Il Processo Stocastico Martingala e sue Applicazioni in Finanza

Il Processo Stocastico Martingala e sue Applicazioni in Finanza Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione Scopo principale della presente dispensa é quello di illustrare i concetti matematici fondamentali della teoria delle martingale e di evidenziare la vasta applicabilità della teoria delle martingale per la rappresentazione delle problematiche di ordine finanziario. A questo scopo verranno presentate alcune applicazioni relative al prezzaggio delle opzioni e dei titoli sottostanti. Nel complesso si cercherà di verificare fino a che punto l uso dei processi martingale sia compatibile, in termini di congruenza, con le logiche sottostanti il funzionamento dei mercati finanziari ed inoltre si illustreranno le tecniche, utilizzate dalle moderne metodiche in materia di asset pricing, di trasformazione dei processi stocastici in martingale laddove tale trasformazione permette agli analisti finanziari una più facile trattazione delle problematiche finanziarie. 2 Cenni storici Il termine martingala si ricollega ad una serie di strategie utilizzate dagli scommettitori francesi nel XVIII secolo. La più semplice di queste strategie veniva usata in una sequenza di scommesse sugli esiti del lancio di una moneta equa (cioè con eguale probabilità 1/2 di uscire testa o croce ad ogni lancio, indipendentemente dall esito dei lanci precedenti): un giocatore vince (perde) una somma di danaro, pari alla posta S n da lui liberamente scelta al lancio n, se si verifica l evento esce testa ( esce croce ). La strategia consiste nell iniziare puntando la somma 1 alla prima giocata e, in seguito, ancora 1 dopo una vincita (testa), e raddoppiando sistematicamente la posta precedente S n+1 = 2 S n dopo una perdita (croce). Utilizzando questa strategia, la distribuzione di probabilità della vincita dello scommettitore dopo N puntate è (al crescere di N) fortemente asimmetrica: bassa probabilità di forti perdite che compensa un alta probabilità di Dipartimento di Matematica, Università di Bari Aldo Moro 1

2 piccoli guadagni, ma la vincita attesa (speranza matematica), qualunque sia il numero di scommesse della sequenza, è sempre 0. Per esempio, dopo 3 giocate il guadagno può essere +3(sequenza T T T ), +2(T CT e CT T ), +1(T T C e CCT ), 0(CT C), -2(T CC), -7(CCC) e la conclusione segue, tenendo conto che ciascuna sequenza ha probabilità pari a 1/8. Indichiamo con X 0, X 1, X 2,... il denaro posseduto dal giocatore rispettivamente prima del primo lancio (X 0 ), dopo il primo lancio (X 1 ), dopo il secondo lancio (X 2 ) e così via. Allora, da quanto spiegato sopra, il valore atteso di X N, ovvero del denaro posseduto (guadagno) dopo N lanci, sarà semplicemente X 0, ovvero la somma inizialmente posseduta. Ma se è noto che dopo m lanci il giocatore possiede la somma X m, l aspettativa più ragionevole riguardo alla vincita dopo N lanci (con N > m) sarà invece X m. Questa è appunto la proprietà di martingala. Se ne deduce, quindi, che questa tecnica, che apparentemente conduce ad una vincita finale certa, é invece la causa di forti perdite da parte di scommettitori. Un analisi più attenta mostra, infatti, che la posta da mettere in gioco aumenta esponenzialmente con i lanci perdenti, e ci si convince facilmente del fatto che, per assicurarsi la vittoria, bisognerebbe disporre di un capitale infinito da poter scommettere, e bisognerebbe che anche il banco fosse disposto ad accettare poste di qualsiasi taglia. La vincita netta è solamente la posta iniziale. Ironia della sorte, uno dei risultati elementari dimostrati dall odierna teoria delle martingale è proprio l inesistenza di un sistema di scommesse vincente. Il concetto di martingala è stato introdotto nella Teoria della Probabilità da Paul P. Lévy. Gran parte dei risultati avanzati riguardanti le martingale sono stati prodotti da Joseph L. Doob, con contributi importanti da parte di K. Itô sulle applicazioni analitiche. Dagli anni settanta, la teoria delle martingale ha trovato ampie applicazioni in molti settori della matematica pura ed applicata. In particolare, nella Teoria della Probabilità, in Fisica Matematica, ed in Finanza Matematica. Il successo di tale teoria é tale che essa risulta una delle poche branche della matematica nota anche a studiosi di altre discipline, in particolare da chi si occupa di finanza e tecniche di borsa. Anche grazie ai contributi dati a questa teoria, Lèvy, Itô e Doob sono considerati tra i maggiori matematici del XX secolo. 3 Premesse Sia assegnato uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Definizione 1. Si dice che B F é un evento trascurabile (risp. certo) se P(B) = 0 (risp. P(B) = 1). Indichiamo con l insieme degli eventi trascurabili. N = {B F P(B) = 0} Definizione 2. Una filtrazione nello spazio di probabilità (Ω, F, P) é una famiglia {F t } t 0 di sotto σ-algebre di F (cioè F t F per ogni t 0), tale che:

3 i. per ogni 0 s < t, si ha che F s F t. Nel seguito si supporrà che una filtrazione soddisfa anche le seguenti condizioni: ii. F 0 ( e quindi anche F t per ogni t > 0) contiene N; iii. per ogni t > 0 si ha F t = u>0f t+u (continuità a destra). Una filtrazione può essere interpretata come una successione crescente (proprietà i.) di informazioni a disposizione del decision-maker nei vari istanti di tempo t. Una variabile aleatoria si dice F t - misurabile se è completamente definita e quindi nota, dato il set informativo F t al tempo t. Inoltre, la proprietà iii. garantisce che, sapendo che una v.a. é F s - misurabile per ogni s > t, allora essa è anche F t - misurabile. Definizione 3. Dato un processo stocastico X = (X t ) t 0 nello spazio (Ω, F, P), la filtrazione naturale per X è definita da F X t = σ(x s, 0 s t), t 0. Poniamo per t 0, Ft X := u>0 F ) t+u X dove FX t := σ ( FX t N. Si verifica che (F X t ) t 0 é una filtrazione che soddisfa le proprietà ii. e iii.. Essa é detta filtazione standard per X. Il valore atteso condizionale E(X F t ) di una variabile aleatoria X, definita sullo spazio di probabilità (Ω, F, P), rispetto alla filtrazione {F t } t 0, é definito in modo analogo al valore atteso condizionale di X rispetto a una variabile aleatoria Y, E(X Y ), e gode di alcune importanti proprietà: a) per ogni t > 0, E[E[X F t ]] = E[X]; b) se X è F t - misurabile allora E[X F t ] = x, dove x rappresenta la realizzazione della v.a. X osservata sulla base delle informazioni contenute nella σ-algebra F t ; c) per ogni t > 0 e per ogni a 1, a 2 R, E[(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) F t ] = a 1 E[X 1 F t ] + a 2 E[X 2 F t ], proprietà di linearità; d) se X 0, allora per ogni t 0 E[X F t ] 0, proprietà di positività; e) se Z è F t - misurabile allora E[Z X F t ] = Z E[X F t ], infatti Z è noto sulla base delle informazioni contenute in F t. Definizione 4. Sia X = (X t ) t 0 un processo stocastico nello spazio (Ω, F, P) e sia {F t } t 0 una filtrazione di tale spazio. Si dice che X é F t -adattato se X t é F t -misurabile per ogni t. Chiaramente, la filtrazione standard é la più piccola filtrazione rispetto a cui X é adattato.

4 4 Il processo stocastico Martingala I dati di natura finanziaria sono tipicamente strutturati come serie storiche. Tali serie statistiche possono essere intese come una successione di osservazioni che si sviluppano in un fissato periodo temporale. Dal punto di vista probabilistico, una serie storica deve essere interpretata come una particolare traiettoria di un processo stocastico. Una martingala rappresenta un particolare processo stocastico frequentemente utilizzato nella modellizzazione delle dinamiche finanziarie. Definizione 5. Sia X = {X t } t 0 un processo stocastico su uno spazio di probabilià (Ω, F, P), e {F t } t 0 una filtrazione di tale spazio. Il processo X é una martingala rispetto a {F t } t 0 se valgono le seguenti condizioni: (i) X é adattato; (ii) E[ X t ] < ; (iii) per ogni s < t, E[X t F s ] = X s, con X s noto. (La condizione (iii) è verificata quasi ovunque (q.o.) trascurabili.) in Ω cioè escludendo gli eventi Osserva. La condizione (ii) é detta proprietà di integrabilità. Essa afferma che il valore atteso del modulo di X t, per ogni t, esiste finito. La condizione (iii) é detta proprietà di martingala. Essa afferma che la legge di dipendenza tra le variabili aleatorie che definis-cono il processo X é caratterizzata dal fatto che il valore atteso (previsione) di uno stato futuro del processo, nota l evoluzione dello stesso nei tempi precedenti, dipende solo dall ultima osservazione realizzata. Vale quindi la proprietà di Markov. Perciò una martingala è detto essere un processo markoviano. Analogamente alle martingale vengono definite le submartingale e le supermartingale. Definizione 6. Siano valide le ipotesi della Definizione 5. Il processo X é una submartingala (risp. supermartingala) rispetto a {F t } t 0 se valgono le seguenti condizioni: (i) X é adattato; (ii) E[ X t ] < ; (iii) per ogni s < t, E[X t F s ] X s (risp. E[X t F s ] X s ) (q.o. in Ω), con X s noto. Osserva. Sulla base di queste definizioni si deduce che un processo stocastico si comporta come una martingala se le sue possibili traiettorie non mostrano uno specifico trend sottostante, ovvero se le direzioni assunte dai movimenti futuri sono, in media, uguali ai valori osservati all istante attuale. Qualora le traiettorie di un processo individuino un trend di lungo periodo, allora il processo non si potrebbe configurare come una martingala. Supponendo che {X t } t 0 sia una martingala e considerando la previsione al tempo t > 0 relativa ad una variazione del processo su un intervallo di tempo di lunghezza t, si ha

5 che: E[X t+ t X t F t ] = E[X t+ t F t ] E[X t F t ] = X t X t = 0, ovvero l incremento di una traiettoria del processo in un intervallo di ampiezza t é, in media, nulla. Diversamente, se il processo {X t } t 0 é una submartingala, allora E[X t+ t X t F t ] 0 e il processo é, in media, crescente, mentre se {X t } t 0 é una supermartingala, allora e il processo é, in media, decrescente. E[X t+ t X t F t ] 0 4.1 Trasformazione di submartingale in martingale: scomposizione di Doob-Meyer Spesso i processi che si definiscono nella realtà non sono martingale, nel senso che i movimenti futuri non sono completamente imprevedibili, ovvero le variazioni medie non sono pari a zero, date le informazioni correnti. I prezzi delle attività finanziarie si comportano, infatti, come delle supermartingale, o ancora più frequentemente come delle submartingale. Esiste, tuttavia, una connessione tra le martingale e le submartingale, attraverso la quale é possibile convertire le seconde nelle prime. Un primo metodo di trasformazione é quello che sfrutta la cosiddetta scomposizione di Doob-Meyer. Approccio diretto: scomposizione di Doob-Meyer Sia (Ω, F, P) uno spazio di probabilià e {F t } t 0 una filtrazione in tale spazio. Definizione 7. Dato un processo stocastico (A t ) t 0 su (Ω, F, P), si dice che (A t ) é prevedibile se A 0 F 0, e, per ogni t 0, si ha che A t+ t é F t -misurabile ( t > 0). Un processo (A t ) t 0 é detto crescente se é prevedibile e le sue traiettorie sono crescenti quasi ovunque, cioè per ogni s, t 0, s < t si ha 0 = A 0 A s (ω) A t (ω), per quasi ogni ω Ω. Teorema 1. (di scomposizione di Doob-Meyer): Sia {X t } t 0 una submartingala rispetto a {F t } t 0. Allora esiste ed é unica la seguente scomposizione X t = S t + A t, t 0 dove {S t } t 0 é una martingala e {A t } t 0 é un processo crescente.

6 Con il teorema di Doob-Meyer é possibile scomporre, in maniera univoca, una submartingala in una martingala più un elemento residuo che é rappresentato da un processo crescente e prevedibile (trend). In sintesi, tale teorema afferma che sottraendo da una submartingala (in media crescente) {X t } t 0 un processo a traiettoria crescente (A t ) t 0, le deviazioni rispetto al trend assumono un comportamento assolutamente irregolare. Questo processo trasformato {S t } t 0 é proprio una martingala. Con la tecnica di scomposizione di Doob-Meyer si evidenzia, dunque, come sia possibile trasformare direttamente una submartingala in modo da ottenere una martingala. 4.1.1 Scomposizione di Doob-Meyer applicata alla valutazione di un opzione Abbiamo già visto che il payoff alla scadenza T di un opzione call è dato da f T = max(0, S T K), dove S = (S t ) t 0 é il processo stocastico che definisce il prezzo del titolo azionario sottostante l opzione. Si assume che tale processo sia definito su di uno spazio di probabilità (Ω, F, P) e sia {F t } t 0 la filtrazione standard per S. Dal momento che il prezzo S T non é noto al tempo t < T, occorre considerare il valore atteso: E[f T F t ] = E[max(0, S T K) F t ]. Data tale previsione ci si potrebbe chiedere se il più equo valore della call al tempo t possa considerarsi uguale al valore scontato di E[f T F t ]. In altre parole, fissato il tasso di attualizzazione r, si tratta di verificare che da cui segue che f t = e r (T t) E[f T F t ] = E[e r (T t) f T F t ], t < T (1) E[e r T f T F t ] = e r t f t. Quest ultima uguaglianza é vera se il processo scontato (e r t f t ) t 0 é una martingala rispetto alla filtrazione standard {F t } t 0. Dal momento che il prezzo della call viene definito sulla base del prezzo del titolo sottostante, si può affermare che la dinamica del processo (e r t f t ) t 0 segue quella del processo S e quindi di (e r t S t ) t 0. Nella realtà finanziaria il processo S non si comporta come una martingala. Infatti, data la rischiosità cui un titolo azionario é normalmente soggetto, il valore scontato al tasso privo di rischio r non corrisponde al prezzo valutato al tempo presente t, a causa dell esistenza di un premio per il rischio, il quale rappresenterebbe un elemento residuale non incorporato nel tasso di sconto. Il premio é tanto maggiore quanto maggiore é il rischio del titolo. In termini probabilistici, questo può essere espresso nel modo seguente: ossia E[e r (T t) S T F t ] > S t E[e r T S T F t ] > e r t S t

7 ovvero il processo (e r t S t ) t 0 é una submartingala. Tale risultato emerge dal fatto che nell attualizzazione si utilizza un tasso privo di rischio in un contesto non neutrale al rischio. Sfruttando però il teorema di scomposizione di Doob-Meyer é possibile decomporre in maniera univoca il processo (e r t S t ) t 0 nella somma di una martingala (M t ) t 0 e di un processo crescente (A t ) t 0 : e r t S t = M t + A t. (2) Una volta determinata l evoluzione del trend A t é possibile utilizzare la scomposizione (2) al fine di ricavare il processo martingala M t M t = e r t S t A t, tramite il quale é possibile definire il valore di mercato di una call option al tempo t. Infatti, per la definizione di processo martingala segue che E[e r T S T A T F t ] = e r t S t A t da cui si deduce che il processo (e r t S t A t ) t 0, depurato dall effetto tendenziale di lungo periodo, é una martingala. Questa correzione nel processo del prezzo del titolo azionario garantisce la stazionarietà nel processo che definisce la dinamica del valore di una call. In tal modo si può sfruttare la relazione (1) per ipotizzare il prezzo equo dell opzione call al tempo t. In realtà, questo metodo, data la difficoltà implicita nella stima del processo (A t ) t 0, é raramente applicato nella pratica. É più conveniente convertire il processo S dei prezzi in una martingala non sottraendo il loro trend ma cambiando la distribuzione di probabilità del sottostante. 4.2 Trasformazione della misura di probabilità e il Teorema di Girsanov Un altro metodo di conversione di submartingale in martingale si fonda sulla trasformazione della distribuzione di probabilità che governa un processo a traiettorie crescenti. Abbiamo visto nella sezione precedente che il processo (e r t S t ) t 0, definito come valore attuale in t del prezzo di un titolo azionario, ad un tasso di attualizzazione privo di rischio r, é una submartingala rispetto all assegnata misura di probabilità. In questo caso, é possibile cercare una nuova misura di probabilità rispetto a cui il processo scontato (e r t S t ) t 0 diventi una martingala, mantenendo il tasso r come tasso di attualizzazione. Le misure di probabilità attraverso le quali é possibile trasformare processi che non sono martingale in martingale vengono dette misure equivalenti di probabilità. Le condizioni generali che permettono la trasformazione delle misure probabilistiche sono definite nel Teorema di Girsanov. Prima di passare alla presentazione formale del teorema é opportuno introdurre brevemente la problematica della trasformazione di misura di probabilità attraverso il caso di una variabile aleatoria con distribuzione normale. Sia (Ω, F, P) una spazio di probabilità. Si consideri una variabile aleatoria Z N(0, 1) definita su (Ω, F, P). Sappiamo che la funzione densità di probabilità di Z é il differenziale

8 della funzione di distribuzione cumulata, cioè per ogni z R F Z (z) = P(Z z) = z f(u) du ovvero df (z) = f(z) dz = 1 2π e z2 /2 dz. Da ora in poi, per comodità, consideremo la seguente identificazione: df Z(ω) (z) dp(ω), ω Ω Definiamo ora la v.a. L : Ω [0, + ) funzione di Z nel seguente modo: L := H(Z) = e µ Z µ2 /2 Se per un fissato ω Ω si ha Z(ω) = z, moltiplicando L(ω) = H(z) per dp(ω), si ottiene la trasformazione di misura L(ω) dp(ω) = 1 2π e µ z µ2 /2 z 2 /2 dz. (3) che determina una nuova misura di probabilità indicata dalla seguente espressione dq(ω) = 1 2π e (µ z)2 /2 dz. (4) Osserva La (4) rappresenta la funzione di distribuzione cumulata di una distribuzione normale N(µ, 1). Quindi, pur rimanendo invariata la dispersione della variabile aleatoria intorno alla media (σ 2 = 1), le due misure di probabilità sono diverse, dal momento che le medie su cui sono centrate non coincidono ed inoltre esse assegnano valori di probabilità differenti agli stessi intervalli. Si noti, inoltre, che la trasformazione di misura (3) é invertibile, infatti si ha che: (L(ω) 1 dq(ω) = dp(ω). (5) La v.a. L può essere interpretata come rapporto tra due misure: L = dq dp ed é detta derivata di Radon-Nikodym. Perché la v.a. L esista é necessario che il denominatore del rapporto (6) sia diverso da zero. La trasformazione inversa (5) implica, inoltre, che anche il numeratore di (6) sia diverso da zero, Se ne deduce quindi che condizione necessaria e sufficiente affinchè la derivata di Radon-Nikodym esista é che, (6) Q(A) > 0 P(A) > 0, A F Quando questa condizione risulta soddisfatta allora la v.a. L esiste e può essere utilizzata per passare da P a Q. In questo caso le due misure sono dette misure equivalenti di probabilità perchè assegnano probabilità positive agli stessi domini. Sebbene le misure di probabilità siano differenti, é quindi sempre possibile, tramite la derivata di Radon- Nikodym, convertire l una nell altra.

9 Il Teorema di Girsanov fornisce le condizioni di esistenza della derivata di Radon- Nikodym nel caso di processi stocastici continui. Per introdurre il teorema nella sua forma più generale, occorre preliminarmente definire alcuni elementi. Siano (F t ) t [0,T ] una filtrazione di (Ω, F, P), (Z t ) t [0,T ] un processo stocastico adattato alla filtrazione (F t ) t [0,T ] e (W t ) t [0,T ] un moto Browniano definito sullo stesso spazio di probabilità. Valga, inoltre, la seguente condizione di limitatezza [ ( 1 T )] E exp Z t 2 dt < +, 2 0 che implica che le traiettorie Z t del processo non devono crescere o decrescere troppo velocemente nel tempo. Teorema 2. (di Girsanov): Sia (X t ) t [0,T ] una martingala esponenziale rispetto a (F t ) t [0,T ], associata al processo (Z t ) t [0,T ]. Consideriamo la misura Q definita da Allora il processo stocastico definito da W t = W t d Q dp := X T. (7) t 0 Z s ds t [0, T ] (8) é un moto Browniano su (Ω, F, Q), rispetto alla misura di probabilità Q definita in (7) ossia Q(A) = E P [I A X T ] = X T dp, A F. Osserva. Dal Teorema di Girsanov si deduce che moltiplicando la misura di probabilità P, che governa il processo di Wiener (W t ) t [0,T ], per la martingala (X t ) t [0,T ], che è una funzione esponenziale del processo (Z t ) t [0,T ], tramite l operazione di valore atteso, si ottiene una nuova misura di probabilità Q che governa il processo di Wiener ( W t ) t [0,T ] legato al precedente dalla relazione (8) definita nel Teorema. In quella espressione il passaggio da un moto browniano all altro é ottenuto sottraendo a W t un trend variabile nel tempo. La trasformazione della misura di probabilità tale da modificare la media, lasciando inalterata la varianza e i valori assunti dalla variabile aleatoria, é quindi un processo dipendente dal tempo che si svolge istante per istante. In ogni istante varia l elemento tendenziale da considerare per effettuare tale trasformazione. Si osservi, inoltre, che (X t ) t [0,T ] é un processo strettamente positivo e, quindi, è invertibile e se ne deduce che il processo ((X t ) 1 ) t [0,T ] è una martingala rispetto a (F t ) t [0,T ] sullo spazio di probabilità (Ω, F, Q). Vale allora la trasformazione inversa della (7), cioè A dp d Q := (X T ) 1, da cui si può verificare come il Teorema di Girsanov sia consistente con la descrizione della v.a. X T come rapporto di due misure di probabilità equivalenti.

10 4.2.1 Utilizzo delle misure equivalenti di probabilità nella valutazione di un opzione Con questo esempio si vuole evidenziare come nella valutazione dei prezzi di attività finanziarie si utilizzi la trasformazione delle misure di probabilità sottostanti per convertire dei processi che non sono martingale in martingale. Sia W = (W t ) t [0,T ] un moto Browniano, con W t N(µ t, σ 2 t) (t > 0) e sia (F t ) t [0,T ] la filtrazione standard per W. Sia S = (S t ) t [0,T ] il moto Browniano geometrico che rappresenta la dinamica del titolo azionario sottostante un opzione. Le sue traiettorie sono definite nel seguente modo: S t = S 0 e Wt, t [0, T ]. Poichè il processo S é definito come funzione esponenziale di W é evidente che la dinamica di S segue quella di W. Di conseguenza, la filtrazione (F t ) t [0,T ] é anche la filtrazione standard per S. Abbiamo visto che il valore atteso condizionato del processo S al tempo t + τ, nota la storia del processo fino al tempo t, é dato da E P [S t+τ F t ] = S t e µτ+σ2 τ/2 (9) Questa uguaglianza viene normalmente utilizzata nell ambito della valutazione dei prezzi di attività finanziarie. La misura di probabilità P rispetto a cui viene determinata la distribuzione di probabilità delle traiettorie S t rappresenta la vera legge di probabilità che governa gli shock sui prezzi. Come abbiamo già detto, non sempre questa misura di probabilità è necessariamente quella più conveniente da utilizzare. Sulla base del Teorema di Girsanov risulta, infatti, possibile determinare una misura di probabilità equivalente a quella data, tale da rendere più agevole la valutazione dei prezzi del titolo. Questo é vero, in particolare, se si può operare con misure di probabilità le quali rendono possibile la conversione dei prezzi in una martingala. Abbiamo visto nella Sezione 4.1.1 che il processo (e r t S t ) t 0 é una submartingala e che tale risultato emerge dal fatto che nell attualizzazione si utilizza un tasso r privo di rischio in un contesto non neutrale al rischio. L idea é quella di trovare una misura di probabilità Q equivalente a P tale per cui il processo (e r t S t ) t 0 risulta una martingala. Il ruolo svolto dalla misura Q é proprio quello di rendere la dinamica delle grandezze finanziarie neutrale rispetto alla misura del rischio. Poichè la distribuzione di probabilità di W t, la cui dinamica rappresenta l elemento determinante il prezzo dell attività finanziaria, é una normale N(µ t, σ 2 t), si può allora pensare di definire un nuova distribuzione di probabilità del tipo: N(ρ t, σ 2 t) in cui l elemento che definisce la media risulta arbitrariamente modificato, mentre resta costante la varianza. Usando l espressione (9), il valore atteso condizionale del prezzo attualizzato rispetto alla nuova misura di probabilità Q diviene: E Q [e r τ S t+τ F t ] = S t e r τ e ρτ+σ2 τ/2 (10)

11 Dato che il parametro ρ é arbitrario, esso può essere scelto in modo tale che ovvero che La (10) diventa e quindi r τ + ρ τ + σ2 τ 2 = 0 ρ = r σ2 2. (11) E Q [e r τ S t+τ F t ] = S t E Q [e r (t+τ) S t+τ F t ] = e r t S t. Determinando un valore opportuno di ρ come nella (11) si ottiene, quindi, una misura di probabilità Q rispetto a cui il processo (e r t S t ) t [0,T ] é una martingala. Ne consegue allora che E[e r T S T F t ] = e r t S t e quindi E[e r (T t) S T F t ] = S t. Questo rende possibile il calcolo del prezzo attuale del titolo in un mondo neutrale verso il rischio, cioè mantenendo come tasso di attualizzazione il tasso r privo di rischio, normalmente conosciuto e facilmente reperibile. La trasformazione della misura di probabilità P in una ad essa equivalente é tale da lasciare inalterata la varianza e, dunque, il grado di volatilità dei prezzi.