Verifica di Matematica Classe V

Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 22/03/2016 Verifica di Matematica Classe V Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: 1. Sei stato assunto come economo da una nota ditta di calcolatrici scientifiche, la Shasio. Il tuo compito è quello di ottimizzare la produzione in modo tale che l azienda ottenga il massimo profitto. L economo precedente ha rivelato che il costo settimanale per produrre q centinaia di calcolatrici è ben modellizzato dalla relazione C ( q ) = q 3 3q 2 +6, dove la funzione esprime il costo in migliaia di euro. Il primo problema che ti è chiesto di affrontare è minimizzare i costi. i. Determina quante centinaia di calcolatrici deve produrre la Shasio in modo da minimizzare i costi settimanali. Un secondo problema che ti è chiesto di affrontare è di capire qual è l espressione analitica che rappresenta il costo unitario, ovvero il costo per produrre una calcolatrice. A tal fine chiedi aiuto a tre collaboratori i quali ti propongono le tre seguenti soluzioni: U ( q ) = 3q 2 6q U ( q ) = q3 3q 2 +6 q U ( q ) = q 3 3q 2 q+6 ii. Sapendo che una sola delle soluzioni proposte è corretta, individuala e motiva la tua scelta al CDA dell azienda. ( ) iii. Studia la funzione y =U q in un piano cartesiano Oqy. scelta al punto precedente e tracciane il grafico qualitativo Il CDA decide di vendere ogni calcolatrice a 20 l una. Vieni a conoscenza che il 90% delle calcolatrici prodotte in una settimana viene venduto. iv. Determina il numero di calcolatrici da vendere ogni settimana in modo che la Shasio abbia il massimo guadagno. [inventato] 1 di 12

Risoluzione. i. Determina quante centinaia di calcolatrici deve produrre la Shasio in modo da minimizzare i costi settimanali. ( ) ammette minimo. { }, questo perché: Il problema chiede semplicemente di determinare a quale numero di calcolatrici corrisponde il minimo costo settimanale, ovvero per quale q la funzione C q Il dominio della funzione sarà D = q q R 0 q q MAX 100 q N Ora, non ha senso produrre un numero di calcolatrici q < 0 ; ci sarà un valore massimo finito q MAX =100 Q MAX, Q MAX N, di calcolatrici che si possono produrre in una settimana, però dai dati non si può dedurne il valore, che comunque immaginiamo sia grande abbastanza da non influire sull analisi della situazione; non ha senso produrre frazioni di calcolatrici, per cui i valori accettabili sono tali che 100 q N visto che q rappresenta le centinaia di calcolatrici prodotte. Cʹ q ( ) = 3q 2 6q Cʹ ( q ) = 3q( q 2). Dalla tabella della crescenza osservo che la funzione ammette un minimo in corrispondenza di q = 2, quindi per minimizzare i costi è necessario produrre due centinaia di calcolatrici. Il costo minimo corrisponde a 2000. 0 2 ii. Sapendo che una sola delle soluzioni proposte è corretta, individuala e motiva la tua scelta al CDA dell azienda. La prima soluzione rappresenta la derivata della funzione C ( q ), quindi la velocità di variazione dei costi settimanali. La terza funzione è C ( q ) q che non rappresenta nulla di particolare. La seconda funzione è il rapporto C ( q ) q, ovvero quanto spendo per produrre q centinaia di calcolatrici diviso il numero di centinaia di calcolatrici q prodotto. Essa rappresenta quindi il costo unitario, espresso in migliaia di euro. iii. Studia la funzione ( ) y =U q in un piano cartesiano Oqy. scelta al punto precedente e tracciane il grafico qualitativo Il problema chiede di studiare la funzione U q posti dal problema. ( ) = C ( q ) 2 di 12 q = q3 3q 2 +6, chiaramente dentro i limiti q

dominio: D = { q q R 0 < q q MAX 100 q N}. parità: U ( q ) U( q) U ( q ). ( ) : N 0 q 3 3q 2 +6 0 q D per quanto visto nel punto i: la funzione segno di U q ammette un minimo relativo ( 2; 2). Tale minimo, in accordo con il Teorema di Weierstrass, è anche assoluto in 0; q MAX. Questo significa che N 2 per q 0; q MAX e da qui la tesi. D > 0 q > 0. In definitiva, U ( q ) > 0 q D. limiti significativi ed eventuali asintoti: non ce ne sono. crescenza di U ( q ) : U ( q ) = q 2 3q+ 6 q Uʹ ( q ) = 2q 3 6 q Uʹ ( q ) = 2q3 3q 2 6 2 q 2. Nʹ 0 2q 3 3q 2 6 0. Poiché non riesco a scomporre il polinomio, provo a dedurne il segno attraverso un confronto tra grafici; siano g 1 ( q ) = 2q 3 e g 2 ( q ) = 3q 2 6. Devo verificare quando 2q 3 3q 2 6 0 2q 3 3q 2 +6 g 1 ( q ) g 2 ( q ). Dal grafico sotto riportato, osservo che g 1 q e che g q 1 ( ) = g 2 ( q ) per uno z 2; 3 ( ) g 2 ( q ) per q z. Utilizzando il metodo della bisezione, riesco a determinare con precisione il valore di z: poiché Nʹ( 2,1) = 0,708 e Nʹ 2,2 poiché Nʹ 2,14 N 2,15 ; ( ) = 0,776, per il Teorema di esistenza degli zeri z 2,1; 2,2 ( ) = 0,138112 e ʹ( ) = 0,00925, z 2,14; 2,15 ; 3 di 12

ne consegue che la funzione U q ( ) ammette un minimo o per q = 2,14 o per q = 2,15 (il denomina- ( ) 0,9633 > 0,9632 U( 2,15), si ha che N ʹ = 0 quando pro- tore è ininfluente); ora, poiché U 2,14 duco 215 calcolatrici. In definitiva, Nʹ 0 q 2,15. Si conclude che U q D ʹ> 0 q 2 > 0 q D. ( ) è crescente per q > 2,15 ed ammette un punto di minimo relativo (che è anche assoluto) per q = 2,15 (produco 215 calcolatrici al prezzo di circa 9,63 cadauna). grafico di U ( q ) : iv. Determina il numero di calcolatrici da vendere ogni settimana in modo che la Shasio abbia il massimo guadagno. Sapendo che il 90% delle calcolatrici prodotte sarà venduto, il ricavo (in migliaia di euro) dalla vendita di q centinaia di calcolatrici prodotte al prezzo p = 20 l una (che corrisponde a un prezzo P =100p = 2000 = 2 k per ogni centinaio di calcolatrici prodotte) è R q (ricavo in migliaia di euro). La funzione guadagno risulterà quindi essere G q ( ) = R ( q ) C ( q ) = q 3 +3q 2 +1,8q 6. Per determi- Gʹ ( q ) : Gʹ ( q ) = 3q 2 +6q+1,8 e Gʹ ( q ) 0 per nare il massimo guadagno, al solito, studio il segno di ( ) = P 0,9q R ( q ) =1,8q 0 q 1+ 1,6 2,26. La Shasio otterrà il guadagno massimo producendo 226 calcolatrici alla settimana. Tale guadagno è di circa 1848. 4 di 12

2. Lo studio di design ForMa è stato incaricato di realizzare uno scivolo per l immissione in una piscina. Il responsabile del progetto produce la forma indicata in figura. Il profilo della faccia anteriore dello scivolo, in un opportuno sistema di riferimento monometrico Oy di unità di metro, risulta essere quanto disegnato dal designer responsabile del progetto: Note le tue doti in materia, il designer ti chiede di determinare una possibile espressione analitica della funzione il cui grafico rappresenti il profilo in figura, con il vincolo che i grafici di tali funzioni passino per i punti A 0; 6 C. ( ), B( 4; 3) e C ( 8; 0) e abbiano tangenti orizzontali in A e in i. Un primo modello che ti viene in mente è quello formato da due archi di parabola nell intervallo 0; 8. Determinane l espressione analitica da far vedere al designer. Al designer non piace la tua idea, la trova troppo tonda (??VK!!N). 5 di 12

ii. Cerchi un secondo modello del profilo, tramite una funzione polinomiale di terzo grado, nell intervallo 0; 8. Determinane l espressione analitica y e studia tale funzione in modo da verificare che effettivamente, nel tratto interessato, rappresenti un buon modello. Al designer piace la tua idea! Ti fa però notare che per norme di sicurezza la pendenza dello scivolo non può essere maggiore di 50. iii. Verifica se il modello scelto dal designer rispetta la condizione di sicurezza. Infine il designer ti chiede di stimare il costo totale per dipingere le due pareti laterali dello scivolo, che stima essere proprio l area racchiusa tra il grafico rappresentante il profilo e i due assi cartesiani. Il designer ti informa che la vernice scelta ha un costo di 15 al metro quadrato. iv. Non sapendo calcolare l area di poligoni mistilinei, decidi di approssimarla suddividendo l intervallo 0; 8 sull asse in parti tutte uguali (ottenendo quindi rettan- n goli di base 1 cm e altezza y). Ricordi che k 2 = n n+1 6 ( ) 2 n k 3 = n2 n+1 k=0 4 2 k=0 ( )( 2n+1) n = k, relazioni che ti sembrano poter risultare utili k=1 e che [tratto da Simulazione 1 Tema N - LA matematica a colori] Risoluzione. i. Un primo modello che ti viene in mente è quello formato da due archi di parabola nell intervallo 0; 8. Determinane l espressione analitica da far vedere al designer. Le due parabole 1 e 2, per osservare tutte le indicazioni date, devono entrambe passare per il punto B( 4; 3) e avere vertice rispettivamente in A( 0; 6) e C ( 8; 0). 1 : y 6 = a 1 ( 0) 2 ; B 1 3 6 = a 1 4 0 2 : y 0 = a 2 ( 8) 2 ; B 2 3 0 = a 2 4 8 ( ) 2 a 1 = 3 ( ) 2 a 2 = 3 L espressione analitica della funzione risulta essere: 16. Quindi : y = 3 1 16 2 +6. 16. Quindi : y = 3 2 16 2 3 + 4. 6 di 12

( ) = f 3 16 2 +6 se 0 4 3 16 2 3 + 4 se 4 < 8. Si osserva che la funzione è continua in 0; 8 ed anche derivabile al suo interno (in 0; 8 \ 4 perché polinomiale e in 4 perché lim fʹ 4 ( ) = lim 4 3 8 = 3 2 = lim 3 4 + 8 3 = lim fʹ 4 + ( ) ). { } ii. Cerchi un secondo modello del profilo, tramite una funzione polinomiale di terzo grado, nell intervallo 0; 8. Determinane l espressione analitica y e studia tale funzione in modo da verificare che effettivamente, nel tratto interessato, rappresenti un buon modello. Considero la funzione g ( ) = a 3 +b 2 +c +d, a, b, c e d parametri reali, a 0. Per rispettare le osservazioni del designer tale funzione deve: Poiché gʹ ammettere un massimo relativo in A; avere il grafico passante per B; ammettere un minimo relativo in C. ( ) = 3a 2 +2b +c, le tre condizioni appena esposte diventano: c = 0 d = 6 ; 64a+16b+ 4c +d = 3 ; 192a+16b+c = 0 512a+64b+8c +d = 0. In pratica basta risolvere il seguente sistema: 64a+16b+ 4c +d = 3 64a+16b+3 = 0 64a 192a+3 = 0 a = 3 128 a = 3 128 192a+16b+c = 0 12a+b = 0 b = 12a b = 9 32 b = 9 32 c = 0 c = 0 c = 0 c = 0. d = 6 d = 6 d = 6 d = 6 c = 0 d = 6 512a+64b+8c +d = 0 256a+32b+3 = 0 256a+32b+3 = 0 6 9+3 = 0 Quindi y = g ( ) = 3 128 3 9 32 2 +6 = 3 ( 128 3 12 2 +256), 0; 8 dominio: D = 0; 8. parità: g ( ) g( ) g ( ). 7 di 12.

segno di g ( ) : La funzione dovrebbe ammettere uno zero per = 8: in effetti g ( 8 ) = 3 ( 128 512 768+256 ) = 0. Applicando il Metodo di Ruffini ottengo 1 12 0 256 8 8 32 256 1 4 32 0 ovvero g ( ) = 3 ( 128 8 )( 2 4 32) g ( ) = 3 ( 128 8 )( 8) ( + 4) g ( ) = 3 Quindi g ( ) > 0 per 0; 8 e g ( ) = 0 per = 8. ( ) 2 ( + 4) 128 8 limiti significativi: non ce ne sono. crescenza: poiché gʹ ( ) = 9 128 8 ( ), la funzione risulterà essere decrescente in 0; 8. grafico: coincide con quello dato dal testo. Quindi lo studio appena effettuato conferma la bontà del modello. iii. Verifica se il modello scelto dal designer rispetta la condizione di sicurezza. La pendenza di una retta tangente al grafico di una funzione g è rappresentata da g ʹ. Per capire qual è la pendenza massima, devo trovare il massimo di g ʹ in 0; 8 e verificare che tale valore in valore assoluto * sia minore di tan50 1,192. ( g ʹ ( ))ʹ = gʹʹ ( ) = 9 ( ) e quindi la pendenza massima si ha in corrispondenza del punto B (per 64 4 0; 4 la funzione g ʹ cresce e per 4; 8 la funzione g ʹ decresce). La massima pendenza sarà quindi gʹ ( 4 ) = 9 = 1,125 e, poiché 1,125 =1,125 <1,192, la condizione di sicurezza è ri- 8 spettata (corrisponde a una pendenza di circa 48,4 ). * Bisogna tener conto che la funzione è decrescente e che quindi i coefficienti angolari delle rette tangenti al grafico della funzione fanno riferimento ad angoli ottusi, rispetto al verso positivo dell asse. 8 di 12

iv. Stima il costo della vernice per dipingere le due pareti laterali dello scivolo. L idea è quella di sommare le aree di tutti i rettangoli che hanno come base Δ =1 100 m =1 cm e come altezza il corrispondente valore di g ( ), il tutto moltiplicato per 2 visto che le superfici da dipingere sono due. La somma di tutti i rettangoli è R = 100 g 1 1 + 1 100 100 g 2 +!+ 1 799 + 100 100 g 1, ov- 100 100 g 100 1 vero R = 100 g i 1 3 i 3 i2 = 12 3 100 100 128 100 100 +256 3 2 = i 3 1200i 2 +256 10 6 128 10 8 ( ) 3 sommatoria si può ulteriormente suddividere come R = i 3 9 i 2 + 3 1. 128 10 8 32 10 6 50 Utilizzando le relazioni date nel testo trovo che l area totale da dipingere sarà: 3 A = 2 R = i 3 9 i 2 + 3 3 2 801 2 9 801 1601 1 = 64 10 8 16 10 6 25 64 10 8 4 16 10 6 6 + 3 25 = = 48,120075 96,175+96 = 47,94 m 2. Poiché la vernice costa 15 al metro quadrato, il costo totale della vernice è ricavabile dalla proporzione 15:1 = : 47,94 = 719,10. Osservazione: si poteva stimare, in modo apparentemente grossolano, anche calcolando l area del triangolo OAC, dove O indica l origine degli assi: in questo caso l area da verniciare viene 2 6 8 2 = 48 m2, equivalente a un costo di 720,00.. La 9 di 12

Questionario. Risolvi tre dei sei quesiti: 1. Si determini il dominio della funzione f ʹ( ) sapendo che ( ) = 2sin 2 1 ( ) = Risoluzione. fʹ D = R cos( 2) < 0 ( ) = 1 4sincos fʹ 2 2sin 2 1 ( ) ( ) sin 2 { }= π 4 +πk; 3 4 π +πk con k Z. cos 2 f. [inventato]. Il suo dominio è 2. Che cos è la derivata di una funzione in un punto? Che cosa rappresenta geometricamente? Si determini l equazione della retta normale al grafico di f ( ) = ln ( +1) nel suo punto di ascissa 0. [inventato]! Risoluzione. La derivata di una funzione f di dominio D in un punto P D è il limite del rapporto f ( P +h) f ( P ) incrementale calcolato da quel punto: lim, dove h rappresenta l incremento sulle h 0 h. Da un punto di vista geometrico rappresenta la pendenza (il coefficiente angolare) della retta tangente al grafico della funzione f nel suo punto di ascissa P. Per quanto riguarda la funzione data, D = 1; + e fʹ 1. Il punto del grafico della funzio- +1 f 0 ne da considerare è P 0; 0 ( ) ( ). Per la retta normale n si avrà m n = 1 ʹ ( ) = 1 e q n = 0. L equazione della retta richiesta è quindi n: y =. 3. Quando una funzione reale è continua in un punto P? E quando è derivabile nello stesso punto? Si determinino i parametri reali a e b affinché la funzione sia derivabile su tutto R. [L.T. Biotecnologia 2007] $ &( )e +1!!!!!se! 0 f %.!! ( ) = 2 + 2+a '& 2 +b 1 2!!!!!!!!!!se! > 0 Risoluzione. Sia f una funzione di dominio D e sia P D. f si dice essere continua in P quando! lim f P ( ) = f ( P ). Quando P D tale definizione è equivalente alla seguente: f si dice essere continua in P quando lim P f ( ) = f P, f si dice essere derivabile in P quando lim fʹ P ( ) = lim + ( ) = lim + P P! ( ). Sempre nel caso in cui P D f ( ) e sono entrambi finiti. fʹ 10 di 12

La funzione data è continua e derivabile in R \{ 0} a,b R per note proposizioni. ( ) = ae = 1 2 = lim Impongo la continuità in 0: lim f f 0 0 + Determino l espressione analitica della derivata di f: ( ) = fʹ Impongo la derivabilità in 0: lim fʹ 0 Per a = 1 ( ) a = 1 2e. ( 2 +5 2+1 2+a) e+1 se < 0 2 +b se > 0 ( ) = 1 2 +a e = b = lim fʹ 0 + ( ) b = 1 2 +a ( 2e) e b = ( e 1) 2 la funzione è derivabile in R come richiesto.. e. + 1 2n 4. Determina il carattere della seguente serie telescopica:. [inventato] n 4 2n 3 +n 2 + + + 1 2n 1 2n 1 Risoluzione. = = n 4 2n 3 +n 2 n=2 n 2 ( n 1) 2 n=2 n 1 2 n=2 n 1 1 ( n 1) 1 2 ( n 2) 2 + 1 n 1 1 2 ( n 1) 2 +!= 1+ lim n + n = 1. 2 ( ) 2 n=2 = 1 4 1 + 1 9 1 + 1 4 16 1 +!+ 9 5. Sia data la retta r di equazioni parametriche " = t $ # y = 2t. $ % z = 4 3t Si determinino le coordinate del punto P sulla retta r che si trova alla minima distanza della superficie sferica di centro l origine O( 0;#0;#0) e raggio 2. [inventato] Risoluzione. La situazione è rappresentata in figura. Il punto P richiesto si può determinare riconoscendo che la distanza minima di una retta da una superficie sferica che non interseca la retta è la distanza PQ, dove Q è l intersezione della retta s, passante per O e perpendicolare alla retta r data, con la superficie sferica data. Il punto P quindi risulterà essere il punto di intersezione della retta r con la retta s o, equivalentemente, l intersezione del piano Γ:a +by +cz +d = 0, passante per il centro O della sfera e perpendicolare alla retta r, con la retta r stessa. Γ r a =1, b = 2 e c = 3; O Γ d = 0. Quindi Γ: +2y 3z = 0. 11 di 12

Resta da intersecare r con Γ: t + 4t 3 4 3t ( ) = 0 t = 6 7, quindi P 6 7 ;12 7 ;10 7. 6. La legge oraria di un corpo è data dalla relazione s( t) = e t τ 2t, dove s è espresso in metri, t in secondi e τ = 2 s. Nell intervallo 2; 4 esiste un istante in cui la velocità del corpo è uguale alla sua velocità media nell intervallo considerato? Qual è questo istante? [Tratto da Es. 10 pag. 374 Tema N LA matematica a colori] Risoluzione. Il Teorema di Lagrange assicura l esistenza di tale punto nell intervallo dato, visto che la funzione s è continua in 2; 4 e derivabile al suo interno (somma algebrica di funzioni continue e derivabili). Per determinare l istante richiesto applico il Teorema di Lagrange: esiste c 2; 4 tale che sʹ ( c ) = s ( 4 ) s ( 2 ) ( = e2 8) ( e 4 ) = e2 e 4. Ora, sʹ( t) = 1 4 2 2 2 τ et τ 2, quindi ec 2 4 = e2 e 4, da 2 2 cui c = 2+ln e 1 ( ) 2 3,08 2; 4. NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 10 p.ti. 12 di 12