PER ESERCITARSI Parte 1 Esercizi su Concetti introduttivi, vettori, cinematica, forze, lavoro ed energia ESERCIZIO n.1 La Terra è assimilabile a una sfera di raggio 6.37 10 6 m. (a) Qual è la sua circonferenza in kilometri? (b) Qual è l area della sua superficie in kilometri quadrati? (c) Qual è il suo volume in kilometri cubi? (Risultati: (a) c=40.0x10 3 km; (b) A=510x10 6 km 2 ; (c) V=108x10 10 km 3 ) ESERCIZIO n. 2 Dati tre vettori complanari: a = (4.3m) xˆ (1.7m) ŷ b = (-2.9m) xˆ +(2.2m) ŷ c = (- 3.6m) ŷ Trovare il vettore somma. (Risultato: s = (1.4m) xˆ + (-3.1m) ŷ ) ESERCIZIO n.3 Dati i vettori A e B di modulo A=8.0 m e B=12 m aventi direzione e verso come indicati in figura 1, si trovino modulo direzione e verso del vettore somma usando il metodo delle componenti. Figura 1. Esercizio n.3 (Risultato: s = (0.35m) xˆ + (16m) ŷ, quindi s=16m e la direzione forma un angolo di -88 con l asse y) 1
ESERCIZIO n.4 Quando è stato raggiunto il primato di massima velocità e minimo tempo con partenza da fermo, si raggiunse la velocità di 631.60 km/h in 3.72 s. Quale è stata l accelerazione media? (Risultato: a m =47.2 m/s 2 ) ESERCIZIO n.5 Si calcoli l accelerazione media di una slitta a reazione che raggiunga la velocità di 117 km/h in 0.0400 s partendo da fermo. Esprimere il risultato usando le unità di misura del Sistema Internazionale. (Risultato: a m =813 m/s 2 ) ESERCIZIO n.6 Un automobilista avvista una pattuglia della polizia stradale e decide di frenare da 75 km/h a 45 km/h nello spazio di 88 m. (a) Qual è l accelerazione (decelerazione) media? (b) Per quanto tempo deve frenare? (c) Se continuasse a frenare con la stessa accelerazione quanto tempo ci vorrebbe per fermarsi? (d) Nell intervallo di tempo calcolato al punto (c) quale sarebbe la distanza percorsa? (Risultati: (a) a m = -1.6 m/s 2 ; (b) t1=5.2 s; (c) t2=13 s; (d) d=14x10 m) ESERCIZIO n.7 Un operaio lascia cadere una chiave nel pozzo dell ascensore di un grattacielo. (a) Dove si trova la chiave dopo 1.5 s? (b) Quanto vale la sua velocità in quell istante? (Risultati: (a) si trova 11m al di sotto del punto di partenza; (b) v=15m/s, diretta verso il basso) ESERCIZIO n.8 Supponiamo che una palla venga lanciata verso l alto con modulo della velocità pari a 15 m/s. Determinare: (a) il tempo che impiega per raggiungere la quota massima, (b) l altezza massima raggiunta, (c) gli istanti di tempo per i quali la palla passa ad 8.0 m dalla posizione iniziale, (d) il tempo totale prima di tornare tra le mani del lanciatore, e (e) la velocità in questo istante. (Risultati: (a) t=1.2 s; (b) h max =7.3 m; (c) t 1 =0.69 s e t 1 =2.4 s; (c) t 3 =3.1 s; (e) v(t= t 3 )=15 m/s, diretta verso il basso) 2
ESERCIZIO n.9 Si consideri un pallone calciato a partire dal suolo. Il pallone parte con una velocità di 25 m s 1 e l angolo di tiro è di 30 rispetto all orizzontale. (a) Quando raggiunge la sua altezza massima il pallone? (b) Dove si trova in quell istante? (c) A che distanza dal calciatore arriverà il pallone? (Risultati: (a) t=1.3 s; (b) si trova in un punto che dista x=28 m e y=8.0 m dal punto di lancio; (c) d=11x10 m) ESERCIZIO n.10 Nel 1901 Diavolo, un acrobata del circo, soprannominato Dare Devil (il diavolo temerario) lanciò l emozionante numero di un giro della morte in bicicletta all interno di un anello verticale. Assimilando la pista a un cerchio di raggio R = 2.7 m, qual è il minimo valore che deve raggiungere la velocità v della bicicletta per rimanere in contatto con la pista nel punto più alto dell anello? (Risultato: v=5.1 m/s) ESERCIZIO n.11 La figura 2 mostra una moneta appoggiata su un libro che è stato inclinato di un angolo θ rispetto al piano orizzontale. Per successive approssimazioni troveremo che quando θ è aumentato fino a 13 la moneta comincia a scivolare lungo il libro. Qual è il coefficiente d attrito statico µ s tra la moneta e il libro? Figura 2. Esercizio n. 11 (Risultato: µ s = 0.23) ESERCIZIO n.12 Se le ruote di un auto sono bloccate durante una frenata di emergenza, l auto slitta sul fondo stradale. Pezzi di pneumatici strappati e piccoli frammenti di asfalto fuso formano le tracce di frenata rivelatrici della saldatura a freddo intervenuta durante lo slittamento. Il record pubblico sembra sia stato stabilito nel 1960 da una Jaguar sull autostrada M1 in Gran Bretagna: 290 m! Ammettendo che fosse µ d = 0.60, a che velocità stava andando l auto all istante del bloccaggio delle ruote? (Risultato: v=58 m/s) 3
ESERCIZIO n.13 Un blocco di massa m = 15 kg è trattenuto da una fune su un piano liscio inclinato. (a) Quale sarà la tensione della fune se θ = 27? (b) Quale forza esercita il piano sul blocco? (Risultati: (a) T=67 N; (b) N=13x10 N ) ESERCIZIO n.14 Una cassa di mele di massa m=30 kg scivola lungo un pianale, privo di attrito, inclinato di 30 rispetto al suolo. (a) Quanto tempo impiega la cassa per raggiungere la base del pianale se questo è lungo 3.0 m? (b) Con quale velocità la cassa raggiunge il suolo, se la velocità iniziale è nulla? (Risultati: (a) t=1.1 s; (b) v=5.4 m/s) ESERCIZIO n.15 Si ripeta l esercizio precedente considerando che tra la cassa ed il piano vi è attrito. Si consideri un coefficiente di attrito dinamico pari a 0.25. (Risultati: (a) t=4.6 s; (b) v=0.72 m/s) ESERCIZIO n.16 Si calcoli l accelerazione centripeta della Luna quando ruota intorno alla Terra su un orbita approssimativamente circolare di raggio 384000 km con un periodo di 27.3 giorni. (Risultati: a=2.72x10-3 m/s 2 ) ESERCIZIO n.17 Si calcoli la forza necessaria per tenere una massa m=0.150 kg, legata all estremità di una corda di lunghezza 0.660 m, in moto circolare uniforme su un piano in modo che compia 2.00 giri al secondo. (Risultato: F=15.6 N) ESERCIZIO n.18 Calcolare la distanza di Giove dal Sole conoscendo il suo periodo di rivoluzione (T G =12 anni) e i parametri orbitali della Terra: T T =1.0 anno a T =1.5 10 11 m. (Risultato: d=7.8x10 11 m) 4
ESERCIZIO n.19 Calcolare l accelerazione di gravità agente sugli astronauti dello Shuttle quando si trovano ad una altezza di 400 km rispetto alla superficie della Terra. (Risultato: g s =8.69 m/s 2 ) ESERCIZIO n.20 Calcolare il raggio dell orbita dei satelliti geostazionari. (Risultato: r=4.22x10 7 m) ESERCIZIO n.21 Una slitta col suo carico, di massa complessiva 85 kg, al termine di una discesa imbocca una pista dritta e orizzontale con velocità di 37 m/s. Rallenta fino a fermarsi con accelerazione costante di modulo 2.0 m/s 2. Calcolare: (a) il modulo della forza F richiesta per ottenere questa accelerazione, (b) la distanza d percorsa fino all arresto, e (c) il lavoro L compiuto sulla slitta dalla forza frenante F. Ripetere i calcoli nel caso di rallentamento con accelerazione di modulo 4.0 m/s 2. (Risultati: (a) F=17x10 N; (b) d=34x10 m; (c) L= -58 kj) ESERCIZIO n.22 Un blocco di massa 250 g è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2.5 N/cm. Il blocco rimane appoggiato sulla molla, che si comprime di 12 cm prima di arrestarsi momentaneamente. (a) Durante la compressione della molla, quanto vale il lavoro svolto dalla forza di gravità relativa al blocco e dalla molla? (b) Quale era la velocità del blocco subito prima di toccare la molla? Si trascuri l attrito. (c) Se si raddoppia la velocità di impatto, quanto vale la massima compressione della molla? (Risultati: (a) W g =0.29 J e W el = -1.8 J; (b) v=3.5 m/s; (c) compressione y max =23 m) ESERCIZIO n.23 Una cassa di massa 230 kg è sospesa all estremità di una fune lunga 12,0 m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza variabile F, la spostiamo di 4.00 m sul piano orizzontale. (a) Qual è l intensità di F quando la cassa raggiunge la posizione finale? (b) Quali sono, durante lo spostamento della cassa, il lavoro totale fatto su di essa, il lavoro fatto dal peso proprio della cassa e il lavoro fatto sulla cassa dalla tensione della fune? (c) Quale è il lavoro da noi svolto sulla cassa? (d) Perché questo lavoro non è uguale al prodotto dello spostamento orizzontale per l intensità di F trovata al primo punto? (Risultati: (a) F=797 N; (b) W tot =0 J, W g =-1.55 kj e W T =0 J; (c) W F =1.55 kj) 5
ESERCIZIO n.24 Un blocco di ghiaccio di massa 45 kg scivola giù per un piano inclinato lungo 1.5 m per un dislivello di 0.91 m. Uno scaricatore preme dal basso contro il blocco con una forza parallela al piano inclinato in modo da obbligarlo a scendere con velocità costante. Si trovi (a) la forza esercitata dallo scaricatore, (b) il lavoro sviluppato sul blocco di ghiaccio dallo scaricatore, dalla forza di gravità agente sul blocco, dalla forza normale esercitata dal piano sul blocco e dalla forza risultante applicata al blocco. (Risultati: (a) F=27x10 N; (b) W s = -0.40 kj, W g = 0.40 kj e W N = W t =0 J) ESERCIZIO n.25 Un autocisterna di massa 1.2 10 4 kg, fuori controllo per un guasto ai freni, sta scendendo a precipizio alla velocità di 130 km/h. Fortunatamente, vicino alla fine della discesa c è una rampa di emergenza in contropendenza (priva però di attrito) con inclinazione θ=15 (si faccia riferimento alla figura 3). (a) Quale deve essere la sua lunghezza minima per essere certi che riesca ad arrestare la cisterna? (b) La lunghezza minima aumenta, diminuisce o resta uguale se l autocisterna ha massa minore? (c) La lunghezza minima aumenta, diminuisce o resta uguale se la velocità dell autocisterna è inferiore a quella data? Si discutano le risposte ai quesiti (a) e (b). Figura 3. Esercizio n.25 (Risposte: (a) L=26x10 m; (b) La distanza di arresto non dipende dalla massa della cisterna; (c) Diminuendo la velocità, la lunghezza di arresto diminuisce col quadrato della velocità, quindi, ad esempio, se la velocità si dimezza, la lunghezza di arresto diventa 1/4 di quella iniziale) 6