MODELLI MEDIA-VARIANZA insegnamento: Modelli Matematici per il Mercato dei Capitali docente: Prof. Benedetto Matarazzo Università degli Studi di Catania Dipartimento Economia e Metodi Quantitativi a cura del Dott. Giuseppe Vaccarella
H.M. MARKOWITZ (1952) ASPETTO OPERATIVO: AIUTO ALLE DECISIONI DI INVESTIMENTO; ASPETTI TEORICI: RELAZIONI DI EQUILIBRIO RISCHIO-RENDIMENTO; VERIFICA EFFICIENZA DEL MERCATO DEI CAPITALI. CONTESTO DI RIFERIMENTO MERCATO DEI CAPITALI PERFETTO EFFICIENTE
MERCATO DEI CAPITALI PERFETTO PRIVO DI ATTRITO (NON COSTI DI TRANSAZIONE, NON IMPOSTE, PERFETTA DIVISIBILITA ) PERFETTA CONCORRENZA PER TUTTE LE ATTIVITA NEGOZIATE (COSTO MEDIO MINIMO) INFORMAZIONI GRATUITE E DISPONIBILI SIMULTANEAMENTE PER OGNI SOGGETTO INDIVIDUI RAZIONALI (MAX UTILITA ATTESA) NELLA REALTA IL MERCATO PERFETTO E SOLO QUALCOSA CUI SI PUO TENDERE: C E ATTRITO E SI PAGANO COMMISSIONI ; NON SEMPRE INFORMAZIONI GRATUITE RD OMOGENEE; ESISTE CONCORRENZA IMPERFETTA;
MERCATO DEI CAPITALI EFFICIENTE IL PREZZO DI OGNI TITOLO RAPPRESENTA UN ACCURATO INDICE DI TUTTE LE INFORMAZIONI DISPONIBILI SUL TITOLO STESSO. NELLA REALTA SI PUO ASPIRARE SOLO AD UNA EFFICIENZA OPERATIVA
IPOTESI E DEFINIZIONI PROBLEMA MONOPERIODALE (t, t+1) DI SCELTA DI PORTAFOGLIO MODELLO STATICO, NESSUNA DECISIONE DURANTE (t, t+1); IN t L INVESTITORE POSSIEDE SOLO CAPITALE DA INVESTIRE, NON TITOLI RENDIMENTO DEL TITOLO i ESIMO NEL PERIODO (t,t+1): PREZZO DI ACQUISTO (CORSO) DI i (AL TEMPO t) PREZZO DI VENDITA (AL TEMPO t+1) DI i INTERESSI O DIVIDENDI DISTRIBUITI DA i IN (t, t+1) DI E SONO NOTE LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA DEI RISULTATI POSSIBILI. RENDIMENTO ATTESO DI i RISCHIO DI i: E CONCEPITO COME UNA MISURA CHE AGGREGHI GLI SCOSTAMENTI TRA RENDIMENTI EFFETTIVI E RENDIMENTO ATTESO. TIENE CONTO DELLA DISPERSIONE DEI RENDIMENTI RISPETTO AL RENDIMENTO MEDIO (SIA DEGLI SCARTI POSITIVI SIA DI QUELLI NEGATIVI); OPPURE EVIDENZA EMPIRICA: ENTRO CERTI LIMITI RAGIONEVOLE SIMMETRIA DEI RENDIMENTI ATTENZIONE: QUESTO NON E L UNICO MODO DI INTENDERE E MISURARE IL RISCHIO INVESTITORE MASSIMIZZA UTILITA ATTESA DEI RENDIMENTI E AVVERSO AL RISCHIO (EFFICIENZA)
PORTAFOGLIO COMBINAZIONE DI TITOLI (P) IN POSSESSO DELL INVESTITORE; RIFLETTE LA SCELTA DELL INVESTITORE NELL ALLOCAZIONE IN TERMINI RELATIVI DI UN PATRIMONIO NEL MERCATO DEI CAPITALI; E DATO DAL VETTORE DI ALLOCAZIONE: CON NOTA LA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA DEI RENDIMENTI DEI TITOLI IN PORTAFOGLIO SI POSSONO CALCOLARE PRINCIPIO FONDAMENTALE IL RENDIMENTO ATTESO DI P E DATO DALLA MEDIA ARITMETICA PONDERATA DEI RENDIMENTI ATTESI DEI TITOLI COMPONRNTIIL PORTAFOGLIO IL RISCHIO DI P NON E DATO IN GENERALE DALLA MEDIA ARITMETICA PONDERATA DEI RISCHI DEI TITOLI DEL PORTAFOGLIO LA DIVERSIFICAZIONE RIDUCE IL RISCHIO
PORTAFOGLIO CON DUE SOLI TITOLI RISCHIOSI TITOLI: A e B; SOMMA DA INVESTIRE: C FRAZIONI TITOLI POSSEDUTI con CA+CB=C con e x A, x B 0
PORTAFOGLIO CON DUE SOLI TITOLI RISCHIOSI RICORDANDO CHE CONTINUA
PORTAFOGLIO CON DUE SOLI TITOLI RISCHIOSI
CASI PARTICOLARI CONTINUA
CASI PARTICOLARI FRONTIERA IN PARTE NON EFFICIENTE Z B O
CASI PARTICOLARI Z B O
CASI PARTICOLARI (ASSOLUTA MANCANZA DI CORRELAZIONE) SI HA CONTRAZIONE DI RISCHIO SE: FRONTIERA IN PARTE NON EFFICIENTE Z Q (NON LINEARE) B O
(RISCHIO INTERMEDIO) per esempio Excel NESSUNA GARANZIA DI CONTRAZIONE DEL RISCHIO. O MA IN OGNI CASO RIDUZIONE DI RISCHIO RISPETTO AL CASO IN CUI INFATTI
RICERCA DEL PORTAFOGLIO CON MINIMO RISCHIO (Q) TALE PORTAFOGLIO PUO ESSERE TROVATO ANALITICAMENTE RISOLVENDO IL SEGUENTE PROBLEMA: TENENDO CONTO CHE E APPLICANDO KHUN E TUCKER E x A 0
SOLUZIONE Excel (i) CONDIZIONE DI CONTRAZIONE DEL RISCHIO SE B < A, PONENDO x A = 0 IN (i), OSSIA P B, E RICAVANDO AB, SI HA : PERTANTO, PER AB A B 0 AB < * SI HA CONTRAZIONE DI RISCHIO E SOLO ALCUNI PORTAFOGLI SONO EFFICIENTI. QUANTO PIU B A, TANTO PIU FACILMENTE SI HA CONTRAZIONE DI RISCHIO ( * 1) AB B A *
PORTAFOGLIO CON PIU TITOLI RISCHIOSI GENERALIZZAZIONE DEL CASO CON DUE SOLI TITOLI RISCHIOSI SI DEVE INVESTIRE LA SOMMA C IN N TITOLI (RISCHIOSI), IN PROPORZIONI
IN FORMA COMPATTA Excel DATI: LA REGIONE DEI PORTAFOGLI AMMISSIBILI IN E DEFINITA PARAMETRICAMENTE DA: NEL PIANO DAL PUNTO DI VISTA OPERATIVO: TROPPI CALCOLI TROPPI DATI :
CURVE DEI PORTAFOGLI POSSIBILI LA COMBINAZIONE DI 2 TITOLI NON PUÒ AVERE RISCHIO MAGGIORE DELLA CORRISPONDENTE COMBINAZIONE LINEARE DEI RISCHI DEI SINGOLI TITOLI (O PORTAFOGLI). GEOMETRICAMENTE LA CURVA CONGIUNGENTE TALI TITOLI DEVE GIACERE A SINISTRA DEL CORRISPONDENTE SEGMENTO (PER OGNI COPPIA DI TITOLI O PORTAFOGLI). A,B: GENERICI TITOLI MV: PORTAFOGLIO CON VARIANZA MINIMA A A A MV MV MV MV MV MV B B B FRONTIERA EFFICIENTE SI RAPPRESENTANO IN TUTTI I POSSIBILI TITOLI E PORTAFOGLI (INFINITI). L INSIEME EFFICIENTE SI OTTIENE COMBINANDO IL PORTAFOGLIO (NORMALMENTE UN SINGOLO TITOLO) R CHE OFFRE IL MASSIMO RENDIMENTO ATTESO COL PORTAFOGLIO V CHE PRESENTA LA MINIMA VARIANZA POSSIBILE. LA CURVA DI INVILUPPO DI TALI COMBINAZIONI SI CHIAMA FRONTIERA EFFICIENTE. TITOLI E PORTAFOGLI AMMISSIBILI R R V V
PORTAFOGLIO DI MINIMA VARIANZA CON N>2, DATO E(r) PROBLEMA DI MIN VINCOLATO s.t. CON LAGRANGE MIN UN SISTEMA DI EQUAZIONI LINEARI (N+2xN+2) SE, INVECE, SI CERCA IL PORTAFOGLIO DI MINIMA VARIANZA IN ASSOLUTO, IL PROBLEMA DEVE ESSERE RIFORMULATO E RISOLTO NEL SEGUENTE MODO LA LAGRANGIANA DIVENTA s.t. UN SISTEMA DI EQUAZIONI LINEARI (N+1xN+1)
LIMITI ALLA DIVERSIFICAZIONE RICORDIAMO CHE SI HA IN GENERALE : CASI PARTICOLARI: DIVERSIFICANDO SI HA: CON VARIANZA MEDIA DEI TITOLI DEL PORTAFOGLIO OPERATIVAMENTE: SE ABBIAMO UN NUMERO SUFFICIENTE DI TITOLI INDIPENDENTI, LA VARIANZA DEL PORTAFOGLIO SI AVVICINA A ZERO. CONTINUA
LIMITI ALLA DIVERSIFICAZIONE INFATTI IN TAL CASO LA VARIANZA DEL PORTAFOGLIO NON PUO MAI ESSERE NULLA, MA MOLTO MINORE DI QUELLA DEI SINGOLI TITOLI CON E VARIANZA E COVARIANZA MEDIA DEI TITOLI DEL PORTAFOGLIO E POICHE DIVERSIFICANDO NEL SENSO CHIARITO IN PRECEDENZA SI HA RISCHIO DIVERSIFICABILE ELIMINABILE MEDIANTE DIVERSIFICAZIONE RISCHIO SISTEMATICO (DI MERCATO) NON ELIMINABILE MEDIANTE DIVERSICAZIONE.
FRONTIERA EFFICIENTE E VENDITE ALLO SCOPERTO SPESSO PUÒ VENDERSI UN TITOLO CHE NON SI POSSIEDE (VENDITA ALLO SCOPERTO O SHORT SALE). LA CORRISPONDENTE QUOTA DI PORTAFOGLIO È IN TAL CASO NEGATIVA. SI ASSUME CHE NON CI SIANO COSTI AGGIUNTIVI DI TRANSAZIONE MOTIVAZIONI FONDAMENTALI: - PREVISIONE DI CASH FLOW NEGATIVO OCCORRE TROVARE UNA CONTROPARTE CON ASPETTATIVE OPPOSTE EQUIVALE A PRENDERE A PRESTITO IL TITOLO i IN t E RESTITUIRLO IN t+1 SENZA DANNO PER IL CREDITORE - ACQUISTO DI UN TITOLO CON MAGGIORE RENDIMENTO ATTESO CONSEGUENZA: LA CURVA DEI PORTAFOGLI AMMISSIBILI PUO ESTENDERSI ALL INFINITO MA ANCHE
PER RENDERE UTILE L ANALISI A LIVELLO OPERATIVO SI INTRODUCE NEL MERCATO UN TITOLO F NON RISCHIOSO (RISK-FREE), CIOE E = 0 CIÒ EQUIVALE AD INTRODURRE LA POSSIBILITÀ DI POTER DARE A PRESTITO DENARO AL TASSO (COMPRANDO F, x F > 0) E PRENDERE A PRESTITO DENARO AL TASSO (VENDENDO ALLO SCOPERTO F, x F < 0) IN QUANTITÀ NON LIMITATA. SI HA UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI: F, IN PERCENTUALE ; A, TITOLO O PORTAFOGLIO RISCHIOSO, IN PERCENTUALE ; ; X A 0 ALLORA PUO ANCHE ESSERE > 1 NEL CASO IN CUI SI INVESTA ANCHE DENARO PRESO A PRESTITO CONTINUA
DA α L EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA FRONTIERA EFFICIENTE E E SOSTITUENDO SI HA tgα PREMIO PER UNITA DI RISCHIO (IN ECCESSO RISPETTO A )
POSSIBILITA DI DARE A PRESTITO DENARO SI IPOTIZZA ADESSO L ESISTENZA DI PIÙ TITOLI RISCHIOSI ED UNO PRIVO DI RISCHIO F, MA SI ESCLUDE LA POSSIBILITA DI PRENDERE A PRESTITO (BORROWING) DENARO. L INSIEME DEI PORTAFOGLI RISCHIOSI POSSIBILI E DATO DALLA REGIONE PIANA DELIMITATA DALLA CURVA CHIUSA AEDCX E LA FRONTIERA EFFICIENTE E DATA DA AX. CONSIDERANDO UN TWO-ASSET PORTFOLIO COMPOSTO DAL TITOLO RISK-FREE F (ACQUISTARE F = DARE A PRESTITO O LENDING AL TASSO Rf ) E DAL TITOLO RISCHIOSO Y, CHE E UN PORTAFOGLIO EFFICIENTE (NON UN SINGOLO TITOLO), LA FRONTIERA EFFICIENTE DIVENTA FYA (I PORTAFOGLI DI XY SONO DOMINATI DA QUELLI DEL SEGMENTO FY), MA NESSUNO DEI SUOI PORTAFOGLI E IL MIGLIORE OTTENIBILE NEL TWO-ASSET PORTFOLIO CONSIDERATO F X Y E IL MIGLIOR PORTAFOGLIO PUÒ OTTENERSI MASSIMIZZANDO IL PREMIO PER UNITA DI RISCHIO UGUALE AL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLE SEMIRETTE USCENTI DA F CHE COSTITUISCONO LA FRONTIERA EFFICIENTE RISKY - RISKLESS. D C A CONTINUA
POSSIBILITA DI DARE A PRESTITO DENARO MATEMATICAMENTE SI TRATTA DEL SEGUENTE PROBLEMA DI MAX VINCOLATO Z A F X Y MAXα D C CON, E IL MIGLIOR PORTAFOGLIO EFFICIENTE RISCHIOSO DA COMBINARE CON F E Z, CORRISPONDENTE AL PUNTO DI TANGENZA DELLA RETTA USCENTE DA F CON LA FRONTIERA EFFICIENTE AX. LA FRONTIERA EFFICIENTE DIVIENE ALLORA FZA. UN INVESTITORE MOLTO PROPENSO AL RISCHIO SCEGLIE UN PORTAFOGLIO DELLA CURVA ZA (PORTAFOGLIO RISCHIOSO) UN INVESTITORE MOLTO AVVERSO AL RISCHIO SCEGLIE UN PORTAFOGLIO DEL SEGMENTO FZ (COMBINAZIONE DEL TITOLO PRIVO DEL RISCHIO F E DEL PORTAFOGLIO RISCHIOSO Z)
PROBLEMA DI MAX VINCOLATO s.t. SOLUZIONE DERIVANDO COME PRODOTTO RISPETTO ALLE SI HA DIVIDENDO PER (i) SI HA: (i ) (i ) UN SISTEMA DI EQUAZIONI LINEARI (NxN) POSTO SI HA E POICHE
POSSIBILITA DI PRENDERE A PRESTITO DENARO SI IPOTIZZA CHE L INVESTITORE POSSA INVESTIRE UN CAPITALE MAGGIORE DI QUELLO POSSEDUTO (C) PRENDENDO A PRESTITO (BORROWING) AL TASSO UN AMMONTARE NON LIMITATO DI DENARO (DA RESTITUIRE CON GLI INTERESSI). CIÒ EQUIVALE A VENDERE ALLO SCOPERTO (SHORT SALE) IL TITOLO NON RISCHIOSO B ( CIOE ). L ORIGINARIA FRONTIERA EFFICIENTE ATX DEI PORTAFOGLI RISCHIOSI DIVIENE ORA XTU, OVE T E IL PUNTO DI TANGENZA DELLE RETTE USCENTI DA B CON LA FRONTIERA XTA E U E UN GENERICO PUNTO DELLA SEMIRETTA TANGENTE CONSIDERATA. I PORTAFOGLI DELLA CURVA XT SONO EFFICIENTI E RISCHIOSI E SONO ACQUISTATI INVESTENDO SOLAMENTE L INTERO CAPITALE C ( ) T U A I PORTAFOGLI DELLA SEMIRETTA TU SONO OTTENUTI INVESTENDO TUTTO IL CAPITALE C NELL UNICO PORTAFOGLIO T, PRENDENDO A PRESTITO ALTRO DENARO E ACQUISTANDO ANCORA IL PORTAFOGLIO T : EQUAZIONE DELLA SEMIRETTA TU F X E D C
POSSIBILITA DI PRENDERE E DARE A PRESTITO DENARO SI IPOTIZZA LA POSSIBILITA DI ACCEDERE AL CREDITO CON CAPACITA ILLIMITATA AL TASSO CERTO DI DARE A PRESTITO DENARO AL TASSO CERTO ( ) OSSIA LA POSSIBILITA DI ACQUISTARE IL TITOLO RISK FREE F E DI VENDERE ALLO SCOPERTO IL TITOLO RISK FREE B. LA FRONTIERA EFFICIENTE DIVIENE U FZTU, CHE CONTIENE SOLAMENTE IL T A TRATTO ZT DELLA FRONTIERA ORIGINARIA AX. C IN BASE ALLE PREFERENZE INDIVIDUALI B Z OGNI INVESTITORE POTRA SCEGLIERE X D IL PROPRIO PORTAFOGLIO F CORRISPONDENTE AD UN PUNTO DELLA E FRONTIERA EFFICIENTE. T U A Z C CONTINUA F X E D
POSSIBILITA DI PRENDERE E DARE A PRESTITO DENARO LA COMPOSIZIONE DI TALE PORTAFOGLIO SARA : TU: INVESTIMENTO DI TUTTI I PROPRI FONDI NEL PORTAFOGLIO RISCHIOSO T E ULTERIORE ACQUISTO DEI TITOLI DI CUI E COMPOSTO T CON DENARO PRESO A PRESTITO AL TASSO. T: ACQUISTO CON I PROPRI FONDI SOLAMENTE DEI TITOLI COMPONENTI IL PORTAFOGLIO RISCHIOSO T ZT: ACQUISTO CON I PROPRI FONDI DI UN PORTAFOGLIO EFFICIENTE RISCHIOSO. FZ: ACQUISTO CON I PROPRI FONDI DEL TITOLO NON RISCHIOSO F E DEI TITOLI COMPONENTI IL PORTAFOGLIO RISCHIOSO Z; Z :ACQUISTO CON I PROPRI SOLAMENTE DEI TITOLI COMPONENTI IL PORTAFOGLIO RISCHIOSO Z; F: ACQUISTO CON I PROPRI FONDI SOLAMENTE DEL TITOLO NON RISCHIOSO F. N.B.: CON TALE APPROCCIO NON SI E UNIVOCAMENTE IDENTIFICATO IL PORTAFOGLIO DA SCEGLIERE NEL TRATTO DI FRONTIERA ZT (E SOLAMENTE IVI)
IL TEOREMA DI SEPARAZIONE SE SI IPOTIZZA CHE E POSSIBILE DARE E RICEVERE IN PRESTITO DENARO IN QUANTITA ILLIMITATA RISPETTIVAMENTE AI TASSI E ( ), IL TRATTO ZT DI FRONTIERA EFFICIENTE CONTENENTE SOLAMENTE DIFFERENTI PORTAFOGLI RISCHIOSI E TANTO PIU PICCOLO QUANTO MINORE E. SE FOSSE, CASO LIMITE,, LA FRONTIERA EFFICIENTE DIVENTEREBBE UNA SEMIRETTA (CAPITAL MARKET LINE: CML) TANGENTE ALLA FRONTIERA ORIGINALE AX NEL PUNTO M. SI IDENTIFICA QUINDI UN UNICO PORTAFOGLIO EFFICIENTE RISCHIOSO M CUI E INTERESSATO L INVESTITORE, PRESCINDENDO DALLA CONOSCENZA DELLA SUA FUNZIONE DI UTILITA (TEOREMA DI SEPARAZIONE DI TOBIN). LA COMPOSIZIONE DI M NON DIPENDE E DALL ATTITUDINE SOGGETTIVA AL RISCHIO, O MA DALLE PREVISIONI SUI RENDIMENTI ATTESI DI CIASCUN TITOLO. A SINISTRA DI M : DARE A PRESTITO (TITOLO F) + PORTAFOGLIO M. TWO MUTUAL FUND (F,M) THEOREM F X M D C A CML A DESTRA DI M : DENARO PROPRIO E A PRESTITO INVESTITO IN M. MERCATO COMPETITIVO STESSE INFORMAZIONI STESSO (OTTIMO) PORTAFOGLIO DI TITOLI RISCHIOSI: MARKET PORTFOLIO M (IL PIÙ EFFICIENTE ). M CONTERRA TUTTI I TITOLI RISCHIOSI DISPONIBILI, IN PROPORZIONE AL LORO VALORE TOTALE DI MERCATO
DIVERSIFICAZIONE E PREMIO DI RISCHIO SE IL MARKET PORTFOLIO M CONTIENE TUTTI I TITOLI RISCHIOSI, I LORO PREZZI (E QUINDI I RENDIMENTI ATTESI ) DEVONO COMPENSARE IL RISCHIO CHE ESSI COMPORTANO (PREZZI IN EQUILIBRIO). E IL PORTAFOGLIO RISCHIOSO IN CUI TUTTO IL RISCHIOSO ELIMINABILE MEDIANTE DIVERSIFICAZIONE E STATO ELIMINATO. OPERATIVAMENTE E SUFFICIENTE CHE M CONTENGA SOLO TITOLI SCELTI A CASO PER ELIMINARE CIRCA IL 90% DEL RISCHIO ELIMINABILE MEDIANTE DIVERSIFICAZIONE EQUAZIONE DELLA CAPITAL MARKET LINE: RETTA PASSANTE PER ED : RENDIMENTO ATTESO DI i RENDIMENTO RISK-FREE ( PREZZO DEL TEMPO ) PREZZO DI MERCATO DEL RISCHIO RISCHIO PROPRIO DEL PORTAFOGLIO I (EFFICIENTE) λ : TRADE OFF TRA RISCHIO E RENDIMENTO, PREMIO PER ASSUMERSI RISCHIO NON DIVERSIFICABILE, ATTITUDINE AL RISCHIO DEL MERCATO PREMIO DI RISCHIO ( ): RENDIMENTO ADDIZIONE RICHIESTO PER ASSUMERSI IL RISCHIO PROPRIO DEL PORTAFOGLIO: NESSUN PREMIO DI RISCHIO E DOVUTO PER L ASSUNZIONE DI RISCHIO ELIMINABILE MEDIANTE DIVERSIFICAZIONE (INVESTIMENTO INEFFICIENTE).
FRONTIERA EFFICIENTE DEI PORTAFOGLI AMMISSIBILI LINEARE SE IL PORTAFOGLIO M NON E IL MARKET PORTFOLIO, CIOÈ NON CONTIENE TUTTI I TITOLI RISCHIOSI DEL MERCATO, SI AVRA : DOMANDA TITOLI IN M +PREZZO SPOSTAMENTO VERSO IL BASSO DEL PUNTO M E DI QUELLI AD ESSO VICINI DOMANDA TITOLI M - PREZZO SPOSTAMENTO VERSO L ALTO DEI PUNTI RAPPRESENTATIVI DEI PORTAFOGLI CHE NON LI COMPRENDONO FRONTIERA EFFICIENTE LINEARE SE QUESTO PROCESSO CONTINUA E SE TUTTI GLI INVESTIMENTI RISCHIOSI FOSSERO PERFETTAMENTE E DIRITTAMENTE CORRELATI, LA FRONTIARA EFFICIENTE DEI PORTAFOGLI AMMISSIBILI DIVERREBBE SEMPRE PIÙ LINEARE, FINCHE OGNI TITOLO RISCHIOSO RIENTRA IN ALMENO UNO DEI PORTAFOGLI RAPPRESENTATI DA PUNTI DELLA NUOVA RETTA DI EQUILIBRO DEL MERCATO N CML F M O NON TUTTI GLI INVESTITORI ACQUISTERANNO I MEDESIMI TITOLI RISCHIOSI (DIVERSE ALTERNATIVE DI PORTAFOGLI EFFICIENTI RISCHIOSI, RAPPRESENTATI DAI PUNTI DELLA CML COMPRESI TRA M E N)