Paolo Aluffi FARE MATEMATICA. Astratto e concreto nella matematica elementare. Numeri, infinitesimi, aritmetica modulare

Paolo Aluffi FARE MATEMATICA Astratto e concreto nella matematica elementare Numeri, infinitesimi, aritmetica modulare

Copyright MMIX ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 a/b 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978 88 548 2479 9 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 2009

Indice 1 Tipi di numeri 15 1.1 Numeri naturali e razionali................. 15 1.2 Incompletezza dei razionali................. 19 1.3 Sviluppi decimali e numeri reali............... 23 1.4 Numeri razionali e irrazionali................ 27 1.5 Ordini di infinito....................... 31 1.6 Altri tipi di numeri...................... 38 2 Calcolo infinitesimale 45 2.1 Velocità istantanea...................... 45 2.2 Il concetto di limite...................... 48 2.3 Calcolo di limiti e derivate.................. 51 2.4 Altri usi delle derivate.................... 56 2.5 Geometria e derivate..................... 57 2.6 Ancora geometria: aree e integrali............. 64 2.7 Ancora sugli integrali..................... 70 2.8 Tipi di funzioni........................ 74 2.9 Numeri e limiti........................ 78 3 Aritmetica modulare 83 3.1 La prova del 9......................... 83 3.2 Operazioni tra resti...................... 85 3.3 Z m............................... 90 3.4 Anelli e campi......................... 93 3.5 Dividere zero......................... 97 3.6 Domini di integrità e campi................. 101 3.7 Primalità........................... 105 3.8 Teoria dei numeri....................... 109 3.9 Aritmetica astratta e concreta................ 114 3.10 Superficialità e profondità.................. 119 7

8 Indice A Qualche spunto tecnico 123 A.1 Il linguaggio matematico................... 123 A.2 Classi di equivalenza..................... 125 A.3 Funzioni............................ 131 A.4 Categorie e funtori...................... 137

Capitolo 1 Tipi di numeri 1.1 Numeri naturali e razionali I primi concetti e le prime manipolazioni matematiche a cui siamo esposti a scuola si rifanno all aritmetica elementare dei numeri naturali 1 : e più in generale dei numeri interi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,......, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... La progressione di questi numeri avviene a balzi, dall 1 al 2, dal 2 al 3, eccetera, senza chiaroscuri intermedi: diciamo che quantità di questo tipo sono discrete. Per contro, la nostra esperienza quotidiana è dominata da situazioni che variano con continuità. Per esempio, la velocità con cui ci muoviamo cambia gradualmente: se stiamo guidando un automobile, possiamo influenzare questa quantità usando l acceleratore e il freno; ma non possiamo fermarci istantaneamente o passare dall essere fermi al muoverci a 100 km/h senza accelerare più o meno gradualmente. I numeri naturali o interi, quindi, non sono adatti a riferirci con precisione a misure di quantità comunissime, con cui abbiamo a che fare ogni giorno. Per descrivere queste, è necessario quindi sviluppare un sistema di numeri più raffinato. Questa può sembrare un osservazione banalissima; in questo capitolo vedremo che, invece, porre rimedio a questa mancanza dei numeri interi porta a considerazioni piuttosto profonde. 1 Scegliamo, arbitrariamente, di non includere lo zero tra i numeri naturali. 15

16 Tipi di numeri Miriamo innanzi tutto a costruire un sistema di numeri che ci permetta di trattare quantità che variano con continuità. Per cominciare, i numeri 1 2, 1, 3 2, 2, 5 2, 3,... esprimono gradazioni due volte più fini dei numeri interi; e 1 1000, 2 1000, 3 1000, 4 1000,... gradazioni 1000 volte più fini; e così via. Diamo un nome a questi nuovi numeri: chiamiamo numeri razionali i numeri che esprimono un rapporto (ratio in latino), cioè una frazione di numeri interi. Così l insieme 2 dei numeri razionali comprende tutte le frazioni, come 1 2, 12 727, 121 1331,... Tra queste si trovano numeri che hanno un comportamento del tutto simile a quello dei numeri interi, cioè:... 2 1, 1 1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1,... Due avvertenze: (i) non si può dividere un numero per 0, quindi non si includono frazioni con denominatore nullo; (ii) per amore di precisione bisogna anche stabilire che frazioni come 2 4, 3 6, 555 non sono altro che ripetizioni dello stesso numero (cioè 1 2 1110 ). Diciamo che queste frazioni diverse rappresentano lo stesso numero razionale. Un fatto importante è in effetti il seguente: ogni numero razionale può essere rappresentato da una frazione tale che numeratore e denominatore non abbiano fattori comuni maggiori di uno. Così, per esempio, 216 324 = 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 = 2 3 La frazione 2 3 non può semplificarsi ulteriormente, poiché 2 e 3 non hanno fattori comuni. Una frazione che non possa semplificarsi ulteriormente è detta in minimi termini. In ogni caso, per la convenzione (ii) richiamata poc anzi, il numero 216 324 è lo stesso del numero 2 3, per quanto le frazioni usate per rappresentarlo siano scritte diversamente. 2 In queste pagine, un insieme è semplicemente una collezione di oggetti, chiamati elementi. Gli oggetti possono essere numeri, o qualsiasi altra entità..

1.1 Numeri naturali e razionali 17 Vogliamo richiamare l attenzione del lettore su questo punto, poiché è molto più sottile e moderno di quanto possa sembrare. Qui abbiamo due oggetti diversi (le frazioni 216 324 e 2 3 ) che per convenzione rappresentano lo stesso concetto. Questa manovra di identificazione di oggetti diversi è molto comune nella matematica moderna, ed è regolata da precetti ben precisi; per non distrarre il lettore dal filo che stiamo seguendo, però, rimandiamo l esame di quest operazione a più avanti ( A.2). Un altro punto da evidenziare è che il fatto menzionato (che ogni frazione si possa scrivere in minimi termini ) non è per nulla ovvio: anzi, è così delicato ed importante che lo si dimostra in dettaglio in ogni primo corso di Algebra all università. Chi scrive ricorda bene l impazienza che provava nel leggere testi di matematica che prendevano diverse pagine per dimostrare fatti che gli sembravano patrimonio comune di tutti. Richiede in effetti una certa maturità matematica il capire che proprio le cose che sembrano ovvie nascondono spesso le sottigliezze più raffinate, e non è mai tempo perso soffermarvisi per un momento. In ogni caso, per ragioni di spazio dovremo appellarci qui come altrove a quelle che crediamo conoscenze più o meno universali dei nostri lettori. Un esercizio per i lettori davvero sofisticati sarà di individuare le nostre scorciatoie e provvedere a fornire tutti i dettagli delle nostre dimostrazioni. Prima di lasciare questo concetto, comunque, vogliamo chiedere al lettore di contemplarne una conseguenza. Esiste un numero razionale tale che, comunque lo si rappresenti con una frazione p q, sia p che q siano pari? Il lettore non dovrebbe proseguire nella lettura a meno che non gli sia chiarissimo che non c è alcun numero con questa proprietà. Affermazioni simili ci portano ad una piccola digressione. Nel linguaggio corrente, dire che qualcosa non c è è quasi sinonimo del dire che qualcosa non s è trovato; non esclude che quel qualcosa ci sia, ma sia momentaneamente altrove, e quindi introvabile. Questa sfumatura di linguaggio può creare sulle prime qualche confusione matematica. Una cosa è dire non abbiamo trovato la soluzione di questa equazione, un altra è affermare che non esistono soluzioni di questa equazione. Queste due frasi possono sembrare quasi equivalenti, ma esprimono situazioni completamente diverse: un numero naturale più grande di 1 ma più piccolo di 2 proprio non esiste; il fatto che non lo si trovi non segnala una carenza nelle nostre conoscenze. Al contrario, è un buon segnale che la situzione è sotto controllo: la sappiamo così lunga che possiamo affermare che non lo troveremo né noi, né gli abitanti di Betelgeuse se si preoccupano di queste cose. Mettiamo un certo accento su questo fatto perché sappiamo che porta a dei fraintendimenti. Il dipartimento di matematica in cui lavora chi scrive, come ogni altro istituto simile, riceve periodicamente pesanti

18 Tipi di numeri missive che propongono la soluzione a questo o quel famoso problema, quali la trisezione dell angolo, o la quadratura del cerchio. Con rammarico, tali comunicazioni sono regolarmente e immediatamente cestinate: infatti, da tempo è stato dimostrato che soluzioni di questi problemi non esistono, di nuovo nel senso forte enunciato poc anzi: non esistono come non esiste un numero intero tra 1 e 2. Torniamo al fatto che ci ha portato a queste riflessioni. Abbiamo affermato che non c è un numero razionale tale che, per ogni sua rappresentazione come frazione, sia numeratore che denominatore siano pari. Perché è vero ciò? Perché, come s è detto, ogni frazione può ridursi ad una frazione in minimi termini p q ; per una tale frazione, o p o q (o entrambi) devono essere dispari, altrimenti si potrebbero entrambi dividere per 2 riducendo la frazione ulteriormente. Questa proprietà di non-esistenza, dall apparenza un po banale, ha una conseguenza molto importante, anch essa di non-esistenza, che vedremo nella prossima sezione. I numeri razionali appena introdotti non codificano una quantità discreta. Mentre come si osservava sopra non ci sono numeri naturali tra (ad esempio) 1 e 2, si vede subito che c è una moltitudine di numeri razionali tra le corrispondenti frazioni 1 1 e 2 1. Anzi, il lettore non dovrebbe aver difficoltà a capire che tra due qualsiasi numeri razionali distinti, non importa quanto vicini, si può individuare una moltitudine di numeri razionali: per esempio, tra 1 10 e 2 10 si possono facilmente inserire 9 numeri: 11 100, 12 100, 13 100, 14 100, 15 100, 16 100, 17 100, 18 100, 19 100 È altrettanto facile inserirne 99 o 99999, come il lettore capirà subito. I numeri razionali hanno un comportamento a priori piuttosto diverso dai numeri naturali. Momento di riflessione 1.1. 3 Ci sono altri tipi di numeri che costituiscano un sistema ancora più fine dei numeri razionali? C è bisogno di introdurre tali numeri, o crede il lettore che ogni quantità ragionevole, 3 Come indicato nell introduzione, la nostra discussione è accompagnata da questi momenti di riflessione. Speriamo che il lettore prenderà qualche minuto per pensare ai temi che suggeriamo in questi momenti : lo scopo non sarà tanto di risolvere un problema, quanto di formarsi un proprio punto di vista su questioni o esempi che sorgono spontaneamente studiando matematica. È importante che il lettore si soffermi su questi momenti di riflessione prima di proseguire nella lettura. Spesso (come nel caso di questo primo momento) l argomento suggerito dalla riflessione è svolto in esteso nel seguito, ed il lettore mancherà un occasione di capire qualcosa davvero a fondo se andrà avanti e verrà esposto alla soluzione anzitempo.

1.2 Incompletezza dei razionali 19 ad esempio la velocità di un automobile in km/h, possa esprimersi con un numero razionale? Momento di riflessione 1.2. Quanti numeri razionali ci sono? è chiaro che ce ne sono un infinità; però c è già un infinità di numeri naturali, eppure questi non sembrano che una sceltissima élite tra i numeri razionali. Ci sono allora più numeri razionali che naturali? Ci sono diversi livelli di infinito? Si può dare un senso a questa domanda? Momento di riflessione 1.3. L aritmetica dei numeri naturali consiste delle note operazioni quali l addizione o la moltiplicazione. È intuitivamente chiaro (e può essere stabilito formalmente) che l operazione più basilare, da cui tutta l aritmetica può derivarsi, è l operazione che aggiunge 1 ad un numero dato. Ripetendo questa operazione n volte si riesce a definire l addizione di un qualsiasi numero n ad un qualsiasi altro numero; e poi ripetendo l addizione si può definire la moltiplicazione; e così via. Questo elegante stato di cose deriva dal fatto che 1 è il più piccolo numero naturale, cioè il più piccolo numero intero maggiore di 0. Come si definiscono queste operazioni su quantità che non sono discrete? C è un più piccolo numero razionale maggiore di zero? 1.2 Incompletezza dei razionali Con riferimento all ultimo punto segnalato nel 1.1, ci auguriamo che il lettore abbia comunque una certa familiarità nell addizionare, moltiplicare, ecc. frazioni e numeri, e che sia disposto a seguirci quando eseguiamo alcune di tali operazioni. L oggetto di questo libro non è di rinfrescare la memoria su queste cose (anche se ci auguriamo che questo sia un inevitabile effetto collaterale) quanto di mostrare che queste operazioni sono più sofisticate di quanto possa sembrare, e che è utile riesaminarle con atteggiamento critico. Prendiamo comunque spunto dal Momento 1.1, segnalato alla fine del 1.1. 4 Alla domanda che abbiamo posto (cioè: bastano i numeri razionali per esprimere tutte le quantità di uso comune?) si deve rispondere con un secco NO! Questa fu una importantissima scoperta, tradizionalmente attribuita alla scuola Pitagorica, e che (secondo la tradizione) mise in grave crisi il concetto di numero considerato allora. Si riteneva infatti 4 Un ultima volta esortiamo il lettore a non proseguire nella lettura prima di aver dedicato qualche minuto alle domande poste al termine della sezione precedente. La matematica non consiste tanto di fatti quanto di modi di pensare; i momenti di riflessione sono proprio l occasione che diamo al lettore di pensare matematica ; questo sarà un libro molto più avvincente se il lettore ci consente questa richiesta.

20 Tipi di numeri che ogni coppia di numeri dovesse essere commensurabile: si pensava che per ogni due numeri a, b debba esistere un numero c tale che entrambi a e b siano multipli interi di c. Ebbene, se i numeri devono corrispondere a quantità geometriche, quali il lato e la diagonale di un quadrato, questo non è vero! In termini moderni, questo fatto si esprime dicendo che che la diagonale di un quadrato di lato 1 non ha lunghezza razionale. Per essere più espliciti, ricordiamo che il cosiddetto Teorema di Pitagora mostra che il quadrato della lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei cateti dello stesso; applicando questo teorema al triangolo ottenuto dividendo un quadrato lungo la diagonale, si vede che il quadrato della lunghezza della diagonale è uguale al doppio del quadrato della lunghezza di un lato. Se il quadrato ha lato 1, questo dice che il quadrato della lunghezza della diagonale deve essere 2, od in altre parole: la diagonale di un quadrato di lato 1 ha lunghezza uguale alla radice quadrata di 2: 2. Come mostreremo tra un momento, questo non è un numero razionale! Cioè, non c è alcun numero razionale, diciamo r, tale che r 2 = 2. Momento di riflessione 1.4. Convincersi che ciò dice precisamente che i numeri 1 e 2 non sono commensurabili, nel senso precisato poc anzi. Ecco quindi un altra proprietà di non-esistenza, non dissimile da quella incontrata nella sezione precedente. Di nuovo esortiamo il lettore a contemplare quello che stiamo per fare: non ci accingiamo a fare un qualche calcolo che produca la soluzione ad un problema, od un qualche numero speciale; stiamo al contrario per produrre un ragionamento che dovrebbe convincere il lettore che un tale calcolo, una qualche operazione che produca un certo numero, proprio non esiste. In realtà, non c è nulla di misterioso in dimostrazioni di non-esistenza : il lettore ci crederebbe subito se scrivessimo che, tra i numeri naturali 1, 2, 3,... non ce n è alcuno il cui doppio sia 3; stiamo per vedere che, tra i numeri razionali, non ce n è alcuno il cui quadrato sia 2. Sostengo cioè che la radice quadrata di 2 non è un numero razionale; cioè, non esiste una frazione p q, con p, q numeri naturali, tale che p 2 q 2 = 2. Perché no? vedremo che se ci fosse una tale frazione, allora si potrebbe raggiungere una contraddizione, cioè la negazione di un fatto che si sa essere vero. Nella fattispecie, vedremo che per ogni frazione p q come sopra, necessariamente sia p che q devono essere pari; ma abbiamo già

1.2 Incompletezza dei razionali 21 stabilito con il lettore nel 1.1 che questo non è possibile. Quindi non può esserci alcuna frazione con questa proprietà. Ecco il ragionamento: assumiamo per un momento che ci sia una frazione (di numeri naturali) p p2 q tale che q = 2, e cerchiamo la contraddizione. Osserviamo che, poiché p2 q 2 = 2, si avrebbe per questi ipotetici 2 p, q: p 2 = 2 q 2 Quindi p sarebbe un numero intero il cui quadrato è divisibile per 2, cioè: p 2 sarebbe un numero pari. Questo implicherebbe che p stesso è pari (poiché il quadrato di un numero dispari è dispari). Allora si potrà scrivere p = 2 u, dove u è un altro numero naturale; e quindi l equazione di sopra dice (2 u) 2 = 2 q 2 cioè e semplificando 4 u 2 = 2 q 2 2 u 2 = q 2 Ma a questo punto si può ripetere lo stesso ragionamento e concludere che q è necessariamente pari! Cioè, abbiamo mostrato che se r = p q è un numero razionale tale che r2 = 2, allora p e q sono entrambi pari Ma questo conduce ad una contraddizione, come speravamo: nulla ci vieta di assumere che p q sia in minimi termini, visto che ogni numero razionale si può esprimere con una frazione in minimi termini; ma nel 1.1 abbiamo osservato che se p q è un numero razionale in minimi termini, allora o p o q è necessariamente un numero dispari. Il riquadro dice allora che se esiste un numero razionale il cui quadrato è 2, allora questo numero viola un fatto già accertato; ergo, tale numero non esiste. Momento di riflessione 1.5. Se il lettore è un po confuso da questo ragionamento, prenda un pezzo di carta e lo riproduca senza guardare il libro (o lo rilegga fino a quando non è in grado di fare ciò). Questo di solito chiarisce moltissimo le idee: si può anzi dire che non si capisce un ragionamento fino a quando non lo si riesce a riprodurre senza consultarne la fonte. Anche in questo non v è nulla di misterioso o peculiare alla matematica: anche le barzellette non si capiscono fino a quando non si ricordano abbastanza bene da poterle raccontare a sé ed ad altri.

22 Tipi di numeri Un altro consiglio per superare una confusione iniziale, e per trarre più divertimento dal processo, è di cercare una nuova dimostrazione dello stesso fatto: in questo caso, un altra contraddizione che seguirebbe dall esistenza di un numero razionale di quadrato 2. Ci sono diversi modi di far ciò, per esempio provi il lettore a dimostrare che se r = p q è una frazione di interi tale che r 2 = 2, allora p può essere diviso per 2 un numero qualsivoglia di volte (il che è impossibile: un numero intero non può avere un fattore arbitrariamente grosso). Quanto abbiamo visto dovrebbe chiarire la natura dei numeri razionali. Da un lato sono estremamente fitti : come indicato nel 1.1, tra ogni due numeri razionali si possono infilare quanti numeri razionali si voglia. Dall altro, rimangono buchi, quali 2: cioè, ci sono certe quantità che vorremmo chiamare numeri, in cui ci si imbatte (per esempio) appena si esamina qualche figura geometrica (abbiamo introdotto 2 come la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1), che però mancano all elenco dei numeri razionali. In termini moderni, si dice che i numeri razionali non formano un insieme completo. Questo è un termine difficile da spiegare senza entrare in dettagli tecnici; osserviamo per il momento che il problema riscontrato in questa sezione risiede proprio nel fatto che tra due numeri razionali dati (per esempio, tra 1 1 e 2 1 ) cadono numeri (come 2) che non sono razionali. Rivisiteremo questo concetto nel Capitolo 2, quando avremo qualche strumento in più per esaminarlo. La successiva domanda che è doveroso porsi è: come completiamo i razionali? come definiamo un concetto tecnico, manovrabile matematicamente per mezzo di operazioni logiche, e che comprenda anche numeri quali 2, che non possono (come visto) rappresentarsi per mezzo di frazioni? Momento di riflessione 1.6. Chiediamo ora al lettore di soffermarsi e capire che questa non è una pura disquisizione astratta. Un computer, per esempio, parte da una risorsa molto limitata di numeri: 0 e 1. Con questi si trattano facilmente numeri naturali (una stringa di 0 e 1 può essere usata per rappresentare un numero naturale per esempio, 101010 codifica il numero 42); e considerando frazioni di numeri interi possiamo arrivare a rappresentare e manipolare numeri razionali. Ma come facciamo ad inserire nella memoria di un calcolatore il numero 2? Come visto, questo non si può rappresentare con una frazione. Il lettore cerchi di trovare una qualche soluzione a questo problema, o per lo meno apprezzi che questo crea un problema di una certa gravità. Vuol questo dire che non possiamo maneggiare tali numeri con un calcolatore? E non si dimentichi che il cervello umano soffre della stessa limitazione di un calcolatore: possiediamo solo un numero finito di neuroni e sinapsi,

1.3 Sviluppi decimali e numeri reali 23 quindi possiamo (presumibilmente) solo manipolare un numero finito di numeri alla volta. Come calcoliamo, allora, con un numero come 2? In questo senso si deve mirare ad un concetto tecnico : una costruzione che da un lato catturi tutta l intuizione posta nel concetto di numero, ma dall altro sia sufficientemente esplicita da permetterci di usare questo concetto con la stessa disinvoltura e precisione con cui usiamo numeri naturali e razionali. Un idea che sia al contempo astratta e concreta. 1.3 Sviluppi decimali e numeri reali Il lettore più attento avrà notato che abbiamo accuratamente evitato per il momento di scrivere i nostri numeri per esteso, in notazione (o sviluppo, o espansione ) decimale: 1 2 = 0,5, 2 3 = 0,666..., 2 = 1,41421356... Questa operazione nasconde infatti diverse sottigliezze, su cui vogliamo soffermarci. Per cominciare, chiediamoci cosa significano le identità scritte sopra. Nel primo caso non c è mistero: 0,5 è semplicemente un modo di scrivere 5 volte la quantità 0,1, e quest ultimo numero 0,1 non è che un altro nome per un decimo, cioè la frazione 1 10. In altre parole, scrivere 1 2 = 0,5 è precisamente lo stesso che scrivere 1 2 = 5 10 di nuovo la nostra osservazione nel 1.1, che lo stesso numero razionale può essere scritto in molti modi come frazione. La seconda identità: 2 3 = 0,666... è molto più misteriosa. Il numero 0,666... non è così immediatamente riconoscibile come una frazione (a differenza di 0,5). D altra parte, scrivendo 2 3 = 0,666... stiamo affermando che tale numero si può rappresentare come una frazione. Come si arriva a questa conclusione? Il lettore sa già la risposta a questa domanda: nella scuola elementare si insegna una certa procedura, chiamata divisione, che permette di trasformare la frazione 2 3 in un numero decimale periodico, costituito da 0, e seguito da una ripetizione interminabile della cifra 6. Un modo di capire questa operazione (al di là della sua meccanica, che per il momento non ci interessa) è il seguente. La frazione 2 3 deve essere più grande della frazione 6 2 6 10 (poiché 3 3 = 2, che è più grande di 3 10 = 18 10 ), ma più piccola della frazione 7 10 (perché 2 è più piccolo di 3 7 10 = 21 10 ). :

24 Tipi di numeri La notazione a b si usa per indicare che il numero a è più piccolo del (o al più uguale al) numero b; usando questa stenografia, possiamo scrivere la disuguaglianza 0,6 = 6 10 2 3 7 10 = 0,7. In modo del tutto analogo si capisce che 0,66 2 3 0,67 0,666 2 3 0,667 0,6666 2 3 0,6667 e così via. La procedura di divisione imparata a scuola semplifica queste considerazioni, fornendo un algoritmo che produce la cifra da aggiungere nel numero decimale a sinistra in queste disuguaglianze, quando si passa da una riga alla successiva. Il punto che stiamo cercando di precisare è che dietro la semplice identità 2 3 = 0,6666... si nasconde in realtà una sequenza infinita di disuguaglianze tra numeri razionali sempre più vicini, che stringono il numero (razionale) 2 3 sempre più tra numeri (razionali) che l approssimano. Poiché l approssimazione diventa migliore (10 volte migliore, per così dire) ad ogni cifra che si aggiunge, cioè, ad ogni riga che si aggiunge nella tabella cominciata sopra, queste rappresentazioni hanno una buona utilità pratica. Il lettore dovrebbe comunque notare quanto sofisticata sia la rappresentazione decimale di un numero: riassumendo, la rappresentazione decimale è una specie di stenografia per una successione di diseguaglianze; il fatto (davvero profondo) su cui si poggia la possibilità di specificare un numero per mezzo di un elenco infinito di diseguaglianze consiste nell osservazione che se due quantità sono entrambe strette dalla stessa successione di disuguaglianze, le due quantità devono coincidere. Se così non fosse, un numero decimale non rappresenterebbe un numero solo! Momento di riflessione 1.7. Questo fatto crea delle anomalie piuttosto curiose. Per esempio, il lettore cerchi di convincersi che 0,49999999... = 0,5 (scrivere le prime tre o quattro disuguaglianze codificate dalla prima espansione decimale, poi rileggere il paragrafo precedente.) Come nel caso delle frazioni, diverse rappresentazioni di un numero come sviluppo decimale possono finire per specificare lo stesso numero.

1.3 Sviluppi decimali e numeri reali 25 Una discussione analoga vale per la terza identità con cui abbiamo cominciato la sezione: 2 = 1,41421.... Abbiamo visto nella sezione precedente che 2 non è un numero razionale; pertanto questa identità può apparire ancora più misteriosa della precedente. In realtà la discussione data sopra comprende questo caso con minime modifiche: scrivere 2 = 1,4142... vuol dire scrivere la sequenza di disuguaglianze 1 2 2 1,4 2 1,5 1,41 2 1,42 1,414 2 1,415 1,4142 2 1,4143 e così via. Notiamo che ognuna di queste disuguaglianze può essere controllata semplicemente prendendo il quadrato di ogni numero: così (ad esempio) 1,4 2 1,5 vale perché 1,4 2 = 1,96 2 2,25 = 1,5 2. È anche importante notare che gli estremi di ogni disuguaglianza sono numeri razionali: pertanto sappiamo bene cosa sono e come si manipolano. Cominciamo ad intravvedere una soluzione al punto sollevato nel Momento 1.6: numeri come 2 non sono razionali, ma si possono approssimare con qualsivoglia precisione per mezzo di numeri razionali. Il campo dei numeri razionali è, come abbiamo osservato, infinitamente fitto ma bucato ; in questa sezione osserviamo come i buchi si possano comunque stringere tra numeri razionali vicini a piacere. Possiamo quindi allargare l insieme dei numeri razionali e considerare l insieme dei numeri reali: questi sono numeri, razionali o meno, che si possono approssimare come sopra per mezzo di numeri razionali; in pratica, numeri che ammettono una rappresentazione decimale. Se si vuole essere precisi, naturalmente, questa definizione comporta un notevole impegno. Per cominciare, come accennato sopra, questo concetto di approssimazione si poggia su un fatto molto profondo: che se due quantità ammettono le stesse approssimazioni, allora le quantità devono coincidere. Questo riflette una certa proprietà della topologia imposta sull insieme di numeri reali, la cui impostazione precisa è tutt altro che immediata. In secondo luogo, una volta che abbiamo stabilito cosa sono i numeri reali, vogliamo anche essere in grado di calcolare con gli stessi. Come

26 Tipi di numeri osservato nel Momento 1.3 ( 1.1), questo può essere un punto sottile. L aritmetica dei numeri interi è fondata sull esistenza di un più piccolo numero intero positivo, cioè 1; non v è però un più piccolo numero reale positivo, e neanche un più piccolo numero razionale positivo: qualunque numero reale o razionale positivo può essere dimezzato, producendo un numero positivo più piccolo ancora. Quindi l introduzione dei numeri reali ci forza a ripensare l aritmetica da capo, o a collegarla in qualche modo (non così immediato) all aritmetica dei numeri interi. C è un terzo punto sollevato dall introduzione dei numeri reali: abbiamo così aggiustato il problema dell incompletezza dei razionali? o non sarà il caso che, a ben guardare, i numeri reali tappano qualche buco lasciato dai razionali, ma ne lasciano altri aperti? In altre parole: il campo dei numeri reali è completo? Tutti questi punti sono trattati con precisione in un primo corso di Analisi all università: non sono difficili ma richiedono un certo apparato per essere discussi esaurientemente, che esula dai confini di questo libro. Torneremo brevemente su questi argomenti alla fine del Capitolo 2. Per il momento vogliamo solo rilevare che questi punti si sollevano spontaneamente dalla natura delle cose : non sono frutto di un astrazione fine a se stessa, bensì domande a cui è obbligatorio rispondere se si vogliono manipolare efficacemente le quantità che sorgono nel nostro contatto con l ambiente che ci circonda. La risposta al terzo punto è SÌ: si può dimostrare che l insieme dei numeri reali è completo, nel senso che tutti i numeri compresi tra due numeri reali dati sono numeri reali (questo non è vero per i numeri razionali, come osservato nel 1.2). I numeri reali bastano pertanto a descrivere quelle quantità in cui abbiamo trovato mancanti i numeri razionali: per esempio, ogni misura di lunghezza in un piano o nello spazio è un numero che si può rappresentare come numero decimale. È in effetti comodo pensare all insieme dei numeri reali come disposto su una retta infinita: marchiamo un punto della retta e chiamiamolo 0 ; poi stabiliamo quanto dista l unità da questo punto, e avremo una corrispondenza che associa ad ogni numero reale r il punto della retta che dista r unità da 0 (diciamo in un senso per i numeri positivi, e nell altro per quelli negativi). La completezza dei reali si traduce nel fatto che questa operazione innanzi tutto si può compiere, ed in secondo luogo non lascierà buchi nella retta: ogni punto della retta corrisponderà ad un numero reale, e viceversa. Su questa retta, i numeri razionali formano un setaccio infinitamente fitto, ma purtuttavia forato. Momento di riflessione 1.8. C è dell altro? Ci siamo convinti che il campo dei numeri razionali ha buchi quando ci siamo resi conto che

1.4 Numeri razionali e irrazionali 27 l equazione r 2 = 2 (che richiede solo numeri interi ed un incognita r per essere scritta) non ha soluzioni r che siano numeri razionali; ma questa equazione ha soluzioni r reali. Il lettore cerchi ora una qualche semplice equazione, anch essa scritta solo usando numeri interi (ed un incognita x) la cui soluzione non sia un numero reale. Per quanto il campo reale sia completo, ci sono moltissime equazioni di questo tipo. Quindi la completezza dei numeri reali deve essere una proprietà davvero sottile: da un lato ripara un problema osservato nei numeri razionali, dall altro è in qualche modo una soluzione molto economica al problema, e lascia la porta aperta ad altri insiemi di numeri ancora più vasti. Il punto più importante di questa sezione è che la costruzione di un sistema di numeri adeguato, cioè il sistema dei numeri reali, richiede un processo di approssimazione, che abbiamo espresso sopra come un elenco di disuguaglianze tra numeri sempre più vicini. Una trattazione soddisfacente del concetto di numero reale deve per forza fare i conti con questo processo. Dopo tutto, come abbiamo visto, questo processo sorge spontaneamente dallo studio di grandezze geometriche elementari (la lunghezza della diagonale di un quadrato è stato il nostro punto di partenza), ed è implicito nell uso di numeri decimali a cui ci abituiamo nelle scuole elementari. È un peccato che lo studio di questo processo di limite sia relegato a corsi di matematica relativamente avanzati (toccato negli ultimi anni di certe scuole superiori, e solo trattato soddisfacemente nei primi corsi universitari). Ce ne occuperemo a grandi linee nel Capitolo 2. 1.4 Numeri razionali e irrazionali Un numero reale che non sia razionale viene chiamato irrazionale. Per esempio, il risultato principale del 1.2 può essere riassunto in una frase, dicendo che 2 è un numero irrazionale. I numeri irrazionali sono i buchi del campo dei numeri razionali, riempiti dagli altri numeri reali come detto nel 1.3. Da un punto di vista della sua espansione decimale, come facciamo a distinguere un numero razionale da uno irrazionale? Come facciamo a verificare che 0,66666... è un numero razionale, mentre 1,414213... è irrazionale? La risposta è che ciò non si può fare a meno che non si conosca in un modo o nell altro la parte dell espansione sottintesa dai.... Vedremo tra un momento che le espansioni decimali di numeri razionali devono mostrare una certa regolarità, e che proprio questa regolarità le distingue dalle espansioni dei numeri irrazionali. Il lettore ricorderà probabilmente che un numero decimale con una

28 Tipi di numeri ripetizione infinita delle stesse cifre ha una notazione particolare, e il suo sviluppo viene chiamato periodico. Per esempio, l espansione decimale di 2 3 viene spesso denotata 0, 6: il trattino sopra il 6 significa che da quel punto in poi l espansione decimale procede ripetendo la cifra 6. Nello stesso modo, 56,7341 = 56,7341341341341341341341341341... Si capisce che la notazione con il trattino è preferibile a quella con i..., poiché specifica precisamente quello che i... dicono solo implicitamente. Visto che questa notazione è preferibile, possiamo usarla per scrivere un numero come 2? NO! per via del teorema 5 seguente: Teorema 1.4.1. Un numero reale è razionale se e solo se il suo sviluppo decimale è periodico. La locuzione se e solo se è molto usata in matematica, e sta a denotare che le due condizioni che essa lega sono logicamente equivalenti. Quindi il teorema afferma due cose: (i) se un numero reale è razionale, allora la sua espansione decimale deve essere periodica; e (ii) se un numero reale è irrazionale, la sua espansione decimale non può essere periodica. Per esempio, è inutile chiedere ad un computer di calcolare le successive cifre decimali di 2 per aspettare di vedere una continua ripetizione di un gruppo di cifre: visto che, come sappiamo, 2 è irrazionale, secondo il teorema un tale gruppo di cifre che si ripete indefinitamente non apparirà mai! Dimostrazione. Dobbiamo verificare le due asserzioni del teorema. (i) Assumiamo che un numero reale sia razionale, e pertanto rappresentabile come una frazione p q di numeri interi. Per ottenere il suo sviluppo decimale, si compie l operazione di divisione imparata a scuola: si calcola quante volte q sta nella parte iniziale di p, e si ottiene un resto r; dopo di ciò si tirano giù cifre da p, o si aggiunge uno zero a r, e si calcola quante volte q sta in questo nuovo numero; e così via (confidiamo che il lettore si ricordi questo meccanismo, o possa rinfrescarsi la memoria eseguendo una qualsiasi divisione, come 283387 : 4995). Un punto molto importante in questa procedura è che il resto r è sempre più piccolo di q. Questa è la chiave che apre la porta dell asserzione (i): 5 La parola teorema significa sostanzialmente: un asserzione matematica di cui si sa stabilire la correttezza. Altre parole si possono usare per lo stesso concetto, a seconda di dove si collochi l asserzione nel filo della discussione: le pubblicazioni di matematica abbondano di teoremi, lemmi ( lemmata per i puristi), corollari... Di fatto questa terminologia non ci sembra necessaria per un testo di questo livello, e la useremo con parsimonia.

1.4 Numeri razionali e irrazionali 29 assumiamo di avere raggiunto la fase in cui si aggiungono zeri ai resti; visto che c è solo un numero finito di resti possibili (in effetti, al più q) ad un certo punto più avanti nel calcolo dovremo imbatterci nello stesso resto. È chiaro allora che da quel punto in poi il processo dovrà ripetersi, producendo uno stesso gruppo di cifre in successione. Quindi lo sviluppo decimale di p q è necessariamente periodico. (ii) Viceversa, assumiamo ora di avere uno sviluppo decimale periodico, e miriamo a dimostrare che il numero rappresentato è necessariamente razionale. Si scriva il numero decimale come una parte il cui sviluppo si interrompe, ed una parte solo periodica; per esempio, lo sviluppo 56,7341 si può scrivere 56,7 + 0, 0341. È chiaro che la parte fissa è un numero razionale ( 567 10 nell esempio di sopra); pertanto, dobbiamo far vedere che la parte periodica è anch essa rappresentabile con una frazione. Compiamo ancora un operazione di semplificazione: moltiplichiamo cioè la parte periodica per un opportuna potenza di 10, in modo tale che le cifre che si ripetono comincino immediatamente dopo la virgola. Nell esempio usato sopra, possiamo moltiplicare la parte periodica per 10 ed ottenere: 10 0,0341 = 0,341. Visto che moltiplicando o dividendo una frazione per una potenza di 10 si ottiene ancora una frazione, è a questo punto sufficiente mostrare che ogni numero decimale 0,a 1 a m è razionale, dove a 1,..., a m sono le cifre che si ripetono (nell esempio che stiamo usando, m = 3 perché tre cifre si ripetono). Ebbene: si può mostrare che 0,a 1 a m = a 1 a m 10 m : 1 nel nostro esempio, 0,341 = 341 999. Per vedere come questo funziona in generale, basta verificare che 1 = 0,0 01 9 99 (moltiplicando per a 1 a m si ottiene l equazione voluta). Moltiplicando per 9 99, questo è lo stesso di verificare 1 = 0,999999999...,

30 Tipi di numeri e per questo rimandiamo il lettore al Momento 1.7 ( 1.3). Questo mostra che 0, a 1 a m è un numero razionale, e ripercorrendo il ragionamento troviamo che il numero di partenza deve essere razionale. Nell esempio che abbiamo seguito: 56,7341 = 56,7 + 0,0341 = 56,7 + 1 0, 341 10 = 567 10 + 1 10 341 999 = 283387. 4995 Momento di riflessione 1.9. Di nuovo ci preoccupa la possibilità che il lettore si sia perso nei meandri della piccola dimostrazione appena data. Per evitare noia e confusione basta comunque armarsi di un foglio di carta e seguire il ragionamento passo passo su un paio di esempi. Il lettore crei un qualsiasi sviluppo decimale periodico, magari abbastanza complicato, ed esegua la ricetta prescritta nella parte (ii) della dimostrazione: vedrà il suo sviluppo trasformarsi piano piano in una frazione, mostrando che il numero che ha scelto è davvero razionale come promesso dal teorema. Nello stesso modo, per capire la parte (i) basta prendere una frazione qualsiasi, ed eseguire esattamente quanto prescritto per convincersi che il ragionamento funziona. Naturalmente, non si può verificare un asserzione generale, come quella espressa nel teorema, controllando semplicemente che funzioni in un esempio (o in dieci, o in centomila): una dimostrazione deve stabilire la verità del teorema simultaneamente in tutti gli esempi possibili. Ma il seguire un ragionamento astratto su un esempio concreto ha un efficacia ineguagliabile da un punto di vista psicologico, perché aiuta a concentrarsi sui dettagli di una dimostrazione. A questo proposito, non possiamo fare a meno di notare che un lettore che abbia compiuto i primi studi elementari prima dell introduzione delle calcolatrici tascabili si trova enormemente avvantaggiato nel capire davvero la parte (i) della dimostrazione rispetto a lettori di generazioni successive. Questi ultimi, infatti, hanno avuto meno necessità di impratichirsi con la meccanica delle divisioni, visto che una qualsiasi calcolatrice tascabile può compiere tali operazioni molto più in fretta ed accuratamente. Il ragionamento della parte (i) sarà estremamente misterioso a chi non ha una certa pratica nell eseguire divisioni a mano. Questo è un fatto molto chiaro a chi insegna matematica a qualsiasi livello: l introduzione dei mezzi veloci di calcolo automatico rende più difficile l apprendimento (e quindi l insegnamento) della matematica,