0.1 Esercizi calcolo combinatorio Esercizio 1. Sia T l insieme dei primi 100 numeri naturali. Calcolare: 1. Il numero di sottoinsiemi A di T che contengono esattamente 8 pari.. Il numero di coppie (A, B) con A, B sottoinsiemi di T. 3. Il numero di coppie (A, B) di sottoinsiemi di T tali che A B =. 4. Il numero di coppie (A, B) di sottoinsiemi di T tali che A B =. Esercizio. Quante stringhe diverse di 10 lettere si possono costruire anagrammando la parola MAT EMAT ICA? (Oss.:Siamo interessati a tutte gli anagrammi, a prescindere dal fatto che abbiano un significato in Italiano) Esercizio 3. Nel gioco del totocalcio sono inserite 13 partite e una colonna di tale gioco è la scelta di un simbolo tra questi tre: 1, x, per ognuna delle partite. (Il simbolo 1 significa che prevediamo che vinca la squadra che gioca in casa, che vinca la squadra che gioca in trasferta, x che la partita finisca in pareggio). Ad ogni previsione corrisponde 1 punto se la previsione è giusta. 1. Quante sono le possibili colonne al totocalcio?. In quanti modi si possono fare punti? Esercizio 4. L alfabeto italiano contiene 1 consonanti e 5 vocali. Quante stringhe di 5 lettere si possono formare che contengano: 1. Esattamente una vocale.. Almeno una vocale. 3. Almeno vocali. 4. Esattamente vocali. 1
Esercizio 5. L alfabeto italiano contiene 1 consonanti e 5 vocali. Quante stringhe di lettere si possono formare che contengano: 1. Contengono la a.. Contengono a e b. 3. Contengono le lettere a e b in posizioni consecutive, con a che precede b e tutte le lettere distinte. 4. Come il punto ma con tutte le lettere distinte. 5. Contengono a e b, con a che precede b (non è detto che le due lettere siano però in due caselle consecutive) e tutte le lettere distinte.
Soluzione esercizio 1 1. L insieme T ha 50 numeri pari e 50 numeri dispari (indicheremo i sottoinsiemi di T dei numeri pari e dei numeri dispari rispettivamente con P e D). L insieme A sarà della forma A p A d (dove A p = A P e A d = A D), e con A p = 8. Quanti A p esistono con 8 elementi? Bisogna contare tutti i modi di scegliere 8 elementi tra ( i 50 ) pari. Ma sappiamo che questa scelta la possiamo fare in modi. 50 8 Scelto A p, possiamo unirci un qualsiasi sottoinsieme A d di D e l insieme che ne risulterà sarà del tipo richiesto. D ha 50 sottoinsiemi. ( Quindi ) di sottoinsiemi A di T con esattamente 8 pari ce ne 50 sono: 8 50.. A e B sono sottoinsiemi qualsiasi di T, abbiamo quindi 100 modi di scegliere entrambi, ovvero 100 100 = 00 modi di scegliere la coppia (A, B). 3. Di questo punto proponiamo due soluzioni possibili: Fissiamo tale che 0( ) n e scegliamo A con elementi; 100 lo possiamo fare in modi. A questo punto B deve essere un sottoinsieme del complementare di A, perchè vogliamo che l intersezione tra A e B sia vuota. Quanti modi ci sono di scegliere un sottoinsieme dal complementare C di A? C ha 100 elementi, quindi i suoi sottoinsiemi sono 100. In questo modo abbiamo contato quanti sono le coppie richieste, ma con A che ha cardinalità fissata. Per contarle tutte basta variare la cardinalità di A, e quindi far variare da 0 a 100, ( ovvero) il numero delle coppie che stavamo cercando è: 100 100 =0 100. Sfruttando il teorema del binomio di Newton si ha: 100 ( ) 100 100 ( ) 100 100 = 1 100 =3 100 =0 =0 Consideriamo i tre insiemi A, B, T (A B). Contare tutte le coppie di sottoinsiemi di T che hanno intersezione vuota, equivale a contare tutti i modi possibili di decidere, per ogni elemento x di T, se sta in A, B oppure T (A B). Il fatto 3
che A e B siano disgiunti ci dice che un elemento se sta in uno di questi insiemi non sta negli altri due, ovvero che il numero che stiamo cercando è quello delle possibili funzioni dall insieme T ad un insieme di tre cassetti (che indichiamo rispettivamente con A, B e T (A B)). Il numero delle funzioni da un insieme con 100 elementi ad un insieme con 3 elementi sappiamo essere 3 100 4. Scegliamo ( ) due elementi di T che stanno in A B. Abbiamo 100 modi di farlo. A questo punto i rimanenti 98 elementi o stanno in A (A B) o in B (A B o in T (A B). Si tratta quindi di contare quanti modi ci sono di mettere 98 elementi in 3 cassetti, ovvero le funzioni da un insieme di 98 elementi ad un insieme di 3 elementi. ( ) 100 Il numero di coppie cercate è dunque 3 98. Soluzione esercizio Proponiamo due soluzioni possibili di questo esercizio: Il numero di anagrammi di una parola di 10 lettere distinte è 10! (sono le funzioni bigettive da un insieme di 10 elementi ad un altro insieme di 10 elementi.) In questo caso però alcune lettere compaiono più volte: la A 3 volte e volte ciascuna la M e la T. Consideriamo allora la parola M 1 A 1 T 1 EM A T ICA 3, cioè supponiamo che sia composta da 10 simboli diversi. Questa parola abbiamo detto ha 10! anagrammi. Una volta scelte le tre caselle dove sono le A, quanti modi ci sono di sistemare A 1, A, A 3 in queste tre caselle? 3!. Cioè considerando le A senza apici, ogni volta contiamo lo stesso anagramma 3!. Analogamente per T e M abbiamo! = modi di scambiare le lettere T e M con gli apici, una volta fissate le posizioni, rispettivamente di T e M. Perciò la parola MAT EMAT ICA ha in totale: 10! 3!!! = 10 9 8 7 5 Scegliamo dove mettere le tre ( A nelle ) 10 caselle disponibili per il 10 nostro anagramma. Ci sono modi per farlo. A questo 3 punto dobbiamo ( ) scegliere posti sui 7 rimasti dove mettere la M 7 e ci sono modi per farlo. Infine dobbiamo scegliere posti 4
( ) 5 sui 5 rimasti per posizionare la T, e abbiamo per farlo. Per le rimanenti 3 lettere (E, I, C) rimangono 3! modi di distribuirle nelle caselle rimanenti. Quindi il numero di anagrammi possibili della parola MAT EMAT ICA è: ( 10 3 ) Soluzione esercizio 3 ( 7 ) ( 5 ) 3! = 10 9 8 7 5 1. Consideriamo l insieme P delle partite, P ha 13 elementi, e l insieme S dei segni possibili sulla schedina: S = {1, x, }. Una colonna è l assegnazione di un simbolo ad ognuna delle 13 partite. Il numero delle colonne possibili è dunque il numero delle funzioni da P a S, ovvero 3 13.. Per fare punti bisogna indovinare risultati su 13 e sbagliare i restanti 13 risultati. Dobbiamo scegliere ( partite ) su 13 su cui 13 abbiamo indovinato il pronostico: ci sono modi per farlo. Su queste partite abbiamo messo il segno giusto, sulle restanti 13 partite uno dei due segni sbagliati posibili. Il numero di modi di fare punti è dunque: ( ) ( ) 13 13 1 1 13 Soluzione esercizio 4 } {{ } volte } {{ } = 13 volte 1. Scegliamo una vocale: abbiamo 5 modi per farlo. Scegliamo la sua posizione nella stringa: abbiamo 5 modi per fare questo. A questo punto le rimanenti 4 caselle vanno riempite con 4 consonanti e lo possiamo fare in 1 4 modi. Abbiamo quindi 5 5 1 4 modi di comporre una sringa con esattamente una vocale.. Il numero totale di stringhe di 5 caselle formate a partire dalle 1 lettere dell alfabeto italiano è 1 5. Il numero totale di stringhe con tutte consonanti è 1 5. Il numero di stringhe con almeno una vocale è dato dal totale delle stringhe da cui ci leviamo quelle che non ci vanno bene, ovvero quelle formate solo da consonanti, ovvero: 1 5 1 5. 5
3. Per contare quante stringhe hanno almeno vocali, basta contare quante stringhe hanno almeno una vocale (punto ) e toglierci tra queste quelle che hanno esattamente una vocale (punto 1), ovvero: 1 5 1 5 5 5 1 4. 4. Scegliamo ( dove ) mettere le vocali, cioè due caselle su cinque. Abbiamo modi per farlo. A questo punto nelle restanti tre 5 caselle ci sono consonanti. Abbiamo 5 modi di riempire le due caselle dove ci sono le vocali e 1 3 modi di riempire ( ) le tre caselle 5 dove ci sono le consonanti. Ci sono quindi: 5 1 3 modi di formare stringhe con esattamente vocali. Soluzione esercizio 5 1. Tutte le stringhe di lettere sono 1. Quelle che non contengono a sono quelle che si possono formare con un alfabeto di 0 lettere anzichè 1 e quindi sono 1. Quelle che contengono a saranno dunque 1 0.. Indichiamo con U l insieme di tutte le stringhe di lettere che si possono formare usando le lettere dell alfabeto italiano, con A e B i sottoinsiemi di U delle stringhe che contengono rispettivamente a e b. Quello che vogliamo contare è la cardinalità di A B. L insieme C = U (A B) è composto dalle stringhe che non contengono né a né b, quindi le stringhe di lettere che si possono formare con un alfabeto di 19 simboli. Queste sono 19. Perciò A B = }{{} 1 U }{{} 19. C Sappiamo che: A B = A + B A B = (1 0 )+(1 0 ) (1 19 ) = 1 + 19 0. 3. Quante coppie di caselle consecutive ci sono in una stringa di lunghezza? 5 (le caselle possibili sono la 1 e la, oppure la e la 3, o la 3 e la 4, o la 4 e la 5, o la 5 e la. In generale ci sono n 1 coppie di caselle consecutive in una stringa di lunghezza n). Fissata la coppia dove mettere a e b (e come abbiamo visto ci sono 5 modi diversi di scegliere questa coppia) nelle restanti 4 caselle bisogna mettere lettere diverse e quindi abbiamo 19 18 17 1 modi di riempire queste caselle. Ci sono quindi: 5 19 18 17 1 modi di formare stringhe con lettere tutte diverse e con a e b presenti nella stringa in posizioni consecutive e con a che precede b.
4. Scegliamo due caselle dove mettere ( a) e b che sappiamo essere presenti nella stringa. Abbiamo modi di farlo. Una volta individuata questa coppia, per ogni coppia abbiamo due modi di riempirla: o prima a e poi b, o viceversa. Le restanti 4 caselle le dobbiamo riempire con lettere tutte diverse tra loro e diverse da a e b. Abbiamo 19 18 17 1 modi per farlo. ( In) conclusione il numero di stringhe con la proprietà voluta è: 19 18 17 1. 5. Il conto è identico al caso precedente, solo che ora una volta scelte le due caselle dove mettere a e b, non abbiamo margini di scelta su come riempirle, perchè sappiamo ( che a) deve precedere b. Perciò il numero di stringhe cercato sarà: 19 18 17 1. 7