Equilibrio della trave

Equilibrio della trave 29 dicembre 29 Configurazione geometrica della linea d asse della trave Si assuma che la linea d asse della trave nella sua configurazione iniziale sia rappresentata nel piano yz dalla curva C, che si suppone continua insieme con le sue derivate fino all ordine necessario Fig.. In ogni punto della linea d asse è quindi definita la tangente e la curvatura. La curva è definita tramite le funzioni yt e zt, dove t è un generico parametro che assume valore t t t. Inoltre è possibile definire un ascissa curvilinea s, che può essere utilizzata anch essa in luogo del parametro t per esprimere le funzioni y e z. Vale la seguente: st = t La pendenza della tangente è data da: t = t θ = arctan dy t dy 2 + 2 Il segno è dovuto alla convenzione usuale di considerare positive le rotazioni antiorarie. La curvatura della curva è definita come: χ = dθ Se ogni punto della linea d asse è soggetto a uno spostamento le cui componenti secondo y e z si indicano rispettivamente con vt e wt, la nuova configurazione assunta dalla linea d asse è la curva C, anch essa continua insieme con le sue derivate fino all ordine necessario, la cui espressione parametrica è data da y t = yt + vt e z t = zt + wt. 2 3 O z y C s P w θ v C θ s P Figura : Configurazione linea d asse

2 Equilibrio della trave La pendenza è la curvatura di C sono definite dalle: θ = arctan dy dy + dv = arctan + dw 2 Equazioni indefinite di equilibrio χ = dθ 5 Si scrivono le equazioni di equilibrio che legano fra loro i carichi ditribuiti lungo l asse e quelli concentrati all estremità applicati alla trave, la configurazione assunta dalla linea d asse e rappresentata dalla curva C e le caratteristiche della sollecitazione nel punto P, definite come: Sforzo normale N : componente secondo la tangente a C in P della risultante delle forze applicate sulla porzione di trave che precede o segue P ; Sforzo di taglio T : componente secondo la normale a C in P della risultante delle forze applicate sulla porzione di trave che precede o segue P ; Momento flettente M : la risultante dei momenti valutati con polo in P delle forze applicate sulla porzione di trave che precede o segue P. Le equazioni vengono scritte prendendo in considerazione un tratto infinitesimo di lunghezza della curva. Si noti che in generale la tangente alla curva e con essa le direzioni di T ed N subirà una variazione di inclinazione pari a dθ nel passare da un estremo all altro del tratto infinitesimo di curva qui considerato Fig. 7. 4 Equilibrio alla traslazione verticale T cosθ T + dt cos θ + dθ N sinθ + N + dn sin θ + dθ q = T cosθ T + dt cos θ cos dθ sin θ sin dθ N sinθ + N + dn sin θ cos dθ + cos θ sin dθ q = M M V H H V C q p T θ M + dm N + dn θ + dθ m θ T + dt N + dn M θ + dθ dθ N T + dt dθ Figura 2: Configurazione deformata

2 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO 3 Poiché dθ è un infinitesimo dello stesso ordine di per le ipotesi fatte sulla continuità della curva, si ha: quindi: cos dθ = sin dθ = dθ T cos θ T + dt cos θ sin θ dθ N sin θ + N + dn sin θ + cos θ dθ q = da cui, omettendo i termini infinitesimi di ordine pari o superiore a 2 : T sin θ dθ dt cos θ + N cos θ dθ + dn sin θ q = Dal momento che: d T cos θ = dt cos θ + T d cos θ = dt cos θ T sin θdθ d N sin θ = dn sin θ + Nd sin θ = dn sin θ + N cos θdθ si ottiene: d T cos θ d N sin θ + q = Equilibrio alla traslazione orizzontale T sinθ + T + dt sin θ + dθ N cosθ + N + dn cos θ + dθ + p = T sinθ + T + dt sin θ cos dθ + cos θ sin dθ N cosθ + N + dn cos θ cos dθ sin θ sin dθ + p = Come nel caso precendente, poiché dθ è infinitesimo : cos dθ = sin dθ = dθ e quindi: T sin θ + T + dt sin θ + cos θ dθ N cos θ + N + dn cos θ sin θ dθ + p = da cui, omettendo i termini infinitesimi di ordine pari o superiore a 2 si ottiene: T cos θ dθ + dt sin θ N sin θ dθ + dn cos θ + p = Dal momento che: d T sin θ = dt sin θ + T d sin θ = dt sin θ + T cos θdθ d N cos θ = dn cos θ + Nd cos θ = dn cos θ N sin θdθ si ottiene: d T sin θ + d N cos θ + p =

4 Equilibrio della trave Equilibrio alla rotazione Si scrive l equilibrio alla rotazione rispetto alla sezione iniziale, notando che N + dn e T + dt hanno componenti perperdicolari e paralleli a che dipendono da dθ: M M + dm + T + dt cos dθ N + dn sin dθ + con le posizioni di prima si ottiene: m + p 2 sin θ + q cos θ = 2 M M + dm + T + dt N + dn dθ + m + p 2 sin θ + q cos θ = 2 e, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, dm T + m = In definitiva, le equazioni di equilibrio in configurazione deformata sono: d T cos θ d N sin θ + q = 6 d T sin θ + d N cos θ + p = 7 dm T + m = 8 ovvero: d T cos θ d N sin θ + q = 9a d T sin θ d N cos θ + + p = 9b dm T + m = 9c 3 Equazioni di congruenza Si consideri ora che la curva in configurazione C subisca degli spostamenti che la portano in una nuova configurazione, C. Il generico punto P appartenente alla curva subirà degli spostamenti w e v. Si fa riferimento alla Fig. 3a, dove si è indicato con il tratto infinitesimo di trave nella configurazione indeformata e con quello in configurazione deformata. Per semplicità si assume che il tratto infinitesimo di trave nella configurazione indeformata sia orizzontale ovvero parallelo all asse z. L estremità finale di tale tratto subisce quindi uno spostamento, rispetto all estremità iniziale, le cui componenti sono date da dw e dv. La lunghezza di si può esprimere come: 2 = + dw 2 + dv 2 = 2 + 2 dw + dw 2 + dv 2 = = 2 + 2 dw dw 2 dv 2 + + Si fa ora l ipotesi che la trave subisca piccole deformazioni, ovvero che gli incrementi di spostamento dw e dv siano piccoli rispetto alla lunghezza ; in questa maniera possiamo considerare trascurabili tutti i contributi di ordine pari o superiore a dw 2 e dv 2. Perciò si ottiene: 2 = 2 + 2 dw = + 2 dw 2

3 EQUAZIONI DI CONGRUENZA 5 n n ϕ n ϕ n β dw dv θ dv θ dw θ a b Figura 3: Tratto infinitesimo in configurazione variata Passando allo slipuppo in serie della radice, e trascurando i termini di ordine pari o superiore a dw 2 si ha: = + dw Si definisce ora la caratteristica di deformazione assiale ε come: e quindi, per la 3 si ottiene: ε = ε = dw Si definisce ora con β l angolo compreso fra e. Dalla trigonometria si ha: β = arctan dv + dw da cui, poiché dv e dw sono piccoli rispetto a e quindi dv è piccolo rispetto a + dw, mediante sviluppo in serie in cui si trascurano gli infinitesimi di ordine pari o superiore a dv 2 e dw 2: β = dv 7 Quanto fin qui detto vale per una curva piana generica considerata in una configurazione variata. Abbiamo assunto che la curva C rappresenta il luogo dei baricentri delle sezioni della trave che stiamo esaminando; la trave è tuttavia un solido tridimensionale, quindi per caratterizzare completamente la configurazione della trave non è sufficente conoscere la posizione dei baricentri delle sezioni ma anche, nell ipotesi che le sezioni si mantengano piane, la rotazione subita dalle sezioni stesse. Perciò a ciscun punto P va associata, oltre che gli spostamenti u e v, anche la rotazione che la sezione associata perpendicolare alla tangente a C in P subisce nel passare da C a C, che è indicata con ϕ. In generale, può essere che ϕ il segno è dovuto alla convenzione che la rotazione della sezione è positiva se antioraria non sia uguale a β si veda Fig. 3, per cui si definisce la caratteristica di deformazione a taglio γ come: 3 4 5 6 γ = β ϕ = dv + ϕ 8 Si noti come la non uguaglianza di ϕ e β implica che se la sezione è ortogonale alla linea d asse nella configurazione C non lo è più nella configurazione C.

6 Equilibrio della trave Infine si definisce come caratteristica di deformazione curvatura χ la differenza di rotazione fra le due sezioni alle estremità del tratto infinitesimo considerato, ovvero: χ = dϕ Tale definizione di curvatura, data in senso meccanico, differisce da quella geometrica data nella Sezione : tutttavia l equivalenza delle due definizione per casi particolari è dimostrata in seguito. Nel caso in cui il tratto infinitesimo di lunghezza non sia orizzontale, ma inclinato di un generico angolo θ rispetto all orizzontale positivo se antiorario, si possono fare ragionamenti simili pur di sostiuire a dw e dv rispettivamente le componenti degli incrementi di spostamento secondo la direzione del tratto infinitesimo e la sua ortogonale, quindi: 9 dw cos θ dv sin θ Deformazione assiale ε = dw sin θ + dv cos θ Deformazione a taglio γ = Curvatura χ = dϕ = dw + ϕ = dw cos θ dv sin θ sin θ + dv cos θ + ϕ 2a 2b 2c L inclinazione del tratto infinitesimo nella configurazione C vale: Si noti che se: θ = θ β = θ γ + ϕ 2 la deformazione a taglio γ è identicamente nulla, e quindi è sempre β = dv = ϕ la deformazione normale ε è nulla, e quindi = ; la curva C è tale che θ = ovunque. si ottiene: θ = ϕ 22 χ = dϕ = dθ 23 in cui la 23 è equivalente alla definizione di curvatura geometrica data dalla5. ovvero, nel caso di trave inizialmente rettilininea ed indeformabile sia assialmente che a taglio, i concetti di curvatura meccanica e curvatura geometrica coincidono. Inoltre, per tale trave le sezioni perpendicolari alla linea d asse in C si mantengono perpendicolari anche in C. In realtà, qualsiasi configurazione C data da y t e z t può essere vista ottenuta da una configurazione C rappresentata da z = t, y = mediante gli spostamenti wt =, vt, per cui per tale configurazione vale la 23, ovviamente dovendo considerare le deformazioni a partire dalla configurazione C. 4 Il teorema dei lavori virtuali Vediamo ora come le equazioni di equilibrio e quelle di congruenza operano nel teorema dei lavori virtuali. Nel seguito si considererà una generica configurazione C della trave: tale configurazione è assolutamente arbitraria, ovvero non necessariamente è quella assunta dalla trave sotto i carichi agenti.

4 IL TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI 7 4. Spostamenti virtuali Sia dato un sistema di forze p, q e m e caratteristiche di sollecitazione N, T e M che siano in equilibrio nella configurazione C per mezzo delle 9, che si richiamano: d T cos θ d N sin θ + q = 24a d T sin θ d N cos θ + + p = 24b dm T + m = 24c Siano assegnati inoltre degli spostamenti δv, δw e δϕ e delle caratteristiche di deformazione δε, δγ e δχ che siano congruenti per mezzo delle 2, che qui si riportano: δε = d δw δγ = d δw δχ = d δϕ d δv cos θ d δv sin θ + sin θ 25a cos θ + δϕ 25b 25c Il δ nelle equazioni precedenti sta a significare che gli spostamenti e deformazioni sono arbitrari. Il lavoro virtuale compituo dalle forze esterne agenti sulla struttura con gli spostamenti arbitrari assegnati è dato da: δl e = = = p δw + q δv + m δϕ H δw V δv M δϕ + H δw + V δv + M δϕ = p δw + q δv + m δϕ + H δw + V δv + M δϕ l = [p δw + q δv + m δϕ + d ] H δw + V δv + M δϕ In ogni sezione si ha, con riferimento alla Fig. 3, che: e quindi, operando le sostituzioni e sviluppando le derivate: δl e = [ p δw + q δv + m δϕ + d N cos θ + T sin θ δw+ ] + N sin θ + T cos θ δv + M δϕ = [ d = d δw + N N cos θ + T sin θ + p cos θ d δv sin θ 26 H = N cos θ + T sin θ 27 V = N sin θ + T cos θ 28 + T d δw + d δw N sin θ + T cos θ + q sin θ + d δv cos θ + M d δϕ ] d δv + M + m δϕ+ 29

8 Equilibrio della trave e facendo uso delle 24 e 25 δl e = N δε + T δγ + M δχ = δl i 3 ovvero il lavoro fatto dalle forze esterne con gli spostamenti virtuali uguaglia il lavoro fatto dalle caratteristiche della sollecitazione N, T e M rispettivamente con le caratteristiche della deformazione δε, δγ e δχ, definito come lavoro virtuale interno. 4.2 Forze virtuali Sia assegnata la configurazione C e su questa siano assegnati degli spostamenti v, w e ϕ e delle caratteristiche di deformazione ε, γ e χ che siano congruenti per mezzo delle 2, che qui si riportano: ε = dw γ = dw χ = dϕ cos θ dv sin θ sin θ + dv cos θ + ϕ 3a 3b 3c Sia inoltre dato un sistema di forze δp, δq e δm e caratteristiche di sollecitazione δn, δt e δm che siano in equilibrio nella configurazione C per mezzo delle 9, che si richiamano: d δt cos θ d δn sin θ + q = 32a d δt sin θ d δn cos θ + + p = 32b dδm T + m = 32c Il δ nelle equazioni precedenti sta a significare che gli spostamenti e deformazioni sono arbitrari. Il lavoro virtuale compituo dalle forze esterne arbitrarie agenti sulla struttura con gli spostamenti è dato da: δl e = = = δp w + δq v + δm ϕ δh w δv v δm ϕ + δh w + δv v + δm ϕ = δp w + δq v + δm ϕ + δh w + δv v + δm ϕ l = [δp w + δq v + δm ϕ + d ] δh w + δv v + δm ϕ In ogni sezione si ha, con riferimento alla Fig. 3, che: 33 δh = δn cos θ + δt sin θ 34 δv = δn sin θ + δt cos θ 35

5 LEGAME ELASTICO 9 e quindi, operando le sostituzioni e sviluppando le derivate: [ δl e = δp w + δq v + m ϕ + d δn cos θ + δt sin θ w+ ] + δn sin θ + δt cos θ v + δm ϕ = = + δn [ d d w cos θ d v sin θ δn cos θ + δt sin θ + p e facendo uso delle 32 e 3 δl e = + δt d w + d w sin θ + d v cos θ δn sin θ + δt cos θ + q + δm d ϕ ] d v + δm + δm ϕ+ 36 δn ε + δt γ + δm χ = δl i 37 ovvero il lavoro fatto dalle forze virtuali esterne con gli spostamenti uguaglia il lavoro fatto dalle caratteristiche della sollecitazione δn, δt e δm rispettivamente con le caratteristiche della deformazione ε, γ e χ, definito come lavoro virtuale interno. 5 Legame elastico Si supponga che per la trave sia valida la teoria di Saint-Venant. Quindi in presenza di sforzo normale e momento flettente lo stato tensionale e deformativo nella generica sezione vale: σ zz = N A + M y J ɛ zz = N EA + M y EJ 38a 38b Si supponga inoltre che si possa utilizzare la teoria approsimata di Jourawsky per il taglio, per la quale lo stato tensionale e deformativo nella generica sezione vale: σ zy = T S Jb ɛ zy = T S 2GJb σ zx = T S Jb tan α ɛ zx = T S 2GJb tan α 39a 39b dove α è l angolo formato dall asse y e dalla congiungente il punto generico della corda parallela all asse x con il punto d incontro delle tangenti al contorno all estremità della corda stessa. Si consideri ora che la trave nella sua configurazione iniziale C. Se si applica con un sistema di forze esterne p, q e m la trave si sposta in una configurazione C in cui le forze esterne p, q e m sono in equilibrio con le caratteristiche della sollecitazione N, T e M. Inoltre, il passaggio da C a C avviene mediante spostamenti u, v e ϕ che sono congruenti con le caratteristiche di deformazione ε, γ e χ. Si assuma ora un sistema di forze esterne δp, δq e δm e di caratteristiche della sollecitazione δn, δt e δm che rispettano le equazioni di equilibrio nella configurazione C. Per il teorema dei lavori virtuali, il lavoro fatto dalle forze esterne δp, δq e δm con gli spostamenti v, w e ϕ uguaglia il lavoro fatto dalle caretteristiche di sollecitazione δn, δt e δm con le caratteristiche di deformazione ε, γ e χ, quindi: δ L e = δn ε + δt γ + δm χ 4

Equilibrio della trave Ma d altra parte il lavoro si può esprimere anche in termini di tensioni e deformazioni mediante il principio dei lavori virtuali espresso al continuo: [ ] δ L e = δσ zz ɛ zz + 2δσ zy ɛ zy + 2δσ zx ɛ zx da 4 A dove δσ è lo stato di tensione agente nel solido a causa delle dorze δp, δq ed δm nella configurazione C e ɛ è lo stato di deformazione nel passare da C a C. Facendo uso delle 38 e 39 si ha: [ δn δm y N δ L e = + A A J EA + M y δt S T S + 2 + tan 2 α da] EJ Jb 2GJb 42 per cui, svolgendo l integrale interno e ponendo: [ S 2 + tan 2 α ] K = J 2 b 2 da 43 si ha: δ L e = A δn N EA + δt T GK + δm M 44 EJ Ma le espressioni del lavoro date da 4 e 44 devono essere uguali perciò deve essere: ε = N EA γ = T GK χ = M EJ 45a 45b 45c che rappresentano le equazioni di legame, che possono invertirsi nelle: N = E A ε T = G K γ M = E J χ 46a 46b 46c dove E é il modulo di elasticità normale, G é il modulo di elasticità a taglio, correlato ad E ed al modulo di Poisson ν da G = E/ 2 + 2 ν, A é l area della sezione, J é il momento di inerzia della sezione e K é l area a taglio della sezione, data da K = A/κ con κ dipendente dalla sezione κ = 6/5 per sezione rettangolare. 6 Applicazione alla trave rettilinea Si consideri ora una trave in una configurazione C rettilinea, con asse diretto secondo z. Sotto l azione dei carichi applicati, la trave assume una configurazione C, che è ovviamente congruente. In tal caso si ha che la deformazione assiale si esprime come: ε = = Si scriva ora l equilibrio riferito alla configurazione C : = 47 d T cos θ d N sin θ + q = 48a d T sin θ + d N cos θ + p = 48b dm T + m = 48c

6 APPLICAZIONE ALLA TRAVE RETTILINEA Facendo uso della 47, che fornisce =, si può effettuare il cambio di variabile s z + ε mediante la regola di derivazione delle funzione composte, e poiché si ha sempre + ε > si può scrivere: d T cos θ d T sin θ dm d N sin θ + d N cos θ + ε T + + ε m = 49c In assenza di carichi distribuiti, q = p =, le 49a-49b forniscono: + + ε q = 49a + + ε p = 49b d T cos θ d T sin θ d N sin θ + d N cos θ Poichè nella sezione iniziale si ha: = d T cos θ N sin θ = d T sin θ + N cos θ T cos θ N sin θ = cost T sin θ + N cos θ = cost 5a 5b T cos θ N sin θ = V T sin θ + N cos θ = H 5a 5b invertendo le 5a - 5b si ottiene: N = H cos θ V sin θ T = H sin θ + V cos θ 52a 52b 6. Individuazione della configurazione di equilibrio Trascurando la deformabilità a taglio, ovvero ponendo γ =, la 2 fornisce: θ = ϕ 53 per cui, facendo uso della 46c si ha: M = E J dϕ = E J dθ 54 per cui la 49c, tenendo conto che m = e della 52b, diviene: d E J dθ + ε H sin θ + V cos θ = 55 Trascurando la deformabilità assiale, ossia ponendo ε =, e supponendo costanti sia E che J si può anche scrivere: E J d2 θ 2 H sin θ + V cos θ = 56 La 56 fornisce l equazione che consente di risolvere il problema. Si consideri ora il caso riportato nella Fig. 4 di una trave doppiamente appoggiata sottoposta ad una forza assiale di compressione costante pari a P. In questo caso è ovviamente H = P, V = e M = per cui: E J d2 θ 2 + P sin θ = 57

2 Equilibrio della trave H = P P L Figura 4: Asta di Eulero Ovviamente, la 57 ammette la soluzione banale θ = z; per trovare l eventuale altra soluzione è necessario ricorrere all impiego di integrali ellittici; in tal modo è possibile determinare sia il valore del carico critico P CR sia la configurazione deformata C. Notando che, per le proprietà della composizione delle derivate, si può scrivere: la 57 diviene: d 2 θ 2 E J = d d dθ dθ dθ dθ = d dθ dθ dθ e, ponendo per semplicità di scrittura dθ = Ψ e λ2 = P/E J: Integrando entrambi i membri si ottiene: da cui: 58 + P sin θ = 59 dψ dθ Ψ + λ2 sin θ = Ψ dψ = λ 2 sin θ dθ 6 Ψ 2 2 = λ2 cos θ + c 6 dθ = ± 2λ 2 cos θ + c 62 Imponendo la condizione che M = E J dθ = per θ = θ, dove θ = θ z = ovvero che il momento sia nullo alla estremità di sinistra della trave si ottiene c = 2λ 2 cos θ e quindi: da cui: Integrando entrambi i membri: Attraverso le: dθ = ± 2λ 2 cos θ cos θ 63 dθ ± = 64 2λ 2 cos θ cos θ θ z z ± θ 2λ 2 cos θ cos θ dθ = = z 65 cos θ = 2 sin 2 2 θ cos θ = 2 sin 2 2 θ

6 APPLICAZIONE ALLA TRAVE RETTILINEA 3 si ottiene: e con le posizioni: θ s ± θ dθ 2λ sin = z 66 2 2 θ sin2 2 θ k = sin 2 θ sin ϑ = k sin 2 θ 67a 67b si ricava: sin 2 2 θ sin2 2 θ = k sin 2 ϑ = k cos ϑ Dalla 67b si ricava inoltre: da cui: per cui la 66 diventa: dθ = 2 k cos ϑ cos 2 θ dϑ = 2 cos 2 θ dθ = k cos ϑ dϑ 2 k cos ϑ sin 2 θ dϑ = 2 k cos ϑ k 2 sin 2 ϑ dϑ ϑz ± ϑ λ dϑ = z 68 k 2 sin 2 ϑ Si noti che per z = è θ = θ, per cui dalle 67a-67b si ha sin ϑ = e quindi ϑ = π/2, per cui la 68 diviene, dopo semplici manipolazioni: [ ϑz z = ± λ k 2 sin 2 ϑ dϑ ] π 2 λ k 2 sin 2 ϑ dϑ 69 I due termini del membro a destra della 69 sono integrali ellittici di prima specie. Utilizzando la funzione: F k, ϑ = ϑ dϑ 7 k 2 sin 2 ϑ che prende il nome di funzione di Legendre degli integrali ellittici di prima specie si può anche scrivere: z = ± [ F k, ϑ F k, π ] 7 λ 2 L andamento della 7 è riportato nella Fig. 5 dove sono stati evidenziati i due casi θ = t e θ = +t per t [ t, t ], con t o >, che forniscono le due possibili condizioni iniziali per z = di pendenza θ positiva o negativa. Come si vede, le due espressioni contemplate nella 7 forniscono gli stessi valori a meno di un cambio di segno. La differenza di valore per la funzione calcolata ai due estremi vale: z θ z θ = λ 2 F k, π 72a 2 z θ z θ = λ 2 F k, π 72b 2 Si noti che l espressione 7 è tale che:

4 Equilibrio della trave presa positiva, con θ positiva e θ decrescente ovvero θ = t, si ha z decrescente; presa negativa, con θ positiva e θ decrescente ovvero θ = t, si ha z crescente; presa positiva, con θ negativa e θ crescente ovvero θ = +t, si ha z decrescente; presa negativa, con θ negativa e θ crescente ovvero θ = +t, si ha z crescente. Quindi, se si vogliono esplorare configurazioni in cui θ ha andamento del tipo decrescentecrescente-decrescente-... e le ascisse z corrispondenti hanno andamento crescente si dovranno prendere le espressioni della 7 con segno negativo, avendo cura di aggiungere per ogni cambiamento di andamento di θ la quantità λ 2 F k, π 2. 4.5 4. 3.5 3. 2.5 2..5..5 z +F k, ϑ F k, π 2, θ = t F k, ϑ + F k, π 2, θ = t +F k, ϑ F k, π 2, θ = +t F k, ϑ + F k, π 2, θ = +t. -.5 -. -.5-2. -2.5-3. -3.5 t t /2 t /2 t θ = t, t [ t, t ] Figura 5: Grafico della funzione λz = ± [ F k, ϑ F k, π 2 ], con t = π/ La 72 indica che, per punti a distanza misurata sulla configurazione C pari a λ 2 F k, π 2 il valore della pendenza della tangente è uguale a meno del segno. Poiché nel caso in esame, vista la geometria e i carichi, la configurazione C deve essere simmetrica o emisimmetrica, e quindi la pendenza alle due estremità poste a distanza L è uguale a meno del segno, si deve avere: L = n Lλ 2F k, π/2 = F k, π/2 73 λ 2n dove n è il numero di semionde della configurazione C. La 73 consente di determinare la configurazione assunta dalla trave per ogni valore del carico P ; infatti noto il carico si può determinare λ e dal grafico di Fig. 6 determinare il valore di θ che identifica la configurazione C. Come si vede dalla Fig. 6, la funzione assume il valore di π/2 per θ = : ciò vuol dire che, limitandosi a configurazioni deformate prossime a quella iniziale, e quindi θ, i valori dei carichi critici sono dati da: Lλ 2n = π 2 P n = n2 π 2 E J L 2 74

6 APPLICAZIONE ALLA TRAVE RETTILINEA 5 2.9 F k, π/2.8.7.6 π/2.5 π/2 π/4 π/4 π/2 θ Figura 6: Grafico di F k, π/2 Poiché è di interesse il più basso di tali carichi critici, indicato con P ed ottenuto per n =, si ha: P = π2 E J L 2 75 Tale valore è noto come carico critio Euleriano, e si indica con P E. Dall esame della Fig. 6, si osserva come per valori di P P E, non sono possibili configurazioni deformate diversa da quella iniziale θ = ovunque: l equilibrio è stabile. Per il valore P = P E si ha un punto di biforcazione alla Poincarré, e sono possibili configurazioni d equilibrio prossime a quella iniziale: l equilibrio è indifferente. Invece, per valori di P P E, sono possibili altre configurazioni di equilibrio diversa da quella iniziale ed individuata dal valore di θ corrispondente al carico agente: l equilibrio della configurazione iniziale è instabile. Mediante la 7 è inoltre possibile costruire la deformata completa. Esempio Si assumono le seguenti caratteristiche: In questo caso è: E = 3. 7 kn/m 2 J = 6.75 4 m 4 L = 6. m λ = P E J = 5.44 m - P = 6. kn e quindi: Lλ 2 =.633 cui corrisponde, dalla Fig. 6, un valore di θ pari a.788. Questo valore è quello che individua la configurazione C di equilbrio diversa da quella banale. Tale configurazione è riportata in Fig. 7, assieme a quelle corrispondente a θ pari a.3 e.: si vede che queste ultime non sono

6 Equilibrio della trave ammissibili perché violano le condizioni al contorno all estremità finale della trave è presente una componente di spostamento verticale. -2. -. C C, θ =.788 C, θ =.3 C, θ =. y.. 2... 2. 3. 4. 5. 6. z Figura 7: Configurazioni trave 6.2 Carico critico Abbiamo visto in precdenza come determinare, per ciascun valore del carico assiale superiore a P E, la configurazione deformata corrispondente. Tuttavia, spesso quello che è necessario conoscere è solo il valore del carico critico, in quanto dal punto di vista ingegneristico questo rappresenta il valore massimo di carico cui la trave è in grado di permanere in una configurazione prossima a quella iniziale. In tal caso, è possibile linearizzare l equazione 57 facendo l ipotesi che θ siano piccoli, ovvero molto vicini alla configurazione iniziale per cui si ricordi che è θ =. Quindi si ha: E J d2 θ 2 + P θ = 76 La soluzione della 76 è la seguente: θ = A sin λz + B cos λz, con λ 2 = P 77 E J dove le costanti A e B sono determinate mediante le condizioni al contorno, che nel caso in esame sono: M = E J dθ = A λ = ML = E J dθ = B λ sin λl = L da cui A = e, poichè B perchè altrimenti si ritroverebbe la soluzione banale, sin λl = ovvero: λl = nπ P n = n2 π 2 E J L 2 78

6 APPLICAZIONE ALLA TRAVE RETTILINEA 7 che fornisce i valori del carico in corrispondenza dei quali qualsiasi configurazione prossima a quella iniziale è di equilibrio, e coincide con quanto trovato in precedenza si veda 74. Al solito, si indica come carico critico Euleriano il più piccolo di tali valori, e quindi: P E = π2 E J L 2 79 Si noti come la linearizzazione consente di identificare correttamente il carico critico ma non fornisce alcuna informazione sulle configurazioni post-critiche del sistema. 6.3 Influenza della deformabilità assiale Quanto fin qui detto è stato trovato nell ipotesi che la deformabilità assiale ε sia trascurabile. Ci proponiamo ora di verificare che questa ipotesi è nella pratica verificata. Ricordando la 55, per la struttura di Fig. 4 per cui H = P e V = e linearizzando poiché ci interessa la sola determinazione del carico critico si ha: La linearizzazione consente di semplificare la 52a in: e poiché per l equazione di legame si ha: la 8 diventa: per cui la soluzione è: E J d2 θ 2 + + ε P θ = 8 ε = N = P 8 N E A = P E A 82 E J d2 θ 2 + P P θ = 83 E A θ = A sin λz + B cos λz, con λ 2 = P P E A E J Con gli stessi ragionamenti visti in precedenza si perviene alla seguente espressione del carico critico: P E P E = π2 E J E A L 2 85 Risolvendo l equazione di secondo grado si ottiene: P E = E A ± 4 π2 J 2 A L 2 di cui si prende la radice negativa che fornisce il valore minore. Una forma alternativa di esprimere il carico critico è data dalla: P E = 84 86 π 2 E J L 2 P 87 E E A che mette in evidenza il fattore di correzione necessario per passare dal carico P E / E A critico determinato in assenza di sforzo normale a quello in sua presenza. Si noti che trascurare la deformabilità a taglio è a favore di sicurezza, in quanto si sottostima il carico critico.

8 Equilibrio della trave Esempio Adottando le stesse caratteristiche viste in precedenza per la trave di sezione rettangolare: E = 3. 7 kn/m 2 B =.3 m, H =.3 m A = 9. 2 m 2 J = 6.75 4 m 4 L = 6. m Si ottiene trascurando la deformabilità assiale: P E = π2 E J L 2 = 5552 kn mentre considerando la deformabilità assiale: P E = E A ± 4 π2 J 2 A L 2 = 5563 kn Come si vede l errore è all incirca dello.2 %, quindi assolutamente trascurabile. 6.4 Influenza della deformabilità a taglio Ci proponiamo ora di valutare l effetto della deformabilità a taglio nella determinazione del carico critico. Si fa uso della 46c: M = E J dϕ 88 per cui la 49c, tenendo conto che m = e della 52b, diviene: d E J dϕ + ε H sin θ + V cos θ = 89 e trascurando la deformabilità assiale e con E e J costanti: E J d2 ϕ 2 H sin θ + V cos θ = 9 che, per il caso di Fig. 4 per cui H = P e V = e linearizzando poiché ci interessa la sola determinazione del carico critico: E J d2 ϕ 2 + P θ = 9 L equazione di congruenza 2 per il caso in esame in cui θ =, ovvero la trave ha configurazione iniziale rettilinea fornisce: e quindi la 9 diviene: L equazione di legame 46b, θ = ϕ γ ϕ = θ + γ 92 E J d2 θ 2 + E J d2 γ 2 + P θ = 93 γ = T G K insieme con la 52b che nel caso in esame linearizzando diviene: 94 T = H sin θ + V cos θ = P θ 95

6 APPLICAZIONE ALLA TRAVE RETTILINEA 9 consentono di scrivere la 93 come: E J d2 θ 2 per cui la soluzione è: E J G K P d2 θ 2 + P θ = E J P d 2 θ G K 2 + P θ = 96 θ = A sin λz + B cos λz, con λ 2 = P E J P 97 G K Con gli stessi ragionamenti visti in precedenza si perviene alla seguente espressione del carico critico: da cui, espicitando: P E P E G K = π2 E J L 2 98 π 2 E J P E = 99 L 2 + π2 E J L 2 G K Si noti che trascurare la deformabilità a taglio è a sfavore di sicurezza, in quanto si sovrastima il carico critico. Esempio Adottando le stesse caratteristiche viste in precedenza per la trave di sezione rettangolare: E = 3. 7 kn/m 2 ν =.25 G =.2 7 kn/m 2 B =.3 m H =.3 m κ = 6 5 K = 7.5 2 m 2 J = 6.75 4 m 4 L = 6. m Si ottiene trascurando la deformabilità a taglio: P E = π2 E J L 2 mentre considerando la deformabilità a taglio: = 5552 kn P E,γ = π 2 E J = 558 kn L 2 + π2 E J L 2 G K come si vede l errore è all incirca dello.6 %, quindi assolutamente trascurabile. Più in generale, il rapporto fra i carichi critici vale: P E,γ P E = + π2 E J L 2 G K = + 2.47 H 2 L e, per le travi usuali aventi rapporto altezza/luce H/L < / si ha P E,γ /P E >.97 e quindi la correzione da apportare si mantiene inferiore al 3 %.