I NUMERI DI LEYLAND E LE SERIE DI FIBONACCI E DI PADOVAN

Gruppo B. Riemann * I NUMERI DI LEYLAND E LE SERIE DI FIBONACCI E DI PADOVAN Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Abstract In this paper we show some connection between Leyland s Numbers, Fibonacci s numbers and Padovan s numbers Riassunto In questo lavoro mostriamo brevemente alcune relazioni tra i numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci, simili a quelle già trovate sul numero delle cifre dei numeri perfetti ecc. Ma anche con i numeri della serie di Padovan, detta anche figlia di Fibonacci. Approfondiremo qui solo questo aspetto, tralasciando per il 1

momento le loro già note applicazioni (test di primalità e fattorizzazione) Innanzitutto riportiamo la definizione dei numeri di Leyland, da Wikipedia: Leyland number From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search In number theory, a Leyland number is a number of the form x y + y x, where x and y are integers greater than 1. [1] The first few Leyland numbers are 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequence A076980 in OEIS). The requirement that x and y both be greater than 1 is important, since without it every positive integer would be a Leyland number of the form x 1 + 1 x. Also, because of the commutative property of addition, the condition x y is usually added to avoid doublecovering the set of Leyland numbers (so we have 1 < y x). The first prime Leyland numbers are 17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193 ( A094133) corresponding to 3 2 +2 3, 9 2 +2 9, 15 2 +2 15, 21 2 +2 21, 33 2 +2 33, 24 5 +5 24, 56 3 +3 56, 32 15 +15 32. [2] As of June 2008, the largest Leyland number that has been proven to be prime is 2638 4405 + 4405 2638 with 15071 digits. From July 2004 to June 2006, it was the largest prime whose primality was proved by elliptic curve primality proving. [3] There are many larger known probable primes such as 91382 9 + 9 91382, [4] but it is hard to prove primality of large Leyland numbers. Paul Leyland writes on his website: "More recently still, it was realized that numbers of this form are ideal test cases for general purpose primality proving programs. They have a simple algebraic description but no obvious cyclotomic properties which special purpose algorithms can exploit." 2

There is a project called XYYXF to factor composite Leyland numbers. [5] Per le curve ellittiche, connesse alla congettura di Birch e Swinnertom Dyer, e alla relativa crittografia omonima (concorrente della più nota crittografia RSA) vedremo brevemente in seguito (vedi Nota finale). (I numeri di Leyland) sono usati per testare i programmi di fattorizzazione o primalità ( tra parentesi, il più grande numero di Leyland conosciuto è 2638^4405 + 4405^2638, che ha circa 15000 cifre Da LE SCIENZE luglio 2013, pag.26, articolo Siamo arrivati a 100! di Piergiorgio Odifreddi, rubrica Il matematico impertinente ). Ritorneremo in seguito su questo numero poiché su Wikipedia non si riporta la traduzione in italiano, riportiamo la definizione da un altro sito: todoslogos.altervista.org/num_leyland.php I numeri di Leyland sono numeri che possono essere scritti nella forma: x y + y x, con 1 < x <= y. Esempio 1: 17 è un numero di Leyland. Esso può essere scritto come: 17 = 2 3 + 3 2 Esempio 2: 2097593 è un numero di Leyland. Esso può essere scritto come: 2097593 = 2 21 + 21 2 Per approfondire: LINK I primi 10 numeri di Leyland 3

Riportiamo anche l elenco di tali numeri dalla sequenza OESIS A094133 (Numeri primi di Leyland) site is supported by donations to The OEIS Foundation. Search Hints (Greetings from The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!) A094133 as a simple table n a(n) 1 17 2 593 3 32993 4 2097593 5 8589935681 6 59604644783353249 7 523347633027360537213687137 8 43143988327398957279342419750374600193 9 4318114567396436564035293097707729426477458833 10 5052785737795758503064406447721934417290878968063369478337 che è molto utile ai nostro scopo, per il confronto tra il numero di cifre dei numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci, come vedremo in Tabella 1 4

TABELLA 1 Numeri di Leyland (L) o loro numero d ordine Numero di cifre Numeri di Fibonacci (F) o loro medie aritmetiche Differenze F - L 17 2 2 0 593 3 3 0 32993 5 5 0 2097593 7 8 1 5 10 13 10,5 3 0,5 6 17 17 0 7 27 27,5 0,5 8 38 34-4 9 46 44,5-1,5 10 58 55-3 Numeri in rosso: coincidenze perfette tra numeri di Leyland e numeri di Fibonacci o loro medie aritmetiche. Osservazioni: come si nota facilmente, il numero delle cifre dei numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci (o loro medie aritmetiche tra due numeri consecutivi) è minima, e quindi la 5

connessione tra le due serie numeriche è evidente, sebbene ancora tutta da dimostrare, come pure l analoga connessione con i numeri perfetti (vedi I numeri perfetti e il triangolo di Tartaglia (novità e altre proprietà ancora poco note e APPUNTI SUL PROBLEMA DI FERMAT (connessioni con la serie di Fibonacci) di prossima pubblicazione sul nostro sito) dove però non ci sono medie aritmetiche iniziali, ne emerge qualcuna solo dopo il 13 numero perfetto e dopo il 6 numero di Fermat) È possibile ipotizzare, visto che il numero delle cifre dei numeri di Leyland e i numeri di Fibonacci (o loro medie aritmetiche tra due numeri consecutivi) è minima, la connessione con Φ = ( 5 + 1) / 2 che è il numero aureo, che viene fuori dal rapporto tra un numero di Fibonacci e quello precedente e che, in teoria di stringa è connesso alle vibrazioni delle stringhe stesse che, secondo recenti studi, sembrano avere frequenze sempre coincidenti con valori derivanti da tale numero aureo. (Ref. Il numero aureo Φ: l orma impressa dal Creatore nell Universo. Michele Nardelli al link 6

http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/sites/default/files/sp_wizard/docs/il% 20numero%20aureo%20e%20l'unificazione.pdf) Qui riportiamo rispettivamente, dai suddetti lavori, le relative osservazioni per i suddetti numeri, cominciando dai numeri perfetti I primi 10 numeri perfetti sono: 6 28 496 8128 33 550 336 (8 cifre) 8 589 869 056 (10 cifre) 137 438 691 328 (12 cifre) 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre) 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre) 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre) Notiamo che il numero delle cifre ( evidenziato da noi in rosso ) dei numeri perfetti successivi costeggia la serie di Fibonacci (in verde): 1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 5 8 = 8 10 13 12 13 19 21 37 34 54 = 54? 89? 144 I prossimi numeri perfetti, quindi dovrebbero in teoria avere 7

rispettivamente numeri di cifre prossimi agli altri numeri di Fibonacci, ma non è proprio cosi: tale relazione comincia a venir meno dal 13 numero in poi Per i numeri di Fermat, invece: Tabella 1 n 2^n 2^2n+1 c = numero cifre fattori Primo o composto 0 1 2^1+1=3 1 1,3 primo 1 2 2^2= 4+1=5 1 1, 5 primo 2 4 2^4+1+1=17 2 1, 17 primo 3 8 2^8+1=257 3 1,257 primo 4 16 2^16+1= 65537 5 1, 65537 primo 5 32 2^2^32= 429967297 9 1,641,6700417 composto 6 64 2^64+1=18446744073709551617 20 composto Da F6 in poi vedi sopra dalla voce di Wikipedia. Non abbiamo trovato delle novità circa la soluzione del problema di Fermat, ma solo due possibili relazioni approssimative tra i numeri delle cifre dei valori noti con i numeri di Fibonacci (cosa che abbiamo notato anche con i numeri perfetti, relazione inclusa in un lavoro ancora in corso), e con i valori di k di 6k+1, forme dei numeri primi, in questo caso 6k -1 per i numeri di Fermat (tranne il 3 iniziale). 8

Alla tabella abbiamo infatti aggiunto, accanto al valore di 2^2^n+1 (primo o composto che fosse), il relativo numero di cifre, c, molto prossimo ai numeri di Fibonacci; e che riepiloghiamo nella seguente Tabella 2 Fn c = numero di cifre (o somma c+c dei rispettivi fattori) Tabella 2 Numeri f di Fibonacci (o loro medie) F0 1 1 F1 1 1 F2 2 2 F3 3 3 F4 5 5 F5 9 8-1 F6 20 21 1 Differenze f c anche queste prossime ad f F7 28 27,5 = -0,5 1 (21+34)/2 F8 19+62=81 89 8 F9 7+49+99=155 144-11 - 13 F10 8+10+40+252=310 377 67 72=(55+89)/2 F11 6+6+21+22+564=619 610-9 8 Come si vede, la relazione tra c dei numeri di Fermat, e i numeri f di Fibonacci o loro medie aritmetiche c è, sebbene approssimativa. Possiamo prevedere che per F12 il suo numero c di cifre sarà prossimo a 987 numero di Fibonacci. Non sappiamo ancora come tale relazione potrebbe influire sulla soluzione del problema di Fermat 9

(per n > 5 si hanno tutti composti?) ma potrebbe influire in futuro con altre ricerche sull argomento. Vediamo ora con la forma 6k+1 dei numeri di Fermat, a partire da 5 Tabella 3 Fn (di forma 6k-1) k =(Fn +1)/6 Fibonacci f Differenze f-k 5=6*1-1 1 1 0 17 = 6*3-1 3 3 0 257= 6*43-1 43 44,5 = 1,5 2 (34+55)/2 65537=6*10923-1 10 923 10 946 23 21 4294967297=6*7115827883-715 827 883?? 1 Non sappiamo se 715 827 883 sia vicino ad un numero di Fibonacci, ma per i valori di Fn fino a F5 una sia pur debole connessione con k c è pure, occorrerebbe approfondirla meglio ma occorre una lista lunghissima di numeri di Fibonacci o un loro calcolo veloce. Notiamo anche che il rapporto k/ k precedente è di circa Fn precedente, e ciò potrebbe essere utile per ulteriori ricerche. Lasciamo ai lettori e matematici volenterosi l onere della dimostrazione di tali interessanti relazioni tra i numeri di cifre e la serie di Fibonacci, molto evidente nella parte iniziale delle rispettive liste di numeri perfetti, numeri di Fermat e numeri primi di Leyland. 10

Qui continueremo soltanto con la distribuzione dei numeri di Leyland più piccoli (primi e non primi), e con la connessione delle basi con la serie di Fibonacci. Cominciamo brevemente da quest ultima, da Wikipedia: 3 2 +2 3, 9 2 +2 9, 15 2 +2 15, 21 2 +2 21, 33 2 +2 33, 24 5 +5 24, 56 3 +3 56, 32 15 +15 32. [2] Anche le basi con esponente 2, segnate in rosse, ricalcano la serie di Fibonacci: 3, 8, 13,21, 34, numeri vicinissimi a 3, 9, 15, 21, 33 con 3 e 21 numeri di Fibonacci essi stessi. Distribuzione fino a 10^n 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequence A076980 in OEIS). Vedi successiva lista OESIS 11

TABELLA 4 n 10^n L valore reale (Numeri di Fibonacci o loro medie) Osservazione: valori reali intorno a: Valore stimato per difetto n* (n+1) (Fibonacci o loro medie) 1 10 1 1 0n +1 =0+1=1 2 2 2 100 6 5 3n=3*2 6 5 3 1 000 13 13 4n +1=12+1 12 13 4 10 000 22 21 5*4 +2 20 21 5 100 000 32 34 6*5 + 2 30 34 6 10^6 40 7*6-2 42 44,5 7 10^7 53 55 8*7-3 56 55 8 10^8 65 72 9*8-7 72 72 9 10^9 76 72 10*9-14 72 72 10 10^10 91 89 11*10-19 110 116,5 12

Tale tabella si può proseguire ancora con la lista successiva, con risultati simili; valori reali di a(n) prossimi a numeri di Fibonacci o loro medie, o anche prossimi a numeri di forma 2T, con T numeri triangolari (Rif.1) nell ordine 2, 6, 12, 20, 30, 56, 72, 110 che, con l aggiunta di 1, danno i numeri di Lie, di forma 2T +1 molto importanti in Fisica ( 7, 13 e 31 sono alla base dei Gruppi di Lie). Inoltre, i numeri di forma 2T sono la somma dei primi numeri pari: 0+2=2 2+4=6 2+4+6+8= 20 2+4+6+8+10=30 connessi al numero di facce e spigoli dei solidi platonici, importanti nelle simmetrie della natura e quindi ai gruppi di Lie eccezionali (Rif.1) Da http://oeis.org/a076980 : 13

This site is supported by donations to The OEIS Foundation. Search Hints (Greetings from The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!) A076980 as a graph 14

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Lista completa fino a 100 000 e incompleta (salvo i punti di variazione di a(n) per ogni successiva potenza di 10, fino a 981 1000000000000000000000000000000064925062108545024 Per il quale il valore reale di a(n) è 981 987 numero di Fibonacci N a(n) 1 8 2 17 3 32 4 54 5 57 6 100 7 145 8 177 9 320 10 368 11 512 12 593 13 945 14 1124 15 1649 16 2169 17 2530 18 4240 19 5392 20 6250 21 7073 22 8361 23 16580 24 18785 25 20412 26 23401 27 32993 28 60049 29 65792 30 69632 31 93312 32 94932 33 131361 34 178478 35 262468 36 268705 37 397585 38 423393 39 524649 40 533169 41 1048976 16

42 1058576 43 1596520 44 1647086 45 1941760 46 2012174 47 2097593 48 4194788 49 4208945 50 4785713 51 7861953 52 8389137 53 9865625 54 10609137 55 14352282 56 16777792 57 16797952 58 33554432 59 33555057 60 43050817 58 33554432 59 33555057 60 43050817 61 45136576 62 48989176 63 61466176 64 67109540 65 67137425 66 129145076 67 134218457 68 177264449 69 244389457 70 268436240 71 268473872 72 292475249 73 364568617 74 387426321 75 536871753 76 774840978 77 1073742724 78 1073792449 79 1162268326 80 1173741824 81 1221074418 82 1996813914 83 2147484609 84 2179768320 85 3486792401 86 4294968320 87 4295032832 88 4486784401 89 6104053449 90 8589935681 91 8804293473 92 10460362464 93 13065520825 152 95367434840625 153 100289254654976 222 875787780761718750 223 1000003570467226624 17

368 10000000000095367431640625 369 13010380216396078174437376 608 88817841970012523233890533759765625 609 100000000000000000002758547353515625 980 971645701575323882520752459035469290779633195032 981 1000000000000000000000000000000064925062108545024 Forma aritmetica dei numeri primi di Leyland Come tutti i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali), anche i numeri primi di Leyland debbono avere forma aritmetica 6k + 1. Infatti, da tabella seguente, abbiamo: numeri primi di Leyland TABELLA 5 Forma numerica 6k -1 18 Rapporto successivo tra i valori di k (numeri di Fibonacci vicini) 17 6*3-1 593 6*99-1 99/3 =33 34 32993 6*5499-1 5499/99 = 55,54 55 2097593 6*349599-1 349599/5499= 63,57 55 Gli stessi valori approssimativi si trovano ovviamente con i rapporti successivi tra un numero primo di Leyland e il

precedente: 593/17 = 34,88 34 32993/593 = 55,63 55 2097593/32993= 63,57 55 Questa è un altra connessione con i numeri di Fibonacci, almeno nella parte iniziale della serie dei numeri di Leyland. Per quanto riguarda gli altri numeri di Leyland, la loro forma spazia per tutte le forme 6k-1 6k-2, 6k-3, 6k-4 ecc. come da seguente tabella (in rosso i numeri di Leyland più piccoli: TABELLA 6 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k 6k+1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (primo) 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 19

100 101 102 103 590 591 592 593 594 595 (primo) E può essere primo, come il 17, quando ricade solo nelle colonne 6k + 1, quelle dei numeri primi e loro prodotti e loro potenze. Ma, come abbiamo già visto, i numeri primi di Leyland sembrano preferire la sola forma 6k -1, almeno i primi quattro. 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequence A076980 in OEIS). Circa il rapporto successivo vediamo con la prossima Tabella 7. TABELLA 7 Numeri di Leyland Rapporto successivo 8-17 17/8 =2,1250 32 1,8823 54 1,6875 57 1,0550 100 1.7543 145 1,4500 177 1,2206 20

320 1,8079 368 1,1500 L andamento dei rapporti è un po irregolare, mantenendosi comunque compreso tra 1 e 2, salvo per il valore iniziale 2,1250. Media aritmetica: 1,2522 1,2720 = 1,618 numero aureo Il numero 1,25 è anche la media dei rapporti successivi dei numeri di Padovan, che vedremo in seguito, ed ecco le somiglianze tra le due serie numeriche. Anche questo potrebbe essere interessante per ulteriori approfondimenti. Anche qui il numero aureo viene fuori dai rapporti successivi tra un numero primo di Leyland e il precedente almeno nella parte iniziale della serie dei numeri ed anche nella media aritmetica vista sopra 1,2522 1,2720 = 1,618 e come detto già in precedenza, in teoria di stringa tale numero è connesso alle vibrazioni delle stringhe stesse che, secondo recenti studi, 21

sembrano avere frequenze sempre coincidenti con valori derivanti da tale numero aureo. Vediamo ora la relazione diretta tra numeri di Leyland con i numeri di Fibonacci e numeri vicini, oltre quella già vista per il loro numero di cifre (in TABELLA 4). I numeri di Leyland sono segnati in rosso TABELLA 8 F-2 F-1 FIBONACCI F+1 F+2 F 1 1 2 3 5 8 13 17 = media tra 13 e 21 21 32 34 54 55 57 89 144 145 233 377 610 22

La suddetta connessione è buona solo nella fase iniziale, poi si dirada sempre più. Vediamola ora con i numeri di partizione TABELLA 9 P-2 P-1 Numeri P+1 P+2 P Partizione 7 8 11 15 17 22 30 32 42 54 56 57 77 100 101 135 176 177 231 297 385 490 23

627 792 1002 1255 1575 Anche qui la connessione è buona nella fase iniziale, poi le due serie divergono sempre più. Con i numeri triangolari T si ottengono risultati simili. Relazioni con i numeri di Padovan, con frequenza simile TABELLA 10 P-2 P-1 Numeri P P+1 P+2 di Padovan 7 8 8= media tra 7 e 9 8 9 12 16 17 17 16,5 media tra 16 e 21 21 28 32,5 24

Media tra 28 e 37 37 49 57 Media perfetta tra 49 e 65 65 86 100 Media perfetta tra 86 e 114 114 151 177 175,5 Media tra 151 e 200 200 265 320 308 Media tra 265 e 351 351 465 Vedi anche successive Tabella 11 e Tabella 12. 25

In questo caso la serie dei numeri di Leyland costeggia molto bene la media aritmetica tra due numeri successivi di Padovan, e nel caso di 8, 57 e di 100 essi coincidono perfettamente con tale media (Tabella 12), oltre ad essere essi stessi numeri di Leyland. E anche viceversa (Tabella 11), in modo equivalente. Anche questo potrebbe essere interessante, e anche di più rispetto ai numeri di Fibonacci o delle partizioni, dove tale fenomeno si ripete pure, ma con minore precisione. Alternanza tra le due serie di numeri e loro fattori TABELLA 11 (in rosso le medie perfette) Numeri di Leyland Numeri di Padovan ( medie tra numeri di Leyland) 26 Fattori dei numeri di Leyland da 8 in poi Fattori dei numeri di Padovan da 7 in poi In blu i semiprimi 7 primo 8 2*2*2 9

12 16 2*2*3 2^4 17 primo 21 28 3*7 2*2*7 32 2^5 37 49 primo 7^2 54 2*3*3*3 --- 57 3*19 65 86 5*13 2*43 100 2*2*5*5 114 2*3*19 145 5*29 151 primo 177 3*59 151 200 265 primo 2^3*5^2 2*53 320 2^6*5 351 3^3*13 368 2^4*23 27

Numeri di Padovan TABELLA 12 (medie invertite) In rosso le medie perfette Numeri di Leyland ( medie tra numeri di Padovan) 28 Fattori dei numeri di Padovan da 7 in poi In blu i semiprimi Fattori dei numeri di Leyland da 8 in poi 7 primo 8 2*2*2 9 12 16 21 28 37 49 --- 65 86 2*2*3 2^4 17 primo 3*7 2*2*7 32 2^5 primo 7^2 54 2*3*3*3 57 3*19 5*13 2*43 100 2*2*5*5 114 2*3*19 145 5*29 151 primo 177 3*59 200 2^3*5^2

265 2*53 320 2^6*5 351 3^3*13 368 Circa le fattorizzazioni dei due tipi di numeri, non ci sono sostanziali differenze: numeri primi, semiprimi e prodotti di piccoli numeri primi sono presenti in circa le stesse quantità nelle due serie numeriche. La cosa più importante che abbiamo scoperto è l alternarsi, sia pure un po irregolare, tra i due tipi di numeri, con a volte due o anche tre numeri di una serie compresi tra due numeri dell altra serie, e l osservazione sulle medie aritmetiche. Quindi i numeri di Leyland sono connessi, oltre che con la serie di Fibonacci (direttamente o anche tramite il numero delle loro cifre), anche meglio con la serie di Padovan (detta anche figlia di Fibonacci, Rif.2) tramite le medie tra due numeri successivi di questa serie, e viceversa. 29

Per quanto riguarda il numero di Leyland più grande conosciuto, osserviamo che 10946, 17711 sono i due numeri di Fibonacci prossimi a 15 000; la loro media è 14328,5 vicina al numero di cifre, 15000, del più grande numero di Leyland: 2638^ 4405 + 4405^2638 Quindi la suddetta relazione tra numero di cifre dei numeri primi di Leyland e numeri di Fibonacci o ad essi molto vicini (e/o medie aritmetiche dei numeri di Fibonacci o numeri ad esse molto vicini), e ancora meglio con la serie di Padovan, continua all infinito, essendo tutte e tre serie infinite. Conclusioni Possiamo concludere che tali relazioni con i numeri di Fibonacci e di Padovan, pur non ancora dimostrate, sono molto evidenti, relazioni (per quanto riguarda Fibonacci) anche con i numeri perfetti e i numeri di Fermat (primi e non primi). 30

Future dimostrazioni spiegheranno il perché di tale relazione, sicuramente non del tutto casuale. Riferimenti 1) L EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n 2 + n + 1 (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri,delle simmetrie e delle teorie di stringa ) (aggiornamento all 1.1.2012 con alcune tabelle finali) GRUPPO B. RIEMANN - Francesco Di Noto, Michele Nardelli sul sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ 2) I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE) Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli 31

NOTA FINALE sulla congettura di Birch e Swinnerton Dyer. Poiché i numeri di Leyland hanno a che fare anche con le curve ellittiche (e queste con la relativa crittografia), è possibile che prima o poi gli infiniti numeri di Leyland possano contribuire in qualche modo a dimostrare l esistenza di infiniti punti razionali sulle curve ellittiche, e, di conseguenza, anche se molto indirettamente, anche la suddetta congettura, che è uno dei sei problemi del millennio ancora irrisolti. 32