Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 33 Docente: Laura Palagi
Homework in Ricerca Operativa gruppo n 33 Turni del Personale Martina Conti Veronica Della Posta
Testo del problema: Definiamo i turni del personale che effettua la consulenza di un centro aperto dalle 8:00 del mattino alle24:00. La giornata lavorativa del personale viene divisa in quattro turni da 4 ore: 8:00-12:00, 12:00-16:00, 16:00-20:00. 20:00-24:00 Per ognuno dei 4 turni è data la necessità minima di personale I consulenti sono di due categorie: lavoratori a tempo pieno: possono lavorare 8 ore con inizio alle ore 8:00, alle 12:00, alle 16:00. E il loro costo orario di lavoro è pari a 14. lavoratori part-time: possono essere assunti per lavorare in ognuno dei quattro turni disponibili e hanno un costo orario pari a 12. La condizione che va presa per svolgere il lavoro è che per ogni lavoratore part-time al lavoro deve essere presente un lavoratore a tempo pieno. Aggiungiamo poi la possibilità di una pausa pranzo di un ora che i lavoratori full time possono prendere dopo aver lavorato tre o quattro ore.
Si è scelto di studiare il problema analizzando i 2 casi evidenziati nelle caselle colorate della diapositiva precedente: Turni del Personale (Caso Generale); Turni del Personale aggiungendo la possibilità di una pausa pranzo L obiettivo del Problema di Programmazione Lineare è la minimizzazione dei costi
Turni del Personale (caso generale) Considerazioni: Si hanno 4 turni di lavoro e per ogni turno è evidenziata la necessità minima del personale; avremo quindi 4 equazioni di vincolo, una per ogni turno di lavoro; Dal testo del problema si evince che i consulenti sono di due categorie: Lavoratori a tempo pieno ( full time ) e Lavoratori part time ; quindi avremo due tipi di variabili di decisione, una per i lavoratori full time e una per i lavoratori part time ; Inoltre il problema impone che i lavoratori full time lavorino in turni di 8 ore con inizio alle 8:00, alle 12:00 e alle 16:00; da questa condizione che il problema impone si comprende che i lavoratori full time, poiché devono lavorare su turni di 8 ore non possono iniziare a lavorare nel turno delle 20:00. Sarà quindi necessario aggiungere un altro vincolo che imponga tale condizione. Si dovrà infine aggiungere un ultimo vincolo che imponga che per ogni lavoratore part time ci sia un lavoratore full time ; ossia che la totalità dei lavoratori full time deve essere almeno pari alla totalità dei lavoratori full time.
Presentazione del problema: Variabili: X i n di lavoratori full time che iniziano a lavorare nel turno i (con i=1,,4); Y i n di lavoratori part time che iniziano a lavorare nel turno i (con i=1,,4); Funzione Obiettivo: Considerando che i lavoratori full time lavorino 8 ore, e che i part time lavorino 4 ore; indichiamo con: Oref le ore di lavoro di lavoratori full time ; Orep le ore di lavori di lavoratori part time ; f il costo orario dei lavoratori full time (che nel nostro caso è pari a 14); p il costo orario dei lavoratori part time ( che nel nostro caso è pari a 12); La Funzione obiettivo che dobbiamo minimizzare è: Sostituendo i valori dei dati del problema abbiamo:
Vincoli: Per ogni turno abbiamo una richiesta minima di personale, elencato in tabella: Vincoli per ogni turno: NB: A partire dal vincolo del secondo turno, nelle equazioni sono presenti oltre ai dipendenti full time che iniziano a lavorare al turno i, anche i dipendenti full time che hanno iniziato a lavorare al turno i-1 (ossia al turno precedente), poiché tali dipendenti devono ancora terminare le loro ore complessive di lavoro.
Poiché il problema impone che i lavoratori full time debbano lavorare su turni di 8 ore, e quindi che non possono iniziare a lavorare a partire dal turno delle 20:00 (turno 4), poiché in tal caso lavorerebbero solo 4 ore, è necessario imporre un altro vincolo: tale vincolo sottolinea la condizione secondo cui non ci sono lavoratori full time che iniziano a lavorare nell ultimo turno. Infine, l ultimo vincolo da aggiungere è quello relativo alla condizione imposta dal problema che prevede un numero di lavoratori full time almeno pari al numero di lavoratori part time ;
Tale formulazione è riconoscibile come un modello di miscelazione; è sufficiente infatti introdurre le matrici dei coefficienti (dei vincoli sui turni) A(matrice dei coefficienti dei termini x i ) e B(matrice dei coefficienti dei termini y i ) che definiscono i vincoli di un problema di miscelazione nel seguente modo: Se i lavoratori lavorano nel turno i e nel turno j Se i lavoratori non lavorano nel turno nel turno i e non lavorano nel turno j Con i=1,,4 e j=1,,4 Le matrici dei coefficienti dei vincoli sono state riportate nel file Excel come illustrato in figura
Foglio dati: Modello in Excel Nel foglio dati del file Excel abbiamo riportato i valori dei dati presentati nel problema distinguendo 3 tabelle: Nella prima sono riportati i valori della disponibilità minima di lavoratori che devono essere presenti in ogni turno; Nelle ultime due tabelle sono riportati invece i valori dei costi orari e delle ore totali di lavoro, rispettivamente per i lavoratori full time e per i lavoratori part time. Si è scelto di inserire i valori dati dal problema in un foglio dati così da poter modificare i dati del problema stesso senza compromettere il modello matematico.
Modello: Per comodità abbiamo inserito le tabelle riportate nel foglio dati anche nel Modello
Sono stati assegnati dei valori arbitrari alle variabili del problema L obiettivo è minimizzare i costi: f.o.=somma(b4:e4)*tabella38[full]*t abella49[full]+somma(b5:e5)*tabell a38[part]*tabella49[part] Sono stati riportati nel Modello anche tutti i vincoli del problema; inoltre sono state utilizzate per la definizione dei vincoli stessi le funzioni SOMMA e MATR.SOMMA.PRODOTTO predefinite in Excel
Rappresentazione delle variabili Rappresentano il valore delle variabili di decisione del modello; Utilizzando il solutore, queste celle sono considerate come incognite e come output conterranno il valore ottimo della soluzione; E necessario assegnare un valore iniziale per poterle utilizzare. E nel nostro esempio possono assumere solo valori interi poiché sono associate ai consulenti del centro cioè i lavoratori part-time e i full-time. Rappresentazione variabili di vincolo I vincoli da rispettare riguardano: La somma dei lavoratori part-time e full-time che deve essere almeno uguale alla disponibilità minima di personale richiesto; Il vincolo sull assunzione di lavoratori full nel turno 4 che è pari a 0; E l ultimo vincolo riguarda il rapporto dei lavoratori; abbiamo infatti che la somma dei lavoratori full time in ogni periodo sia almeno uguale a quella dei lavoratori part time. Rappresentazione della funzione obiettivo Il nostro obiettivo è quello di minimizzare i costi conoscendo il costo di lavoro di un lavoratore part-time pari a 12 euro l ora e il costo di lavoro di un lavoratore full time pari a 14 euro l ora. Inoltre si è a conoscenza che il lavoratore part time lavora in turni di 4 ore, mentre i lavoratori full time lavorano in turni di 8 ore.
Uso del Solutore di Excel: Microsoft Excel dispone di una funzione chiamata Solutore (Solver) che consente di determinare la soluzione ottima di problemi di Programmazione matematica (PL, PLI, e alcuni classi particolari di PNL). La procedura di ottimizzazione utilizzata per la PL è una procedura iterativa nota come Metodo del Simplesso. Per accedere al Solutore di Excel basta semplicemente entrare nella scheda dati del programma; infatti il Solutore è presente nel gruppo analisi di tale scheda:
Se la voce Solutore non compare fra le voci del menù Strumenti, occorre procedere come segue: 1. Selezionare la voce Componenti aggiuntivi dal menù Strumenti; 2. Selezionare la voce Componente aggiuntivo Risolutore e confermare (ok);
Cliccando sulla casella del Solutore si apre la finestra Parametri del Risolutore : Nella parte in alto a sinistra della finestra compare l'etichetta Imposta cella obiettivo e una cella che deve contenere l'indirizzo della cella della funzione obiettivo. Una volta impostata la cella obiettivo abbiamo specificato che la nostra funzione obiettivo va minimizzata. Le variabili di decisione devono essere specicate indicando nella cella etichettata con Cambiando le celle (By Changing Cells) l'indirizzo delle celle variabili. I vincoli devono essere elencati nella sottofinestra Vincoli. Selezionando il tasto Aggiungi(Add) compare la Finestra Aggiungi vincolo. Prima della soluzione del modello è necessario selezionare il tasto Opzioni sulla destra della finestra Parametri del Risolutore". Nel caso si stia risolvendo un problema di Programmazione Lineare (o di Programmazione Lineare Intera) è necessario selezionare l'opzione Presupponi il modello lineare nella finestra Opzioni del Risolutore. E anche possibile specificare qui che le variabili sono non negative, se non e già stato specificato esplicitamente tra i vincoli del modello, selezionando l'opzione Presupponi non Negativo.
Seleziona il tipo di problema da risolvere Parametri del Risolutore Specifica la cella che contiene il valore della funzione obiettivo Consente di accedere alla finestra Opzioni del Risolutore Celle contenenti le variabili Apre la finestra Aggiungi vincolo Elenco dei vincoli del problema Consente di modificare un vincolo selezionato attraverso la finestra Modifica vincolo Elimina il vincolo selezionato
Dalle opzioni Opzioni selezionate se le funzioni che definiscono variabili e obiettivi sono lineari Parametri per algoritmo Opzioni selezionate se le variabili sono vincolate ad essere non negative se il vincolo non è stato inserito nei vincoli Parametri per problemi non lineari
Dalla casella Aggiungi Specifica le celle relative al 1 membro dell espressione di vincolo Specifica la relazione logica Fra i due membri del vincolo Specifica le celle a 2 membro dell espressione di vincolo(termine dato) l.h.s (colonna Valore finale) r.h.s. (colonna Vincolo a destra)
I vincoli possono essere inseriti uno alla volta. Questo procedimento può però essere molto lungo nel caso di problemi con molti vincoli; in alternativa si possono inserire più vincoli insieme se sono adiacenti e se hanno lo stesso vincolo relazionale (cioè >=, <=, oppure =). Il l.h.s del vincolo deve essere inserito nella cella con etichetta Riferimento: Successivamente cliccando il tasto <= si apre una tendina che consente di specificare il tipo di vincolo. Tra le possibili tipologie di vincoli compaiono anche le opzioni int e bin. Servono rispettivamente a specificare che le variabili possono assumere solo valori interi o binari. In questo caso nel campo Riferimento devono essere inserite le variabili interessate, mentre il campo Vincolo rimane vuoto. Il r.h.s. dei vincoli deve essere inserito nella finestra con etichetta Vincolo; Si può inserire il valore della cella appropriata semplicemente cliccando" sulla cella corrispondente nel foglio Excel. N.B: Il r.h.s. del vincolo immesso nel solutore DEVE esser un valore numerico e quindi non deve contenere funzioni. Tipicamente se erroneamente si inserisce una funzione nel r.h.s., Excel Solver interpreta il modello come Non Lineare e applica procedure di ottimizzazione diverse dal simplesso non arrivando a convergere al minimo.
Una volta impostati tutti i parametri nel risolutore, bisogna procedere selezionando il tasto Risolvi posto in alto a destra della finestra Parametri del Risolutore. Comparirà quindi la seguente tabella: Il messaggio in alto indica se il solutore è stato in grado o meno di determinare la soluzione ottima del modello.
Dopo aver eseguito la procedura di risoluzione descritta nelle slide precedenti, le variabili precedentemente impostate in modo arbitrario, che determinavano un obiettivo quindi basato su tali valori, vengono modificate assumendo i valori che conducono alla soluzione ottima. Nella cella relativa alla funzione obiettivo viene quindi salvato il valore ottimo trovato dal risolutore. Come si può notare anche i valori delle variabili vengono modificati: non vi sono più i valori impostati precedentemente in modo arbitrario, ma sono i valori che assumono le variabili all ottimo. Analizzando tali valori si può notare come minimizzando i costi sia necessario disporre nei primi due turni di lavoro solo lavoratori full time, mentre i lavoratori part time vengono associati agli ultimi due turni; notare però come negli ultimi due turni ai lavoratori part time debbano essere affiancati anche i due lavoratori full time che iniziano a lavorare a partire dal terzo turno.
Se per pura curiosità scegliamo di ignorare tra i vincoli imposti dal problema quelli di interezza, avremo una soluzione ottima differente, come evidenziato in figura: Si può notare infatti come ignorando tali vincoli si ottenga una soluzione ottima migliore della precedente. Questo perché le variabili di decisione che abbiamo scelto possono assumere anche valori frazionari, e non è necessario approssimare tali valori per eccesso o per difetto.
Oltre alla soluzione ottima del problema di PL, il Risolutore Excel fornisce tre rapporti aggiuntivi: 1. Rapporto valori; 2. Rapporto sensibilità; 3. Rapporto limiti. Informazioni aggiuntive FOGLI DI REPORTS I rapporti sensibilità e valori però non hanno significato nel caso di variabili vincolate ad essere intere (come nel caso dell esempio di cui abbiamo trattato)
ci occuperemo quindi solo dell analisi del Rapporto Valori. Il Rapporto Valori è diviso in tre sezioni: funzione obiettivo, celle variabili, vincoli; Nelle prime due sezioni, sono riportati i valori iniziali e i valori ottenuti dal Solutore. I valori iniziali sono quelli impostati arbitrariamente nel file Excel, mentre i valori finali sono quelli ottenuti dal Solutore.
Nella sezione dedicata ai vincoli, per ogni vincolo oltre al valore finale e alla relativa formula (in formato Excel) vengono fornite indicazioni anche sullo stato: Vincolante o Non Vincolante, cioè attivo (ovvero soddisfatto all'uguaglianza) o non attivo (ovvero soddisfatto con la disuguaglianza stretta) nella soluzione ottima determinata dal Solutore. L'ultima colonna della sezione è dedicata ai vincoli Tolleranza (la differenza o slack tra il valore ottimo finale (l.h.s) e il valore del vincolo (r.h.s.)). Questa informazione è di interesse quando i vincoli si riferiscono ad una risorsa limitata.
RAPPORTO SENSIBILITA Si occupa di valutare come la soluzione ottima di un problema di PL cambia al variare dei dati che definiscono l'istanza del problema. Il file del rapporto di sensibilità viene generato su richiesta ed è diviso in 2 parti: Nella prima sezione per ogni variabile è riportato: il valore finale delle variabili il coefficiente della variabile nella funzione obiettivo il Costo ridotto che rappresenta di quanto dovrebbe variare il coefficiente della variabile affinché la variabile stessa sia inserita nella soluzione ottima ad un valore non nullo. L Incremento / Decremento consentito che rappresentano la variazione del coefficiente della variabile per cui la soluzione rimane ottima Nella seconda sezione per ogni vincolo si riporta: il valore del l.h.s. e quello del r.h.s. (se coincidono significa che il vincolo è attivo nella soluzione ottima) Il Prezzo ombra che rappresenta l aumento(per PL di max) o il decremento (per PL di min) della f.o. per un incremento unitario del r.h.s. del vincolo corrispondente. Tale analisi è valida all interno del range Incremento/Decremento consentito. Per vincoli non attivi all ottimo il Prezzo ombra è nullo, l incremento consentito è infinito, mentre il Decremento può essere limitato.
Turni del Personale aggiungendo la possibilità di una pausa pranzo Considerazioni: In questo caso particolare, poiché è concessa la possibilità di una pausa pranzo solamente ai lavoratori full time, si è scelto di aggiungere alle variabili presenti nel problema generale, una nuova variabile che indichi il numero dei lavoratori full time che usufruiscono di questa concessione; Da notare che i lavoratori full time che iniziano a lavorare nel turno i- esimo e decidono di usufruire della pausa in tale turno, non possono poi avere una pausa aggiuntiva nel turno successivo, che serve per completare il loro turno di lavoro (poiché è concessa solo una pausa pranzo di un ora); Assumendo che la pausa pranzo non sia retribuita, va infine considerata una modifica nella funzione obiettivo, distinguendo oltre che tra lavoratori full time e lavoratori part time, anche tra lavoratori full time che decidono di usare la pausa pranzo e che lavorano quindi 7 ore su turni di 8 ore, da lavoratori full time che al contrario non usufruiscono di tale concessione e lavorano quindi 8 ore. NB: per semplificare il problema assumiamo che i lavoratori full time possano prendersi la pausa pranzo solo dopo la terza ora di lavoro e nel turno in cui hanno attaccato.
Presentazione del problema: Variabili: X i n di lavoratori full time che iniziano a lavorare nel turno i (con i=1,,4); Y i n di lavoratori part time che iniziano a lavorare nel turno i (con i=1,,4); K i n di lavoratori full time che iniziano a lavorare nel turno i e che prendono la pausa pranzo; Funzione Obiettivo: Considerando che i part time lavorino 4 ore; inoltre in questo caso dobbiamo considerare sia lavoratori full time che lavorano 8 ore, sia lavoratori full Time che lavorano 7 ore. Indichiamo con: Oref le ore di lavoro di lavoratori full time (8 ore) ; Orek le ore di lavoro di lavoratori full time che usufruiscono della pausa (7 ore); Orep le ore di lavori di lavoratori part time ; f il costo orario dei lavoratori full time (che nel nostro caso è pari a 14); p il costo orario dei lavoratori part time ( che nel nostro caso è pari a 12); La Funzione obiettivo che dobbiamo minimizzare è: Sostituendo i valori dei dati del problema abbiamo:
Vincoli: Per ogni turno abbiamo una richiesta minima di personale, elencato in tabella: Vincoli per ogni turno: Anche in questo caso è necessario aggiungere il vincolo relativo alla condizione impostata dal problema che prevede un numero di lavoratori full time almeno pari al numero di lavoratori part time ;
Inoltre, poiché il problema impone che i lavoratori full time debbano lavorare su turni di 8 ore, e quindi che non possono iniziare a lavorare a partire dal turno delle 20:00 (turno 4), è necessario imporre il vincolo: Infine, poiché i lavoratori full time che iniziano a lavorare al turno 3 sono gli stessi che rimangono a lavorare anche nell ultimo turno, questi possono prendere la pausa pranzo solo una volta nei 2 turni di lavoro consecutivi, quindi sarà necessario imporre la condizione: Con la quale si vuole specificare che non essendoci lavoratori full time che iniziano a lavorare nell ultimo turno, necessariamente non ci sono lavoratori full time che attaccano in tale turno e decidono di prendersi la pausa pranzo dopo 3 ore di lavoro.
Foglio dati: Modello in Excel I dati riportati nel file Excel per questo caso sono uguali a quelli riportati per il caso generale, con l aggiunta però di un dato: è necessario infatti distinguere nella tabella contenente le ore lavoro, tra le ore che lavorano i full time che si concedono una pausa pranzo e che lavorano quindi 7 ore, dai lavoratori full time che al contrario non usufruiscono della pausa pranzo e che lavorano 8 ore. Abbiamo quindi eseguito la procedura descritta precedentemente per la scrittura del modello su Excel e per la sua risoluzione, modificando opportunamente il modello anche su Excel.
Abbiamo ottenuto un valore ottimo maggiore rispetto al caso precedente; ciò è dovuto al fatto che in questo caso è necessario assumere più personale per evitare che la disponibilità minima non sia soddisfatta.
Turni di Lavoro LAVORO A CURA DI: Martina Conti Veronica Della Posta