ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO
Indice 1 DEFINIZIONE DI INSIEME ------------------------------------------------------------------------------------------------ 3 2 METODI DI RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI -------------------------------------------------------------- 5 3 INSIEMI E LORO CARATTERISTICHE ------------------------------------------------------------------------------- 7 4 OPERAZIONI TRA INSIEMI --------------------------------------------------------------------------------------------- 11 5 IL PRODOTTO CARTESIANO ------------------------------------------------------------------------------------------- 19 BIBLIOGRAFIA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 2 di 22
1 Definizione di Insieme Si assumeranno, nel seguito, come primitive le nozioni di insieme e di elementi di un insieme, così la teoria sarà svolta in modo ingenuo (non completamente formalizzato) e si prescinderà dal formalismo rigoroso, necessario in una trattazione assiomatica. In senso intuitivo vale la seguente definizione di Cantor: DEFINIZIONE: Definizione intuitiva di Cantor: Un insieme è una raccolta, classe, aggregato, totalità di oggetti determinati ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero" (Cantor). Un insieme è indicato con una lettera latina maiuscola: DEFINIZIONE: Gli oggetti che compongono un insieme si chiamano anche elementi. Gli elementi si denotano con una lettera latina minuscola: ad DEFINIZIONE: Per dire che un oggetto è un elemento dell insieme (o che appartiene "), si scrive La negazione non appartiene ad si scrive Il simbolo fu introdotto da G. Peano e ricorda la prima lettera della parola greca, che in italiano significa è. DEFINIZIONE: Si definisce insieme vuoto l'insieme privo di elementi. Esso si denota col simbolo. OSSERVAZIONE: Importante notare che si parla dell insieme vuoto e non di UN insieme vuoto. Questo perché due insiemi vuoti sono indistinguibili. ESEMPI: i. 3 di 22
ii. iii. iv. 4 di 22
2 Metodi di rappresentazione degli insiemi L esempio precedente, mostra che ci sono due modi per descrivere gli elementi che concorrono a formare un insieme. E possibile elencare tutti gli elementi di un insieme tra parentesi graffe, oppure individuare una proprietà che caratterizzi tutti gli elementi dell insieme. Le due notazioni hanno un uso specifico nei seguenti casi: 1. Se l insieme è finito (cioè con un numero finito di elementi): si possono elencare tutti gli elementi tra parentesi graffe; 2. Se l insieme è finito o infinito: si può individuare una proprietà caratteristica dei suoi elementi, cioè una proprietà soddisfatta da tutti e soli gli elementi dell insieme. Questo è l unico modo per descrivere gli insiemi infiniti. OSSERVAZIONE: La proprietà che individuata non può (e non deve) dipendere dalla soggettività di chi scrive. Ad esempio se come criterio si sceglie Le ragazze più belle della facoltà, questo non può essere considerato un criterio soggettivo, perché dipende dal giudizio della persona. I metodi per rappresentare un insieme e i suoi elementi, non si riducono ai due appena visti (che definiremo formalmente nel seguito). Formalmente, un insieme può essere rappresentato mediante: piano Rappresentazione Grafica: Gli insiemi sono rappresentati mediante figure geometriche del delimitate da una curva semplice, chiusa e i loro elementi sono punti del piano situati all'interno di tale curva (diagrammi di EULERO - VENN). Questo tipo di rappresentazione è particolarmente utile per rappresentare le relazioni tra insiemi. 5 di 22
Rappresentazione per Elencazione (Estensiva o Tabulare): Gli elementi dell insieme sono elencati tutti, indipendentemente dall ordine, tra parentesi graffe e separati da virgola. In questo caso non si escludono ripetizioni. DEFINIZIONE: L insieme che si riduce a un unico elemento, si denota con il simbolo prende il nome di singleton. e OSSERVAZIONE: L insieme differisce dall elemento. Rappresentazione per proprietà caratteristica (Intensiva): Si specificano un dato numero di proprietà che servono per stabilire, in modo inequivocabile, quali elementi appartengono all insieme considerato. Equivalentemente si può scrivere: che. dove è la proprietà soddisfatta da. Ricordiamo che : e / sostituiscono la frase tale Con questo tipo di rappresentazione considero l insieme degli elementi di che soddisfano la proprietà. Questo vuol dire che appartiene all insieme, se e solo se, gode della proprietà. ESEMPIO: Consideriamo in un insieme c è un multiplo di, allora l insieme è rappresentato come: o equivalentemente 6 di 22
3 Insiemi e loro caratteristiche Nel seguito saranno utili alcuni simboli che rappresentano delle frasi, che si ritrovano anche nello studio della teoria degli insiemi. L espressione per ogni è denotata col simbolo detto quantificatore universale, mentre l espressione esiste almeno un è denotata col simbolo detto quantificatore esistenziale. Con il simbolo si indica il termine implica. Allora, dette e due proprietà, si scriverà (e si legge implica ) se non accade che sia vera e falsa, ovvero o è falsa oppure da vera segue vera. Si userà la scrittura e si dirà e sono equivalenti, se implica e implica. Le negazioni delle suddette frasi, si esprimono con i simboli DEFINIZIONE: Siano un insieme ed due elementi di, allora: La scrittura sta a denotare che i due simboli indicano lo stesso elemento di. Si legge uguale ad. La scrittura sta a denotare che con i simboli indicano due elementi distinti di. Si legge diverso da o, equivalentemente, non uguale ad. DEFINIZIONE: Siano due insiemi. Si dice che i due insiemi sono uguali e si scrive se è equivalente a, ossia se o sono entrambi vuoti, oppure sono dotati degli stessi elementi. Se non sono uguali, si scrive che si legge. DEFINIZIONE: Siano due insiemi. Si dice che è una parte di o, ancora, che è un sottoinsieme di e si scrive oppure se ogni elemento di B è anche elemento di A. Questo significa che tale che. In questo caso si dice che è incluso in o che A include. Per esprimere che non è una parte di si scrive oppure. OSSERVAZIONE: Fra i sottoinsiemi di un qualsivoglia insieme ci sono sempre l insieme vuoto e stesso: Essi sono detti sottoinsiemi impropri di, mentre gli altri sono detti sottoinsiemi propri. In particolare, un sottoinsieme proprio è tale che: 7 di 22
Allora vale la seguente definizione: DEFINIZIONE: Siano A e B due insiemi. Si dice che B è incluso strettamente in A o, equivalentemente, che B è una parte propria di A o, ancora, che B è un sottoinsieme proprio di A o, infine, che A include strettamente e si scrive se ogni elemento di è elemento di ed esiste almeno un elemento di che non appartiene a che equivale a quanto prima detto, cioè se è incluso in e è diverso da. ESEMPIO: 1. Se,, allora ; 2. Se,, allora ; 3. Se,, allora ; 4. Se, allora ; 5. Se A allora e, risulta. OSSERVAZIONE: La scrittura sta a denotare che B non è incluso strettamente in A e cioè che esiste almeno un elemento di che non appartiene ad, ovvero che o oppure. ESEMPIO: Se, allora perché l elemento che è in non è contenuto in. OSSERVAZIONE: L inclusione si può esprimere in termini di inclusione stretta: oppure. se 8 di 22
OSSERVAZIONE: Si ha, ovviamente, che, se e solo se, e. PROPOSIZIONE: L inclusione e l inclusione stretta godono della proprietà transitiva. DIM: Dimostriamo la proprietà vera per l inclusione. Si deve provare che, dati gli insiemi Per definizione di inclusione, dalla prima si ricava che ogni elemento di è anche elemento di, cioè tale che e dalla seconda ogni elemento di è anche elemento di. Questo significa che tale che, da cui si deduce che ogni elemento di è un elemento di, cioè. Si consideri l inclusione stretta. Analogamente, si deve provare: Per definizione di inclusione stretta, dalla prima inclusione si ottiene seconda da cui se deduce facilmente., dalla OSSERVAZIONE: Si osserva che se e allora. Questo perché tutti gli elementi di sono elementi di, ma esiste almeno un elemento di che non appartiene a. Poiché risulterà che esiste almeno un elemento di non appartenente a, cioè. DEFINIZIONE: Dato un insieme, si definisce insieme delle parti di, l insieme avente per elementi tutti e soli i sottoinsiemi di. In simboli: OSSERVAZIONE: L insieme non è mai vuoto, essendovi almeno ed. L insieme è anche detto insieme potenza di, per ricordare che è un insieme costituito da elementi possiede esattamente sottoinsiemi. ESERCIZIO: Considerato l insieme, si provi che è costituito da esattamente elementi. 9 di 22
sottoinsiemi. DIM: I sottoinsiemi di sono:. Esattamente 8 10 di 22
4 Operazioni tra insiemi DEFINIZIONE: Siano S un insieme ed A e B due parti di S. Si dice unione di A e B e si denota col simbolo il sottoinsieme di S: Nella figura 0.1.2 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme OSSERVAZIONE: Si ha, ovviamente: e. allora. B A 11 di 22
L unione del sottoinsieme con l ambiente è l ambiente stesso. Ovvero, perché. DEFINIZIONE: Il concetto di unione può essere esteso a un numero infinito di insiemi. Se insieme di insiemi, si definisce è un In particolare, se un insieme finito di insiemi, si scrive ESEMPIO: Dato l insieme e considerato, si ha Ovvero, l unione di tutte le parti di un insieme, è l insieme stesso. PROPOSIZIONE: L unione gode di alcune proprietà. Dati gli insiemi, si ha: 1. Proprietà di idempotenza (o iterativa): 2. Proprietà commutativa: ; 3. Proprietà associativa: (A B) C = A (B C). OSSERVAZIONE: In virtù della proprietà commutativa, si può scrivere l'insieme (A B) C senza parentesi e quindi porre: può appartenere anche a più insiemi contemporaneamente, ma questo non deve accadere per tutti gli, altrimenti si avrebbe. DEFINIZIONE: Siano S un insieme ed A e B parti di S. Si dice intersezione di A e B e si denota col simbolo A B il sottoinsieme di S : 12 di 22
L insieme degli elementi che appartengono simultaneamente ad tratteggiata rappresenta l'insieme A B. Nella figura 0.1.3 la parte DEFINIZIONE: Gli insiemi non hanno elementi in comune, cioè se, si dicono disgiunti. La seguente figura mostra, graficamente, due insiemi disgiunti: OSSERVAZIONE: Si ha, ovviamente: e ; 13 di 22
A B La parte in giallo evidenzia l intersezione., dove è l insieme ambiente. DEFINIZIONE: Il concetto di intersezione può essere esteso a un numero infinito di insiemi. Se insieme di insiemi, si definisce è un In particolare, se un insieme finito di insiemi, si scrive ESEMPIO: Dato l insieme e considerato, si ha Ovvero, l intersezione di tutte le parti di un insieme è il vuoto, perché tra le parti dell insieme c è anche l insieme vuoto. PROPOSIZIONE: L intersezione gode di alcune proprietà. Dati gli insiemi, si ha: 1. Proprietà di idempotenza (o iterativa): 2. Proprietà commutativa: ; 3. Proprietà associativa: (A B) C = A (B C). 14 di 22
OSSERVAZIONE: In virtù della proprietà commutativa, si può scrivere l'insieme (A B) C senza parentesi e quindi porre: appartiene a tutti gli insiemi coinvolti simultaneamente e all'insieme A B C si dà il nome di intersezione di A, B e C. PROPOSIZIONE: L unione e l intersezione godono di due proprietà particolari: 1. Proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione: 2. Proprietà distributiva dell intersezione rispetto all unione: 3. Proprietà di assorbimento:,. DIM: Per dimostrare la 1. si proverà la doppia inclusione. Sia per definizione di unione, si ha. Se, ovviamente, e, perché è sufficiente che l elemento appartenga a uno solo degli insiemi che sono coinvolti nell unione. Appartenendo a entrambi gli insiemi e apparterrà alla loro intersezione. Se per definizione di intersezione e, e per definizione di unione e anche a, allora apparterrà certamente alla loro intersezione. Si è quindi provato che in ogni caso. Per provare l altra uguaglianza, si consideri. Per definizione di intersezione. Ovviamente si possono presentare più casi, ma non appartiene ad. Allora, per definizione di unione, l appartenenza di a è sufficiente per dire che. Se, sarà e perché. Allora, e questo è sufficiente per dire che. Quindi. L uguaglianza è così dimostrata. La 2. ha una dimostrazione analoga alla precedente. Si prova sempre la doppia inclusione. Sia, da cui oppure. Ne segue che. 15 di 22
Viceversa, sia, allora oppure Quindi, e La 3. Discende quindi. DEFINIZIONE: Siano S un insieme ed A una parte di S. Si dice complemento di A e si denota col simbolo il sottoinsieme di S costituito da tutti e soli gli elementi di S non appartenenti ad A e quindi è: Nella figura 0.1.6 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme DEFINIZIONE: Siano S un insieme e e due parti di. Si dice complemento relativo di rispetto ad e si denota col simbolo il sottoinsieme di costituito da tutti e soli quegli elementi di che appartengono ad e non appartengono a e si scrive conseguentemente è:. Nella figura 0.1.7 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme 16 di 22
PROPOSIZIONE: Il complemento non gode della proprietà commutativa e associativa: DIM: Dato l insieme consideriamo ma, quindi il complemento non gode della proprietà commutativa. Si consideri, ora,, quindi non vale la proprietà associativa. OSSERVAZIONE: Dati gli insiemi ; Valgono le cosiddette formule di De Morgan: 1. 2. Le leggi di De Morgan possono essere estese a più insiemi. Dato un insieme di insiemi, si ha: PROPOSIZIONE: Il complemento gode della proprietà distributiva a destra, rispetto all unione e all intersezione. Dati tre insiemi : 17 di 22
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5 Il prodotto cartesiano DEFINIZIONE: Siano e due insiemi non vuoti. Se è un elemento di e è un elemento di all'insieme{{s},{s,t}} si dà il nome di coppia ordinata di prima coordinata o ascissa e seconda coordinata o ordinata e si denota col simbolo DEFINIZIONE: Si definisce prodotto cartesiano di per e si denota col simbolo quell insieme i cui elementi sono tutte e sole le coppie ordinate di prima coordinata in S e seconda coordinata in T e quindi è: OSSERVAZIONI: 1. Se almeno uno dei due insiemi S e T è vuoto allora 2. Il prodotto cartesiano non è commutativo essendo formato da coppie ordinate. 3.. PROPOSIZIONE: oppure uno dei due insiemi è vuoto DIM: Si supponga con i due insiemi non vuoti. Per ogni si ha, quindi, cioè. L altra implicazione appare ovvia. Se oppure uno dei due insiemi è vuoto, nel primo caso per l uguaglianza. Se. PROPOSIZIONE: Si noti che se e sono due insiemi non vuoti e ed sono due elementi di e e t sono due elementi di allora dire che è DIM: Sia per l uguaglianza degli insiemi e da si ha. Il viceversa è ovvio. 19 di 22
ESEMPIO: Dati gli insiemi cioè La nozione di coppia ordinata e di prodotto cartesiano, può essere esteso a un numero di elementi: DEFINIZIONE: Se n è un numero intero maggiore di due e se sono insiemi, tutti diversi dal vuoto, si supponga di aver definito le ordinate di elementi, allora se,.,, all'insieme si dà il nome di ennupla ordinata di prima coordinata, di seconda coordinata,., e di ennesima coordinata e si denota col simbolo. DEFINIZIONE: Si dice prodotto cartesiano degli insiemi e si denota col simbolo l'insieme i cui elementi sono tutte e sole le ennuple ordinate di prima coordinata in, di seconda coordinata in, e di ennesima coordinata in da cui: OSSERVAZIONI: Se almeno uno degli insiemi è vuoto, allora Se S è un insieme non vuoto e, per ogni elemento è allora si pone: DEFINIZIONE: Si definisce diagonale, e si indica con l insieme costituito dalle coppie tale che., del prodotto cartesiano OSSERVAZIONE: 20 di 22
OSSERVAZIONE: Il termine prodotto cartesiano è suggerito dalla geometria. Sia infatti l insieme dei numeri reali e un piano dove è fissato un riferimento cartesiano. Allora ogni punto può essere identificato con la coppia, dove è l ascissa del punto e l ordinata. Se il riferimento considerato è ortogonale, monometrico, gli elementi della diagonale rappresentano tutti e soli i punti della bisettrice del primo e terzo quadrante. 21 di 22
Bibliografia Curzio M., L. P. (s.d.). Lezioni di Algebra. Liguori Editore. Marcellini P., S. C. (s.d.). Calcolo. Liguori Editore. Wikipedia - Sistema di Riferimento. (s.d.). Tratto da http://it.wikipedia.org/wiki/sistema_di_riferimento_cartesiano 22 di 22