IL METODO PERT ( PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE)

IL METODO PERT ( PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE) I l met odo PERT (PROGRAM EVALUATI ON AND REVI EW TECHNI QUE) ed alt r e t ecniche come il CPM hanno por t at o all analisi e alla soluzione di pr oblemi sempr e più complessi, gr azie e sopr at t ut t o all impiego di pot ent i elabor at or i elet t r onici. I l PERT e CPM sono due met odi ut ilizzat i dagli or gani dir et t ivi per pianificare e analizzare un progetto complesso; queste due tecniche non risolvono i pr oblemi, ma per met t ono una appr of ondit a analisi collegando t ut t i i f at t or i in modo chiar o e of f r endo ut ili element i per una decisione. I l met odo Per t si f onda sopr at t ut t o sull analisi dei t empi ed è indicat o per pr oget t i nuovi di lavor i con un cer t o gr ado di incer t ezza nella det er minazione dei t empi di compiment o. Come già det t o il PERT si occupa della r ealizzazione di un pr oget t o per ò bisogna sot t olinear e che ogni r ealizzazione di un pr oget t o r ichiede l ef f et t uazione di più at t ivit à var iament e cor r elat e e t ut t e indispensabili per il r aggiungiment o dell obiet t ivo pr ef issat o. I met odi t r adizionali er ano gr avement e insuf f icient i a dominar e l enor me numer o di var iabili in gioco e quindi inadeguat i a sugger ir e decisioni t empest ive e sulla base di sempr e miglior i inf or mazioni. Quest i mot ivi e la disponibilit à di elabor at or i sempr e più pot ent i, hanno f at t o nascer e, a par t ir e dagli anni 0 in Amer ica e in Eur opa, molt o int er esse e numer ose r icer che in questo campo. Nel dicembre del97, lo Special Project Office della Marina degli U.S.A., cost it uì un gr uppo di lavor o per r ealizzar e il pr oget t o del sot t omar ino at omico Polar is, il quale si r ese cont o che, non solo doveva super ar e le dif f icolt à t ecniche, ma anche quelle r elat ive al coor dinament o e al cont r ollo degli enor mi sf or zi necessar i. A quest o pr oget t o par t ecipar ono 0 appalt at or i dir et t i e più di 9.000 sub-appalt at or i, il che implicava una gr an quant it à di r isor se e f at t or i umani non sempr e omogenei. Er a quindi necessar io elabor ar e una nuova t ecnica per pot er e sviluppar e il pr oget t o con successo ad un livello accet t abile di t empo e di cost o. I l PERT r imase segr et o milit ar e f ino al 90 e da allor a ha avut o numer osissime applicazioni nel campo indust r iale e commer ciale, sia per le impr ese pubbliche che pr ivat e; molt e amminist r azioni hanno addir it t ur a r esa obbligat or ia da par t e dei f or nit or i l esibizione del pr ogr amma PERT insieme all of f er t a. Lo scopo pr incipale del PERT è quello di or dinar e le at t ivit à al f ine di r ender e minimo il t empo di esecuzione del pr oget t o. Tale obiet t ivo, che er a f ondament ale nei pr oget t i a car at t er e milit ar e, si dimost r ò insoddisf acent e pr esso alt r e impr ese pr ivat e pr eoccupat e sopr at t ut t o dell incidenza dei cost i. I l PERT è una t ecnica basat a su r appr esent azioni r et icolar i che per met t e di analizzar e le var ie f asi di un pr oget t o scomponendolo in t ant e oper azioni element ar i legat e f r a lor o in una sequenza t empor ale. Secondo una def inizione pubblicat a sul Gener al Elect r ic il PERT viene così def init o il PERT è una t ecnica di pianif icazione, pr oget t azione e cont r ollo che ser ve ad evidenziar e le var ie f asi

che compongono un piano, le lor o r ecipr oche inf luenze e a localizzar e le f asi st esse nel t empo. I l met odo può esser e ut ilizzat o sia a livello dir igenziale, per ché of f r e una visione sintetica del problema e aiuta a prendere le decisioni, sia a livello esecutivo come st r ument o di lavor o. I l PERT viene applicat o nella pr oget t azione di nuovi impiant i, nelle cost r uzioni edili e navali, nella pr ogr ammazione di r icer che scient if iche, nella pr epar azione di bilanci f inanziar i, nella pr ogr ammazione della produzione, nell inst allazione di sist emi di calcolo e in t ant i alt r i campi nei quali il f at t or e t empo è di not evole impor t anza. I l met odo non solo è ut ile nel moment o della pr oget t azione, ma per met t e di seguir e l esecuzione dei lavor i per pot er int er venir e in caso di r it ar di e di inconvenient i che si possono pr esent ar e nel cor so dei lavor i. Per t ant o la pr ogr ammazione di un pr oget t o si r ealizza seguendo queste fasi: ) ANALISI DEL PROGETTO Essa consiste: a) elencazione delle attività; b) indicazione delle relative durate; c) precisazione delle dipendenze logico - temporali tra le attività. Esempio ELENCO DELLE ATTI VI TA NECESSARI E PER I L LANCI O DI UN NUOVO PRODOTTO; LORO DURATA O PRECEDENZE DESCRIZIONE DURATA ATTI VI TA ATTI VI TA IMMEDIATAME NTE PRECEDENTI A ORGANIZZAZIONE UFFICIO VENDITE - B ASSUNZIONE DEI VENDITORI A C ADDESTRAMENTO DEI VENDITORI 7 B D SCELTA DELL AGENZI A PUBBLI CI TARI A A E SCELTA DELLA CAMPAGNA PUBBLICITARIA D F EFFETTUAZIONE DELLA CAMPAGNA E PUBBLICITARIA G STUDIO DELLA CONFEZIONE - H PREPARAZIONE DELLA CONFEZIONE G I CONFEZIONE DELLA MERCE H-L L ORDINE DELLA MERCE AI FORNITORI - M SCELTA DEI DISTRIBUTORI A N VENDITA AI DISTRIBUTORI 9 C-M O SPEDIZIONE AI DISTRIBUTORI I -N

) STESURA DEL RETICOLO I l pr oget t o dell analisi di vast i pr oget t i f u acceler at o quando si osser vò che le at t ivit à element ar i si pr est avano ad una r appr esent azione gr af ica. I l pr oget t o per t ant o può esser e r appr esent at o da un r et icolo che non è alt r o che un insieme di punt i, dei nodi, collegat i da segment i or ient at i, det t i ar chi. Se f acciamo r if er iment o all esempio espost o, il r et icolo che ot t eniamo è il seguent e: [] (9) [] (0) E() F () 0 A () D () [7] (7) [] () [] () B() [] () M () 8 N (9) [] () G () H() [] (7) I () 7 L () [] () 9 O() a) le attività sono rappresentate da archi; b) gli ar chi or ient at i ver so i nodi r appr esent ano le at t ivit à che devono esser e complet at e pr ima che le at t ivit à r appr esent at e dagli ar chi che par t ono dal nodo possano iniziare; c) ciascun nodo r appr esent a un event o, che è una r ealizzazione specif ica, definibile e collegabile ad un particolare istante del tempo. Gli event i possono esser e iniziali ed event i f inali di ogni at t ivit à; essi sono cont r assegnat i con un codice numer ico e ser vono come punt i di cont r ollo del pr oget t o. Se ci t r oviamo di f r ont e a più at t ivit à che concor r ono in uno st esso nodo, allor a si dir à che l event o si è ver if icat o quando t ut t e le at t ivit à che ar r ivano al nodo sono complet at e. Ad ogni at t ivit à è associat a una dur at a, espressa in una certa unità di misura del tempo ( ore, giorni, mesi). Un at t ivit à viene indicat a con una let t er a a due indici A ik dove i è l event o iniziale e k è l event o f inale dell at t ivit à. Ad ogni at t ivit à cor r isponde una coppia di indici, e vicever sa Nel r et icolo la lunghezza della f r eccia o dell ar co è indipendent e dalla durata dell at t ivit à st essa, inolt r e può succeder e che f r a due nodi si possa t r ovar e un at t ivit à di dur at a zer o, che viene r appr esent at a per comodit à con un

segment o t r at t eggiat o, e ser ve per indicar e una r elazione di pr ecedenza f r a eventi, che non comporta una relazione di lavoro. )RICERCA DEL CAMMINO CRITICO Il cammino crit ico non è alt r o che la successione di at t ivit à che r ichiede il massimo t empo. Ad ogni ver t ice viene associat o un t empo, t empo al più pr est o t i che è il t empo occor r ent e per ché t ut t e le at t ivit à che ar r ivano a quel ver t ice siano compiut e ed è pur e il t empo di inizio delle at t ivit à che par t ono da quel ver t ice. I l t empo è det t o al più pr est o in quant o si t r at t a del t empo nel quale l event o si ver if icher à se le at t ivit à pr ecedent i sono st at e iniziat e il più pr est o possibile. Post a eguale a zer o la dat a r elat iva all event o iniziale, i t empi al più pr est o di ogni ver t ice successivo si ot t engono sommando al t empo al più pr est o dei ver t ici pr ecedent i le dur at e delle at t ivit à che hanno or igine in essi e pr endono il valor e maggior e che r appr esent a pr opr io la dat a in cui t ut t e le at t ivit à che f iniscono in esso sono complet at e. Fr a t ut t i i cammini che collegano l event o iniziale con l event o f inale, quello che r ichiede maggior t empo è il cammino cr it ico. I l cammino cr it ico si r icava par t endo dall event o f inale e cer cando a r it r oso la successione delle at t ivit à la cui somma delle dur at e è il t empo associat o all event o f inale. Esempio Sia dato il seguente progetto formato da eventi, 0 è l event o iniziale e è l event o f inale del proget t o: ATTI VI TA (0,) (0,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) A JK DURATA t jk Cost r uiamo il r et icolo, post a eguale a zer o la dat a iniziale, al ver t ice E associamo t =, al ver t ice E,che è di ar r ivo di due at t ivit à, associamo t =, che è il valore maggiore fra 0+ e +: [9] [] [0] (0 0 [] [] [9]

I l cammino cr it ico è quello che collega i ver t ici E 0 -E -E -E e nella f igur a è rappresentato dalla linea più marcata. E molt o impor t ant e concent r ar e l at t enzione sulle at t ivit à cr it iche, sia in f ase di pr oget t azione per esaminar e se è possibile r idur ne la dur at a, sia dur ant e l esecuzione del pr oget t o, per ché ogni event uale r it ar do di una di esse det er mina un r it ar do nel compiment o dell int er o pr oget t o, ment r e le at t ivit à non cr it iche sono flessibili ed entro certi limiti possono ammettere dei ritardi. Olt r e alle dur at e f inor a int r odot t e si calcolano alt r e dur at e, t empi al più t ar di t* i, che non sono alt r o che i t empi che si associano ai ver t ici par t endo dalla dat a f inale del pr oget t o e sot t r aendo le dur at e delle at t ivit à. I l t empo al più t ar di di un ver t ice indica la dat a massima ammissibile per l0inizio delle at t ivit à che par t ono da quel ver t ice in modo da non causar e r it ar di al compiment o del pr oget t o. I l "t empo al più prest o " viene calcolat o t enendo cont o delle at t ivit à che st anno a mont e dell' event o, ment r e il "t empo al più t ardi" viene calcolat o tenendo conto delle attività che stanno a valle dell'evento. Nei ver t ici cr it ici i due t empi coincidono in quant o non si può r it ar dar e l inizio delle at t ivit à cr it iche che par t ono da essi, r agion per cui si appr of ondisce l analisi dei t empi, sia per i ver t ici, sia per le at t ivit à. Per un ver t ice la dif f er enza t r a i due tempi è dett a tempo di slittamento (Sc) i tale intervallo nei vertici critici è zer o. I l t empo di slit t ament o dell event o indica quant o r it ar do sia possibile t oller ar e nel r aggiunger e l event o senza r it ar dar e il complet ament o del pr oget t o. i pot r ebbe anche def inir e cammino cr it ico un per cor so nel r et icolo at t r aver so i vertici che hanno tempo di slittamento nullo. Esempio Nell esempio che stiamo studiando, al vertice E è associato il tempo al più tardi t* =9, al vertice E il tempo al più tardi t* =, al vertice E,dal quale escono le due attività A e A,è associato il tempo al più tardi t* = ( minimo fra - e -); [,] [9,] [,] [0,0] 0 [,] [9,9] I tempi di slittamento sono dati dalla seguente tabella :

VERTICI t i T* i (Sc) i 0 0 0 0 0 9 9 9 0 0 Nei ver t ici con slit t ament o non nullo si ha un int er vallo di t empo ent r o cui è possibile t er minar e le at t ivit à che ar r ivano in essi o iniziar e le at t ivit à che partono da essi, senza ripercussione sulla data finale. Per quant o r iguar da le at t ivit à si possono calcolar e i cosiddet t i mar gini, o scorrimenti, che rappresentano intervalli di tempo in cui ogni singola attività, che non sia cr it ica, può esser e r it ar dat a. Sia A ik l at t ivit à che inizia dal ver t ice E e termina nel vertice E k, si definiscono due margini nel modo seguente: margine libero = t k - t i - t ik margine totale = t* k - t i - t ik. Il margine t ot ale è il massimo int er vallo di t empo di cui può dispor r e un at t ivit à senza modif icar e la dat a di t er mine del pr oget t o, ma se è sf r ut t at o complet ament e può condizionar e l inizio delle at t ivit à successive. Le at t ivit à cr it iche hanno mar gine t ot ale nullo.; ment r e le at t ivit à non cr it iche hanno mar gine t ot ale non nullo e pr opr io per l esist enza di t ale mar gine possono esser e r it ar dat e, o t er minat e pr ima, o eseguit e in un t empo maggior e. Quest e diver se possibilità danno origine ad un risparmio nel costo. Il margine libero è pr opr io dell at t ivit à e r appr esent a la quant it à di t empo disponibile che può esser e ut ilizzat a senza dist ur bar e la dur at a del pr oget t o, pur chè non sia st at a spost at a la dat a del "t empo al più pr est o" del suo event o iniziale. Esempio Nel reticolo precedente si hanno i seguenti margini: ATTI VI TA MARGINE LIBERO MARGINE TOTALE (0,) 0 (0,) 0 0 (,) (,) (,) 0 (,) 0 0 (,) (,) (,) 0 0

L at t ivit à A ha mar gine t ot ale, quindi può iniziar e dopo unit à di t empo e t er minar e al t empo, in quest o modo,per ò, l at t ivit à A non ha più possibilit à di margine. L at t ivit à A ha un mar gine liber o, pur chè le at t ivit à che giungono nel ver t ice E siano state completate al tempo 9. Uno dei pr oblemi che ci si può por r e è quello di cer car e di r idur r e la dur at a del pr oget t o; quest o è possibile solo se diminuisce la dur at a delle at t ivit à cr it iche.; per ò t ut t o quest o compor t a uno sf or zo maggior e e sopr at t ut t o un cost o maggiore. I nolt r e si deve r idur r e il t empo di cer t e at t ivit à in modo da non aument ar e il numero delle attività critiche, o aumentarlo il meno possibile. Esempio Nel nostro esempio voglio far vedere come si può ridurre di unità di tempo la durata del lavoro. Se applichiamo la riduzione dell at t ivit à A e A port andola a unit à di t empo, divent ano crit iche le at t ivit à A e A come si evince dal nuovo reticolo: [,] [9,9] [,] [0,0] 0 [,] [9,9] Se invece si r iduce di unit à la dur at a dell at t ivit à A e di unit à la dur at a dell at t ivit à A 0,divent ano cr it iche le at t ivit à A 0 e A, così come si evince dal nuovo reticolo: 7

[,] [8,9] [0,0] 0 [,] [,] [8,8] I n ognuno dei due casi aument a il numer o delle at t ivit à cr it iche da cont r ollar e, e per t ant o occor r e decider e se quest a r iduzione è convenient e, senza t ener e conto che in questo caso si ha un aumento dei costi. PERT COMPLETO ( PERT con dati aleatori ) 8

Finor a abbiamo t r at t at o del met odo PERT at t r ibuendo alle var ie at t ivit à delle dur at e cer t e, ma nella r ealt à le dur at e delle var ie at t ivit à sono quasi sempr e, o per meglio dir e sempr e, aleat or ie e per t ant o le lor o dist r ibuzioni si possono solamente ottenere mediante le rilevazioni statistiche. Per pot er ef f et t uar e quest o vengono r ichiest e al r esponsabile, che come ho det t o può eseguir le per sonalment e oppur e può f ar r icor so all aiut o di oper ai, t r e valori: la durata ottimistica, che indicherò con a; la durata pessimistica, che indicherò con b; la durata più probabile, detta anche durata normale, che indicherò con m. Volendo r appr esent ar e gr af icament e quest i valor i const at iamo che la var iabile aleat or ia, dur at a dell at t ivit à, ha una dist r ibuzione che viene r appr esent at a da una curva asimmetrica, o simmetrica rispetto al valore m più probabile: Prob. Prob. Prob. a m t e b t a m t e b t a t e m b t Dai gr af ici possiamo dimost r ar e che è gener alment e una buona st ima della durata la media ponderata : a t e = m b questa formula mi rappresenta la durata più attendibile. I l valor e t è maggior e di m se la dist r ibuzione è asimmet r ica a dest r a, minor e di m se è asimmetrica a sinistra, coincidente con m se la distribuzione è simmetrica. Per ò la dur at a è una var iabile aleat or ia e quindi occor r e associar e a t ale valor e medio la var ianza, che dipende dall int er vallo di indecisione b-a ; la var ianza è data dal seguente calcolo: 9

= b a e misur a il gr ado di incer t ezza della dur at a pr evist a dell at t ivit à. La var ianza è uguale a zero solo se a = b. La durata totale D T l ot t eniamo sommando tutte le durata medie t delle attività del cammino critico: D T = t e + t e +... + t e k se k sono le attività critiche. La var ianza t ot ale si può ot t ener e come la somma delle var ianze delle at t ivit à cr it iche in quant o la somma di più var iabili aleat or ie t ende a dist r ibuir si secondo la dist r ibuzione nor male avent e per media la somma delle medie e per var ianza la somma delle varianze. Perciò la varianza totale del progetto è data dalla seguente formula: T = crit Se indichiamo con D una dur at a t ot ale ipot izzat a del pr oget t o, si può, ut ilizzando le t avole della dist r ibuzione nor male, valut ar e il gr ado di at t endibilit à, calcolando la probabilità che la variabile aleatoria: assuma quel valore. D= durata totale del progetto Esempio 0

Dato il seguente progetto con le stime delle durate, calcolare il cammino critico, la durata totale, lo scarto quadratico medio e valutare il grado di attendibilità del progetto se si vuole che la durata sia non superiore a 70 unità di tempo, o non superiore a 8 unità di tempo: Durata Attività (0,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) a 0 0 8 0 7 8 m 0 0 0 0 8 b 0 0 0 8 8 Calcoliamo i tempi medi a t e = m b ATTI (0,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) VI TA t e 7,, 0 0 0, 8 Tracciamo il reticolo e determiniamo il cammino critico: [;] [0,0], [0;0] 7, 0 0, [7,;7,] 0 [7,;7,] 0 [8;8] [7;7] 8 [9,;] [0,0] Quindi la durata totale con i tempi medi delle attività critiche è: D T = 7, + 0 + 0, + 8 + = 7 ( unità di tempo ) Calcoliamo le varianze delle attività critiche:

0, =,, = 0, =,, = 0 da cui ricaviamo lo scarto quadratico medio relativo al cammino critico: =,, 8, 0 7, che esprime lo scarto quadratico medio della durata del progetto. Per trovare il di attendibilità per una durata ipotizzata D i 70 si passa alla variabile normale standardizzata: Z= D i - D T Si ha : P(D i 70 )= P(Z -0,79)= 0,8 P(D i 8 )= P(Z,8)= 0,88 Quindi vi è la probabilità del,8% che la durata totale del progetto i non superi il tempo di 70 unità, mentre la probabilità che la durata non superi il t empo di 8 unit à è dell 88%.

Approfondimento: IL METODO CPM Il metodo CPM, Critical Path Method, tiene conto delle conseguenze che si sono ottenute per ridurre il tempo di esecuzione totale di un progetto per mirare alla r iduzione della dur at a di alcune at t ivit à cr it iche, ma quest a r iduzione det er mina un aument o del cost o dir et t o. I nf at t i se ci r if er iamo al mondo dei cont r at t i è pr evist a una penale in caso di r it ar do nell esecuzione del pr oget t o ed un pr emio in caso di ant icipo sulla dat a f inale st abilit a.lo scopo che ci dobbiamo per t ant o pr ef igger e è quello di cer car e di pr eoccupar ci di r icavar e una r elazione f r a dur at a e cost o di ogni at t ivit à e sopr at t ut t o f r a dur at a e cost o t ot ale del pr oget t o. I l met odo CPM int r oduce una t ecnica che per met t e di pr ogr ammar e un pr oget t o con una combinazione ot t ima di cost o dur at a. I l CPM insieme al PERT è uno dei met odi ut ilizzat i dagli or gani dir et t ivi per pianif icar e e analizzar e un pr oget t o complesso. Quest a t ecnica non r isolve i pr oblemi, ma per met t e una appr of ondit a analisi collegando t ut t i i f at t or i in modo chiar o e of f r endo ut ili element i per una decisione. I l CPM è applicat o in pr oget t i di cui sia f acile, per esper ienze pr ecedent i, det er minar e i t empi ed i cost i di r ealizzazione e per i quali int er essi conoscer e la combinazione delle dur at e delle var ie f asi di lavorazione che permette di realizzare il progetto al minimo costo. Se facciamo riferimento a tutte le attività che si svolgono per poterle realizzare r ichiedono un cer t o t empo per esser e complet at e, quest o è possibile sia aument ando o diminuendo ent r o cer t i limit i quest a dur at a diminuendo o aument ando le r isor se impiegat e,uomini, macchinar i, e quindi conseguenza molt o logica e dipendent e da quest i due f at t or i,ma per meglio dir e dalla lor o combinazione, i costi. La durata di una attività si potrà ridurre fino ad un determinato valore d, detto durat a limit e,cui cor r isponde un cer t o limit e C che r isult a il maggior e. Per ò si può aument ar e la dur at a dell at t ivit à f ino ad un valor e massimo D det t o durata normale,cui corrisponde il costo più basso, costo normale C. Tra la durata limite e la durata normale vi sono varie durate t : d ik < t ik < D ik cui corrispondono i relativi valori dei costi. Si suppone che ad ogni incr ement o di dur at a cor r isponda pr opor zionalment e una r iduzione di cost o e t ut t o quest o è possibile r appr esent ar e mediant e un segmento di retta.

p ik C L costi C N d ik t ik D ik t Il coefficiente angolare di tale retta è la variazione di costo per unità di tempo: c ik = C N C L D ik d ik La retta del costo si può quindi rappresentare con la funzione : f(t) = p ik - C ik. t ik dove c ik è il costo marginale e p ik è una costante. Il costo totale del progetto risulta P = i, k p ik - i, k c ik.t ik dove le sommatorie sono estese a tutte le attività del progetto. Esempio Sia dato un progetto del quale sono note le durate limite e normale di ogni attività con relativi costi, dopo avere tracciato il reticolo calcoliamo la durata ed il costo del progetto nei due casi estremi di durata limite e di durata normale di ogni attività: At t ivit a Durata Costo Costo per unità di tempo

Normale Limite Normale Limite c ik (0,) 0 00 0 0 (0,) 8 80 70 (,) 0 00 00 0 (,) 9 0 00 (,) 0 70 0 0 (,) 00 00 - (,) 9 00 700 0 (,) 8 00 800 00 Tracciamo il reticolo attribuendo come durate, le durate normali: [0;0] [, ] [,] [0;0] 0 9 8 [0,0] 0 8 0 [8,] [8,8] durata totale : = settimane (tempo massimo) costo totale = L.70.000 (costo minimo) Il cammino critico è dato da E o E E E E, la durata massima del progetto è quindi di settimane con un costo dato dalla somma di tutti i costi normali, che risulta di.70 ( migliaia di lire ). Tale costo è il minimo possibile e il tempo è il massimo. Vediamo ora il cammino critico attribuendo ad ogni attività del progetto la sua durata limite:

[,] [,] 0 9 [,] [0,0] 0 [,9] [9,0] Durata totale : settimane (durata minima) costo totale : L.70.000 (costo massimo) I l cammino cr it ico r isult a or a E o E E E con una dur at a minima di settimane ed un costo, che è il massimo, di L..70. Fr a quest e due sit uazioni est r eme esist ono molt e alt r e combinazioni di dur at a- costi. Ad esempio, partendo dal reticolo con le durate normali, cerchiamo di accelerare qualche at t ivit à cr it ica, iniziando da quelle con cost i mar ginali minor i. L at t ivit à cr it ica con cost o mar ginale minor e è la A 0 la cui dur at a è di set t imane, conviene per ò por t ar e la dur at a a set t imane in quant o una r iduzione maggior e non por t er ebbe vant aggi alla dur at a complessiva essendo l ar co E 0 E E di 7 settimane. Si ricava il nuovo reticolo: [,] [7,7] [,] [,] 9 8 [0,0] 0 8 [8,8] 0 [,]

Durata totale: settimane; costo totale: L..70.000 La situazione che si ottiene è data da due cammini critici: ) E 0 E E E E ; ) E 0 E E E E ; una durata di settimane e un costo di L..70.000. Se f acciamo qualche r if lessione not iamo che in quest o caso sono aument at e le at t ivit à cr it iche e quindi l esecuzione del pr oget t o necessit a di maggior e controllo. I nf at t i se indichiamo con la dur at a t ot ale del pr oget t o, si t r at t er r à di t r ovar e i valor i delle t ik che r endono minimo il cost o t ot ale al var iar e di f r a il valore con durate limiti e il valore con durate normali delle attività. Il problema si può cercare di risolvere facendo ricorso e applicando un modello di programmazione lineare in cui le variabili sono le durate t ik delle attività A ik. Il problema che ne deriva è quello di rendere minimo il costo totale P: P= i, k p ik - i. k c ik.t ik ( dove le sommatorie sono estese a tutte le attività A ik ) Questo non è altro che rendere massima la funzione: Z = i, k c ik. t ik Con i seguenti vincoli: t ik D ik t ik d ik t ik R i dove R i sono tutti i possibili cammini che collegano E 0 con E n. Si t r at t a di un pr oblema di P.L. par amet r ico in quant o alcuni limit i dei vincoli contengono il parametro. In questo caso si fa ricorso al metodo del simplesso e pertanto si dovranno porre le condizioni a e si ricaveranno le soluzioni in funzione di. 7

I l pr oblema che ci t r oviamo per t ant o di f r ont e è di complessa soluzione per il gr ande numer o di var iabili e di vincoli, ecco per ciò che occor r e ser vir si di un elaboratore elettronico e di specifici programmi. 8