Progetto ArAl 1 Piramidi. Sassari 1 Circolo I Elina Chessa. 21 aprile 2009 uso del registratore

Transcript

1 Progetto ArAl Piramidi aprile 009 uso del registratore Parole chiave: INCOGNITA, LINGUAGGIO MATEMATICO, PROCESSO/PRODOTTO, RAPPRESENTAZIONE CANONICA, RAPPRESENTAZIONE NON CANONICA, RAPPRESENTAZIONE ADDITIVA, RAPPRESENTAZIONE MOLTIPLICATIVA, TRADUZIONE, TRASPARENTE/OPACO. La classe è formata da alunni, 5 femmine e 9 maschi. All inizio dell anno scolastico si avvertiva disponibilità all ascolto ma non al confronto e una forte competizione; inoltre, la maggior parte degli allievi stentava ad esprimere opinioni per paura di commettere errori, sottolineati e derisi puntualmente dal resto della classe. Gradatamente la situazione è migliorata, la partecipazione è costruttiva per quasi tutti, tuttavia un gruppo si esprime soltanto se sollecitato e qualche elemento non reagisce ad alcun intervento. La valutazione dei livelli di apprendimento risulta essere: nove alunni con buone competenze, sei sufficienti, tre completamente insufficienti. Gli alunni hanno già lavorato con le piramidi dei numeri e, essendo il contenuto alla portata di quasi tutti, ho notato maggior disponibilità al confronto ed alla costruzione. I: Vi ricordate le piramidi dei numeri? C: Sì. I: Iniziamo con le mini piramidi. Consideriamo la piramide che ha alla base i mattoncini con i numeri 0 e A.(Jessica): In alto c è 5. A (Carlo): Si scrive 05 che è trasparente. A (Elisabetta): È vero. A (Jessica): Ha ragione Elisabetta, si scrive 05, così si capisce come si ottiene. A (Erica): Anche per me. I: Abbiamo due proposte 5 e 05. Quale preferite? G:5 è più giusto. G:05, si capisce il processo, sono giusti tutti e due ma 5 è opaco. A (Elisabetta): Ho capito, ma per me è più facile 5. A (Alessandra): Non ho capito. I: 5 si può ottenere con altre coppie additive ricordi? I: E potrei continuare.quale di queste coppie contiene numeri la cui composizione additiva è 5? A (Alessandra): 05, i numeri della base. Capito. I: E allora? Bello. Mi pare che la classe condivida l uso di certi termini chiave. Conferma del commento precedente. Penso che sarebbe stato importante invitare Elisabetta a spiegare cosa intendesse con più facile. Allo stesso modo si sarebbe potuto chiedere ad Alessandra cos è che non ha capito, e attivare un chiarimento di posizioni fra le due alunne. Spesso l insegnante ritiene di capire le ragioni di una certa affermazione (o di una domanda) di un alunno e invece di chiedere a lui di spiegarsi meglio gli si sovrappone fornendo un chiarimento lui stesso o proseguendo in una direzione che forse non costituisce una vera risposta ai dubbi esposti, magari in modo confuso, dagli alunni. In questo caso, per esempio, non sono sicuro che la strada della ricerca delle coppie additive costituisca un collegamento efficace alle frasi di Elisabetta e Alessandra. Non ne sono sicuro, ma forse il non ho capito di prima di Alessandra si collocava ad un livello metacognitivo, cioè non si riferiva alle coppie additive, ma alla frase di Elisabetta relativa alla facilità di 5. Se fosse vera la mia ipotesi, il Capito di ora sarebbe un modo per uscire da una situazione dai contorni indefiniti rassicurando l insegnante.

2 Progetto ArAl Piramidi C: 05. Un gruppo di alunni, malgrado la scelta, non sembra convinto completamente. I: Ecco un altra piramide. Ora il mattoncino con l incognita si trova alla base A (Laura): Il numero è, 5 9. A (Alessandra): Non ho capito. A (Federica) indicando: Guarda, se metto, 5-9. Molti annuiscono. I: Cosa scrivo nel mattoncino vuoto? Qual è l incognita? A (Enrico): 5-9. Si vede il procedimento, il processo. A: Di queste ne abbiamo già fatte, facciamone più difficili! Tutti i compagni sono d accordo I: Va bene, non voglio annoiarvi né sottovalutarvi. Esaminiamo una piramide a tre piani. Ci sono tre mattoncini che contengono un incognita ciascuno. A voi scoprirli. I: Ora ditemi, qual è l incognita del mattoncino all apice? C: e. Scrivo alla lavagna e. e A(Carlo): No. Al posto della e si mette il. A (Erica): Sennò non è un numero 7. C: Sì, è. A Giulia): Si può scrivere. A (Elisabetta): Sbagliato, secondo me è. I: Abbiamo tre proposte: I: Quale scegliete? Ricordate che ogni risposta deve essere argomentata 8. 5 Forse ma anche qui dico forse prima di proporre una nuova situazione problematica, sarebbe stato opportuno indagare sulle ragioni della non convinzione del gruppo di alunni e porre in luce le differenze fra le rappresentazioni canonica e non canonica. Non so che alunna sia Alessandra, ma è brava perché esprime le sue non comprensioni. Federica è altrettanto brava nel cercare di aiutarla, ma in fondo la sua spiegazione è in termini di operazione-risultato. Credo che Alessandra, come altri compagni, abbia bisogno di un chiarimento sul senso della sostituzione, non sulla sua meccanica. In altri termini: il bisogno di Alessandra è ancora una volta a livello non cognitivo, ma metacognitivo. 7 Brioshi in casi come questo è un riferimento potente.

3 Progetto ArAl Piramidi A (Laura): La seconda è sbagliata, è, vuol dire. A (Jessica): Èvero! La seconda è sbagliata. Sono giuste la prima e la terza. A (Carlo): Sì, ma la terza è una rappresentazione moltiplicativa e va meglio. I: Cosa vuol dire che va meglio? A (Carlo): Quando un addizione ha i numeri uguali I: Si chiamano addendi. A (Carlo): Quando un addizione ha i numeri uguali si scrive in moltiplicazione. I: Si sintetizza con la moltiplicazione. Ditemi cosa devo scrivere. La scelta cade sulla terza proposta in modo unanime:. Scrivo. C: Facciamo un altra piramide? I: Vi piace questa? 5 0 A (Jessica): Prof esiste una piramide con zero gradini? I: Voi che ne dite? A (Laura): Una piramide con zero gradini non ha numeri anzi non ha neanche gradini, non esiste! I: Mettiamo questa situazione nella cartella delle questioni da riesaminare, ora concentratevi sulla piramide che vi ho proposto. A (Laura): 5 al primo piano a destra. C: 50. I: Lo preferite? C: È trasparente! A (Stefano): Si dice anche forma canonica 9. I: Complimenti Stefano, sono contenta che ti sia ricordato. Cosa scrivo? C: 50. I: Proseguiamo A (Luigi): 0 al secondo piano a destra. A (Valeria): No, è 5 0. A (Laura): No, è (5 0). A (Stefano): Come Laura. A (Jessica): Come Valeria. A (Elisabetta): Sono uguali. A (Giulia): Secondo me è - (5 0). A (Stefano): Sì, sì, ha ragione, è -(50). I: Ricordate di argomentare le vostre affermazioni! 8 Ottima puntualizzazione. Significa comunque che l argomentazione è una prassi metodologica nota alla classe. 9 Ogni tanto conviene riassumere il significato di questi termini. È intuitivo ma va costantemente puntualizzato e consolidato.

4 Progetto ArAl Piramidi A (Elisabetta): Io dico -0 perché stiamo scendendo 0. A (Laura): È vero, siccome stiamo scendendo ci vuole il meno. I: Il meno? A (Laura): Volevo dire la sottrazione cioè - (5 0) I: Abbiamo cinque proposte: (5 0) (5 0) I: Prima di esprimervi, riflettete, senza fretta e controllate le vostre affermazioni. Il gruppo di ragazzi più interessati guarda intensamente la lavagna, alcuni fingono arrivando a strizzare gli occhi per lo sforzo, un alunna particolarmente problematica non riuscendo a catturare l attenzione dei compagni martella il banco con la matita sbuffando. A (Laura): Ho controllato, ci vuole -(50) perché la somma dà proprio. C: L ultima, sì, l ultima. A (Stefano): Per trovare il numero al secondo piano, prendo e tolgo. il numero al secondo piano -(50), come nelle piramidi piccole A (Giulia): Ho provato a calcolare (5 0), ho fatto l espressione, il risultato è. Giusto! 50 -(50) 5 0 I: Come procediamo ora? A (Monica): Manca un numero. A(Laura): Troviamo l ultimo numero incognito. È, mi sembra. Silenzio, ad eccezione del martellio che sottolinea maggiormente la tensione e qualche litigio sottobanco. I: Come devo interpretare questo silenzio? Silenzio. I: Ah, forse vi occorre più tempo per riflettere! A (Alessandra): Non ho capito. I: Laura, come hai ottenuto il? A (Laura): Perché -(50) è la stessa cosa di e i numeri non si possono ripetere. I: Io non l ho detto, ma spiegati meglio. Cosa devo scrivere? A (Laura): -(5 0). Scrivo: 0 È importante, all interno della costruzione del balbettio algebrico, accettare sì la metafora del discendere, ma allo stesso tempo invitare a condurre le argomentazioni in un contesto più matematico collegandosi per esempio alla regola del gioco ( il numero in alto è la somma fra i numeri nei mattoni alla base ) e facendo emergere la sua rappresentazione come operazione inversa. La motivazione non mi è chiara. Quale somma dà? Cosa vuol dire Laura? Io a questo punto le chiederei di spiegarsi, altrimenti avrei la sensazione di lasciare qualcosa di interrotto sul piano del significato. È importante l argomentare, ma il contratto didattico deve prevedere, per esempio, che si debba prestare attenzione ai propri interlocutori, che non si interrompano, che l insegnante non sia l ago esclusivo della bilancia, che non sia lui l arbitro costante della correttezza delle affermazioni, e così via. Argomentare non dovrebbe essere solo raccontare, ma addurre motivazioni a supporto della propria tesi. So che non è semplice e che spesso manca l abitudine degli alunni, ma obiettivo dell insegnante dovrebbe essere costantemente quello di promuovere il livello metacognitivo. Brava Giulia! La sua verifica andrebbe esaltata, soprattutto perché è stata condotta in completa autonomia.

5 Progetto ArAl 5 Piramidi 5 0 -(50) 5 0 -(50) A (Laura): No scriva, si capisce meglio! 50 -(50) 5 0 Silenzio. I: Sembrerebbe che il nostro compito sia terminato. La piramide è completa. Avete anche verificato? Silenzio. Le loro espressioni indicano perplessità e sconforto. I: Cosa succede, non siete soddisfatti? A (Giuseppe): Non so, con la rappresentazione non canonica a volte è facile ma è anche più difficile. I: Quando è facile? A (Giuseppe): Nella piramide piccola 50 si capisce subito A (Elisabetta): Non ho capito. I: Non hai capito o non sei convinta? A (Elisabetta): Non lo so. I: Permettete all ultimo mattoncino di mettervi in crisi? Ancora sguardi sconsolati e stanchi. Considerando che sta per terminare l ultima ora, decido di intervenire. I: Proviamo a riconsiderare l ultima piramide a tre piani scrivendo nei mattoncini tutti i numeri in forma canonica. G: 5 e al secondo piano. Al primo piano a destra ci va, è. A (Giuseppe): È vero! 0 è. I: Si dice ha per risultato. A (Laura): non c era, mancava. È perché meno 0 fa I: ha per risultato A (Laura): Ha per risultato. Scrivo I: Ho scritto. Qualcuno non è d accordo? C: Va bene. È giusto! Qui sarebbe valsa la pena approfondire quel si capisce meglio. Gli alunni devono abituarsi ad ampliare il controllo semantico delle rappresentazioni e considerare normale interpretare una forma non canonica soprattutto se, come in questo caso, i numeri sono molto piccoli. Qui naturalmente interviene la confidenza con il calcolo mentale. Gli alunni incontrano difficoltà perché si concentrano sui calcoli. Devono imparare a cambiare atteggiamento e essere guidati a concentrarsi sulla struttura delle frasi matematiche. Mi spiego. Fa paura il confronto tra -(50) e perché ci sono dei piccoli calcoli mentali da eseguire: 50=5, poi -5 e così si trova il famoso. Ma in questo modo la classe rimane concentrata all interno di un calcolo, mentre invece dovrebbe affinare la capacità (meta cognitiva) di riflettere sulla struttura del numero della casella in basso a destra, e capire che esso non può essere uguale al numero nel mattone di sopra - -(50) ma che dev essere la differenza fra il numero nel mattone di sopra, e cioè -(50), e quello centrale, 0, e vedere questa differenza in linguaggio matematico: -(50)-0. 5

6 Progetto ArAl Piramidi I: Sono molto contenta di vedervi convinti e sorridenti. Ora però sono io che non capisco. Perché affermate che la rappresentazione non canonica vi piace perché è più trasparente e fornisce indicazioni sul processo e poi vi spaventate e andate in tilt e riconsiderate la forma canonica prima scartata da tutti? A (Marta): Ci sono tutte le operazioni, le parentesi G: Non ci siamo abituati 5. I: Allora sarà necessario fare più riflessioni ed esercizio. Che dite di un ultimo sforzo: riscrivere i numeri della piramide in forma non canonica? A (Stefano): Va bene, manca solo l. I: Come devo scrivere il numero? C: In forma non canonica! Lo urlano ma è evidente che sono più rassegnati che contenti per il compito richiesto. A Federica: Ci provo io. Prendo -(50) e faccio la sottrazione. A (Laura): Togli 0! A (Elisabetta): È! A (Marta): Togli 0 a - (5 0) e fa. I: Traducetelo in linguaggio matematico. A (Giulia): Aspetti. - (5 0)-0. Pausa A (Carlo): Controllata. È giusta. I: Qualche obiezione? C: No. Giusta. I: Posso completare la piramide? C: Si. 50 -(50) 5 0 -(50) Mentre scrivo l ultimo numero suona la campana e gli alunni escono frettolosamente. 5 È la conferma di quello che ho scritto nel commento precedente.