Piramidi di numeri. Unità 5 della Collana ArAl

Ambiente 1 Piramidi di numeri Unità 5 della Collana ArAl Lugo, 10 settembre 2015 1

Le minipiramidi: scoprire la regola Lugo, 10 settembre 2015 2

Le minipiramidi: scoprire la regola Definizione procedurale Per trovare il numero nel mattone in alto devo sommare i due numeri nei mattoni della base Definizione relazionale Il numero nel mattone che sta in alto è la somma dei due numeri che stanno sotto Lugo, 10 settembre 2015 3

Le minipiramidi: riflettere sulla regola Lugo, 10 settembre 2015 4

Le minipiramidi: riflettere sulla regola (prima primaria) IR: E allora come si fa per capire se il bambino le ha fatte tutte giuste? Eleonora: La prima è giusta, perché 7 più 6 è la forma non canonica di 13. IR: Provate a dirlo secondo la regola che ha detto prima Veronica. I: Cioè: usando la parola somma. Si alzano molte mani. Voce Adesso ho capito! Giorgia: 13 è la somma di 7 e 6. Lugo, 10 settembre 2015 5 Aprire la discussione favorendo l argomentazione 04_ArAlBri16-Veronica RegolaPir-Nav

Le minipiramidi: riflettere sulla regola (prima primaria) Farsi le antenne per cogliere sfumature importanti IR: E questa va bene? Alice: Sì! Perché 8 più 15 è Riccardo: No, dal maggiore a sinistra! IR: Perché? Non è la stessa cosa: 8 più 15 o 15 più 8? Riccardo: Sì, ma cominciare dal più grande è più facile. Lugo, 10 settembre 2015 6

Le minipiramidi: riflettere sulla regola (prima primaria) IR: Più facile sì, ma se io ti dico 8 più 15 o 15 più 8 non è la stessa cosa? Hai ragione tu se pensi al calcolo, perché è più facile partire da 15. Ma se io ti dico: lascia stare il calcolo e dimmi: posso scrivere così: 8 più 15 uguale a 15 più 8? (Riccardo annuisce) Hai capito? Sono due modi diversi di vedere la stessa cosa. (rivolto ad Alice) Allora: questo è giusto perché? Alice: Perché 23 è la somma di 8 più 15. Lugo, 10 settembre 2015 7 Pensiero relazionale vs Pensiero procedurale

Le minipiramidi: riflettere sulla regola (prima primaria) IR: E il terzo? Celeste? Celeste resta silenziosa. I: Cosa ha chiesto il bambino? (Celeste legge il fumetto con difficoltà). Secondo te è giusta? Celeste: No, perché 14 più 1 è uguale a 15 ma 14 più 3 è uguale a 17. I: E usando la parola somma? Celeste: 15 non è la somma di 3 più 14. Lugo, 10 settembre 2015 8 Pensiero relazionale vs Pensiero procedurale Livello metacognitivo

Le minipiramidi: riflettere sulla regola (prima primaria) Tradurre linguaggio naturale linguaggio matematico IR: E come lo traduci per Brioshi? Celeste: 15 non è uguale l uguale col taglietto a 3 più 14. Riccardo viene alla LIM e scrive: Lugo, 10 settembre 2015 9

Le minipiramidi: riflettere sulla regola (prima primaria) Discussione Lugo, 10 settembre 2015 10 Tradurre linguaggio naturale linguaggio matematico

Le minipiramidi: situazione problematica 2 Discussione Lugo, 10 settembre 2015 11 Situazioni problematiche Discussione Rappresentare in linguaggio matematico (traduzione)

Le minipiramidi: situazione problematica 3 Situazioni problematiche Rappresentare in linguaggio matematico generalizzazione Lugo, 10 settembre 2015 12

Le piramidi: i numeri nascosti Situazioni problematiche Rappresentare in linguaggio matematico Approccio al numero che non si conosce ma col quale si può lavorare come se si conoscesse Lugo, 10 settembre 2015 13

Esplorare piramidi a tre piani Lugo, 10 settembre 2015 14

Esplorare le piramidi a tre piani Lugo, 10 settembre 2015 15

Metodo 1 (quarta primaria) Gruppo A Prima abbiamo provato con 5 ed è venuto: 13+5=18 15+5=20 18+20=38 Allora abbiamo provato con un numero più piccolo, 2: 13+2=15 15+2=17 15+17=32 Ma è diverso da 36 e allora abbiamo riprovato con 4: 13+4=17 15+4=19 19+17=36 E abbiamo visto che 4 andava bene. Lugo, 10 settembre 2015 16

Metodo 2 (quarta primaria) Elena: Ho scritto una lettera al posto del numero nel mattone in mezzo e ho scoperto che 36 è uguale a 13+x+15+x. I: Brava! Vediamo come si può fare ora. Ricordate la bilancia? Rudy: Su un piatto c è 36 e sull altro 13+x+15+x. I: Bene! Allora fate come se fosse una bilancia. Elvi: Quello che si fa su un piatto va fatto anche sull altro. I: Serena, vieni alla lavagna e scrivi quello che decidete fra di voi. Io sto a guardare. Lugo, 10 settembre 2015 17

Metodo 3 (quarta primaria) 36 = 13+x+15+x -13-13 23 = 15+x 2-15 = -15 8 = x 2 :2 :2 4 = x 1 I: Cosa significa quello che hai scritto? Serena: Che x, il numero che manca, è 7. Lugo, 10 settembre 2015 18

Metodo 2 (quarta primaria) Federica: Io ho fatto in un altro modo. Ho tolto a 36 la somma di 13+15 e poi ho diviso per due. L insegnante invita Federica a rappresentare dentro i mattoni il processo. L alunna riporta alla lavagna la sua piramide completata: 36 13+[36-(13+15)]:2 [36-(13+15)]:2+15 13 [36-(13+15)]:2 15 Lugo, 10 settembre 2015 19

Generalizzazione e linguaggio: il generale potenziale Dopo un certo numero di verifiche la classe può ipotizzare una definizione negoziata e condivisa: Il numero in alto è la somma fra i due numeri laterali e il doppio del numero centrale La frase contiene un generale potenziale attraverso il quale conquistare la traduzione in linguaggio algebrico: n=a+2b+c. Lugo, 10 settembre 2015, 20

Generalizzazione e linguaggio: il generale potenziale Dopo un certo numero di verifiche la classe può ipotizzare una definizione negoziata e condivisa: Il numero in alto è la somma fra i due numeri laterali e il doppio del numero centrale a+b a+b 2+c b+c La frase contiene un generale potenziale attraverso a il quale b conquistare c la traduzione in linguaggio algebrico: n=a+2b+c. Lugo, 10 settembre 2015, 21

Generalizzazione e linguaggio: il generale potenziale La rappresentazione non canonica può essere considerata un traghetto semantico verso la generalizzazione. Il concetto di generale potenziale si pone come ponte fra l aritmetica e la notazione algebrica con alunni fra i 6 e i 14 anni. Lugo, 10 settembre 2015, 22

Generalizzazione e linguaggio: l alunno produttore di pensiero Nell episodio gli alunni sono stati guidati verso la costruzione collettiva di una definizione generale, pur migliorabile, e l hanno esplicitata: sono stati protagonisti come produttori di pensiero matematico originale. Tradizionalmente invece è l insegnante che fa da tramite fra momenti topici del pensiero matematico istituzionale (principi, teoremi, proprietà, eccetera) e la loro applicazione. Lugo, 10 settembre 2015, 23

Generalizzazione e linguaggio: l alunno produttore di pensiero In questi casi gli alunni sono riproduttori di una teoria alla cui organizzazione sono fondamentalmente estranei. È importante che essi vengano educati, attraverso forme di esplorazione prima individuale e poi collettiva, a produrre in linguaggio naturale conclusioni generali da condividere con i compagni e l insegnante, organizzandole in modo coerente e comunicabile, come fase intermedia verso la traduzione in linguaggio matematico. Lugo, 10 settembre 2015, 24

Le piramidi a quattro piani Lugo, 10 settembre 2015 25

Le piramidi a quattro piani: verso la generalizzazione Lugo, 10 settembre 2015 29

Piramidi, numeri pari e dispari, problemi Lugo, 10 settembre 2015 32

La piramide si alza: verso la generalizzazione Lugo, 10 settembre 2015 33

Le piramidi: verso la generalizzazione Lugo, 10 settembre 2015 34

Le piramidi: verso la generalizzazione Lugo, 10 settembre 2015 35