Geometria Superiore Esercizi 1 (da consegnare entro... )

Geometria Superiore Esercizi 1 (da consegnare entro... ) In questi esercizi analizziamo il concetto di paracompattezza per uno spazio topologico e vediamo come questo implichi l esistenza di partizioni dell unità subordinate a un ricoprimento di una varietà. Gli esercizi da svolgere sono: 1.5, 2.5, 2.8, 2.9, 2.10, 3.7, e le dimostrazioni del lemma 3.3 e del teorema 3.8. 1 Assiomi di numerabilità Sia X uno spazio topologico. Ricordiamo le definizioni di base di intorni e base di aperti. Definizione 1.1. Sia p X. Una base di intorni per p è una collezione N p = N α } α A di intorni di p tale che per ogni intorno N di p esiste α A tale che N α N. Notiamo che l insieme degli indici A può essere infinito (in generale lo è). Definizione 1.2. Una collezione U = U β } β B di aperti di X è una base per la topologia di X se ogni sottoinsieme aperto di X è unione di aperti della collezione. Anche in questo caso l insieme degli indici B può essere infinito. Enunciamo subito i due assiomi di numerabilità: Definizione 1.3. Sia X uno spazio topologico. X soddisfa il primo assioma di numerabilità (in inglese: X is first countable ) se ogni punto ha una base di intorni numerabile. Definizione 1.4. Sia X uno spazio topologico. X soddisfa il secondo assioma di numerabilità (in inglese: X is second countable ) se esiste una base numerabile per la topologia di X. Esercizio 1.5. Dimostrare che: 1. Se X soddisfa il secondo assioma, allora soddisfa anche il primo. 2. Ogni spazio metrico soddisfa il primo assioma. 3. R n soddisfa il secondo assioma. In particolare, dimostrare che la collezione di palle aperte con centro a coordinate razionali e raggio razionale è una base per la topologia di R n. 1

2 PARACOMPATTEZZA 2 4. Più in generale, uno spazio metrico separabile soddisfa il secondo assioma (ricordiamo che X è separabile se esiste un sottoinsieme numerabile denso). 5. Dare un esempio di spazio topologico che soddisfa il primo assioma ma non il secondo. 2 Paracompattezza Sia X uno spazio topologico. Ricordiamo alcune definizioni: Definizione 2.1. Una collezione U = U α } α A di sottoinsiemi di X è un ricoprimento di W X se W α A U α. Si dice un ricoprimento aperto se gli insiemi U α sono aperti. Una sottocollezione è un sottoricoprimento se è ancora un ricoprimento. Definizione 2.2. Una collezione V = V β } β B di sottoinsiemi di X è un raffinamento di un ricoprimento U se è ancora un ricoprimento e per ogni β B esiste α A tale che V β U α. Definizione 2.3. Una collezione U = U α } α A di sottoinsiemi di X è detta localmente finita se per ogni x X esiste un intorno W x di x tale che W x U α solo per un numero finito di indici α. Definizione 2.4. Uno spazio topologico X è localmente compatto se ogni punto ha un intorno compatto. Esercizio 2.5. Dimostrare che se X è di Hausdorff, X è localmente compatto se e solo se ogni punto ha un intorno la cui chiusura è compatta. Definizione 2.6. Uno spazio topologico X si dice paracompatto se ogni ricoprimento aperto ha un raffinamento localmente finito. La paracompattezza è una proprietà importante in quanto garantisce l esistenza di una partizione dell unità. Per prima cosa diamo una condizione sufficiente per la paracompattezza. Teorema 2.7. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff, localmente compatto e che soddisfa il secondo assioma di numerabilità. Allora X è paracompatto. In effetti, ogni ricoprimento aperto di X ha un raffinamento numerabile, localmente finito di aperti a chiusura compatta. Dimostrazione. Il primo passo è dimostrare che esiste una successione G i }, i = 1, 2,... di aperti tali che 1. G i è compatto 2. G i G i+1 3. X = G i Esercizio 2.8. Presa una qualunque base numerabile di aperti, dimostrare che la collezione che si ottiene considerando solo quelli a chiusura compatta è ancora una base (evidentemente numerabile).

3 PARTIZIONE DELL UNITÀ 3 Sia dunque U i }, i = 1, 2,... una base numerabile di aperti a chiusura compatta. Poniamo G 1 = U 1 e supponiamo che G k = U 1 U 2... U jk Sia j k+1 il più piccolo intero maggiore di j k tale che e definiamo G k G k+1 = Esercizio 2.9. Dimostrare che gli insiemi G i così definiti hanno le proprietà 1., 2. e 3. richieste. j k+1 Sia ora V = V α } α A un qualunque ricoprimento aperto. L insieme G i G i 1 è compatto e contenuto nell insieme G i+1 G i 2. Per ogni i 3 scegliamo un sottoricoprimento aperto finito del ricoprimento j k+1 U i U i U α ( G i G i 1 ), α A} di G i G i 1 e un sottoricoprimento aperto finito del ricoprimento di G 2. U α G 3, α A} Esercizio 2.10. Dimostrare che gli insiemi così determinati formano un raffinamento numerabile, localmente finito del ricoprimento V e sono tutti a chiusura compatta. Questo conclude la dimostrazione del teorema 2.7 3 Partizione dell unità Definizione 3.1. Uno spazio topologico X è una varietà topologica di dimensione n se 1. X è di Hausdorff 2. X è localmente euclideo, cioè esiste un ricoprimento aperto U = U α } α A di X e degli omeomorfismi φ α : U α R n 3. X soddisfa il secondo assioma di numerabilità X è una varietà differenziabile (rispettivamente di classe C, analitica reale) se per ogni α, β tali che U α U β si ha che la funzione φ β φ 1 α : φ α (U α U β ) φ β (U α U β ) è differenziabile (rispettivamente di classe C, analitica reale).

3 PARTIZIONE DELL UNITÀ 4 Poiché R n è localmente compatto, la condizione localmente euclideo implica localmente compatto e quindi per il teorema 2.7 ogni varietà è paracompatta. Osserviamo anche che, se X è connesso, la condizione che tutti gli U α siano omeomorfi allo stesso R n è una conseguenza del teorema di invarianza della dimensione, che afferma Teorema (di invarianza della dimensione). Siano U R n e V R m due sottoinsiemi aperti. Se U e V sono omeomorfi, allora n = m. La dimostrazione di questo teorema con metodi puramente topologici è piuttosto difficile. Più facile dimostrarlo usando i gruppi di omologia, il che però richiede di sviluppare prima tutta la teoria dell omologia (in particolar modo, l invarianza topologica dell omologia). Di solito quindi si preferisce includere la condizione di dimensionalità nella definizione di varietà. Veniamo ora all argomento principale di questa serie di esercizi: Definizione 3.2. Sia X una varietà differenziabile. Una partizione dell unità è una collezione φ i } i I di funzioni C su X a valori reali non negativi tale che 1. la collezione dei supporti supp(φ i )} è localmente finita 2. i I φ i (x) = 1 per ogni x X Il risultato fondamentale afferma l esistenza di partizioni dell unità subordinate a un ricoprimento aperto. Dimostriamo prima un risultato locale. Lemma 3.3. La funzione α : R R definita da e 1/t se t > 0 α(t) = 0 se t 0 è di classe C. Dimostrazione. Esercizio. Corollario 3.4. Per ogni intervallo chiuso [a, b] R c è una funzione di classe C β : R R tale che 0 β(x) 1 per ogni x R e 1 se t a β(t) = 0 se t b Dimostrazione. β(t) = α(b t) α(b t) + α(t a) Finalmente il risultato che ci interessa: Corollario 3.5. Per ogni punto p R n e ogni r > 0 c è una funzione di classe C φ : R n R tale che 0 φ(x) 1 per ogni x R n e 1 se e solo se x p r φ(x) = 0 se e solo se x p > 2r

3 PARTIZIONE DELL UNITÀ 5 Una funzione come φ è detta bump function, (o funzione a campana in italiano) perché il suo grafico ricorda quello di un dosso. L esistenza di una partizione dell unità prende due forme, a seconda se vogliamo funzioni a supporto compatto oppure no. La versione non a supporto compatto discende facilmente da quella a supporto compatto, che ora dimostriamo: Teorema 3.6. Sia X una varietà e U = U α } α A un ricoprimento aperto. Allora esiste una partizione dell unità ρ β } β B tale che i supporti sono tutti compatti, e per ogni β B esiste α A per cui supp(ρ β ) U α. Diciamo in questo caso che la partizione dell unità è subordinata al ricoprimento. Osserviamo che in ogni aperto del ricoprimento ci possono essere i supporti di più funzioni. Dimostrazione. A partire dal ricoprimento U costruiamo la successione di insiemi G i } come nella dimostrazione del teorema 2.7, e poniamo G 0 =. La sequenza G 0 G 1... ricopre X. Sia ora p X e sia i p il più grande indice per cui p X G ip. Scegliamo α p tale che p U αp e prendiamo una carta locale (V, τ) centrata in p (cioè τ(p) = 0 R n ) tale che V U αp ( ) G ip +2 G ip e tale che τ(v ) contenga una palla di centro l origine e raggio 2r. Poniamo φ τ su V ψ p = 0 altrimenti dove φ è la funzione del corollario 3.5. Allora ψ p è una funzione C su X che vale costantemente 1 su un intorno W p e ha supporto compatto contenuto in V U αp ( ) G ip +2 G ip. Per ogni i = 1, 2,... scegliamo un numero finito di punti p X tali che gli intorni corrispondenti W p coprano G i G i 1 (ricordiamo che è compatto). Rinumeriamo le funzioni corrispondenti ψ 1, ψ 2,..., cosa possibile perché sono una quantità numerabile. Esercizio 3.7. Concludere la dimostrazione, provando che 1. i supporti delle ψ i sono una famiglia localmente finita; 2. posto ψ = ψ i, dimostrare che la somma è ben definita e di classe C ; 3. infine, dimostrare che la famiglia ρ i = ψ i ψ è una partizione dell unità, con supporti compatti e subordinata al ricoprimento U.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 6 L ultimo risultato è Teorema 3.8. Sia X una varietà e U = U α } α A un ricoprimento aperto. Allora esiste una partizione dell unità ρ α } α A tale che per ogni α A si ha supp(ρ α ) U α. In questo caso diciamo che la partizione dell unità è subordinata al ricoprimento con gli stessi indici. Notiamo che gli insiemi di indici per il ricoprimento e la partizione dell unità sono lo stesso, ma non è più possibile, in generale, richiedere che i supporti delle funzioni siano compatti. Dimostrazione. Esercizio. Riferimenti bibliografici [W] [Le] Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM 94, Springer, 1983 John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, GTM 218, Springer, 2012