I TRE PROBLEMI CLASSICI DELL ANTICHITA Il numero pigreco, correttamente interpretato, contiene l intera storia dell umanità Martin Gardner I problemi classici della geometria greca sono tre: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo e la trisezione dell angolo, la cui risoluzione doveva essere fatta, secondo i greci, usando soltanto riga e compasso. Questi tre problemi hanno tenuto occupati i matematici per molti secoli; solo nel XIX secolo si è potuto dimostrare che è impossibile risolverli con quegli strumenti elementari. COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO I problemi geometrici per i greci si presentavano in forma costruttiva e quindi la riga, non graduata, e il compasso erano gli unici ausili disponibili per la loro risoluzione. Anche Euclide nei suoi Elementi precisa il modo in cui utilizzarli. Egli postula che sia possibile: -condurre una sola retta passante per due punti qualsiasi (esistenza della riga) -prolungare illimitatamente un segmento in linea retta (esistenza di una riga infinita) -disegnare un cerchio con qualsiasi centro e raggio (esistenza del compasso) La conseguenza di questi postulati è che le uniche operazioni permesse nella risoluzione con riga e compasso dei problemi sono: -dati due punti, tracciare il segmento che li ha come estremi, la semiretta o la retta passante per essi; -dato un punto O ed una lunghezza r, tracciare la circonferenza di centro O e raggio r; -determinare l punto d intersezione tra due rette, tra una retta e una circonferenza, tra due circonferenze. Non è invece possibile prendere e riportare misure: la riga non è graduata e quindi serve solo per tracciare correttamente un segmento o una retta; il compasso potremmo definirlo molle, cioè si richiude non appena abbiamo tracciato una circonferenza e quindi non può essere usato neanche lui per prendere o riportare misure. Con la riga e il compasso si possono costruire solo quei segmenti la cui lunghezza appartenga all insieme dei numeri razionali o alla sua estensione quadratica (ossia per ogni segmento lungo a si può costruire il segmento lungo ). Tradotta questa proprietà in termini algebrici, possiamo dire che possiamo costruire con riga e compasso solo segmenti la cui lunghezza è un numero che è soluzione di un equazione polinomiale a coefficienti interi. LA QUADRATURA DEL CERCHIO Lo scopo da raggiungere con la soluzione di questo problema è quello di costruire un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato. Questo quesito era stato affrontato nell antichità da molti matematici, senza però riuscire a risolverlo con gli strumenti elementari, riga e compasso. Per risolvere il problema bisognava riuscire a disegnare un quadrato con il lato lungo ; infatti l area del cerchio è calcolabile attraverso la formula e dunque il quadrato cercato doveva avere
quest area. Ma l area di un quadrato di lato l è, quindi supponendo che il raggio della circonferenza abbia valore r=1, l equazione risolutiva del problema è: Risolvere il problema della quadratura del cerchio, significa dunque trovare un valore algebrico di, il che è impossibile. Infatti nel 188 Ferdinand von Lindemann dimostrò l impossibilità di risolvere questo problema con l uso soltanto della riga e del compasso, dimostrando, equivalentemente, che era un numero trascendente, non algebrico: cioè non era soluzione algebrica di una equazione polinomiale a coefficienti interi. Dunque se non è algebrico, esso non è neppure costruibile con gli strumenti classici. Ippocrate da Chio, matematico greco del V sec.a.c. è famoso anche per i contributi dati alla risoluzione di questo problema, con la quadratura di una lunula. Si consideri un triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa BC; si costruisca la semicirconferenza BNC di diametro BC e l arco di circonferenza BMC di centro A e raggio AB. La parte di piano delimitata da questi due archi è chiamata lunula. Ippocrate riuscì a dimostrare che la lunula era equivalente al triangolo ABC (vedi la dimostrazione all interno della sezione Curve celebri dell antichità). Questa dimostrazione è il primo caso a noi noto di quadratura di una figura curvilinea. LA DUPLICAZIONE DEL CUBO L obbiettivo di questo problema era quello di costruire, con l ausilio di un compasso e di una riga, un cubo di volume doppio rispetto a un cubo dato. Questo problema è arrivato a noi attraverso la storia di due miti. La prima storia è conosciuta come Il problema di Delo : Teone di Smirne, citando Eratostene, narra che gli abitanti di Delo per liberarsi dalla peste, una volta consultato l oracolo di Apollo, avessero ricevuto l ordine di costruire un altare doppio di quello esistente. Nel secondo racconto il protagonista è il re Minosse che, guardando la tomba di forma cubica del re Glauco, esclamò: Piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati. Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della duplicazione del cubo. Per riuscire a disegnare un cubo di volume doppio di quello di un altro cubo di lato, bisognerebbe riuscire a disegnare un cubo con un lato lungo. Questo problema, come quello precedente, è impossibile da risolvere solo con compasso e riga, in quanto si è dimostrato che l equivalente algebrico del problema è la soluzione di una equazione cubica priva di radici razionali.
LA RISOLUZIONE DI IPPOCRATE DI CHIO Ippocrate di Chio, vissuto tra il 460 a.c. e il 380 a.c., fu il primo a risolvere il problema della duplicazione del cubo, usando il metodo di riduzione. Questo metodo consiste nel riformulare il problema in un altro, la cui risoluzione permette di risolvere anche il problema originario. Ippocrate sapeva, in quanto allievo di Pitagora, costruire segmenti x che verificassero la proporzione: Ippocrate prolungò il lato x, di un segmento lungo b in modo tale che fossero verificate le proporzioni:. Si considerano due delle tre proporzioni e si risolve il sistema corrispondente: { { Risulta che è il volume di un cubo equivalente ad un parallelepipedo avente area di base e altezza. Se si pone, l equazione diventa:. Abbiamo trovato il lato x di un cubo che ha volume doppio di un cubo di lato a assegnato. Osserviamo che nella sua risoluzione Ippocrate ha usato strumenti diversi dalla sola riga e compasso, riconducendo il problema alla costruzione di segmenti in un dato rapporto, con l uso per esempio di una riga graduata. LA RISOLUZIONE DI MENECMO Menecmo, vissuto tra il 380 a.c. e il 30.C., subito dopo Ippocrate di Chio, riuscì a trovare due diverse soluzioni a questo problema. Menecmo, riprese le operazioni usate da Ippocrate di Chio e pose. Per la loro risoluzione utilizzò alcune nozioni geometriche, che possiamo spiegare usando il moderno linguaggio della geometria analitica. Se consideriamo le proporzioni sopra scritte, risolverle significa trovare il punto d intersezione tra due parabole (nel primo caso) e tra una parabola ed un iperbole equilatera (nel secondo caso) { ){
L ascissa dei punti di intersezione è in entrambi i casi uguale a, ossia è uguale al lato del cubo di volume doppio del volume del cubo assegnato di lato. Osserviamo che in entrambe le risoluzioni Menecmo ha fatto uso di alcune curve e non dei due strumenti elementari richiesti dai matematici greci. LA TRISEZIONE DELL ANGOLO Il problema che si pone con la trisezione di un angolo è quello di riuscire a costruire un angolo di ampiezza pari ad un terzo della ampiezza di un altro angolo dato. Questo problema, a differenza della bisezione dell angolo, non si può risolvere usando solamente il compasso e la riga, cioè con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze, a meno che non si tratti di angoli particolari come l angolo retto. Infatti se l angolo da trisecare è retto si può procedere nel seguente modo: si disegni la circonferenza, che ha come centro il vertice A dell angolo retto, e siano B e C i due punti di intersezione di tale circonferenza con i lati dell angolo; si disegnino le due circonferenze di centro C e B rispettivamente, passanti per A; si chiamino D ed E i due punti di intersezione compresi fra C e B. Se si congiunge il punto A con i due punti con D ed E, si avranno tre angoli di 30 gradi: cioè un terzo dell angolo iniziale. Archimede, utilizzando una riga numerata, riuscì a risolvere il problema della trisezione di un angolo qualunque, come riportato nella sua opera il Libro dei Lemmi. TRISEZIONE CON IL METODO DI IPPIA Ippia, nato il 443 a.c. ad Elide, riuscì a risolvere questo problema con l uso di una riga numerata e di una curva da lui inventata, la quadratrice, che per questo è nota anche come la trisettrice di Ippia. La curva ha anche il nome di quadratrice perché Dinostrato, fratello di Menecmo, la utilizzò per risolvere il problema della quadratura del cerchio. La quadratrice si costruisce considerando un quadrato ABCD in piano cartesiano, in modo tale che i lati e siano sugli assi cartesiani di centro A; si disegna l arco di circonferenza di centro A e raggio AB. Si fa traslare il segmento B C parallelo al lato BC, dall alto verso il basso (da BC fino a darlo coincidere con AD) e contemporaneamente, nello stesso intervallo di tempo, si fa ruotare il raggio AD della circonferenza, in senso orario, da AB fino a coincidere con AD. La quadratrice è la curva formata dai punti di intersezione di tali segmenti, durante il loro movimento; nel disegno è la curva individuata dai punti B, E, L, G. Vogliamo trisecare l angolo DA ˆD '. Consideriamo sul lato AD di tale angolo un punto E, e indichiamo con H la sua
proiezione su AD. Indichiamo con x=ah e y=eh e supponiamo che il lato del quadrato sia AB=1. Sia t l intervallo di tempo necessario ad AD per raggiunge AD e sia T tot il tempo totale necessario ad AB per raggiungere AD, descrivendo un angolo di ampiezza Poiché AD e B C si muovono con la stessa velocità costante, anche B C percorrerà la parte EH (che è uguale a B A) nello stesso tempo t; ne segue che: : EH : BA ossia : y : 1 y Essendo φ è l angolo che vogliamo trisecare, trisechiamo anche il segmento EH=y, in modo che sia HH =EH/3=y/3. La retta B C per H interseca la curva di Ippia in L; tracciamo ora AL. Per le stesse ragioni già esposte prima, si avrà: L AD ˆ : HH' : AB ossia L AD ˆ 1 : EH : AB 3 ˆ 1 LAD : y : 1 3 1 1 1 LAD ˆ y 3 3 3