Linguaggi del I ordine - semantica. Per dare significato ad una formula del I ordine bisogna specificare

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1 Linguaggi del I ordine - semantica Per dare significato ad una formula del I ordine bisogna specificare Un dominio Un interpretazione Un assegnamento 1

2 Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.1) Un modello per un linguaggio del I ordine L è una coppia M = (D,I) dove D è un insieme non vuoto chiamato dominio I è una mappa chiamata interpretazione, che associa Ad ogni simbolo funzionale 0-ario c F, un elemento c I D Ad ogni simbolo funzionale n-ario f F, una funzione n-aria f I : D n D Ad ogni simbolo relazionale n-ario P R, una relazione n-aria P I D n Un assegnamento in un modello M = (D,I) è una mappa A dall insieme delle variabili all insieme D 2

3 Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.2) Valutazione dei termini: Sia M = (D,I) ed A. Ad ogni termine t associamo un valore t I,A come segue Per un simbolo funzionale 0-ario c, c I,A = c I Per una variabile x, x I,A = x A Per un simbolo funzionale n-ario f, [f(t 1,...,t n )] I,A = f I (t I,A 1,...,t I,A n ) 3

4 Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.3) Valutazione delle formule: Sia M = (D,I) ed A. Ad ogni formula ϕ associamo un valore di verità ϕ I,A come segue Caso atomico, [P(t 1,...,t n )] I,A = t sse t I,A 1,...,t I,A n P I [ ϕ] I,A = ϕ I,A, [ϕ ψ] I,A = ϕ I,A ψ I,A [( x)ϕ] I,A = t sse ϕ I,B, per ogni x-variante di A, B [( x)ϕ] I,A = t sse ϕ I,B, per qualche x-variante di A, B 4

5 Soddisfacibilità di una formula del I ordine Una formula ϕ è soddisfacibile in M = (D,I) se esiste qualche assegnamento A tale che ϕ I,A = t Una formula ϕ è vera in M = (D,I) se per tutti gli assegnamenti A, ϕ I,A = t Una formula ϕ è soddisfacibile se esiste un qualche modello in cui è soddisfacibile Una formula ϕ è valida se è vera in tutti i modelli del suo linguaggio 5

6 Sostituzioni e assegnamenti Proprietà 1. Sia L = (F,R) un linguaggio del primo ordine, Φ una formula e t un termine chiuso in L, x una variabile in Var. Sia inoltre M = (D,I) un modello per L ed A : Var D un assegnamento per M tale che x A = t I. Allora Φ I,A = [Φ{x/t}] I,A = [Φ{x/t}] I,B per ogni B x-variante di A. Proprietà 2. Sia L = (F,R) un linguaggio del primo ordine, Φ una formula in L e σ una sostituzione che è libera per Φ. Inoltre sia M = (D,I) un modello per L ed A un assegnamento per M. Definiamo un assegnamento nuovo B ponendo, per ogni variabile v, v B = (vσ) I,A. Allora Φ I,B = (Φσ) I,A. 6

7 Domini e modelli di Herbrand Domini di Herbrand: costituiti dai termini chiusi del linguaggio. D = ClTerm(L) Modelli di Herbrand: D = ClTerm(L) per tutti i termini t ClTerm(L), t I = t Proprietà 1: Sia M = (D,I) un modello di Herbrand per il linguaggio L. a.per un termine t di L, non necessariamente chiuso, t I,A = (ta) I b.per una formula Φ di L, Φ I,A = (ΦA) I 7

8 Domini e modelli di Herbrand Proprietà 2: Sia Φ una formula di un linguaggio L, M = (D,I) un modello di Herbrand per L 1.( x)φ è vera in M d D Φ{x/d} è vera in M, 2.Un enunciato ( x)φ è vero in M d D Φ{x/d} è vera in M. 8

9 Notazione uniforme per le formule quantificate Chiamiamo le formule quantificate esistenzialmente δ-formule le formule quantificate universalmente γ-formule δ δ 0 ( x)ϕ(x) ϕ(x) ( x)ϕ(x) ϕ(x) γ γ 0 ( x)ϕ(x) ϕ(x) ( x)ϕ(x) ϕ(x) 9

10 Alcune proprietà delle formule quantificate Lemma Sia S un insieme di enunciati, siano γ e δ due enunciati. Allora valgono i seguenti fatti: Se S {γ} è soddisfacibile, allora S {γ,γ 0 (t)} è soddisfacibile, per ogni t ClTerm(L), Se S {δ} è soddisfacibile, allora S {δ,δ 0 (p)} è soddisfacibile, per qualche p costante nuova. 10

11 Principio di induzione strutturale La proprietà Q vale per ogni formula di un linguaggio L se Caso base: ogni formula atomica di L e la sua negazione godono della proprietà Q Passi di induzione: Se X gode della proprietà Q anche X gode della proprietà Q Se α 1 e α 2 godono della proprietà Q anche α gode della proprietà Q Se β 1 e β 2 godono della proprietà Q anche β gode della proprietà Q Se γ 0 (t) gode della proprietà Q per ogni termine t, allora γ gode della proprietà Q Se δ 0 (t) gode della proprietà Q per ogni termine t, allora δ gode della proprietà Q 11

12 Principio di ricorsione strutturale Esiste una ed una sola funzione f, definita sull insieme di formule di L tale che Caso base: f(x) = h at (X), f( X) = h at ( X), con h at : Atomic Atomic D Passi di induzione: f( X) = h (f(x)), h : D D f(α) = h α (f(α 1 ),f(α 2 )), h α : D D D f(β) = h β (f(β 1 ),f(β 2 )), h β : D D D f(γ) = h γ ({(t,f(γ 0 (t))) : t Terms L }), h γ : D Terms L D f(δ) = h δ ({(t,f(δ 0 (t))) : t Terms L }), h δ : D Terms L D 12

13 Insieme di Hintikka per la logica del I ordine Sia L un linguaggio del I ordine. Un insieme H di enunciati di L viene detto un insieme di Hintikka per la logica del I ordine se è un insieme di enunciati tale che: R(t 1,...,t n ), R(t 1,...,t n ) non stanno entrambi in H / H, / H Z H Z H α H α 1,α 2 H β H β 1 H oppure β 2 H γ H γ 0 (t) H per ogni t chiuso del linguaggio δ H δ 0 (t) H per qualche t chiuso del linguaggio 13

14 Lemma di Hintikka per la logica del I ordine Sia L un linguaggio della logica del I ordine, H un insieme di Hintikka su L, allora H è soddisfacibile. Per dimostrare questo teorema costruiamo un opportuno modello di Herbrand. Supporremo che l insieme dei termini chiusi del linguaggio, ClTerms L, sia non vuoto. 14

15 Proprietà di consistenza del primo ordine Sia C un insieme di insiemi di enunciati di L par. Diciamo che C è una proprietà di consistenza del primo ordine rispetto ad L se, per ogni S C R(t 1,...,t n ), R(t 1,...,t n ) non stanno entrambi in S / S, / S Z S S {Z} C α S S {α 1,α 2 } C β S S {β 1 } C oppure S {β 2 } C γ S S {γ 0 (t)} C per ogni t chiuso in L par δ S S {δ 0 (p)} C per qualche p in par 15

16 Teorema di esistenza di un modello per la logica del I ordine Se C è una proprietà di consistenza del I ordine rispetto ad L, S è un insieme di enunciati di L, ed S C, allora S è soddisfacibile; di fatto S è soddisfacibile in un modello di Herband di L par. Teorema di compattezza per la logica del I ordine Sia S un insieme di enunciati di L, sia S finitamente soddisfacibile. Allora S è soddisfacibile in un modello di Herbrand di L par. 16

17 Teorema di Löwenheim-Skolem Sia S un insieme di enunciati di L, S soddisfacibile, allora S è soddisfacibile in un modello numerabile. Teorema di Herbrand Sia S un insieme di enunciati di L. S è soddisfacibile se e solo se è soddisfacibile in un modello di Herbrand di L par. Lemma Sia X un enunciato di L. X è valido se e solo se è vero in ogni modello di Herbrand di L par. 17

18 Regole di espansione per tableaux al I ordine Z Z α α 1 α 2 β β 1 β 2 δ δ 0 (p) γ γ 0 (t) p è un parametro nuovo per il ramo t è un termine chiuso del linguaggio (include anche i parametri) 18

19 Metodo dei tableaux per il I ordine Tutte le definizioni date per i tableaux proposizionali (ramo soddisfacibile, tableau soddisfacibile, ramo chiuso, tableau chiuso) si ripetono in maniera analoga per la logica del I ordine. Come nel caso proposizionale non è richiesta la chiusura atomica. Tuttavia, di fatto, la chiusura viene eseguita a livello atomico. La procedura di dimostrazione dei tableaux al I ordine non è una procedura di decisione. La sorgente di difficoltà è la γ-regola. Possiamo introdurre il vincolo di strettezza per tutte le regole tranne per la γ (perchè farebbe perdere la completezza) 19

20 Regole di espansione per la risoluzione al I ordine Z Z α α 1 α 2 β β 1 β 2 δ δ 0 (p) γ γ 0 (t) p è un parametro nuovo per l espansione t è un termine chiuso del linguaggio (include anche i parametri) 20

21 Risoluzione (ground) al I ordine La regola di risoluzione (ground) al I ordine è uguale a quella proposizionale. Infatti, poiché non vi sono variabili, non viene usata l unificazione. Tutte le definizioni viste per il caso proposizionale (espansione mediante risoluzione, espansione chiusa, espansione soddisfacibile,...) valgono anche al I ordine. X è un teorema del sistema di risoluzione al I ordine ( fr X) se esiste un espansione chiusa per { X}. Tale espansione si dirà una dimostrazione di X. Indichiamo con {X : fr X} l insieme dei teoremi del sistema di risoluzione al I ordine. 21

22 Assiomi di un sistema di Hilbert per il I ordine 1.X (Y X) 2.(X (Y Z)) ((X Y) (X Z)) 3. X 4.X 5. X X 6.X ( X Y) 7.α α 1 8.α α 2 9.(β 1 X) ((β 2 X) (β X)) 10.γ γ 0 (t), per ogni t chiuso del linguaggio con i parametri 22