LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni elementari di riga, la matrice A in una nuova matrice A fortemente ridotta per righe: con le stesse operazioni elementari si ottiene una nuova matrice (A B corrispondente, in generale, ad un nuovo sistema di equazioni lineari A X = B, diverso dal precedente ma ad esso equivalente Risolvendo, se possibile, tale sistema con il metodo descritto nell Esempio 22 si ottiene l insieme delle soluzioni del sistema da cui siamo partiti Se A X = B è compatibile, il numero delle incognite espresse in funzione delle rimanenti è esattamente il numero dei pivot, cioè il numero delle righe contenenti entrate non nulle È chiaro che da ogni matrice A con operazioni elementari di riga, si potranno ottenere varie matrici fortemente ridotte per righe, anche molto diverse: infatti, ad ogni passo, bisogna fare una scelta del pivot Si può, però, dimostrare che Proposizione 3 Sia A R m,n e siano A ed A due matrici ridotte per righe ottenute da A con una successione finita di operazioni elementari di riga Allora i numeri di righe di A e di A contenenti entrate non nulle coincidono Si comprende che tale numero di righe non nulle rivesta un importanza particolare nell algebra delle matrici, pertanto merita un nome particolare Definizione 32 Sia A R m,n e sia A una matrice ridotta per righe ottenuta da A con una successione finita di operazioni elementari di riga Il numero di righe di A contenenti entrate non nulle viene detto rango di A ed indicato con il simbolo rk(a In particolare rk(a m per definizione Inoltre rk(a coincide con il numero di pivot di una forma fortemente ridotta per righe di A: ognuno di essi si trova necessariamente in una colonna diversa, quindi si ha anche rk(a n Abbiamo perciò dimostrato che Proposizione 33 Sia A R m,n Allora rk(a min{ m, n } Più in generale vale la seguente Proposizione 34 Sia A R m,n Allora rk(a = rk( t A Typeset by AMS-TEX

2 3 RISOLUZIONE DI SISTEMI Esempio 35 Si consideri la matrice 3 2 2 A = 2 4 2 3 2 5 7 Poiché con operazioni elementari di riga A può essere trasformata in una delle due matrici 6 37/4 2 3 Â =, A 3 9/4 =, 2 7/2 2 4 7 segue che rk(a = rk(â = rk(a = 3 Siamo ora pronti ad enunciare e dimostrare il principale risultato sulla teoria dei sistemi di equazioni lineari, detto Teorema di Rouché Capelli Proposizione 36 Siano A R m,n, B R m, e si considerino i sistemi (36 (362 AX = B, AX = m, i Il Sistema (36 è compatibile se e solo se rk(a = rk(a B ii Se il Sistema (36 è compatibile allora le sue soluzioni dipendono da n rk(a parametri liberi iii Se il Sistema (36 è compatibile e X è una sua soluzione fissata allora ogni altra sua soluzione X è della forma X = X + Y ove Y appartiene all insieme delle soluzioni del Sistema (362 Dimostrazione Iniziamo con il dimostrare l affermazione i Per quanto visto sopra possiamo sempre assumere che A sia una matrice fortemente ridotta per righe Si possono presentare due situazioni per le righe della matrice completa (A B Il primo caso è quello in cui esiste una riga di A, diciamo quella di indice i, con entrate tutte nulle che si prolunga in (A B a una riga con entrate non tutte nulle: chiaramente l entrata non nulla deve essere l i esima entrata di B, cioè b i Ciò significa che nel Sistema (36 figura un equazione della forma = b i che, per l ipotesi b i, non ha soluzioni Quindi il Sistema (36 è, in questo caso, incompatibile: inoltre i numeri di righe di A e di (A B contenenti entrate non nulle differiscono di, cioè rk(a = rk(a B, dunque rk(a rk(a B Nel secondo caso ogni riga di A con entrate tutte nulle si prolunga in (A B a una riga con entrate tutte nulle In questo caso si può risolvere il Sistema (36 come spiegato nell Esempio 246 Quindi il Sistema (36 è, in questo caso,

LEZIONE 3 3 compatibile: inoltre i numeri di righe di A e di (A B contenenti entrate non nulle coincidono, cioè rk(a = rk(a B Ciò conclude la dimostrazione dell affermazione i e dimostra anche l affermazione ii: infatti possiamo esprimere le incognite i cui coefficienti sono i pivot (in totale rk(a in funzione delle rimanenti (in totale n rk(a, cui possiamo dare valori arbitrari Passiamo alla dimostrazione dell affermazione iii A tale scopo si tenga conto che AX = B Sia X R n = R n, una soluzione del Sistema (36, cioè tale che AX = B: posto Y = X X si ha AY = A(X X = AX AX = m, m, = m,, quindi Y è soluzione del Sistema (362 Viceversa sia Y R n = R n, una soluzione del Sistema (362, cioè tale che AY = m, : posto X = Y + X si ha AX = A(Y + X = AY + AX = m, + B = B, quindi X è soluzione del Sistema (36 Esempio 37 Si consideri il sistema 3 2 2 2 4 2 3 2 5 7 Le matrici incompleta e completa del sistema sono a b c d e = 3 2 2 3 2 2 A =, (A B = 2 4 2 3 2 4 2 3 2 5 7 2 5 7 Ricordando quanto visto nell Esempio 237, con operazioni elementari di riga A si riduce alla matrice ridotta per righe 2 3 Â = 2 4 7 Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B: poiché l effetto di tali operazioni sulla parte a sinistra della sbarra verticale lo conosciamo

4 3 RISOLUZIONE DI SISTEMI (otteniamo A, limitiamoci ad indicare l operazione e l effetto su B (A B R R 2 R 2 R 3 R 3 2R R 4 R 4 R (A B 2 3 = 2 4 7 R 3 R 3 R 2 R 4 R 4 +R 2 Si noti che rk(a = rk(a = 3 mentre rk(a B = rk(a B = 4: da questo deduciamo che il sistema AX = B è incompatibile Esempio 38 Si consideri ora il sistema 3 2 2 A = 2 4 2 3 2 5 7 a b c d e = Le matrici incompleta e completa del sistema sono 3 2 2 3 2 2 A =, (A B = 2 4 2 3 2 4 2 3 2 5 7 2 5 7 Ricordando quanto visto nell Esempio 238, con operazioni elementari di riga A si riduce alla matrice fortemente ridotta per righe 6 37/4 A 3 9/4 = 2 7/2 Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B: risulta (A B R R 2 R 2 R 3 R 3 2R R 4 R 4 R (Â B 2 3 = 2 4 7 R 3 R 3 R 2 R 4 R 4 +R 2

LEZIONE 3 5 Poiché rk(a = rk(â = 3 = rk(â B = rk(a B segue che il sistema in esame è compatibile Ha senso, perciò, proseguire con le operazioni elementari di riga riducendo fortemente la matrice completa del sistema /2 R 2 R 2 /2 R R (Â B 4 R 4 /2 2 R 2 +3R 4 /2 R R R 4 R R R 2 /2 /2 /2 6 37/4 5/4 3/4 R 3 R 4 3 9/4 3/4 2 7/2 /2 /2 Quindi il sistema AX = B è equivalente al sistema A X = B, che è compatibile perché rk(a = rk(a = 3 = rk(a B = rk(a B In particolare le incognite corrispondenti ai pivot sono a, b, c e si ha a = /2 6d 37e/4, b = 3d + 9e/4, c = /2 + 2d + 7e/2 L insieme delle sue soluzioni è { (/2 6d 37e/4, 3d + 9e/4, /2 + 2d + 7e/2, d, e d, e R } Per esempio in corrsipondenza a d = e = otteniamo la soluzione particolare X = (/2,, /2,, Si noti che ogni altra soluzione è della forma /2 /2 + d 6 3 2 + e 37/4 9/4 7/2 al variare di d e e in R Si verifichi che le soluzioni del sistema AX = m, sono tutte e sole le matrici della forma al variare di d e e in R 6 37/4 3 9/4 d 2 + e 7/2 Si è preferito utilizzare la notazione matriciale delle soluzioni per dare maggiore evidenza alla decomposizione delle stesse come somma di certe matrici Più in

6 3 RISOLUZIONE DI SISTEMI generale sia A R m,n con rk(a = r: allora sappiamo che l insieme delle soluzioni X R n = R n, del sistema omogeneo AX = m, è della forma { t r+ X r+ + + t n X n R n = R n, t r+,, t n R } dove X r+,, X n R n sono n r soluzioni fissate Tali soluzioni vengono spesso dette soluzioni base del sistema AX = m, Si noti che la loro scelta dipende dalla riduzione operata, quindi le soluzioni base di un sistema omogeneo non sono univocamente determinate: quello che è sempre univocamente determinato è il loro numero, cioè n rk(a 32 Equazioni matriciali Negli Esempi 37 e 38 si sono studiati più sistemi diversi AX = B, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta in varie situazioni (vedremo in seguito il problema del calcolo della matrice inversa È evidente che è inutile ripetere le stesse operazioni per ciascun sistema: è più conveniente risolvere i sistemi simultaneamente, cioè considerare l equazione matriciale AX = B ove X e B sono rispettivamente una matrice incognita ed una numerica aventi colonna di indice j pari ad X j e B j rispettivamente Definizione 32 Siano A = (a i,j i m j n R m,n, B = (b i,h i m h p R m,p Un equazione matriciale lineare con matrice incompleta A e matrice dei termini noti B è un equazione della forma (32 AX = B ove X è una matrice incognita n p La matrice a, a,2 a,n a 2, a 2,2 a 2,n (A B = a m, a m,2 a m,n b, b,p b 2, b 2,p b m, b m,p viene detta matrice completa dell Equazione (32 L Equazione (32 si dice omogenea se B = m,p, non omogenea altrimenti Una soluzione dell Equazione (32 è una matrice numerica X per cui vale l identità numerica AX = B: se esiste una soluzione l Equazione (32 si dice compatibile, incompatibile altrimenti L Equazione (32 può essere pensata come sistema di mp equazioni, una per ogni entrata di B, in np incognite, una per ogni entrata di X Si noti però che la riga di indice i di A definisce esattamente p equazioni di tale grande sistema, una per ogni entrata della riga di indice i

LEZIONE 3 7 Fissato un tale i, l entrata a i,j moltiplica nelle equazioni considerate tutte le entrate x h,j di X per h =,, p Indicata con X h la riga di indice h di X, possiamo allora pensare all Equazione (32 come un sistema di m equazioni corrispondenti alle m righe di (A B nelle n incognite vettoriali della forma a, X + a,2 X 2 + + a,n X n = ( b, b,p a 2, X + a 2,2 X 2 + + a 2,n X n = ( b 2, b 2,p a m, X + a m,2 X 2 + + a m,n X n = ( b m, b m,p Ne segue che il metodo di soluzione delle equazioni matriciali è totalmente analogo a quello dei sistemi di equazioni lineari (che ne sono un caso particolare quando la matrice dei termini noti si riduce ad un unica colonna Infatti esso si basa sulla riduzione della matrice completa (A B con operazioni elementari di riga che continuano ad avere senso anche per incognite di tipo vettoriale Diamo alcuni esempi Esempio 322 Si consideri l equazione matriciale 2 2 (322 X =, 2 la cui matrice completa è ( 2 2 2, corrispondente al sistema { X + 2X 2 = ( 2 2X + X 2 = ( Trasformando (A B con operazioni elementari di riga otteniamo (A B R 2 R 2 2R 2 2 R 2 R 2 /3 3 2 3 ( 2 2 R R 2R 2 2/3 /3 2/3 Pertanto l Equazione (322 è equivalente a X = ( /3 2/3 ovvero al sistema ad incognite vettoriali { X = ( /3 X 2 = ( 2/3 che, come unica soluzione, ha ovviamente la matrice /3 2/3,

8 32 EQUAZIONI MATRICIALI Esempio 323 Si consideri l equazione matriciale (323 2 X =, la cui matrice completa è ( 2 L Equazione (323 equivale al sistema { X + 2X 2 + X 3 = ( X X 2 + X 3 = ( Trasformando (A B con operazioni elementari di riga otteniamo ( (A B R 2 R 2 R 2 3 R 2 R 2 /3 ( 2 ( R R 2R 2 /3 /3 /3 Pertanto l Equazione (323 è equivalente a X = /3 /3 ovvero a { X + X 3 = ( /3 X 2 = ( /3 Quindi l insieme delle soluzioni dell Equazione (323 è x 3, /3 x 3,2 /3 x 3, x 3,2 x 3,, x 3,2 R Perciò le soluzioni dipendono da = 3 2 = n rk(a righe libere Anche per equazioni matriciali vale il Teorema di Rouché Capelli Lo enunciamo omettendone la dimostrazione in quanto totalmente analoga a quella della Proposizione 334

LEZIONE 3 9 Proposizione 324 Siano A R m,n, B R m,p e si considerino le equazioni matriciali (324 (3242 AX = B, AX = m,p i L Equazione (324 è compatibile se e solo se rk(a = rk(a B ii Se l Equazione (324 è compatibile allora le matrici n p che sono sue soluzioni dipendono da n rk(a righe libere iii Se l Equazione (324 è compatibile e X è una sua soluzione fissata allora ogni altra sua soluzione X è della forma X = X + Y ove Y appartiene all insieme delle soluzioni dell Equazione (3242 Esempio 325 Si considerino i sistemi degli Esempi 37 e 38 Invece di risolverli separatamente consideriamo l equazione a a 2 b 3 2 2 b 2 (325 A = c 2 4 2 3 c 2 = d 2 5 7 d 2 e e 2 La matrice completa dell Equazione (325 è 3 2 2 (A B = 2 4 2 3 2 5 7 Con le operazioni elementari indicate nell Esempio 327, tenendo conto dei già citati Esempi 37 e 38, possiamo trasformarla nella matrice 6 37/4 /2 3 9/4 (A B = 2 7/2 /2 Deduciamo che l Equazione (325 è incompatibile perché rk(a = 3 < 4 = rk(a B (infatti ogni sua soluzione darebbe una soluzione del sistema avente come colonna dei termini noti la prima colonna di B, che è incompatibile: si veda l Esempio 37 33 Matrice inversa e suo calcolo Un caso particolarmente interessante di applicazione dei metodi di risoluzione di equazioni matriciali è quello del calcolo dell inversa di una matrice Quando si ha un prodotto è naturale porsi il problema dell esistenza dell elemento inverso

33 MATRICE INVERSA E SUO CALCOLO Definizione 33 Sia A R n,n A si dice invertibile se esiste B R n,n tale che AB = BA = I n Non è detto che una matrice quadrata abbia inversa come mostra il seguente esempio Esempio 332 Si consideri una qualsiasi matrice A R n,n tale che A p = n,n in tal caso A si dice nilpotente Esistono molte matrici non nulle con tale proprietà: per esempio la matrice E,2 = è tale che che E 2,2 = 2,2 Se esistesse una matrice B tale che AB = I n allora Invece la matrice è invertibile Sia infatti allora BA = AB = I 2 A p = A p I n = A p AB = A p B = n,n B = n,n A = B = 2 2 : Proposizione 333 Sia A R n,n Valgono le seguenti proprietà: (MI B R n,n è tale che AB = I n se e solo se BA = I n ; (MI2 se esistono B, C R n,n tali che AB = BA = I n e AC = CA = I n allora B = C Definizione 334 Sia A R n,n invertibile L unica matrice B R n,n tale che AB = BA = I n viene detta inversa di A e viene indicata con A In tal caso si pone A = I n ed A p = (A p per ogni intero p Osservazione 335 Sia A R n,n una matrice invertibile Cosa si può dire circa l invertibilità di t A? In forza della condizione (MI della Proposizione 223 si tratta di stabilire se l equazione matriciale t AX = I n ha soluzione e, in caso affermativo, di determinarla Trasponendo entrambe i membri si ottiene t XA = t I n = I n, sicché, moltiplicando a destra per A, che sappiamo esistere perché A è invertibile per ipotesi, si ottiene t X = t XI n = t X(AA = ( t XAA = I n A = A da cui si deduce per trasposizione del primo e dell ultimo membro che l equazione ha soluzione e che questa è X = t (A, cioè se A R n,n è invertibile allora tale

LEZIONE 3 è t A e si ha ( t A = t (A Poiché t ( t A = A si deduce anche il viceversa, cioè A R n,n è invertibile se e solo se tale è t A Sia poi B R n,n un altra matrice invertibile Cosa si può dire circa l invertibilità di AB?In modo analogo a quanto visto sopra si tratta di determinare l eventuale soluzione dell equazione matriciale ABX = I n Come nel caso precedente, moltiplicando a sinistra per B A otteniamo X = I n X = B BX = B I n BX = B (A ABX = = (B A (ABX = (B A I n = B A Deduciamo allora che se A, B R n,n sono invertibili allora tale è AB e si ha (AB = B A È vero o falso che vale il viceversa, cioè che se A, B R n,n e AB è invertibili allora anche A e B lo sono? In base alla definizione 33 ed alla Proposizione 333 (MI, il problema del calcolo dell inversa di una matrice si riduce al problema della risoluzione dell equazione matriciale AX = I n ove A R n,n Chiedere che una tale equazione sia compatibile equivale a chiedere se la matrice A sia invertibile Infatti se l equazione è compatibile la sua unica soluzione è A Per la Proposizione 36, data A R n,n l equazione AX = I n è compatibile se e solo se rk(a = rk(a I n : quest ultima matrice è fortemente ridotta per righe ed il suo rango è esattamente rk(i n = n Abbiamo perciò dimostrato Proposizione 336 A R n,n è invertibile se e solo se rk(a = n Si noti che, se A è invertibile, per calcolarne l inversa si può procedere come segue Si scrive la matrice completa (A I n : con trasformazioni elementari di riga si riduce tale matrice alla matrice fortemente ridotta (A A Su ogni riga di A ci deve essere un entrata pari ad, poiché rk(a = n: poiché ci sono n colonne su ogni riga tutte le entrate sono nulle eccetto una che vale e che si trova sempre in una colonna diversa Quindi, semplicemente con permutazioni di riga, si può ulteriormente trasformare (A A in una nuova matrice della forma (I n A A questo punto si osservi che l equazione di partenza è equivalente a I n X = A, dunque A = A Esempio 337 Si consideri la matrice A = 2 2 3

2 33 MATRICE INVERSA E SUO CALCOLO Vogliamo stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l inversa A tale scopo scriviamo la matrice (A I 3 trasformandola, come spiegato sopra, con operazioni elementari di riga: 2 2 3 R 3 R 3 +R 2 2 : 3 2 3 5 R 3 R 3 3R 2 si noti che a questo punto osserviamo che rk(a = 3, dunque A è invertibile per la Proposizione 336, perciò ha senso continuare il calcolo di A Risulta 2 2 R 3 R 3 /2 2 3 3 /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 3 /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 /2 5/2 /2 /2 /2 /2 /2 3/2 /2 /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 3/2 /2 R R R R +R 2 R R 2 R 2 R 3 R 2 R 2 R 3 R R 2R 3 Concludiamo che /2 5/2 /2 A = /2 3/2 /2 /2 /2 /2 L eventuale esistenza della matrice inversa della matrice incompleta di un equazione permette di risolvere l equazione in maniera intuitiva Infatti se vogliamo risolvere l equazione matriciale AX = B e sappiamo che A R n,n è una matrice invertibile allora per ottenere la soluzione basta dividere ambo i membri per

LEZIONE 3 3 A, ovvero l equazione ha come unica soluzione la matrice X = A B (e non BA!: le equazioni (o i sistemi AX = B con A R n,n invertibile vengono detti equazioni (o sistemi di Cramer ed il metodo di soluzione sopra indicato è alla base del metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi che illustreremo brevemente nel corso della prossima lezione Ci limitiamo qui a dare il seguente Esempio 338 Si consideri il sistema (338 2 2 3 Poiché sappiamo che la matrice è invertibile, con inversa A = a b c = 2 2 3 2 3 /2 5/2 /2 A = /2 3/2 /2, /2 /2 /2 segue che l unica soluzione del Sistema (338 è a b c = /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 2 = 3 3