Introduzione LOGICA DEI PREDICATI Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Prof. Ing. Fabio Roli La logica dei predicati, o logica del primo ordine (LPO) considera schemi proposizionali composti da proposizioni predicati termini individuali (argomenti dei predicati) connettivi (gli stessi della logica proposizionale (LP) ) i quantificatori corrispondenti agli operatori tutti e qualche del linguaggio naturale Il significato di logica del primo ordine sarà chiarito più avanti La sintassi e la semantica della LPO, decritte in questo capitolo, possono essere considerate un estensione della sintassi e della semantica della LP Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 2 Predicati e termini individuali Termini individuali semplici e composti Nel linguaggio formale della LPO, così come nel linguaggio naturale, sia i predicati che i termini individuali che ne costituiscono gli argomenti possono essere di due tipi: variabili e costanti Luca,!5, il Danubio sono costanti individuali, in quanto denotano un singolo oggetto (o individuo) determinato lui, questo, x sono invece variabili individuali, in quanto denotano un individuo generico, che può variare a seconda dell enunciato e del contesto essere cugino di, essere uguale a sono costanti predicative, in quanto denotano un predicato determinato i simboli usati per indicare predicati generici (per es. il simbolo A nello schema tutti gli uomini sono A ) sono invece variabili predicative, poiché il predicato corrispondente può variare a seconda dell enunciato e del contesto Sia in LPO che nel linguaggio naturale i termini individuali si distinguono tra semplici e composti, indipendentemente dalla distinzione tra costanti e variabili i nomi propri e i pronomi (per es. Luca, il Danubio, lui, questo ) sono termini semplici le espressioni che denotano un singolo individuo in funzione di uno o più altri individui singoli sono invece termini composti (per es.!5, la capitale della Francia, la casa più vecchia della via più lunga di Napoli, 2+3, x 2 y 2, min{x,y,z} ). Nella LPO la dipendenza funzionale va intesa in senso matematico Si noti che i termini semplici possono essere sia costanti individuali (per es. Luca, il Danubio ) che variabili individuali ( lui, questo ) Analogamente, i termini composti possono essere costanti individuali (per es.!5, la capitale della Francia ), oppure possono denotare individui generici ( x 2 y 2, min{x,y,z} ), anche se in quest ultimo caso non hanno lo stesso ruolo sintattico delle variabili individuali Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 3 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 4
Sintassi della LPO: termini individuali Sintassi della LPO: predicati Una delle convenzioni più usate per indicare i termini individuali è la seguente costanti individuali semplici: simboli o nomi con l iniziale maiuscola ed eventuali pedici (es.: X, Y, Z 1, John, Wumpus, ecc.) variabili individuali semplici: simboli o nomi con l iniziale minuscola ed eventuali pedici (a, b, x 1, y 1, pit, ecc.), esclusi i simboli t, t 1, t 2,... (vedi sotto) termini composti: si usa la notazione matematica f(...), dove gli argomenti, separati da virgole, sono a loro volta (ricorsivamente) termini individuali funzioni generiche: si usano i simboli F, F 1, F 2,..., detti variabili funzionali funzioni determinate, di significato già noto: si usano nomi simbolici con l iniziale maiuscola (es.: Successore, Cugino, ecc.), detti costanti funzionali Es.: F(a), F 1 (x,y), Successore(X), Successore(Successore(X)), ecc. In alcuni casi è comodo indicare genericamente un termine individuale senza specificare se sia costante o variabile, semplice o composto: per questo scopo si usano i simboli t, t 1, t 2,... I predicati e le proposizioni sono invece indicati nel modo seguente variabili predicative e proposizionali: le lettere maiuscole P, Q, R,... (la distinzione tra proposizione e predicato sarà chiara dal contesto) costanti predicative: nomi simbolici di predicati determinati, di significato noto (es.: Pari, Dispari, Adiacente, Uguale, ecc.) La notazione usata per indicare un predicato applicato a una sequenza di argomenti (termini individuali) è P(t 1 ) Es.: Pari(X), Adiacente(c 1,c 2 ), Uguale(a,b) Spesso è comodo indicare alcune costanti predicative con simboli di uso comune, per es. = e <, invece che con nomi simbolici come Uguale e Maggiore In questo caso, al posto della notazione prefissa P(t 1 ), si adotta una notazione equivalente derivata dall uso comune, per es.: (x = y) al posto di Uguale(x,y) (A > F(x)) al posto di Maggiore(A,F(x)) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 5 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 6 Sintassi della LPO: formule atomiche e composte Formule atomiche e composte: esempi Una fbf atomica della LPO ha la forma P(t 1 ), dove P è un predicato a n argomenti t 1 sono termini individuali semplici Come caso particolare, un intera proposizione può essere vista come un predicato a zero argomenti. Anche una variabile proposizionale (per es. Q) è quindi una fbf atomica della LPO Una formula del tipo P(t 1 ) in cui almeno uno dei termini sia composto è invece una fbf composta I connettivi usati nella LPO sono gli stessi della LP. Di seguito si considereranno i connettivi "# $# % e & Le definizioni di fbf ottenute per mezzo dei connettivi sono le stesse della LP se H è una fbf qualsiasi, "H è una fbf (composta) se H e K sono fbf qualsiasi, H$K, H%K e H&K sono fbf (composte) Formule atomiche P Q(a,b), Q(x,y), Q(a,z) Formule composte R(F 1 (a)), R(F 1 (x)), R(F 1 (F 2 (b,x))), Q(c,F 3 (d)) "P, "Q(a,z), P $ Q(x,y), Q(a,b) % R(F 1 (x)), Q(c,F 3 (d)) & Q(a,b) ( P % Q(x,y) ) $ R(F 1 (x)), Q(a,b) & ( P $ Q(x,y) ) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 7 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 8
Sintassi della LPO: quantificatori Sintassi della LPO: quantificatori I quantificatori tutti e qualche del linguaggio naturale si indicano in LPO rispettivamente con i simboli ' e ( Indicando con H[x] una generica fbf della LPO contenente la variabile individuale x, i quantificatori sono usati per codificare proposizioni della forma per ogni individuo x la proposizione H[x] è vera per qualche individuo x la proposizione H[x] è vera La sintassi dei due tipi di proposizioni nella LPO è la seguente 'x H[x] (x H[x] Esempi: 'x (R(x) & S(x)), 'x (R(x) % Q(a,x)), (x (R(F 1 (x)) $ Q(x,y)) In realtà non tutte le formule della forma 'x H[x] e (x H[x] sono fbf: la sintassi della LPO pone alcune limitazioni sulla fbf H[x], legate ai concetti di raggio d azione dei quantificatori e di variabili libere o vincolate il raggio d azione di un quantificatore è l espressione subito alla sua destra (delimitata da parentesi per evitare ambiguità), sulla quale esso agisce una variabile individuale in una fbf è vincolata se è compresa nel raggio d azione di un quantificatore che agisce su di essa, è libera altrimenti Esempi il raggio d azione di 'x in 'x (P(x) % Q(x)) $ R(x) è P(x) % Q(x), mentre in 'x ((P(x) % Q(x)) $ R(x)) è (P(x) % Q(x)) $ R(x). Nel primo caso, la x di R(x) è libera, nel secondo caso tutte le occorrenze della x sono vincolate il raggio d azione di (x in (x (R(x,y)) $ Q(y) è R(x,y). La x in R(x,y) è vincolata, mentre le occorrenze della y sono libere Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 9 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 10 Sintassi della LPO: quantificatori Sintassi della LPO È ora possibile completare la definizione delle fbf della LPO con le seguenti regole: se H è una fbf e x è una variabile individuale libera in H, allora 'x H e (x H sono fbf nient altro è una fbf La prima regola implica che non è consentito quantificare una variabile già vincolata. Es.: se H[x] è una fbf e x è libera in H, non sono fbf formule come 'x ('x H[x]), 'x ((x H[x]), (x ('x H[x]) e (x ((x H[x]) non è consentito quantificare una variabile che non compaia in una fbf. Es.: formule come 'z P(x,y) e (w (P(x) & 'z S(y,z)) non sono fbf Riassumendo, le regole che definiscono la sintassi della LPO sono le seguenti le variabili proposizionali P, Q,... sono fbf (atomiche) i predicati della forma P(t 1 ) sono fbf (atomiche se t 1 sono termini individuali semplici, composte se almeno uno dei t i è composto) se H è una fbf, "H è una fbf (composta) se H e K sono fbf, H$K, H%K e H&K sono fbf (composte) se H è una fbf e x è una variabile individuale libera in H, allora 'x H e (x H sono fbf nient altro è una fbf Se una fbf contiene solo variabili vincolate si dice chiusa, altrimenti si dice aperta Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 11 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 12
Semantica della LPO: termini individuali e predicati Semantica della LPO: formule chiuse La definizione della sematica della LPO, cioè del significato delle sue fbf, è più complessa rispetto a quella della LP, e richiede tre passi preliminari definizione di un universo, o dominio, cioè l insieme (finito o infinito) di individui che si prendono in considerazione (per es., l insieme degli studenti che seguono un dato corso, l insieme dei numeri naturali, ecc.) interpretazione (definizione del significato) delle costanti individuali: una costante individuale denota un determinato individuo del dominio interpretazione dei predicati: il significato di un predicato a n argomenti è la sua estensione, cioè l insieme di n-uple (ordinate) del dominio per cui il predicato è vero. Es.: nel dominio (infinito) dei numeri naturali {0, 1, 2,...} il significato (estensione) del predicato binario maggiore di è l insieme (infinito) di coppie ordinate (m,n) tali che m>n: {(1,0), (2,0),..., (2,1),... } il significato della relazione unaria essere un numero pari è l insieme di singoletti {(2), (4), (6),... } Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 13 Si considerino ora fbf chiuse: analogamente alla LP, tali fbf hanno un valore di verità che può essere o vero oppure falso, e si determina come segue Dati un dominio U e un interpretazione I di costanti individuali e predicati: una fbf atomica chiusa del tipo P(t 1 ) sarà vera se la n-upla di elementi di U (u 1,u 2,...,u n ) tali che u i sia l intepretazione di t i fa parte dell estensione di P, falsa altrimenti se H e K sono fbf chiuse, il valore di verità di "H, H$K, H%K e H&K è definito dalle tavole di verità dei connettivi se H[x] è una fbf in cui solo la variabile x è libera la fbf 'x H[x] è vera se la formula H[t], dove t è una costante individuale, è vera per ogni elemento del dominio, cioè se non esistono elementi del dominio per cui H[t] è falsa (intuitivamente, 'x H[x] rappresenta l enunciato tutti gli elementi del dominio godono della proprietà H ) la fbf (x H[x] è vera se e solo se la fbf H[t] (con t costante individuale) è vera per almeno un elemento del dominio, (intuitivamente, (x H[x] rappresenta l enunciato qualche elemento del dominio gode della proprietà H ) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 14 Semantica delle formule chiuse: esempi Semantica delle formule chiuse: esempi Si consideri il dominio delle capitali degli stati europei {Roma, Parigi,...} sia l individuo Roma l interpretazione della costante individuale Roma e l individuo Parigi quella della costante individuale Parigi sia {(Roma), (Parigi),...} l estensione del predicato P (P potrebbe quindi rappresentare il predicato essere una capitale ) e ) l estensione di Q (che potrebbe rappresentare il predicato essere un fiume ) Allora, secondo le regole precedenti P(Roma), P(Parigi), P(Roma)$P(Parigi), "Q(Roma), 'x P(x) e "((x Q(x)) sono fbf vere Q(Roma), (x Q(x), "P(Parigi), P(Roma)$Q(Parigi) e P(Roma)&Q(Parigi) sono fbf false Si noti che in LPO non si può parlare di verità o falsità di una fbf in generale, ma solo in rapporto a un dato dominio Si consideri per es. la fbf 'x ((y (y<x)), in cui il simbolo < è una costante predicativa con l usuale significato essere minore di nel dominio dei numeri naturali N={0, 1, 2,...} tale fbf rappresenta l enunciato ogni numero naturale è maggiore di qualche numero naturale. L estensione di < è l insieme delle coppie odinate (m,n) di elementi di N tali che m<n. In tale dominio la fbf è falsa, poiché 0 non è maggiore di nessun numero naturale. In modo più rigoroso, si noti che la fbf (y (y<0) è falsa, e quindi secondo la semantica di ', 'x ((y (y<x)) è falsa nel dominio dei numeri reali la fbf precedente è invece chiaramente vera Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 15 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 16
Semantica della LPO: formule aperte Soddisfacibilità e validità Si consideri la fbf aperta (x<a), nel dominio dei numeri naturali e nell interpretazione usuale del predicato <. Sia inoltre il numero 5 l interpretazione della costante individuale A Nel dominio e nell interpretazione dati, la fbf (x<a) è vera o falsa? Per stabilirlo è necessario un passo ulteriore, che consiste nell intepretare anche la variabile libera x. È chiaro che se x denota per es. il numero 3, la fbf è vera, mentre è falsa se x denota il numero 8 Quindi la verità delle fbf aperte dipende anche dall interpretazione di tutte le variabili libere NOTA: l utilità delle fbf aperte sarà chiarita nel prossimo capitolo, quando si presenterà la regola d inferenza di eliminazione del quantificatore esistenziale Dato un dominio, si dice modello un interpretazione dei predicati e delle costanti individuali In generale, una data fbf (sia chiusa che aperta) potrà essere vera o falsa a seconda del dominio considerato e del modello, come le fbf 'x ((y (y<x)) e (x<a) di esempi precedenti. Tali fbf sono dette soddisfacibili Esistono però anche fbf la cui verità o falsità non dipende nè dal dominio nè dal modello, ma solo dalla loro forma. Tali fbf sono cioè vere (false) per qualunque dominio e qualunque modello, e sono dette valide (contraddittorie). Per es., è facile verificare che 'x (P(x) & P(x)), P(x) % ("P(x)) e P(A) % ("P(A)) sono valide (x (P(x) $ ("P(x))), P(x) $ ("P(x)) e P(A) $ ("P(A)) sono contraddittorie Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 17 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 18 Osservazione sui quantificatori Formule con il quantificatore universale Si consideri un dominio finito {u 1,..., u m } Dalla semantica di ' si deduce che, in tale dominio, una fbf del tipo 'x H[x] è vera se e solo se sono vere tutte le fbf H[u 1 ],..., H[u m ], cioè se e solo se è vera H[u 1 ]$... $H[u m ] Analogamente, dalla semantica di ( si deduce che una fbf del tipo (x H[x] è vera se e solo se almeno una delle fbf H[u 1 ],..., H[u m ] è vera, cioè se e solo se è vera H[u 1 ]%... %H[u m ] Quindi nel caso di un dominio finito le fbf quantificate possono sempre essere riscritte (almeno in principio) usando solo connettivi Nei dominii infiniti questo non è invece possibile, poiché la congiunzione o disgiunzione di un numero infinito di fbf non è una fbf Questo significa che i quantificatori sono indispensabili solo nel caso di dominii infiniti Si è detto che una fbf del tipo 'x H[x] rappresenta l enunciato tutti gli elementi del dominio godono della proprietà H Nel linguaggio naturale sono comuni proposizioni della forma ogni P è Q (dove P e Q denotano predicati). Tali proposizioni possono essere ricondotte alla forma precedente trasformandole in per ogni individuo x, se x è P allora x è Q In questo caso, il fatto che un singolo individuo x goda della proprietà H può essere espresso mediante la fbf P(x) & Q(x), e quindi la proposizione ogni P è Q può essere espressa con la fbf 'x (P(x) & Q(x)) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 19 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 20
Formule con il quantificatore universale: esempio Formule con il quantificatore esistenziale Si consideri come dominio un insieme di persone, e due predicati a un argomento Re e Malvagio (con il significato intuitivo). La proposizione tutti i re sono malvagi si può rappresentare con la formula 'x (Re(x) & Malvagio(x)) Si noti che, secondo la semantica della LPO, la fbf precedente è falsa solo se nel dominio c è qualche re che non è malvagio è vera anche se nessun individuo del dominio è un re (poiché in tal caso l antecedente dell implicazione è falso per ogni individuo) in un dominio finito {u 1,..., u m }, indicando con A 1, A 2,..., A m le corrispondenti costanti individuali, la fbf equivale a (Re(A 1 ) & Malvagio(A 1 )) $... $ (Re(A m ) & Malvagio(A m )) Una fbf del tipo (x H[x] rappresenta l enunciato qualche individuo gode della proprietà H A tale forma possono essere ricondotte le proposizioni come qualche P è Q, trasformandole in per qualche individuo x, x è P e x è Q In questo caso, il fatto che un singolo individuo x goda della proprietà H può essere espresso mediante la fbf P(x) $ Q(x), e quindi la proposizione qualche P è Q può essere espressa con la fbf (x (P(x) $ Q(x)) Un errore comune è quello di rappresentare un enunciato come tutti i P sono Q con la formula 'x (P(x) $ Q(x)). Secondo la semantica di ', il significato di tale formula è invece tutti gli individui del dominio sono sia P che Q, che è chiaramente diverso dal significato desiderato Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 21 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 22 Formule con il quantificatore esistenziale: esempio Legami tra i quantificatori Si considerino ancora il dominio e i predicati dell esempio precedente. La proposizione qualche re è malvagio può essere rappresentata con la formula (x (Re(x) $ Malvagio(x)) Tale fbf è falsa se e solo se nel dominio non esistono individui che siano re e siano malvagi in un dominio finito {u 1,..., u m }, indicando con A 1, A 2,..., A m le corrispondenti costanti individuali, la fbf equivale a (Re(A 1 ) $ Malvagio(A 1 )) %... % (Re(A m ) $ Malvagio(A m )) Un errore comune è quello di interpretare un enuciato come qualche P è Q con per qualche x, se x è P allora x è Q, rappresentandolo quindi con la formula (x (P(x) & Q(x)). Tuttavia tale formula è vera anche se non esiste nessun individuo che sia P e sia anche Q (poiché in questo caso P(x) è falsa per qualsiasi x), e non corrisponde quindi all enunciato qualche P è Q Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 23 È facile dimostrare le seguenti equivalenze, che mettono in relazione i due quantificatori della LPO per mezzo del connettivo di negazione 'x ("H[x]) * "+(x H[x]) "+'x H[x]) * (x ("H[x]) 'x H[x] * "+(x ("H[x])) (x H[x] * "('x ("H[x])) Per es., la prima equivalenza si dimostra come segue: 'x ("H[x]) è vera se e solo se H[x] è falsa per ogni individuo, cioè se e solo se non esiste un individuo x tale che H[x] sia vera, cioè se e solo se "+(x H[x]) è vera Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 24
Quantificatori annidati Il predicato di uguaglianza Le fbf in cui compaia una sequenza di variabili quantificate nello stesso modo, come 'x('y('z... H[x,y,z,...]... )) e (x((y((z... H[x,y,z,...]... )) vengono scritte per semplicità come 'x,y,z,... H[x,y,z,...] e (x,y,z,... H[x,y,z,...] Nel caso in cui una fbf contenga sia variabili quantificate universalmente che variabili quantificate esistenzialmente, il suo significato dipende dall ordine dei quantificatori Esempio: è facile verificare che nel dominio dei numeri reali 'x ((y (x>y)) significa ogni numero reale è maggiore di qualche altro numero reale (tale fbf è quidi vera) (y ('x (x>y)) significa invece qualche numero reale è minore di tutti i numeri reali (ed è quindi falsa) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 25 Si supponga di voler rappresentare l enunciato qualche coppia di individui distinti x, y gode della proprietà H[x,y]. La fbf (x,y H[x,y] lo rappresenta correttamente? In generale la risposta è no, poiché la semantica dei quantificatori non richiede che le variabili denotino individui distinti. Per es., in un dominio finito {u 1,...,u m } i cui individui siano denotati dalle costanti A 1,..., A m, (x,y H[x,y] equivale a H[A 1,A 1 ] %... % H[A 1,A m ] % H[A 2,A 1 ] % H[A 2,A 2 ] %... % H[A m,a m ] Quindi, in generale, (x,y H[x,y] significa: qualche coppia di individui distinti x e y gode della proprietà H[x,y], oppure uno stesso individuo x gode della proprietà H[x,x] Esempio: si considerino un dominio composto da un insieme di persone, il predicato binario Fratello che sta per essere ratello di, e la costante Luca. L enunciato Luca ha almeno due fratelli non è rappresentato correttamente dalla fbf (x,y (Fratello(x,Luca) $ Fratello(y,Luca)) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 26 Il predicato di uguaglianza Il predicato di uguaglianza Il problema precedente può essere superato introducendo il predicato binario di uguaglianza, la cui estensione consiste nell insieme di tutte le coppie di individui identici del dominio. Per es., nel dominio dei numeri naturali la sua estensione è {(0,0), (1,1), (2,2),...} Per semplicità, tale predicato viene spesso indicato con il simbolo =, e viene scritto nella forma (t 1 = t 2 ) Mediante il pedicato di uguaglianza è possibile rappresentare correttamente enunciati come qualche coppia di individui distinti x, y gode della proprietà H[x,y], nel modo seguente (x,y (H[x,y] $ "(x = y)) Per es., l enunciato Luca ha almeno due fratelli può essere rappresentato da (x,y (Fratello(x,Luca) $ Fratello(y,Luca) $ "(x = y)) Mediante il predicato di uguaglianza è anche possibile rappresentare enunciati del tipo esiste un unico individuo che goda della proprietà H L unicità non è infatti garantita dal quantificatore esistenziale in una fbf del tipo (x H[x]. L enunciato precedente è invece rappresentato correttamente dalla seguente fbf: (x (H[x] $ ('y (H[y] & (x = y)))) Il significato di tale fbf è qualche individuo gode della proprietà H, e ogni individuo che ne gode coincide con esso Per es., Luca ha un solo fratello può essere rappresenta dalla fbf (x (Fratello(x,Luca) $ ('y (Fratello(y,Luca) & (x = y)))) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 27 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 28
Esempio: gli assiomi di Peano-Russell Esempio: gli assiomi di Peano-Russell Si considerino i seguenti assiomi della teoria dei numeri, proposti dal matematico tedesco R. Dedekind: A1: 0 è un numero naturale A2: il successore di un numero naturale è un numero naturale A3: zero non è il successore di nessun numero naturale A4: se due numeri naturali hanno lo stesso successore, allora sono uguali A5: se 0 è P, e se ogni volta che un numero qualsiasi è P anche il suo successore è P, allora tutti i numeri naturali sono P (dove P denota una proprietà qualsiasi) Gli assiomi di Dedekind furono formalizzati nel linguaggio della LPO da G. Peano e B. Russell, nel modo seguente. Si consideri il dominio dei numeri naturali {0,1,2,...} la costante individuale Z il cui significato sia l individuo 0 il predicato unario N il cui significato sia essere un numero naturale (la sua estensione è dunque {(0), (1), (2),...}, e il predicato di uguaglianza la funzione S, che associa ad ogni numero il suo successore Gli assiomi di Peano-Russell sono i seguenti A1: N(Z) A2: 'x (N(x) & N(S(x))) A3: "(x N(x) $ (Z = S(x)) A4: 'x,y ((N(x) $ N(y) $ (S(x) = S(y)) & (x = y)) A5: (P(Z) $ 'x ( (N(x) $ P(x)) & P(S(x)))) & ('x (N(x) & P(x))) Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 29 Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 30 Logica del primo e del secondo ordine È ora possibile spiegare il significato di logica del primo ordine Nella LPO i quantificatori possono agire solo su variabili individuali, e non su variabili predicative. Nel linguaggio formale della LPO è quindi possibile rappresentare enunciati come ogni individuo x gode della proprietà P, ma non enunciati come per ogni proprietà P, c è almeno un individuo che ne gode Tali enunciati possono invece essere rappresentati in un linguaggio predicativo che consente di quantificare sia le variabili individuali che quelle predicative, che per questo motivo è detto logica del secondo ordine (LSO) La sintassi della LSO si ottiene semplicemente aggiungendo la seguente regola a quelle che definiscono la semantica della LPO: se H è una fbf e la variabile predicativa P è libera in H, allora 'P(H) e (P(H) sono fbf La LSO ha maggiore potere espressivo della LPO (ogni fbf della LPO è anche fbf della LSO, mentre non vale il viceversa). Tuttavia la LSO presenta anche notevoli problemi che la rendono meno utile della LPO Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Logica dei predicati Prof. Ing. F. Roli 31