NOTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL ECONOMIA «[ ] lo scopo dell analisi infinitesimale è quello di fare acquisire strumenti di calcolo atti alla ricerca ottimale di funzioni vincolate, soprattutto di natura economica», (dai Programmi Ministeriali). In queste note affronteremo alcuni argomenti di economia ai quali (come abbiamo già visto in classe) è possibile applicare i metodi propri della matematica. In questo II Modulo trattiamo qualche semplice applicazione delle funzioni di due variabili all economia; qui di seguito troverete una serie di nozioni teoriche relative a questi argomenti. Spesso le imprese producono diversi tipi dello stesso prodotto, differenti per qualità, per costo di produzione Per esempio: generi alimentari, vestiti, automobili Tali imprese, poi, vendono tali prodotti. Tale vendita può avvenire in un unico mercato, o in mercati diversi; in regime di libera (o pura, o perfetta) concorrenza, o di monopolio; ecc In queste condizioni la massimizzazione dei profitti o la minimizzazione dei costi implicano funzioni in più variabili. D ora in poi, siano x e y due beni prodotti da un impresa. In un mercato di concorrenza pura, i due beni x e y vengono venduti ai pressi fissi p e p rispettivamente; quindi, nota la funzione C(x, y) dei costi sostenuti per la produzione, obiettivo dell impresa è scegliere la quantità dei prodotti per massimizzare il profitto. Definizione 1 La funzione profitto (o utile, o guadagno) π(x, y) di un impresa è data da π(x, y) = R C dove: R = R(x, y) = p x + p y è la funzione ricavo C = C(x, y) = ax + bxy + cy + d è la funzione costo con p, p, a, b, c, d R. Definizione 2 Si chiama domanda di un bene la quantità che di esso viene richiesta dal mercato. La funzione che esprime la domanda di un bene in funzione del prezzo cui il bene stesso viene venduto è detta funzione domanda relativa a quel bene. Indicando la quantità domandata con la lettera d ed il prezzo di un unità del bene con la lettera p, la funzione domanda sarà espressa da un equazione del tipo d = f(p). 1
In un mercato in regime di monopolio, invece, i prezzi di vendita non sono costanti, ma sono funzione della domanda dei due prodotti; tali prodotti possono essere: a) succedanei o surrogati: in tal caso l aumento del prezzo di uno dei due prodotti implica l aumento di richiesta dell altro; b) complementari: in tal caso l aumento del prezzo di uno dei due prodotti comporta la diminuzione della domanda dell altro. In economia si utilizza l aggettivo marginale per indicare la derivata della funzioni costo, ricavo e profitto (nell ipotesi che queste ultime siano derivabili!): le funzioni costo marginale, ricavo marginale e profitto marginale indicano rispettivamente la derivata delle corrispondenti funzioni costo, ricavo e profitto rispetto alla variabile indipendente (che solitamente è la quantità prodotta o venduta). Sempre in ambito economico, il valore della derivata di una funzione in un punto x (per esempio il valore del profitto marginale in corrispondenza della quantità π ) viene spesso utilizzato come approssimazione della variazione della funzione in corrispondenza di un incremento di un unità della variabile indipendente, a partire dal valore x (per esempio come approssimazione di quanto varia il profitto per un incremento di un unità della quantità prodotta, cioè del passaggio della quantità prodotta da π a π + 1). Questa approssimazione si fonda sul fatto che il grafico di una funzione derivabile in un punto x può essere approssimato localmente dalla retta tangente al grafico della funzione in x : Esempio 1 Il profitto (in ) derivante dalla produzione e vendita della quantità q di un dato bene è espresso dalla seguente funzione: π(q) = 0,0004q + 8q. a) Determinare la funzione profitto marginale. In questo esempio la funzione profitto è funzione di una sola variabile, quindi indichiamo il profitto marginale con π (q); con un semplicissimo calcolo si ottiene π (q) = 0,0004 3q + 8 = 0,0012q + 8. 2
b) Determinare il profitto marginale in corrispondenza della produzione di una quantità q = 100. Immediatamente si ha π (100) = 0,0012 100 + 8 = 20, quindi (in base anche a quanto già osservato prima) possiamo dire che quando la quantità q venduta passa da 100 a 101 il profitto aumenta approssimativamente di 20. Possiamo verificare che l approssimazione è effettivamente buona; infatti la variazione reale del profitto è pari a Δπ = π(101) π(100) = = 20,1204 cioè l errore commesso è di soli 12 centesimi. Definizione 3 Data la funzione f(x, x,, x ) definita in un sottoinsieme di R, diciamo funzione marginale rispetto alla variabile x, la derivata parziale di f rispetto a x per ogni i = 1,2,, n. Nel corso del nostro studio ci concentreremo solo sulle funzioni di due variabili, quindi faremo riferimento alla seguente: Definizione 4 Sia z la quantità prodotta di un certo bene e siano x, y due fattori di produzione (ad esempio capitale e lavoro, prezzo e reddito, terra (1) e lavoro (2), ): z = f(x, y). Allora: f = è la produttività marginale di x, f = è la produttività marginale di y. Applicazione Ci interessiamo, in particolare, della funzione della domanda di un bene, dipendente dal prezzo p del bene e dal reddito r del consumatore, ossia della funzione d = f(p, r) di cui supponiamo che esistano le derivate parziali; quindi d è la funzione marginale del prezzo, mentre d è la funzione marginale del reddito. La funzione marginale del prezzo indica come varia la funzione della domanda quando abbiamo una variazione del prezzo, considerando costante il reddito del consumatore. La funzione marginale del reddito, invece, indica come varia la funzione della domanda quando abbiamo una variazione del reddito, considerando costante il prezzo di un dato bene. 1 = termine utilizzato per indicare tutte le risorse naturali. 2 = termine utilizzato per indicare tutte le risorse derivanti dalle varie attività lavorative. 3
Esempio 2 Se la funzione della domanda di un bene, dipendente dal prezzo p del bene e dal reddito r del consumatore, è d = 4p r + 6pr allora determiniamo: la funzione marginale del prezzo d = 8p + 6r; la funzione marginale del reddito d = 2r + 6p. Per un prezzo p = 40 ed un reddito r = 50 si avrà: d (40, 50) = 8 40 + 6 50 = 20; d (40, 50) = 2 50 + 6 40 = 140. Per ottenere il massimo profitto, le imprese devono utilizzare in modo ottimale i fattori di produzione di cui dispongono. Debbono determinare quindi quella combinazione di fattori produttivi che renda massima la produzione ma minimi i costi. La prima e più semplice funzione di produzione è quella proposta dal matematico Cobb e dall economista Douglas che, nonostante ad oggi esistano altre funzioni più generali e complete, ha vaste applicazioni in econometria. Definizione 5 La funzione di Cobb-Douglas ha la seguente forma Γ = f(x, y) = c x y dove: Γ è la quantità di un certo bene prodotto dall impresa; c è un coefficiente numerico positivo; x è il capitale (cioè le risorse derivanti da tutto ciò che è frutto di un processo produttivo e, in particolare, i macchinari); y è il lavoro; 0 < < 1. Proprietà della funzione di Cobb-Douglas 1. La funzione Γ è una funzione omogenea, cioè per ogni t R si ha: f(tx, ty) = c(tx) (ty) = c t x t y = c t x y = t f(x, y). Poiché x rappresenta lo stock di capitale e y la quantità di lavoro, la cui combinazione permette di ottenere il volume di produzione Γ = f(x, y) = c x y, il fatto che la funzione Γ sia omogenea significa che se si fa variare simultaneamente e nella stessa proporzione, t, la quantità utilizzata di ciascuno dei fattori x e y, il volume di produzione, Γ, varia in questa stessa proporzione t. 4
In questo caso, l analisi economica utilizza l espressione rendimenti costanti in scala. 2. Il prodotto Γ è totalmente ripartito tra il capitale ed il lavoro nelle proporzioni rispettive e 1. 3. L efficienza della produzione, cioè dell organizzazione dei fattori di produzione, è misurata dal coefficiente c. Intuitivamente appare chiaro che se due imprese hanno gli stessi x, y ed e, ciononostante, producono quantità differenti di output, la differenza può essere imputata alla superiore organizzazione ed imprenditorialità di una della imprese: l impresa più efficiente avrà un coefficiente c più grande rispetto a quella meno efficiente. 4. Vedremo ben poche applicazioni della funzione di Cobb-Douglas, e più precisamente faremo (sempre) riferimento alla seguente: Osservazione La funzione di Cobb-Douglas può essere generalizzata nella Γ = f(x, y) = c x y con 0 < < 1. Se + = 1, la funzione è detta di Cobb-Douglas in senso stretto ( i rendimenti in scala di x e y sono costanti); in caso contrario in senso generalizzato. Si osservi che: se + > 1, allora si hanno rendimenti in scala crescenti; se + < 1, allora si hanno rendimenti in scala decrescenti. 5