f: R R si dice funzione quadratica se è del tipo f(x) =ax 2 +bx+c, dove a,b,c sono costanti Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola Abbiamo incontrato funzioni di questo tipo quando abbiamo parlato delle frequenze genotipiche in funzione della frequenza di un assegnato allele, limitando però il dominio all intervallo [0, 1] (si trattava di frequenze relative!)
Consideriamo f: R R f(x) = x 2, si osserva: f(x) 0 con f(x)=0 se e solo se x=0, quindi x=0 è un punto di minimo per f con valore minimo 0; f(-x) = f(x) per ogni x (funzione pari), la retta x=0 è asse di simmetria per il grafico di f Se x 1 < x 2 <0 allora 0 < x 2 2 < x 1 2 quindi f è decrescente per valori di x< 0; Se 0 < x 1 < x 2 allora 0 < x 1 2 < x 2 2 quindi f è crescente per valori di x>0
Poiché f(x) = x 2 risulta decrescente per x<0 e crescente per x > 0 si dice che la parabola (grafico di f) ha la concavità rivolta verso l alto. Per ogni M>0 per quanto grande lo possiamo fissare, la disuguaglianza f(x) >M ha come soluzioni le semirette (-, - M) ( M, + ), dunque lim x + f(x) =+ = lim x f(x) =+
Determina le proprietà di f(x) = x 2 f(x) = a x 2 per a > 0 f(x) = a x 2 per a < 0 Confronta i grafici di f(x) = a x 2 con quelli di f(x) = a x 2 per a >1 per 0<a<1 E per a < 0?
Consideriamo g(x) = a x 2 + d, quale sarà il suo grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax 2? Basta traslare il grafico di f(x) = ax 2 di d unità nella direzione verticale (verso l alto se d>0, verso il basso se d<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il punto (0,d).
Consideriamo g(x) = a(x-h) 2,quale sarà il suo grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax 2? Basta traslare il grafico di f(x) = ax 2 di h unità nella direzione orizzontale (verso destra se h>0, verso sinistra se h<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il punto (h,0).
Consideriamo f(x) = a(x-h) 2 + d La parabola grafico di f(x) ha vertice nel punto (h,d) x = h sarà punto di minimo per f se a>0, punto di massimo se a<0 Il grafico di f(x) è simmetrico rispetto alla retta x=h Il grafico di f(x) ha la concavità rivolta verso l alto se a>0, rivolta verso il basso se a<0. lim x ± f(x) =+ se a>0, lim x ± f(x) = se a<0
f(x) = a(x-h) 2 + d =ax 2 +bx+c Basta porre b = 2ah, c = ah 2 + d Viceversa ogni funzione quadratica f(x) =ax 2 +bx+c Può essere scritta come f(x) = a(x-h) 2 + d Basta porre h= b/2a, d = c ah 2 =(4ac-b 2 )/4a
Riassumendo, per la funzione quadratica f(x) =ax 2 +bx+c Valgono le seguenti proprietà: 1) f(x) ha un solo punto di minimo se a >0 (punto di massimo se a<0) in x= b/2a, il valore minimo (o massimo) è f( b/2a) = c b 2 /4a. Vertice della parabola ( b/2a, c b 2 /4a) 2) Il grafico (parabola) di f ha come asse di mimmetria la retta x = b/2a 3) Il grafico ha la concavità rivolta verso l alto se a>0, verso il basso se a<0 4) lim x ± f(x) =+ se a>0, lim x ± f(x) = se a<0
:un problema di crescita Per un contenuto di saccarosio (s) di 15 gr/l, si è ottenuto una lunghezza (l) di 62 mm, mentre con 25 gr/l si è ottenuto una lunghezza di 74 mm. Facendo un altra prova con 5 gr/l di saccarosio si è ottenuta una lunghezza di 33 mm. La funzione l(s), con la conoscenza di questo nuovo dato, potrebbe essere lineare? Puoi determinare l(s), supponendo che la relazione sia quadratica?
:un problema di crescita Si hanno i seguenti punti non allineati: (5, 33), (15, 62), (25, 74) Supponendo una funzione quadratica, si tratta di determinare le costanti a,b,c, in modo tale che sia soddisfatto il seguente sistema di equazioni: 33 = 25a + 5b + c 62= 225a + 15b + c 74 = 625a + 25b + c Sottraiamo la prima equazione dalla seconda e la seconda dalla terza, si ottiene:
:un problema di crescita 62-33 = (225-25)a + 10b 74-62 = (625-225)a + 10b e quindi 29=200a +10b 12=400a + 10b Sottraiamo dalla seconda equazione la prima -17 = 200a, da cui ricaviamo a = -17/200, quindi la parabola-grafico di l(s) ha la concavità rivolta verso il basso
:un problema di crescita Da una delle due relazioni, ricaviamo b = 4.6, dunque a = -17/200 = - 0.085, b = 4.6 resta da determinare c da una delle equazioni iniziali 33 = 25(-0.085) + 5(4.6) +c da cui c=12.125 Abbiamo ottenuto la funzione l(s) = -0.085s 2 + 4.6s+12.125 Che ha per grafico una parabola con vertice di ascissa x v = 4.6/0.17 27.06, ed ordinata y v 74.36 Una legge quadratica appare poco credibile per la crescita della radice di mais con questi dati!
Scrivendo una funzione quadratica nella forma f(x) = a(x-h) 2 + d diviene chiara la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, infatti posto f(x) = a(x-h) 2 + d = 0, si ha (x-h) 2 = d/a Affinchè ci siano soluzion reali, deve essere d/a>0 Ricordiamo che d =(4ac-b 2 )/4a, dunque 4ac-b 2 <0, da cui b 2 4ac>0 In tal caso le soluzioni sono x 1,2 = h ± (b 2 4ac)/2a, ricordiamo h = b/2a ecco ottenuta la formula!