Calcolo economico e finanziario: Esercizi svolti. Un macchinario è stato acquistato per 200., vita utile dieci anni, flusso netto di cassa stimato 60. l anno, valore di recupero 20.. Calcolare il costo annuo della macchina ed il VAN dell investimento (i=5%). CA=-200(A/P,5,)+20(A/F,5,)=-,4 VAN=-200+60(P/A,5,)+20(P/F,5,)=6,02 2. Un videoregistratore costa 500. Un programma di credito richiede un pagamento del 20% del costo iniziale, più pagamenti a fine mese di 40. Calcolare i tassi effettivi (mensile e annuale) del finanziamento. 500=0+40(P/A,i,) (P/A,i,)=400/40= Interpolando linearmente avremo: i =2,92% e i=425%. Depositando oggi 20., una persona vuole generare una serie di rate annue che iniziano con. per i primi anni, 2. per i successivi anni,. in perpetuo. Qual è il tasso di interesse da applicare al deposito?... VAN ( i) = 20. + + ( P F, i,) + ( P F, i,20) = 0 i i i VAN(9%)=-2.2 e VAN(%)=92,5 per cui %<i<9% 4. Tizio ha acquistato un appartamento. Per pagarlo corrisponde: a) il montante, calcolato al tasso annuo del 4%, di una rendita posticipata, costituita da 20 rate semestrali, ciascuna di 500 ; b) il diritto a riscuotere rate quadrimestrali posticipate, ciascuna di 00, valutate al tasso annuo del %, con la prima rata esigibile alla fine del quinto anno; c) una cambiale di 20., scadente fra 2 anni e 6 mesi, cessione fatta con sconto composto al tasso annuo del 5%. Determinare il valore attuale dell'appartamento considerato., a) i 2 = 4, = 6, % F = A( F A,. 620, ) = 500 06 20 = 9. 99 2 06 b) i 05 =, = 5, % P = [ A+ A( P A,. 5, ) ]( P F,, 5) = 00 + 00 5 = 6. 04 4 05 05, c) P = 20. = 4. 2, 5 25, 5, Valore dell'appartamento = 9.994,25+6.044+4.2,5 = 40.49,6 5. La nuova formula Fiat prevede la seguente situazione relativamente all'acquisto di una Punto 55 p. Prezzo in contanti chiavi in mano 6.050.. Formula alternativa di pagamento: 6.420. anticipo (oggi), più n. 2 versamenti mensili posticipati da 226.40 più ultimo versamento (24 ).025.. Calcolare il tasso annuo nominale convertibile mensilmente (TAN) e il tasso annuo effettivo globale (TAEG) di questa operazione. 6.050.=6.420.+226.400(P/A,i,2)+.025.(P/F,i,24) VAN(5%)=6056 e VAN(2%)=-499,5042 Interpolando linearmente avremo: i =009% TAN: 009 =25%; TAEG: 009 -=22,56% 6. Tizio e Caio convengono di costituire una società. Tizio partecipa come segue: a) versa in contanti. ; b) cede una rendita costituita da rate biennali ciascuna di 2.500 e di cui la prima scade subito. Caio partecipa come segue: a) cede un prestito di 9.500 concesso 6 anni or sono e scadente fra anni per il quale è previsto il pagamento del montante alla scadenza al tasso del 9%; b) cede le restanti 5 rate di un mutuo attivo di.00 concesso 4 anni or sono e per il quale era stato fissato il rimborso con rate costanti posticipate al tasso del %. La prima delle restanti rate è pagabile fra un anno; c) versa in contanti la somma di.00. Tenendo presente che tutte le valutazioni relative alle cessioni vengono effettuate al MARR dell'% annuo determinare la quota di partecipazione di Tizio e di Caio. VAN T =4.500+2.500(P/F,,2)+2.500(P/F,,4)+2.500(P/F,,6)+2.500(P/F,,)+2.500(P/F,,)+2.500(P/F,,)=2.55, 6 664, Oppure: i biennale =0 2 -=6,64% e VAN T = 4. 500 + 2. 500 6 = 255., 664 664. VAN C =9.500(F/P,9,9)(P/F,,)+.00(A/P,,9)(P/A,,5)+.00=2.24 Capitale versato: 50.69 di cui Tizio 46,% e Caio 5,%.. Un impiegato per l'acquisto di un appartamento ha contratto un debito di. rimborsabile mediante 20 annualità costanti anticipate al tasso annuo del %. Subito dopo il pagamento dell'ottava rata, ottiene, dall'ente presso cui lavora, un prestito al tasso agevolato che gli permette di riscattare il debito residuo (valutato al tasso annuale del 5%) del precedente prestito. Sapendo che per rimborsare il secondo prestito pagherà per i prossimi anni rate costanti posticipate inferiori di.00 rispetto alle precedenti, determinare il tasso annuo relativo al secondo prestito..=a+a(p/a,,9) A=4.542, oppure: A=(.-A)(A/P,,9)=4.54,4 P =4.542,(P/A,5,)=24.622 24.622=.242,(P/A,i,) (P/A,i,)=,59 i=%, Venti mesi or sono Tizio ha dato inizio alla costituzione di un capitale programmando 20 versamenti mensili posticipati, tutti dello stesso importo, in modo da poter disporre oggi, all'atto dell'ultimo versamento, della somma di 5. (TAN del % convertibile mensilmente). Subito dopo aver fatto il 5 versamento ha sospeso ogni ulteriore versamento prelevando dal fondo
disponibile la somma di 6.. Calcolare: a) la rata originaria per la costituzione del capitale; b) la somma di cui dispone oggi. c) In data odierna egli acquisisce in leasing una vettura il cui costo è di 24. e ciò alle seguenti condizioni: paga subito la somma disponibile di cui sopra (arrotondata ai. per eccesso), come acconto; paga quindi canoni mensili posticipati ciascuno di.090 ; valore di riscatto.200. Determinare il tasso mensile ed il TAEG al quale è stato concesso il leasing. d) Determinare inoltre la somma che Tizio pagherà in caso di riscatto del contratto subito dopo il pagamento del decimo canone. a) A=5.(A/F,20)=6 b) P (-5) =6(F/A,5)=.962 e P (0) =(.962-6.)(F/P,5)=5.25 c) 6.+.090(P/A,i,)+.200(P/F,i,)=24. da cui i =5% e TAEG=05 -=9,56% d).090(f/a,.5,)+r=.(f/p,.5,) da cui R=9.2 oppure:.090(p/a,.5,)+r(p/f,.5,)=. da cui R=9.224 9. Abbiamo due debiti: a) il primo di. contratto anni fa, rimborsabile in 5 rate annue costanti posticipate al tasso annuo del % per il quale si sono già versate le prime tre rate; b) il secondo debito di. contratto 5 anni fa, rimborsabile in anni con rate semestrali costanti posticipate al TAN convertibile semestralmente del 4%, per il quale si sono a tutt'oggi versate le prime rate. Cediamo i due debiti ad un Istituto di credito che provvederà a versare le rate fino alla loro estinzione e come contropartita ci impegniamo a versare, con inizio fra anni da oggi, una rata annua costante per anni al fine di saldare il debito formato dalla somma dei due debiti residui di a) e di b); il tasso applicato dalla banca è del %. Calcolare l'importo della rata da versare all'istituto di credito. A a =.(A/P,,5)=.66 e D a0 =.66(P/A,,)=.9 A b =.(A/P,,24)=2 e D b0 =2(P/A,,4)=.626 P 0 =.5 e A=.5(F/P,2)(A/P,)=4.62,9. Un robot meccanico, che è parte dell'operazione di saldatura in una catena di assemblaggio di automobili, costa 5.. La sua durata prevista è di 6 anni e si prevede un valore di recupero di 4. circa. Considerando un MARR del 20%, quale risparmio annuale di lavoro deve essere realizzato, nel corso della durata del robot, per giustificare questa spesa? -5.(A/P,26)+A+4.(A/F,26)=0 A=22.50. Una ditta di consulenza tecnica può acquistare per 25. un piccolo elaboratore elettronico. Si è calcolato che la durata e il valore di recupero del calcolatore saranno rispettivamente 6 anni e 4.. I costi di esercizio sono valutati 50 per ogni giorno di funzionamento e la manutenzione verrà curata per contratto a. /anno. Come alternativa si può noleggiare lo stesso elaboratore al costo di 0 /giorno comprensivo dei costi operativi. Se il tasso di interesse è del %, per quanti giorni deve essere usato annualmente il calcolatore per giustificare il suo acquisto? -0g = -25.(A/P,,6)-50g-.+4.(A/F,,6) g = 2,6. La società Alfa vuole comprare un macchinario (A) che consente di avere un risparmio di 250 /anno con un costo operativo di 90 /anno. La macchina costa 500, vita utile 5 anni e non ha valore di recupero. Il MARR della società è il %. Esiste la possibilità di acquistare un'altra macchina (B) che ha un costo iniziale di 50, una vita utile di 5 anni, un valore di recupero di 94 e consente un risparmio di 00 /anno con un costo operativo di 0 /anno. Il maggior costo di questa macchina può essere affrontato mediante un prestito bancario che si può ottenere ad un tasso del % restituendo il prestito in quattro rate costanti pagabili a partire dalla fine del secondo anno. Determinare l'alternativa più conveniente. VAN A = -500+60(P/A,5)=6,52 A B = 250(F/P,,)(A/P,,4)=92,6 VAN B = -500+200(P/A,5)+94(P/F,5)-92,6(P/A,4)(P/F,)=59. La società Beta ha la possibilità di acquistare una nuova scavatrice del costo di.5.. Ha previsto che la macchina avrà una vita utile di 5 anni con un valore di recupero di 0.. I costi operativi sono di 00 /giorno e per la manutenzione si stima un costo annuo di 50.. In alternativa si può affittare la macchina, con operatore, per 5.200 /giorno. Considerando un tasso del % determinare il numero di giornate lavorative annue che giustificano l'acquisto. -.5(A/P,,5)-50-g+0(A/F,,5) = -5,2g 4. Un produttore del settore elettronico sta esaminando due metodi per produrre un quadro di circuito richiesto. Il quadro può essere lavorato a mano: in questo caso il costo è di 2,40 per unità e il costo annuo delle attrezzature è di 00. E' possibile produrre un equivalente stampato del circuito richiesto con l'investimento di 9. in attrezzature per la lavorazione di circuiti stampati. Tale impianto ha una durata prevista di 9 anni e un valore di realizzo finale di.. E' stato calcolato che il costo della manodopera sarà di 52 per ogni unità e che il costo annuo per la manutenzione dell'impianto di lavorazione sarà di 400. Se si suppone che tutti gli altri costi siano uguali e che il MARR sia il 5%, quanti quadri di circuito devono essere prodotti ogni anno perché le due alternative coincidano? -9.(A/P,5,9)-52q-400+.(A/F,5,9)=-00-2,4q 5. Un investitore sta esaminando l'acquisto di una obbligazione tra due alternative. L'obbligazione Alfa è stata offerta per 900, scadrà tra anni e dà un interesse semestrale di 60. L'obbligazione Beta scadrà tra anni e dà un interesse di 0 ogni semestre. Entrambe le obbligazioni hanno un valore nominale di.. Quale prezzo offerto per l'obbligazione Beta rende l'investitore indifferente rispetto all'acquisto delle due obbligazioni? Il suo MARR è il 6% annuo convertibile semestralmente. -900+60(P/A,,6)+.(P/F,,6)=P O +0(P/A,,6)+.(P/F,,6) 6. Per acquisire un certo impianto il cui costo è di 5.. un'impresa può seguire due distinte vie: a) stipulare un contratto di leasing che prevede le seguenti condizioni: pagamento di 2 canoni bimestrali posticipati di 00., 4 dei quali, però, devono essere corrisposti anticipatamente all'atto della stipulazione del contratto; b) stipulare un contratto di mutuo che 2
prevede il rimborso mediante il pagamento di rate semestrali, posticipate e di importo costante, ciascuna di 2.600.. Si dica quale fra le due vie è più conveniente. a) 5.. = 2.00.+00.(P/A,i 6,24) (P/A,i 6,24) =,425 Interpolando si trova i 6 =2,5%, per cui i=,6% b) 5.. = 2.600.(P/A,i 2,) (P/A,i 2,) = 5,692 Interpolando si trova i 2 =,9%, per cui i=6,42% Conviene il mutuo.. L'impresa Gamma acquista un macchinario per 0. e deve scegliere fra le seguenti due forme di pagamento: a) stipulare un contratto di mutuo che prevede il versamento di rate semestrali anticipate di.500 ciascuna; b) stipulare un contratto di leasing che prevede il pagamento del % del valore dell'attrezzatura alla consegna, il pagamento di 60 canoni mensili posticipati di 2.250 e alla scadenza il pagamento di una somma pari al 5% del costo del macchinario per il riscatto. Determinare quale forma di pagamento è più conveniente. a) 0.=.500+.500(P/A,i 2,) (P/A,i 2,)=6,404 i 2 9% e i= (+09) 2 -=,% b) 0.=.+2.250(P/A,i,60)+5.(P/F,i,60) i 5% e i=(+05) -=9,562%. Una società può mettere a disposizione di un operaio un'automobile oppure può pagargli, per l'uso della propria auto, 25 al Km. per questo servizio. Sono stati calcolati i seguenti dati relativi alle auto fornite alla società: un'automobile costa., ha una durata di 4 anni e un valore commerciale di 2.500 alla fine di tale periodo. Il costo mensile dell'autorimessa per l'automobile è di 0 e il costo del carburante, dei pneumatici e della manutenzione è di al Km. Applicando il criterio del TIR, determinare l'alternativa più conveniente supponendo che ogni anno vengono percorsi 20. Km. Determinare poi quanti Km. deve percorrere l'operaio ogni anno perché il costo dei due modi di trasporto sia uguale (considerare un MARR del %). VAN B-A =-.+2.240(P/A,i,4)+2.500(P/F,i,4)=0 Risolvendo per tentativi si trova TIR=5% e quindi essendo TIR<MARR risulta più conveniente A. -25Km=-.(A/P,4)-60-Km+2.500(A/F,4) Km=22.94,2 9. Qual è il periodo di recupero di ciascuno dei seguenti progetti di investimento? Quale scegliereste? Progetto 0 2 4 A -500 0 0 00 - B -0-0 200 00 C -500 0 0 00 500 Risposta: A= anni; B=2 anni; C= anni. 20. L'impresa Gamma ha selezionato tre alternative di investimento che si escludono a vicenda. La durata di tutte e tre è stimata in 5 anni. Trovare l'alternativa più vantaggiosa utilizzando il criterio del TIR (MARR=9%). A B C Investimento..400.00 Costi annui 40 0 290 Valore di recupero 20 0 50 VAN B-A =-400+0(P/A,i,5)+(P/F,i,5)=0 %<i<9% TIR=,5% VAN C-A =-00+0(P/A,i,5)+0(P/F,i,5)=0 %<i<% TIR % Conviene C. 2. Per la dotazione di un impianto produttivo, una società sostiene il seguente costo: all'inizio., dopo mesi 45., a fine anno 2.. Ottiene un contributo statale a fondo perduto di 25. così ripartito:. a fine anno, 5. alla fine del 2,, 4 anno. Calcolare il costo effettivo attuale dell'investimento considerando un TAN convertibile mensilmente del 6%. VAN=--45(P/F,0.5,)-(P/F,0.5,)+5(P/A,6.6,)(P/F,6.6,)=-59,92 Oppure: VAN=--45(P/F,0.5,)-(P/F,0.5,)+5(P/F,0.5,24)+5(P/F,0.5,6)+5(P/F,0.5,4)=-59,92 22. Tizio vuole costituire la somma di 5. mediante versamenti trimestrali posticipati, TAN=% convertibile trimestralmente. I primi 5 versamenti sono di importo uguale a 4/5 di quello dei successivi. Determinare le rate di costituzione del capitale. All'atto dell'ultimo versamento Tizio ritira il capitale costituito e lo utilizza per il compimento di un'operazione di leasing relativa all'acquisto di un furgone il cui costo è.. Le condizioni del leasing sono le seguenti: Tizio versa al momento della stipulazione del contratto il capitale di cui dispone; si impegna a pagare 5 canoni mensili, tutti di uguale importo, di cui il primo alla fine del sesto mese; valore di riscatto del furgone 500 ; TAN=% convertibile mensilmente. Determinare il canone di leasing. Per acquistare il furgone di cui sopra Tizio avrebbe avuto la seguente altra possibilità: pagamento del capitale disponibile all'atto della stipulazione del contratto; rimborso della somma residua mediante pagamento di 20 rate bimestrali posticipate, ciascuna di 906. Si dica perché Tizio ha preferito l'operazione di leasing. A(4/5)(F/A,2,5)(F/P,2,)+A(F/A,2,)=5. A 2 =5./,25=409,25 A =409,25 4/5=2,4.(F/P,.5,5)=A(P/A,.5,5)+500(P/F,.5,5) da cui A=506,4 canone di leasing.=906(p/a,i 6,20) da cui (P/A, i 6,20)=./906=4,49 i 6 =+(4,4-4,5)/(590-4,5)=,4% costo della rateizzazione (+i 2 )=(+05) 2 da cui i 6 =,02% costo del leasing 2. Un'impresa necessita di un impianto il cui costo di acquisto è di 20.. A tale scopo stipula un contratto di leasing alle seguenti condizioni: pagamento di 0 canoni mensili, di importo costante, cinque dei quali devono essere corrisposti all'atto della stipulazione del contratto; TAN % convertibile mensilmente. Calcolare il canone del leasing. Supposto poi che unitamente a ciascuno dei 25 canoni da corrispondere mese per mese essa debba pagare, a titolo di spese varie connesse al
leasing, una somma pari al 5% del canone stesso, determinare il TAEG dell'operazione. 20.=5A+A(P/A,.5,25) A=20./25,96=,6 20.=.+(,6+6,642)(P/A,i,25) (P/A,i,25)=,0,0 9,525 i = 2 + = 2,% e (+02) =+I da cui i=,6%,42 9,525 24. Tizio stipula un contratto di leasing per una berlina il cui costo complessivo su strada è di 2.00. Le condizioni previste dal contratto sono le seguenti: a) pagamento di 24 canoni mensili posticipati, tutti di uguale importo, di cui 4 corrisposti all'atto della stipulazione del contratto; b) facoltà di riscatto (dopo 20 mesi) sulla base del % del costo; TAN 24% convertibile mensilmente. Insieme al pagamento del canone corrispondente al sesto mese Tizio paga la somma di 4. che scala il suo debito residuo (calcolato in base al tasso contrattuale). Calcolare il canone originario e quello modificato in conseguenza del pagamento dei 4. tenendo presente che il TAN e il valore di riscatto restano sempre fissati all'origine. 2.00=4A+A(P/A,2,20)+2.0(P/F,2,20) da cui A=.24 A'=[.24(P/A,2,4)-4.](A/P,2,4)=94,5 25. Per l'acquisto di un macchinario del costo di 60. un'impresa contrae un mutuo per 5 anni convenendo il rimborso mediante rate costanti mensili posticipate, TAN=5% convertibile mensilmente. Dopo 2 anni l'impresa chiede di rimborsare il debito residuo mediante rate biennali costanti posticipate. Calcolare l'importo delle rate mensili e delle rate biennali. A =60.(A/P,.25,60)=.42 6 05 P 2 =.42(P/A,.25,6)=.42 =4.9, 6 05 05 i biennale = 05 24 -=4,% 4 4 A biennale = 4.9,(A/P,4.,)=4.9, =24.202,9 4 26. Una ditta che si occupa di magazzinaggio merci necessita di un capannone il cui costo è di 60.. Può acquisire tale capannone stipulando un contratto di leasing che fissa le seguenti condizioni: a) pagamento della somma di 5. all'atto della stipulazione del contratto; b) pagamento di 50 canoni mensili, ciascuno di.249. Determinare il TAN e il TAEG di questa operazione. 60.=5.+.249(P/A,i,50) da cui (P/A,i,50)=6,022 (P/A,.25,50)=,05 e (P/A,.550)=4,999 i =25+25(6,022-,05)/(4,999-,05)=% TAN=. =6,44% e TAEG=0 -=,4% 2. Per l'acquisto di un impianto del costo di 6., l'impresa Alfa può scegliere fra le seguenti due alternative: a) stipulare un contratto di leasing per anni che prevede il pagamento di 5. alla consegna, il pagamento di 6 canoni mensili anticipati di.900 e alla fine del terzo anno, per il riscatto, il pagamento di 6. ; b)stipulare un contratto di mutuo che prevede il pagamento di rate costanti semestrali anticipate di.00. Determinare quale modalità di pagamento è più conveniente. a) 6.=6.900+.900(P/A,i,5)+6.(P/F,i,6) VAN(%)=-4 e VAN(5%)=2.2,0 Quindi i % (poco meno) e su base semestrale: i 2 =0 6 -=6,52% b) 6.=.00+.00(P/A,i 2,6) da cui (P/A,i 2,6)=4,265 Quindi i 2 % (poco più) Risulta più conveniente (meno costoso) il leasing. 2. Tizio concede in prestito. convenendo il rimborso mediante il pagamento di rate annuali costanti posticipate al tasso del 9%. Dopo il pagamento della terza rata, il debitore ottiene di riscattare il prestito pagando.02,5 quale prezzo complessivo del riscatto. Calcolare il tasso di interesse applicato all'operazione di riscatto. A=.(A/P,9,)=.0.02,5=.0(P/A,i,5) da cui (P/A,i,5)=,994 e i=,% 29. Tizio dispone della somma di.500 che può investire come segue: a) stipulando un contratto finanziario che prevede le seguenti entrate: 2. dopo anno e mesi; 2.560 dopo 2 anni e 6 mesi; b) stipulando un contratto finanziario che prevede l'incasso di 5 rate semestrali posticipate ciascuna di 55 UM. Determinare quale fra i due contratti è più conveniente utilizzando il criterio del TIR. -.500+2.(P/F,i,9)+2560(P/F,i,0)=0 da cui i =45% e i 2 =(+045) 6 -=,0% -.500+55(P/A,i 2,5)=0 da cui i 2 =,06% 0. A fronte di una certa operazione Tizio si impegna a versare semestralità posticipate e, nei successivi anni, rate trimestrali posticipate di importo uguale ai 2/ delle precedenti. Sapendo che viene concessa la possibilità di effettuare versamenti, ciascuno di.500 e scadenti rispettivamente fra 2, 6 e anni da oggi, determinare l'importo dei versamenti periodici considerando un MARR del %. VAN=.500(P/F,,2)+.500(P/F,,6)+.500(P/F,,)=.0,5 i 4 = 4 = 024 e i 2 =, = 05 4
.0,5=A(P/A,5.,)+A(2/)(P/A,2.4,44)(P/F,,5) 5, 2 024. 0, 5 = A + A 05( 05) 024( 024), A=62,4 e A'=50,2 44 44 5. Tizio prende in prestito la somma di. e si accorda per il rimborso mediante 6 rate costanti semestrali posticipate al TAN del % convertibile semestralmente. Dopo anni, invece di pagare la sesta rata, Tizio chiede un nuovo prestito di 6. e concorda con il creditore di unificare i due prestiti impegnandosi a rimborsarli mediante rate annue costanti posticipate al tasso annuo del 4%. Calcolare l'importo delle rate. 6 065 065 04 A =. = = 25., 6 65, 90 P 6 2 5 2 5 65, = +., +., = 6. 06 2 0065, 65, A'=6.062(A/P,4,)=.0, 2. Tizio riceve in eredità una certa somma S che, però, potrà ritirare fra tre anni e tre mesi e, inoltre, una rendita perpetua che renderà delle annualità costanti posticipate, di importo pari al % della somma S, la prima delle quali scade esattamente alla fine del nono anno. Cede questi diritti a una banca che corrisponde immediatamente la somma di 6. e che si impegna a versargli, ad iniziare da oggi stesso, 20 semestralità, ciascuna di 900. Determinare la somma S tenendo presente che tutte le operazioni vengono trattate dalla banca con un interesse annuo dell'%. i 2 = 0 = 092 0 9 S 092.9,22 S + = 6. + 900 + 900 S = =.92, 2,25 9 45404 0 0 092 092. Indicare l'alternativa di investimento più conveniente al variare del tasso di interesse i, sulla base dei seguenti dati: Costo iniziale Costi di esercizio Vita utile Valore residuo Investimento A 50 UM 20 UM anni 50 UM Investimento B 250 UM UM anni 0 UM VAN(B-A)=-0+(P/A,i,)+50(P/F,i,)=0 TIR(B-A)=6,26% Quindi se i>6,26% conviene A, se i<6,26% conviene B. 4. Le condizioni per poter acquisire in leasing un furgone sono le seguenti: a) pagamento all'atto della stipulazione del contratto della somma di 5. UM; b) pagamento di 24 canoni mensili posticipati, ciascuno di.0 UM; c) possibilità di riscattare il furgone alla scadenza del contratto pagando la somma di. UM. Sapendo che il prezzo in contanti del furgone è di 2. UM si determini il TAN e il TAEG di questa operazione. 2.=5.+.0(P/A,i,24)+.(P/F,i,24) -22.+.0(P/A,i,24)+.(P/F,i,24)=0 i =2,26% TAN=2,26 =2,% TAEG=(+0226) -=6% 5. La Beta S.p.A. vorrebbe acquisire un nuovo esercizio per la vendita al dettaglio. Sul mercato sono disponibili due negozi simili, la cui disponibilità viene ceduta per mezzo di contratti di leasing. Per il negozio A si prevede un leasing della durata di anni a un canone annuale di 50 UM pagabile anticipatamente; l'acquisizione del contratto costa 00 UM. Per il negozio B il contratto è di soli 4 anni; il suo costo di acquisizione è di 550 UM e prevede canoni annuali anticipati di 0 UM. Considerando un MARR del % determinare quale alternativa è più conveniente. EA(A)=[50+50(P/A,6)(A/P,)=0, EA(B)=650(P/A,)(A/P,4)=2,5 (Conviene B) 6. Un impiegato percepisce uno stipendio mensile di.00. Per far fronte a certe esigenze cede /5 dello stipendio mensile e ciò relativamente ai prossimi 9 mesi. Oggi, cioè un mese prima che maturi il primo degli stipendi ceduti, egli incassa come valore di cessione la somma di.060. Determinare a quale tasso mensile è stata effettuata la cessione nonché l'equivalente tasso annuo..060=60(p/a,i,9) da cui (P/A, i,9)=.060/60=,5,5,566 i =%,566 e i =25%,462 e quindi i = + 25 = 6%,462,566 i=(+06) -=4,%. Tizio intende costituire il capitale di 5. mediante 22 versamenti semestrali posticipati, al tasso del % annuo. Dopo il versamento dell'ottava rata semestrale interrompe i versamenti (semestrali) e riprende alla fine del settimo anno a versare una rata annua in modo da costituire, all'atto del quinto versamento (sempre all'undicesimo anno), la somma di 20.. Determinare l'importo della rata originaria semestrale e quello della rata annua. i 2 =, = 04 5
. 04 95 04 =, A 2 = 5 22 P 4 95 4, =, = 56., 04 P 6 =20.(P/F,5)-.56,(F/P,)=.4,4-4.545,6=.2, A=.2,(A/P,5)=2.06,. Tizio ha contratto un debito di. impegnandosi al pagamento del relativo montante dopo 9 anni al tasso di interesse del % annuo. Per avere disponibile il montante dovuto alla scadenza ha iniziato a fare dei versamenti semestrali, di importo costante, sui quali viene corrisposto un interesse del 6% annuo convertibile semestralmente. Calcolare l'importo di tali versamenti. Supposto che alla fine del quarto anno il tasso sui versamenti semestrali viene aumentato dell'% semestrale, si determini l'ammontare della nuova rata. F=.(F/P,9)=.64 e A=.64(A/F,,)=05,5 05,5(F/A,,)(F/P,4,)+A'(F/A,4,)=.64 da cui A'=6, 9. Tizio ha diritto a riscuotere rate triennali da., la prima delle quali fra tre anni, e successivamente.500 all anno per 4 anni. Cede tali diritti ad un istituto di credito che si impegna a pagargli: a) rate bimestrali, la prima delle quali fra due mesi; b) rate trimestrali di importo pari al triplo delle precedenti, la prima delle quali fra 2 anni e mesi. Determinare l importo di tali rate considerando un tasso annuo del 6 %. VAN=.(P/F,6,)+.(P/F,6,6)+.(P/F,6,9)+.500(P/A,6,4)(P/F,6,9)=9.46 i 6 =06 666 -=0096 i 4 =06 25 -=046 0096 046 9.46 = A + A = A 226 + A 92996 9002 0096 0096 046 046 046 A=9.46/4455=24,4 A=0,44 40. A diverse scadenze sono stati impiegati tre capitali. Il secondo, che è inferiore di 00 UM rispetto al primo, viene impiegato anno e mesi dopo il primo; il terzo, che è il doppio del secondo, viene impiegato dopo ulteriori 2 anni e 9 mesi. Determinare l importo di ciascuno dei tre capitali sapendo che essi sono stati impiegati al TAN del 6% convertibile trimestralmente e che il montante complessivo dopo 6 anni e mesi dal primo versamento è stato di 9.56 UM. C 04 25 +( C -00)04, +2(C -00)04, =9.56 2,6654 C +2,0522 C -.646+2,6665 C -2.2,92=9.56 C =.6/,42=.02,6 C 2 =.002,6 C =2.005,2 4. Per costituire la somma di 25. Tizio programma di fare 0 versamenti mensili posticipati, TAN,% convertibile quadrimestralmente. Determinare la rata mensile da versare. i =,/=4,06% e i 4 4 = + i = 0406 = % A=25.(A/F,0)=25. 025=, 42. Le condizioni per acquisire in leasing un furgone sono le seguenti: a) pagamento all atto della stipulazione del contratto di 4. ; b) pagamento di 24 canoni mensili posticipati ciascuno di. ; c) possibilità di riscattare il furgone alla scadenza del contratto pagando la somma di.. Sapendo che il prezzo in contanti del furgone è di 2. si determini il TAN e il TAEG dell operazione. 2.=4.+.(P/A,i,24)+2.(P/F,i,24) per i=% VAN=606,2 e per i=2% VAN=-2.22 i =+(-606,2)/(-2.22-606,2)=2442% TAN=24 =4,56% e TAEG=04 -=5,5% 4. Per costituire la somma di. Tizio programma di fare 20 versamenti bimestrali posticipati, TAN 5% convertibile mensilmente. Determinare la rata bimestrale da versare. 2 i =5/=25% e i 6 = ( + 05) = 2,56% A=.[0256/(0256 20 -)]=9 44. Un prestito P deve essere rimborsato mediante rate costanti trimestrali posticipate al TAN dell % convertibile trimestralmente. Sapendo che la quota capitale della prima rata è di.26 determinare la somma P. Subito dopo l incasso della quinta rata, il creditore cede il prestito considerato per.00. Quanto ha guadagnato da questa operazione finanziaria? P(A/P,2,)=.26+02P P=.26/(-02)=20. A=.26+400=2226 P 5 =2.226(P/A,2,5)=.492 U=.00-.492=0 45. Una banca, per consentire ai risparmiatori l acquisto di un appartamento, concede ai propri clienti un prestito uguale al doppio del montante complessivo delle somme periodicamente depositate, sulle quali corrisponde un interesse del 5% annuo. A tale scopo un cliente versa mensilmente per 6 anni una rata costante anticipata di 200 UM, 2.500 UM alla fine del secondo anno,.600 UM alla fine del quarto anno. La banca, alla fine dei versamenti periodici, gli concede il prestito convenuto da 6
restituire in 0 rate annuali posticipate al tasso del 5%. Determinare l ammontare del prestito concesso e la rata annua di rimborso. i = 5, = 005 005 4 2 F = 200 005 + 200 + 2. 500 005 +. 600 005 = 25. 26, 6 005 Prestito concesso: 25.26,6 2=50.55,2 A=50.55,2(A/P,5,0)=50.55,2 52=.696,5 46. Al fine di avere la disponibilità di una somma S, Tizio cede il diritto relativo all incasso di un capitale C fra 5 anni. Tale credito, che prevede la corresponsione degli interessi posticipati calcolati al tasso annuo dell %, viene ceduto al tasso annuo del %. Tizio quindi prende in leasing un macchinario il cui costo è 0. alle seguenti condizioni: a) pagamento della somma S all atto della stipulazione del contratto; b) pagamento di 24 canoni mensili posticipati ciascuno pari a un decimo della somma S; c) valore di riscatto pari a un quinto della somma S. Considerando che all operazione di leasing viene applicato un TAN del % convertibile mensilmente determinare l importo della somma S. S=0C(P/A,5)+C(P/F,5) da cui S=9246C 9246 C+ 9246 C (P/A,24)+2 9246 C (P/F,24)=0. C=2.9 e S=0.46 4. La Alfa SpA deve acquistare un macchinario che le consentirà di produrre un nuovo articolo da lanciare sul mercato. Il macchinario costa 0. e l azienda deve scegliere tra due possibili soluzioni:. acquisto in contanti e accensione di un mutuo di 0. da rimborsare in rate semestrali posticipate pari a. ciascuna; 2. stipula di un contratto di leasing finanziario alle seguenti condizioni: a) versamento immediato di. ; b) versamento di 5 canoni quadrimestrali posticipati di 9.500 ciascuno; c) prezzo di riscatto alla scadenza dell ultimo canone.. Considerando un MARR del % determinare l alternativa economicamente più conveniente. Calcolare inoltre il TAEG relativo all operazione di leasing e indicare, infine, la differenza fra leasing operativo e leasing finanziario. a), = 04 04 VAN = 20.. = 0. 965 04 04 b), = 0, 022 5 022. VAN =. 9. 500 = 0. 425 5 5 022 022, 5 ) 5 + i ) ( + i. 0. =. + 9. 500 + 5 i( ( + i ) Per i = 6% VAN=-5,5 e per i = % VAN=5.,45 5, 5 Per cui: i = 6 + = 6, 09% e TAEG = 0609 = 9, 4% 5., 45 + 5, 5 4. Tizio stipula un contratto di leasing relativo ad un macchinario il cui costo è di 0. alle seguenti condizioni: a) pagamento alla stipula del contratto di una somma pari a n. 6 canoni; b) pagamento di 0 canoni mensili posticipati: gli ultimi 6 canoni sono di importo pari a quello dei primi 4 aumentato del 5%; c) valore di riscatto: % del costo del macchinario. Sapendo che il tasso annuo d interesse applicato è del 6,05%, calcolare l ammontare dei canoni di leasing. i = 605, = 25% 0.=6A+A(P/A,.25,4)+5A(P/A,.25,6)(P/F,.25,4)+900(P/F,.25,0) 29.0=6A+,04A+9645A da cui A=9, e A =.0 49. La Beta SpA deve sostituire un macchinario. Il costo di acquisto è pari a 50. e sono previste due possibilità di pagamento. La prima consiste in un contratto di leasing che prevede il versamento immediato di., il pagamento di canoni bimestrali posticipati pari a. ciascuno, un prezzo di riscatto pari a 20.. La seconda possibilità consiste nell acquisto in contanti del macchinario attraverso l accensione di un prestito pari a 0. da rimborsare in rate trimestrali posticipate pari a 5.500 ciascuna. Determinare l alternativa economicamente più conveniente considerando un MARR del % annuo. Calcolare inoltre il TAN e il TAEG del leasing. a) Leasing: i = 6, 9% 6 = 9, 20... = 90. 624 09 09 9, b) Prestito: i4 = 4, = 2, % 0, 0. 5. 500 = 5. 49 02 2, c) TAEG leasing: 50.=.+.(P/A, i 6,)+20.(P/F, i 6,) Per i 6 =4% VAN=9.4, e Per i 6 =5% VAN=-.4,4
9. 4, i6 = 4 + = 4, 5%. 4, 4 9. 4, TAN=4,5 6=2,5% e TAEG=045 6 -=2,% 50. Un prestito di.00 è rimborsabile dopo un anno ed è previsto (sempre sul debito iniziale) il pagamento mensile posticipato degli interessi al tasso dell % annuo. Subito dopo il pagamento dell interesse relativo al quinto mese, il prestito viene ceduto per.600. Calcolare il tasso annuo di interesse applicato a quest ultima operazione finanziaria. i = 0 = 0064 I =.00 0064=2,9. 00 ( + i ).600=.00(P/F,i,)+2,9(P/A,i,)=. 600 + + 2, 9 = 0 ( + i ) i( + i ) Per i =% 06 Per i =25% -49, 6, Per cui i = + 25 = 046% e i = 46, = % 49, 6, 5. Una rendita è costituita da 5 rate bimestrali, ciascuna di 0. Il suo valore attuale, calcolato un bimestre prima della scadenza della prima rata, è uguale al valore attuale di una rendita biennale, calcolato 6 anni prima della scadenza della prima rata al tasso annuo del %, costituita da rate, ciascuna di.400. Calcolare a quale tasso annuo è stato calcolato il valore attuale della prima rendita. Tasso biennale=0 2 -=4,5% 0(P/A,i 6,5)=.400(P/A,4.5,)(P/F,,4) 45, 0( P / A,i6, 5) =. 400 da cui (P/A,i 6,5)=6905 4 045, 45, 0 6905, 2 i6 = 5, + 5 = 65% e i=065 6 -=2%, 49 2 52. E stato concesso un prestito P con l impegno che il rimborso avvenga mediante il pagamento di rate annue costanti posticipate, ciascuna di.6,. Determinare l importo del prestito e il tasso sapendo che la quota capitale relativa al primo anno è di.94. Quota interessi:.6,-.94=.5.5=ip e P=.6,(P/A,i,).5=i.6,(P/A,i,).5/.6,= i(p/a,i,) 445=-(+i) - (+i) - =554 (+i) =05 da cui i=5,5% 55, P =. 6, 055 55, = 25. 5. La Gamma SpA deve valutare la convenienza economica fra due alternative di investimento della durata di 5 anni. Il progetto A genera flussi di cassa annui pari a 200. grazie a un impianto del costo di 556., con un valore di recupero di 56.. Il progetto B genera 500. all anno, comporta un esborso iniziale di.66. e consente di recuperare 0. al termine del progetto. Considerando un MARR del 4%, calcolare il VAN, il TIR e il periodo di recupero e commentare i risultati. VAN A : -556.+200.(P/A,4,5)+56.(P/F,4,5)=59.06 VAN B : -.66.+500.(P/A,4,5)+0.00(P/F,4,5)=256.90 TIR A : -556.+200.(P/A,i,5)+56.(P/F,i,5)=0 da cui i 25% TIR B : -.66.+500.(P/A,i,5)+0.00(P/F,i,5)=0 da cui i 20% PR A : anni e PR B : 4 anni 54. La Ditta Alfa è di proprietà di un imprenditore che ha apportato un capitale finanziario di 200. disinvestendo da obbligazioni con un tasso di rendimento del % annuo. L imprenditore amministra personalmente l azienda, rinunciando ad un impiego come manager in un impresa concorrente che offre uno stipendio annuo di 40.. A quanto ammonta il costoopportunità annuo delle risorse apportate dall imprenditore? 20.+40.=60. 55. Fulano, allievo ingegnere, deve acquistare un nuovo personal computer. Si trova davanti a due scelte. La prima prevede di acquistare un personal computer del costo di 2.500, e rappresenta un modello di medie prestazioni fra quelli presenti sul mercato. La seconda opzione è quella di acquistare un PC di fascia alta, del costo di 5. che prevede, inoltre, un contratto di manutenzione di 0 l anno. Supponendo che la vita utile del PC di fascia media sia di 2 anni, di quanti anni deve essere quella del PC di maggiori prestazioni per rendere equivalenti dal punto di vista del costo le due scelte? Si utilizzi un MARR del %. EA=2.500(A/P,,2)=.2, EA2=5.(A/P,,n)+0.2,=5.(A/P,,n)+0 (A/P,,n)=25654
25654 2952 n = 4 + = 4, 5 Quindi 4 anni e nove mesi 249 2952 56. Un debito di 40. contratto 6 anni fa doveva essere ammortizzato in 20 anni al tasso annuo del %. Oggi, dopo il versamento della sesta rata, il debitore conviene con il creditore di versare in futuro rate di importo doppio rispetto a quella inizialmente stabilita. Determinare dopo quanti anni terminerà l ammortamento del prestito (si arrotondi per eccesso il numero delle rate e si ricalcoli la nuova rata da versare). 40.(A/P,0)=4.00 P 6 =4.00(P/A,4)=4.62,5 9.400=4.62,5(A/P,n) (A/P,n)=249 essendo 4<n<5 approssimando per eccesso avremo: A =4.62,5(A/P,5)=9. 5. Una società finanziaria offre un finanziamento pari alla somma S e chiede una rata mensile posticipata di. se la durata della rateazione è mesi. Un finanziamento concesso alle stesse condizioni (importo, cadenza delle rate e tasso) ma con durata doppia, comporta una riduzione di rata del 45%. Determinare il tasso annuo effettivo che la finanziaria adotta e calcolare l importo della somma S..(P/A,i,)=550(P/A,i,24) quindi.(p/a,i,)-550(p/a,i,24)=0 Per i=5% VAN=-9,22 mentre Per i=2% VAN=2,55 9,22 i = 5 + 5 = 69 e i = 069 = 22,2% 2,55 + 9,22 e quindi S=.9,5 5. La Beta SpA deve scegliere tra due alternative di investimento. Il primo prevede un costo iniziale di 9., costi di gestione annui pari a 0. e valore residuo di 9.00. Il secondo prevede un costo iniziale di 95., costi di gestione pari a 49. e valore residuo di 2.. Considerando una vita utile degli investimenti pari a anni, determinare l alternativa più conveniente al variare del MARR. VAN (2-) =-9.+2.(P/A,i,)+.200(P/F,i,)=0 da cui TIR=,4% Se i<,4% è più conveniente il secondo investimento; se i>,4% conviene il primo. 59. Tizio contrae un prestito di 40. al cui rimborso deve provvedere mediante pagamento di 6 rate semestrali posticipate al TAN del % convertibile semestralmente. L importo delle rate è variabile nel senso che le prime 20 sono di importo uguale a R mentre le successive 6 vengono aumentate del 20%. Determinare l importo delle rate. Subito dopo il pagamento della 24^ rata, Tizio chiede di sospendere il pagamento della 25^, 26^ e 2^ rata per riprendere i versamenti a partire dalla rata dovuta in 2 (inclusa). La sospensione viene concessa alle seguenti condizioni: il debito residuo al momento della sospensione viene capitalizzato al tasso del 6% semestrale e la nuova rata costante viene calcolata in base allo stesso tasso del 6% semestrale. 40.=A(P/A,5,20)+A 2 (P/A,5,6)(P/F,5,20) A=2.0,6 e A =2.64, DR 24 =2.64,(P/A,5,)=24.50 A =24.50(F/P,6,)(A/P,6,9)=4.29,5 60. La Beta SpA necessita di un finanziamento di 920.. A tale scopo emette un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni: valore nominale di ciascuna obbligazione 5 ; prezzo di emissione 4, ; rimborso a 5,25 ; tasso di interesse annuo,25%; durata 5 anni. Tenendo conto che la Beta SpA deve sostenere spese di emissione per 40., determinare il numero delle obbligazioni emesse e il TAEG del prestito. 920.+40.=960. valore di emissione dell intero prestito 960./4,=200. numero delle obbligazioni 200. 5=.. valore nominale del prestito 200. 5,25=.050. valore di rimborso del prestito 960.-40.-2.500(P/A,i,5)-.050.(P/F,i,5)=0 da cui i=9,44% 6. Tizio concede in prestito per anni la somma di., convenendo il rimborso mediante ammortamento progressivo al tasso dell % annuo. Subito dopo il pagamento della terza rata, il debitore Caio ottiene di riscattare il prestito pagando la somma di. quale prezzo complessivo del riscatto. Determinare a quale tasso è stata effettuata la valutazione del prestito. Tizio quindi versa la somma incassata come anticipo per l acquisto di una vettura che costa 5. convenendo il pagamento dell ulteriore somma attraverso 6 rate quadrimestrali costanti posticipate al TAN del 9% convertibile quadrimestralmente. Calcolare la rata..(a/p,,)=.40.=.40(p/a,i,5) da cui i=,2% A=.(A/P,,6)=.46, 9