ELEMENTI DI FROBENIUS DI ESTENSIONI DI CAMPI E DETERMINAZIONE DEL GRUPPO DI GALOIS DI UN POLINOMIO

Alma Mater Studiorum Università di Bologna FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea Triennale in Informatica ELEMENTI DI FROBENIUS DI ESTENSIONI DI CAMPI E DETERMINAZIONE DEL GRUPPO DI GALOIS DI UN POLINOMIO Tesi di Laurea in Teoria dei numeri Relatore: Chiar.mo Prof. Luca Migliorini Presentata da: Camilla Felisetti II Sessione Anno Accademico 2011/2012

To love is to suffer. To avoid suffering, one must not love. But, then one suffers from not loving. Therefore, to love is to suffer, not to love is to suffer, to suffer is to suffer. To be happy is to love, to be happy, then, is to suffer, but suffering makes one unhappy, therefore, to be unhappy one must love, or love to suffer, or suffer from too much happyness I hope you re getting this down! (Woody Allen, da Love and Death )

Introduzione Questo lavoro prende in esame l uso degli elementi di Frobenius di estensioni di campi per la determinazione del gruppo di Galois. Ricordiamo che, se L/K un estensione di campi, un K-automorfismo di L è un applicazione φ Aut(L) che lascia invariati gli elementi di K; definiamo gruppo di Galois di L/K il gruppo Gal(L/K) dei K-automorfismi di L. Dato un polinomio f K[x] e scelto L uguale al suo campo di spezzamento, il gruppo Gal(L/K) è detto gruppo di Galois di f. Se f è un polinomio separabile di grado n, il suo gruppo di Galois può essere identificato, una volta ordinate le sue radici α 1,... α n, con un sottogruppo del gruppo simmetrico S n nel modo seguente: se σ Gal(L/Q) allora σ(α i ) è una radice di f, i.e σ(α i ) = α τ(i) per un certo τ(i) {1... n}. Notiamo che τ(i) è univocamente determinato, dal momento che α 1... α n sono distinte, e che τ : {1... n} {1... n} è iniettiva poichè lo è σ; dunque τ è una permutazione di S n. Nel seguito di questa introduzione daremo per scontata questa identificazione, ben definita a meno di coniugio. Per il caso razionale non esiste ad oggi un metodo generale che permetta di determinare il gruppo di Galois di un polinomio. Se il grado del campo di spezzamento è grande (ad esempio [L : Q] > 50) la sua costruzione supera le attuali capacità computazionali. La maggior parte degli algoritmi pratici sfrutta la classificazione dei gruppi transitivi - nota fino al grado 31- ad opera di Alexander Hulpke. Alcuni si basano sui cosiddetti absolute resolvents (Soicher-McKay,1985), polinomi calcolati a partire dai coefficienti di f e dalla cui fattorizzazione possono essere ottenute molte informazioni sul gruppo di Galois ( spesso sufficienti a identificarlo); altri, come il metodo ideato da Stadhuar, fanno uso dei relative resolvents, che si calcolano per approssimazione delle radici di f. Il metodo classico qui proposto, che oltre alle applicazioni computazionali ha una notevole importanza teorica, considera un numero primo p che non divide il discrii

ii INTRODUZIONE minante di f e la fattorizzazione del polinomio modulo p; un teorema, dovuto a Dedekind, afferma che la successione d 1... d k dei gradi dei fattori irriducibili che compaiono nella fattorizzazione di f mod p corrisponde alla successione caratteristica di una permutazione del gruppo di Galois di f. Questo suggerisce che, ripetendo questa operazione per un numero di primi sufficientemente grande, si possa ottenere un approssimazione del gruppo di Galois di f, che ne consenta l identificazione attraverso le tabelle dei gruppi transitivi di grado n. A dare effettività a tale considerazione provvede il teorema di densità di Chebotarëv che, a grandi linee, afferma che il numero di primi che producono una determinata successione di gradi, è proporzionale al numero di σ Gal(L/Q) con quella stessa successione caratteristica. La struttura della tesi rispecchia il ragionamento appena fatto: il primo capitolo è interamente dedicato alla teoria necessaria alla comprensione e alla dimostrazione del teorema di Dedekind; in particolare la prima sezione è formulata in termini di ideali e loro fattorizzazioni, mentre nella seconda si introduce il linguaggio, in larga misura equivalente, delle valutazioni di un campo e dei conseguenti completamenti. il secondo capitolo si divide in una prima parte che discute i teoremi di densità e in una seconda nella quale viene esposto l algoritmo ideato a Elwin Berlekamp per la fattorizzazione di polinomi nei campi finiti. Infine, il terzo capitolo presenta un esempio del metodo qui proposto.

Indice Introduzione i 1 Domini di Dedekind e valutazioni 1 1.1 Domini di Dedekind e primi ramificati................. 1 1.1.1 Fattorizzazione nei domini di Dedekind............ 2 1.1.2 Primi ramificati.......................... 5 1.2 Elemento di Frobenius.......................... 7 1.3 Valutazioni................................ 9 1.3.1 Valutazioni moltiplicative.................... 11 1.3.2 Topologia indotta da una valutazione............. 13 1.3.3 Estensioni di valutazioni..................... 15 1.4 Teorema di Dedekind........................... 17 1.4.1 Gruppo di decomposizione.................... 17 1.4.2 Teorema di Dedekind...................... 19 2 Determinazione del gruppo di Galois 23 2.1 Teoremi di densità............................ 24 2.2 Algoritmo di Berlekamp......................... 28 3 Esempi 35 3.1 Esempio Pratico............................. 35 3.2 Gruppi transitivi di grado minore di 7................. 36 Bibliografia 39 iii

Capitolo 1 Domini di Dedekind e valutazioni 1.1 Domini di Dedekind e primi ramificati Introduciamo ora brevemente i domini di Dedekind presentandone alcune proprietà, soffermandoci in particolare sul problema della fattorizzazione di ideali primi. Per dimostrazioni e approfondimenti facciamo riferimento a [ANT], Cap.III. Definizione 1.1. Sia A un dominio di integrità e sia K un campo contente A. Un elemento k K si dice intero su A se è radice di un polinomio monico a coefficienti in A. L insieme degli elementi di K che sono interi su A è un sottoanello di K contenente A, ed è chiamato chiusura integrale di A in K. Se A coincide con la sua chiusura integrale è detto integralmente chiuso in K. Se K è un estensione algebrica di Q, la chiusura integrale di Z in K si indica con O K e si chiama anello degli interi di K. Definizione 1.2 (Dominio di Dedekind). Si definisce dominio di Dedekind un dominio di integrità A campo tale che: (i) A è Noetheriano (ii) A è integralmente chiuso (iii) ogni ideale primo non nullo di A è anche massimale Proposizione 1.1.1. Sia A un dominio di Dedekind con campo delle frazioni K, e sia B la sua chiusura integrale in un estensione L di K finita e separabile. Allora B è un dominio di Dedekind. 1

2 1. Domini di Dedekind e valutazioni Esempio 1.1. Z è chiaramente un dominio di Dedekind. La proposizione 1.1.1 ci dice che, data un estensione finita e separabile di Q (e.g. un estensione di Galois), O K è un dominio di Dedekind. 1.1.1 Fattorizzazione nei domini di Dedekind Salvo diversa indicazione, nel resto di questa sottosezione A sarà un dominio di Dedekind con campo delle frazioni K e chiusura integrale B in un estensione L di K finita e separabile di grado m. Sarà utile, per fare esempi, pensare A = Z, K = Q, B = O L con L campo di numeri algebrici ottenuto ad esempio aggiungendo a K le radici di un insieme di polinomi a coefficienti razionali. Richiamiamo ora la definizione di divisione fra ideali Definizione 1.3. Siano a, b ideali di A. Diciamo che a b b a Consideriamo un ideale primo non nullo p di A. Allora pb è un ideale di B e si fattorizza in B come pb = B e1 1...Beg g, e i 1 con B i ideali primi non nulli B e e i interi positivi univocamente determinati. Dalla definizione precedente abbiamo che l ideale primo B divide l ideale pb se compare nella sua fattorizzazione. Con lieve abuso di linguaggio diremo in tal caso che B p. Se i tale che e i > 1 allora p si dice ramificato in B e e i si dice indice di ramificazione di B i in p. In tal caso indichiamo con e(b i /p) l indice di ramificazione e con f(b i /p) il grado dell estensione [B/B i : A/p], detto grado della classe residua. Esempio 1.2. Siano L = Q( 3) e K = Q. Ne viene che A = Z e B = Z[ 3]. L ideale primo (3) = 3Z si fattorizza in B come 3B = ( 3B) 2 Si vede facilmente che 3B è un ideale primo in quanto: 3B = 3Z + 3Z e quindi il quoziente B/ 3B è Z/3Z, campo con 3 elementi. Si ha che l indice di ramificazione di 3B in (3) è 2 e dunque (3) ramifica in Z 3. Diamo di seguito alcune proprietà degli ideali primi B che dividono p. Proposizione 1.1.2. Un ideale primo B di B divide p se e solo se B K = p

1.1 Domini di Dedekind e primi ramificati 3 Dimostrazione. ( ) Se B p allora banalmente p B A; d altra parte B A A e p è massimale, dunque p = B A. ( ) Se p B allora pb B, ma questo per definizione implica che B compare nella fattorizzazione di pb. Proposizione 1.1.3. Sia L/K un estensione finita di Galois e sia G := Gal(L/K). Siano poi p un ideale primo di A e B 1, B 2 ideali primi di B che dividono p. Allora σ G tale che B 1 = σb 2. Dimostrazione. Supponiamo che, per ogni σ G σb 2 B 1. Per il teorema cinese del resto, esiste un elemento α B tale che: α 0 mod B 1 e α 1 mod σb 2, σ G. Consideriamo: S(α) := σ G σ(α). S(α) B K = A, inoltre appartiene anche a p = B 2 A (B 2 p). D altra parte α σb 2, σ G, quindi σ(α) B 2 σ G. Si arriva allora all assurdo che S(α) appartiene all ideale primo B 2 pur essendo prodotto di elementi non appartenenti a B 2. Teorema 1.1.4. Siano p un ideale primo di A e B 1...B g ideali primi di B che dividono p. Allora: (i) e i f i = m (ii) Se K L è di Galois allora e i = e j e f i = f j i, j = 1...g, quindi efg = m Dimostrazione. Per provare la prima parte del teorema mostriamo che ei f i = [B/pB : A/p] = m Per la prima uguaglianza,notiamo che B/pB = B/ B ei i = B/B ei i (Teorema Cinese del resto), quindi dobbiamo provare che per ogni i vale e i f i = [B/B ei i : A/p]. Dalla definizione di f i sappiamo che B/B i è un estensione di A/p di grado f i. Inoltre, per ogni k = 1...e i 1, si ha che B ki i /Bki+1 i è un B/B i -modulo e, non essendoci alcun ideale fra B ki i e B ki+1 i, deve essere uno spazio vettoriale di dimensione 1 sul campo B/B i. Di conseguenza B ki i /Bki+1 i è uno spazio di dimensione f i sul campo A/p, così come ogni quoziente della catena B B i B 2 i B ei i.

4 1. Domini di Dedekind e valutazioni Dunque la dimensione di B/B ei i su A/p è e i f i. Sia ora S una sottoparte moltiplicativa di A disgiunta da p tale che A = S 1 A è principale (e.g. S = A p). Posto B := S 1 B si ha che pb = (B i B ) ei e i f i = [B /B pb : A /A p] (A principale ) [B /B pb : A /A p] = m Questo completa la prima parte del teorema. Assumiamo ora che L sia di Galois su K. Dalla definizione di elemento intero risulta immediatamente che B L è stabile rispetto all azione di Gal(L/K), dunque, se σ Gal(L/K) e B B è primo, allora anche σb è primo. Inoltre B p allora anche σb p e sono uguali sia l indice di ramificazione che il grado della classe residua. La transitività dell azione di Gal(L/K) sull insieme degli ideali primi di B che dividono p è provata nella Proposizione 1.1.3. Rimane il problema di determinare la fattorizzazione di pb in B. Il seguente risultato fornisce un metodo semplice per fattorizzare un ideale in un estensione ottenuta aggiungendo la radice di un equazione. Teorema 1.1.5. Sia B = A[α] e sia f il polinomio minimo di α su K. Sia poi p un ideale primo in A. Scegliamo g 1 (x) g r (x) A[x] monici e irriducibili modulo p tali che f(x) g i (x) ei mod p. Allora pb = (p, g i (α)) ei è la fattorizzazione di pb in ideali primi distinti di B. Inoltre il campo residuo B/(p, g i (α)) = (A/p)[x]/(g i ), dove g i è la riduzione mod p di g i. Dimostrazione. (Idea) Essendo B = A[α] abbiamo l isomorfismo canonico: A[x]/(f) B, h(x) + (f) h(α) Se tensorizziamo da entrambe le parti con A/p otteniamo un secondo isomorfismo k[x]/( f(x)) B/pB, x α dove k := A/p. L anello k[x]/( f) ha ideali massimali (g 1 ),, (g r ), e ((g i )) ei = 0 (ma nessun prodotto con esponenti minori è nullo). L ideale (g i ) in k[x]/( f) corrisponde a (g i (α) + pb in B/pB, che a sua volta corrisponde all ideale B i := (p, g i (α) di B. Si dimostra che i B i sono tutti e soli i divisori di p in B. Quando scriviamo: pb = (B i ) ei

1.1 Domini di Dedekind e primi ramificati 5 abbiamo che pb (B i ) ei ma che, se uno degli e i viene sostituito con un esponente minore, allora pb non contiene il prodotto. Questo ci dice che e i è proprio l esponente di g i nella fattorizzzione di f modulo p. 1.1.2 Primi ramificati Di seguito, forniremo una descrizione dei primi che ramificano in un estensione: per fare ciò è necessario chiarire il concetto di discriminante di un estensione. Siano A B anelli e supponiamo che B sia libero di grado n come A-modulo. Per ogni β B possiamo definire l endomorfismo A-lineare di B: φ : x βx la cui traccia è ben definita. Definiamo traccia dell estensione B/A T r B/A β := T r(φ). T r B/A : B A La traccia gode di alcune proprietà: T r(β + γ) = T r(β) + T r(γ) T r(αβ) = αt r(β) T r(nα) = nα (α A). Sia ora V uno spazio vettoriale di dimensione finita su K campo e sia E = {e 1 e n } una base. Data φ forma bilineare simmetrica su V, il discriminante di φ è dato da det(φ(e i, e j )). Questo ci permette finalmente di dare la definizione di discriminante di un estensione. Definizione 1.4. (Discriminante di un estensione) Sia L/K un estensione di campi di grado n. Allora l applicazione φ : L L K (α, β) T r L/K (αβ) è una forma bilineare simmetrica su L (come spazio vettoriale su K) e il discriminante di tale forma è detto discriminante di L/K. Più in generale, siano A B anelli con B libero di grado m come A-modulo. Siano poi β 1 β m elementi di B. Definiamo il loro discriminante come: D(β 1,, β m ) := det(t r B/A (β i β j )). Si vede facilmente che, scelti γ 1, γ m con γ j := a ij β i con a ij A, si ha D(γ 1,, γ m ) = det(a ij ) 2 D(β 1, β m ). Inoltre se le β e le γ formano due basi per B su A allora det(a ij ) è una unità, e dunque il discriminante è ben definito a meno di moltiplicazioni per il quadrato di

6 1. Domini di Dedekind e valutazioni una unità di A. In particolare, l ideale principale di A che esso genera è indipendente dalla scelta delle basi. Tale ideale viene a sua volta chiamato discriminante di B su A e si indica con Disc(B/A). Esempio 1.3. Siano A = Z, B = Z[ξ] con ξ 3 = 2. Calcoliamo il discriminante dell estensione B/A scegliendo E = {1, ξ, ξ 2 } come base di B. Per prima cosa dovremo determinare la matrice T = T r B/A (e i, e j ): calcoliamo ad esempio T r B/A (1 ξ) = T r B/A (ξ). Indicata con φ ξ : B B la moltiplicazione per ξ, otteniamo: φ ξ (1) = ξ φ ξ (ξ) = ξ 2 φ ξ (ξ 2 ) = 1 perciò la matrice associata a φ ξ è 0 1 0 M ξ = 0 0 1 1 0 0 che ha traccia nulla. Ripetendo questa operazione per tutte le combinazioni possibili nella base E otteniamo la matrice che ha determinante -27. T = 3 0 0 0 0 3 0 3 0 Dunque D(1, ξ, ξ 2 ) = 27. Teorema 1.1.6. Sia L un estensione finita di un campo di numeri algebrici K e sia A K un dominio di Dedekind avente K come campo delle frazioni (e.g., A = O K ). Supponiamo inoltre che la chiusura integrale B di A in L sia un A-modulo libero (questo ad esempio è vero se A è un dominio a ideali principali). Si ha che p ramifica in L p Disc(B/A) In particolare c è solo un numero finito di primi ramificati. Osservazione 1. Nel caso A = Z, il teorema precedente afferma che i primi ramificati di Z in O L sono esattamente i divisori dell intero Disc(O L /Z).

1.2 Elemento di Frobenius 7 1.2 Elemento di Frobenius Sia K un campo di numeri algebrici e sia L/K un estensione finita di Galois. Allora, per le considerazioni fatte nelle sezioni precedenti, O K e la sua chiusura integrale O L sono domini di Dedekind con campi delle frazioni rispettivamente K e L. Indichiamo con G il gruppo di Galois di L/K. Siano p un ideale primo di O K e B un ideale primo di O L che divide p; denotiamo con F p := O K /p e F B := O L /B i campi residui. Definizione 1.5. Si definisce gruppo di decomposizione di B il gruppo: G(B) := {σ G σb = B}. Osserviamo che G(B) agisce su F B nel modo seguente: σ G(B) σ Aut(F B ) e lascia fisso F p. Teorema 1.2.1. Nelle ipotesi precedenti, si ha che: (i) F B è un estensione di Galois di F p ; (ii) l applicazione che manda σ σ definisce un omomorfismo suriettivo da G(B) a Gal(F B /F p ). Dimostrazione. Poniamo L G(B) := {α L σ(α) = α, σ G(B)} O L G(B) := chiusura integrale di O K in L G(B) B G(B) := B O L G(B) Osserviamo che B è l unico fattore primo di B G(B) : infatti se B è un altro ideale di O L che divide B G(B), per la proposizione 1.1.3 esiste σ G(B)(= Gal(L/L G(B) )) tale che B = σb = B. Perciò possiamo scrivere O L B G(B) = B e e denotare con f il grado della classe residua [O L /B : O L G(B)/B G(B) ]. Per il teorema 1.1.4 si ha: e f = [L : L G(B) ] = #G(B) = ef (ove e, f sono rispettivamente l indice di ramificazione di B in p e il grado dell estensione [O L /B : O K /p]).

8 1. Domini di Dedekind e valutazioni Dal momento che O K /p O L G(B)/B G(B) O L /B, abbiamo f f, inoltre po L G(B) dà e e; ma e f = ef, quindi e = e e f = f. Questo ci dice che: O K /p = O L G(B)/B G(B). Siano ora ᾱ un elemento primitivo di O L /B su O K /p e α O L un suo rappresentante. Se x r +a r 1 x r 1 + +a 1 x+a 0 è il polinomio minimo di α su L G(B), allora i coefficienti a i L G(B) e l insieme delle sue radici è {σ(α), σ G(B)}. Grazie all isomorfismo fra O K /p e O L G(B)/B G(B) possiamo considerare l immagine ridotta del polinomio minimo di α in O K /p, il cui insieme delle radici è { σ(ᾱ) σ G(B)}. Ora, siccome O L /B contiente tutti i coniugati di α, O L /B è un estensione di Galois di O K /p; d altra parte dal momento che ogni coniugato di α in O K /p è della forma σ(ᾱ), ogni automorfismo di O L /B che fissi O K /p è un σ. Definizione 1.6. Il nucleo T (B) dell omomorfismo che, nella dimostrazione precedente, mappa σ σ è detto gruppo di inerzia di B. Osservazione 2. Dalla dimostrazione precedente abbiamo che, per la proprietà universale, Gal(F B /F p ) = G(B)/T (B). Inoltre da [F B : F p ] = f, segue #G(B)/#T (B) = f, quindi #T (B) = e. Corollario 1.2.2. Un ideale primo p O K è non ramificato in O L se e solo se T (B) è banale per ogni B ideale primo di O L che divide p. Assumiamo ora che p sia non ramificato O L. Allora vale il teorema precedente e si ha che Gal(F B /F p ) = G(B). Dal momento che Gal(F B /F p ) è ciclico ed è generato dall automorfismo di Frobenius x x q (con q = F p ), allora anche G(B) sarà ciclico. Definizione 1.7. Definiamo l elemento di Frobenius σ B = (B, L/K) di B come l elemento di G(B) che agisce come l automorfismo di Frobenius sul campo residuo F B. Dunque σ B è univocamente determinato dalle due condizioni: (a) σ B B = B (b) per ogni α O L σ B α α q ove q è il numero di elementi del campo residuo. Proposizione 1.2.3. Nelle ipotesi precedenti, sia τ B un altro primo che divide p, τ G. Allora G(τB) = τg(b)τ 1,

1.3 Valutazioni 9 e σ τb = τσ B τ 1. Dimostrazione. Sia α O L ; allora τσ B τ 1 (α) = τ((τ 1 α) q + a), per qualche a B e τ((τ 1 ) q + a) = α q + τa α q mod τb Questo ci dice che : (i) se Gal(L/K) è abeliano allora (B, L/K) = (B, L/K) per ogni B, B primi che dividono p, perciò possiamo indicare l elemento di Frobenius con (p, L/K); (ii) se Gal(L/K) non è abeliano allora l insieme {(B, L/K) B p} è una classe di coniugio in G che, con abuso di notazione, indicheremo con (p, L/K). Nel caso di K = Q e L estensione algebrica di Q, la classe dei (B, L/Q) con B ideale primo di O L che giace su (p) primo, è detta simbolo di Artin corrispondente a p. Nel caso in cui Gal(L/Q) sia abeliano, ogni simbolo di Artin viene identificato con un suo elemento σ p. 1.3 Valutazioni In questa sezione daremo una nuova interpretazione dei risultati esposti fino ad ora, attraverso la nozione di valutazione su un anello. In particolare, dimostreremo che un ideale primo p di un dominio di integrità, induce una valutazione sull anello, detta valutazione p-adica, della quale enunceremo le proprietà principali, per poi vedere come queste possono ricondursi alle considerazioni delle precedenti sezioni. Definizione 1.8 (Valutazione discreta). Una valutazione discreta su un campo K è un omomorfismo non nullo di gruppi ν : K Z tale che: ν(x + y) min{ν(x), ν(y)} x, y K Osserviamo che, essendo tale omomorfismo non nullo, la sua immagine sarà un sottogruppo non nullo di Z, quindi del tipo mz per qualche m Z. Se m=1 allora ν si dice normalizzata; altrimenti l omomorfismo x m 1 ν(x) sarà una valutazione discreta normalizzata.

10 1. Domini di Dedekind e valutazioni Proposizione 1.3.1. Sia ν : K Z una valutazione discreta. Per ogni a, b K valgono le seguenti proprietà: ν(a) = ν( a) ν(a) > ν(b) ν(a + b) = ν(b). Dimostrazione. Osserviamo dapprima che ogni elemento ζ K di ordine finito è tale che ν(ζ) = 0 (infatti ν è un omomorfismo e Z non ha elementi di ordine finito); dunque ν( a) = ν( 1) + ν(a) = ν(a). Ora: ν(b) = ν(b + a a) min{ν(b + a), ν(a)} min{ν(b), ν(a)} = ν(b) ergo le disuguaglianze intermedie sono in realtà uguaglianze e abbiamo la tesi. Diamo ora alcuni esempi di valutazione discreta. Esempio 1.4. Sia A un dominio a ideali principali con campo delle frazioni K, e sia π un elemento primo di A. Allora ogni elemento c K si può scrivere nella forma c = a b πm con a, b A primi con π. Ponendo ord(c) = m, si ottiene una valutazione discreta normalizzata su K. Esempio 1.5. Sia p primo Z. Per ogni m Z {0} definiamo ν p (m) come l unico intero k che soddisfa la relazione m = p k n p con n p Z : p n p. Estendiamo tale applicazione a ν p : Q Z ponendo: ν p (m/n) = ν p (m) ν p (n). In tal modo ν p è una valutazione discreta su Q. Proposizione 1.3.2. Sia ν una valutazione discreta su K. Allora O ν := {a K ν(a) 0} è un dominio a ideali principali con unico ideale massimale m ν := {a K ν(a) > 0} Dimostrazione. Si veda [ANT], Cap. VII. Definizione 1.9 (Anelli a valutazione discreta). Sia A un dominio a ideali principali. A si dice anello a valutazione discreta se soddisfa una delle seguenti condizioni: (i) A ha esattamente un ideale primo non nullo (ii) A ha esattamente un elemento primo (a meno di associati)

1.3 Valutazioni 11 (iii) A è locale e non è un campo. Osservazione 3. Essendo A un anello locale avente come unico ideale massimale l ideale primo della condizione ( i), si ha che k := A/p è un campo, che chiamiamo campo residuo di A. Osservazione 4. L esempio 1 mostra come un anello a valutazione discreta induca una valutazione sul relativo campo delle frazioni. Osservazione 5. Osserviamo che se A è un anello a valutazione discreta e π è un suo elemento primo, allora ogni ideale di A è della forma (π m ) per un unico m Z. Dunque se a è un ideale di A e p è il suo unico ideale massimale, allora a = p m per un ben preciso m Z. Proposizione 1.3.3. Sia A un dominio di integrità. A è un anello a valutazione discreta se e solo se: (i) A è Noetheriano (ii) A è integralmente chiuso (iii) A ha un unico ideale primo non nullo Corollario 1.3.4. Un dominio di integrità locale è un dominio di Dedekind se e solo se è un anello a valutazione discreta. 1.3.1 Valutazioni moltiplicative Vogliamo ora dare una nuova definizione di valutazione e studiare la completezza dei campi numerici alla luce di tale nozione. Definizione 1.10. Si dice valutazione (moltiplicativa) su un campo K una funzione. : K R tale che: (i) x 0 x K e x = 0 x = 0 (ii) xy = x y (iii) (Disuguaglianza triangolare) x + y x + y La valutazione si dice non archimedea se, vale la condizione, più forte di iii): (iii ) x + y max{ x, y } Osserviamo che (i) e (ii) fanno sì che. sia un omomorfismo da K a (R >0, ). Essendo inoltre R >0 privo di torsione come gruppo, manda tutte le radici dell unità di K in 1. In particolare 1 = 1 e x = x.

12 1. Domini di Dedekind e valutazioni Esempio 1.6. (a) In ciascun campo K possiamo defininire la valutazione banale x = 1 x K {0}. Si verifica facilmente che tale applicazione soddisfa tutte le condizioni della definizione; inoltre questa è l unica valutazione possibile nel caso di K finito (tutti gli elementi non nulli di un campo finito sono radici dell unità). (b) Sia ν : K Z una valutazione discreta e sia e un numero reale maggiore di 1. Allora x = (1/e) ν(a), a 0, 0 = 0 è una valutazione non archimedea su K (la verifica è banale). (c) (Valutazione p-adica) Per ciascun primo p Z possiamo costruire la valutazione discreta ν p su Q. Se nell esempio precedente scegliamo ν = ν p otteniamo valutazione p-adica p su Q: x p := (1/e) νp(x). Possiamo normalizzarla scegliendo e = p; infatti x p = (1/p) νp(x) = 1 p k se a = a 0p k con ν p (a 0 ) = 0 (d) Allo stesso modo per ogni ideale primo p in un campo numerico K abbiamo la valutazione p-adica normalizzata x p := (1/N(p)) νp(x). dove N(p) = (O K : p). Proposizione 1.3.5. Sia una valutazione non archimedea non banale. Posta ν(x) := log x, x 0 (log = log e per un qualsiasi numero reale e > 1), allora ν : K R soddisfa le seguenti condizioni: (a) ν(xy) = ν(x) + ν(y); (b) ν(x + y) min{ν(x), ν(y)}. Se ν(k ) è un sottogruppo discreto in R, allora ν è multipla di una valutazione discreta ord : K Z. Dimostrazione. Le proprietà (a) e (b) seguono direttamente da quelle del logaritmo e da quelle di. Per la seconda parte, notiamo innanzitutto che ν(k ) è un sottogruppo di (R,+): se è discreto allora è della forma cz per qualche c R. Posta ord := c 1 ν, otteniamo una valutazione discreta da K a Z.

{U(ɛ, x)} ɛ>0 U(ɛ, x) := {y K x y < ɛ} 1.3 Valutazioni 13 Proposizione 1.3.6. (Anello a valutazione discreta associato) Sia. una valutazione non archimedea. Allora: A := {a K a 1} è un sottoanello di K, con m := {a K a < 1} unico ideale massimale La valutazione è discreta se e solo se m è principale, e in tal caso A è un anello a valutazione discreta. Esempio 1.7. Consideriamo la valutazione p-adica normalizzata su Q. Allora l anello a valutazione discreta associato è Z (p) := { m n m, n Z, n 0, p n} e ha come ideale massimale: pz (p) := { m n m, n Z, n 0, p m, p n} Dimostrazione. La prima asserzione è ovvia. Dimostriamo la seconda parte: se è discreta allora possiamo costruire la valutazione discreta ν = log e A ed m si possono esprimere come A = {a K ν(a) 0} m = {a K ν(a) > 0}. A questo punto è sufficiente applicare la proposizione 1.3.2. Viceversa, se m = (π), allora K è il sottogruppo di R >0 generato da π. 1.3.2 Topologia indotta da una valutazione Sia K un campo di numeri algebrici. definisce una metrica con la distanza Osserviamo che una valutazione su K d(x, y) := x y e, di conseguenza, una topologia su K. Precisamente, per x K la famiglia è un sistema fondamentale di intorni per x. Esempio 1.8. Ad esempio, nella topologia su Q definita dalla valutazione p-adica, due elementi a e b sono vicini se la loro differenza è divisibile per una potenza di p grande. In particolare la successione 1, p, p 2,, p n,

14 1. Domini di Dedekind e valutazioni converge a 0. La topologia indotta dalla valutazione p -adica si chiama topologia p-adica. Avendo introdotto una topologia sono definiti in modo naturale i concetti di limite e di completezza: Definizione 1.11. Sia K campo con una valutazione non banale. Una successione (a n ) n N si dice di Cauchy se, per ogni ɛ > 0, esiste un n N tale che a n a m < ɛ n, m > n. Il campo K si dice completo se ogni successione di Cauchy ha limite in K. Osserviamo che essendo la topologia definita da una metrica, tale limite è necessariamente unico. Si può dimostrare che se un campo K con valutazione non è completo, esistono un campo completo K e un omomorfismo da K in K che preserva la valutazione, con la proprietà universale seguente: dato un campo L completo e un omomorfismo da K a L che preserva la valutazione, quest ultimo si estende in modo unico ad un omomorfismo da K a L. Il campo K viene spesso chiamato completamento di K rispetto a, (Per maggiori dettagli rimandiamo a ([ANT] Cap.VII, teorema 7.17). Definizione 1.12. Due valutazioni su un campo K si dicono equivalenti se definiscono la stessa topologia. Una classe di equivalenza di valutazioni viene chiamata place di K. In particolare, per ogni ideale primo p di O K, esiste esattamente un place di K (quello definito dalla topologia p-adica). È spesso conveniente scegliere come rappresentante della classe di equivalenza la valutazione normalizzata, x p = (1/Np) νp(x). L importante teorema di Ostrowski descrive l insieme dei places di Q. Teorema 1.3.7. Sia una valutazione non banale su Q. (a) Se è archimedea, allora è equivalente a (valore assoluto su R). (b) Se è non archimedea, allora è equivalente a p per uno e un solo primo p Z. Dimostrazione. Per la dimostrazione rimandiamo a [ANT]. Notazione Per un place v di K scriviamo K v per il completamento di K rispetto alla topologia

1.3 Valutazioni 15 indotta da v. Quando v corrisponde ad un ideale primo p di O K, indichiamo con K p il completamento e con Ôp il completamento dell anello degli interi in K p. Ad esempio, con Q p è il completamento di Q rispetto alla valutazione p-adica. Scriviamo invece Z p ( e non Ẑp) per l anello degli interi (anello degli interi p-adici). 1.3.3 Estensioni di valutazioni Sia K un campo con una valutazione K e sia L/K un estensione finita e separabile: diciamo che una valutazione L su L estende K se L K è equivalente a K. Per un ideale primo p di O K questo signica che p = B O K con B ideale primo di L, o alternativamente, che B divide po L. Quand è che possiamo estendere una valutazione? E, in tal caso, come è fatta la valutazione estesa? Il teorema seguente dà una risposta a entrambe le domande nel caso di un campo completo rispetto ad una valutazione. Teorema 1.3.8. Sia K completo rispetto ad una valutazione discreta K e sia L un estensione finita e separabile di K di grado n. Allora K si estende in modo unico ad una valutazione discreta L di L tale che L è completo rispetto ad essa. Prima di procedere alla dimostrazione è necessario enunciare e dimostrare il Lemma di Hensel. Teorema 1.3.9. (Lemma di Hensel). Sia k il campo residuo di A; per f(x) A[x], indichiamo con f(x) l immagine di f in k[x]. Consideriamo ora un polinomio monico f(x) A[x]. Se f si fattorizza in k[x] come f = g 0 h 0 con g 0, h 0 monici e relativamente primi, allora f stesso si fattorizza in A[x] come f = gh con g, h monici e tali che ḡ = g 0 e h = h 0. Inoltre g e h sono univocamente determinati e si ha che (g, h) = A[x] (una tale coppia si dice strettamente coprima). Per dimostrare il teorema ci serviremo dei due lemmi che seguono: il primo mostra l esistenza di due polinomi g e h tali che (g, h) = A[x], il secondo ne dimostrerà l unicità. Lemma 1.3.10. Sia A un anello locale con ideale massimale p e campo residuo k. Se f, g A[x] sono tali che f, ḡ sono relativamente primi in k[x] e f è monico, allora (f, g) = A[x]. Dimostrazione. Sia M := A[x]/(f, g). Si può provare che se f è monico allora M è un A-modulo finitamente generato. Essendo ( f, ḡ) = k[x], abbiamo che (f, g) + pa[x] = A[x], e quindi pm = M. Per il lemma di Nakayama si ha M = 0, i.e. (f, g) = A[x].