella zona del lago, dove ci sono invece degli anfibi. Ora dobbiamo nuovamente suddividere l insieme degli animali in quelli che vivono nella zona del lago (linea azzurra) e gli altri. Come lo fareste?
A B C D Insieme vuoto Le opzioni giuste sono quelle che rappresentano tutte le possibili intersezioni (escluse quelle certamente vuote), cioè C e D. In pratica, quando disegniamo un nuovo sottoinsieme è buona norma che la matita attraversi tutte le regioni già presenti nel diagramma. Questa operazione dà vita a nuove regioni, se si è deciso di segnare con un pallino le regioni in cui una determinata proprietà è soddisfatta, per non perdere informazioni utili è necessario inserire altri pallini nelle regioni appena formate che soddisfano la suddetta proprietà. perciò occhio a non negare il diritto all esistenza degli anfibi verdi e non verdi, dentro e fuori dalla zona del lago!! Che fatica ma una volta disegnato il diagramma rispondere alle domande è molto più immediato!! Analizziamo una alla volta le risposte.. Insieme vuoto a) Non c e nessuno che rovina i fiori nella zona del lago. Si può immediatamente constatare che è falsa, c è un pallino rosa (chi rovina i fiori) nella zona del lago (linea azzurra). b) Nella zona del lago gli anfibi sono tutti verdi. Falso, la linea verde interseca quella blu, ad indicare appunto che nella zona ci sono sia animali verdi che non.
c) Se sparissero tutti gli anfibi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago. Vero, infatti se si eliminassero tutti gli anfibi, non rimarrebbe nessun pallino rosa (chi rovina i fiori) nella linea azzurra (zona del lago). d) Se sparissero tutti gli anfibi verdi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago. Falso, infatti eliminando solo gli anfibi verdi rimarrebbe un pallino rosa (chi rovina i fiori) nella linea azzurra (zona del lago) e) Ci sono uccelli nella zona del lago. Falso, infatti la linea azzurra interseca quella degli uccelli ma, avendo deciso di rappresentare tutte le possibili intersezioni (tranne quelle certamente vuote) quando si disegna un nuovo sottoinsieme, non sappiamo se l intersezione tra uccelli e zona del lago è vuota o meno, pertanto non possiamo affermare con certezza che non lo sia. Ciò significa che dobbiamo anche fare attenzione a come viene posta la domanda!