FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA

FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA Appunti raccolti nel Dipartimento di Fisica dell Università La Sapienza di Roma a cura di Stefano Patrì. Indirizzo e-mail dell autore: seriegeo@yahoo.it 5 ottobre 008

PREFAZIONE Queste note sono gli appunti che ho raccolto frequentando le lezioni di Meccanica Quantistica del Prof. Massimo Testa. Io avevo già superato l esame di Istituzioni di Fisica Teorica della laurea quadriennale molti anni prima, non avendo però purtroppo potuto apprendere la materia a quell epoca dal Prof. Massimo Testa perché egli era impegnato allora con altri corsi. Non è mai bello far confronti fra docenti, soprattutto se poi è trascorso un così lungo periodo come fra quella prima volta e la seconda con il Prof. Testa. Mi limito pertanto ad esprimere viva ed immensa gratitudine al Prof. Massimo Testa perché soltanto dopo aver frequentato le sue ineguagliabili lezioni, ho potuto dire di aver compreso finalmente un pochino i fondamenti di quell affascinante costruzione teorica che è la Meccanica Quantistica. Sebbene io mi consideri oggi pienamente ed estremamente contento, felice, soddisfatto e realizzato nella mia vita, tuttavia mi capita ogni tanto di domandarmi, senza che possa mai più esservi una risposta, come sarebbe stata la mia vita se, quando avevo vent anni, avessi potuto apprendere la Meccanica Quantistica da un docente dai modi e dallo stile del Prof. Massimo Testa. Sperando che il lavoro di raccolta degli appunti delle lezioni del Prof. Testa possa essere di qualche giovamento per qualcuno, invito chiunque leggesse queste mie pagine ad inviarmi un qualsiasi suo commento personale di ogni tipo, nonché a segnalarmi qualunque errore, svista, imprecisione che venissero trovati. Grazie Stefano Patrì

Indice Dalla fisica classica alla fisica quantistica 5. Radiazione di corpo nero......................... 5. Effetto fotoelettrico............................ 7.3 Interferenza ottica............................. 9 Formalismo generale nella notazione di Dirac. Considerazioni preliminari......................... Spazio degli stati possibili.........................3 Osservabili e operatori lineari....................... 4.4 Misura di un osservabile......................... 7.4. Caso degli operatori continui in dimensione infinita....... 9.4. Misura simultanea di osservabili..................5 Rappresentazione di operatori...................... 5.6 Legame fra osservabili classiche e operatori quantistici......... 7.6. Trasformazioni unitarie e operatore impulso........... 30.7 Autostati dell operatore impulso..................... 36.7. Trasformate di Fourier...................... 37.7. Operatore posizione nella base degli autostati dell impulso... 39.8 Impulso e traslazioni spaziali....................... 39.9 Principio di indeterminazione....................... 44.9. Pacchetti d onda......................... 46 3 Evoluzione temporale degli stati 49 3. L equazione di Schrödinger e propagatore quantistico.......... 50 3.. Evoluzione temporale e misura di due osservabili........ 55 3. Rappresentazione di Heisenberg..................... 57 3.3 Densità di corrente di probabiltà..................... 59 3.4 Operatore Densità............................. 60 3.4. Velocità di trasmissione dell informazione............ 6 3.5 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert.................. 63 3.6 Interazione tra sistema fisico e apparato di misura............ 64 3

4 INDICE 3.6. Difficoltà nell osservazione della meccanica quantistica.... 65 4 Soluzioni dell equazione di Schrödinger 69 4. Equazione di Schrödinger per la particella libera............. 69 4. Analisi qualitativa delle soluzioni..................... 7 4.3 Potenziali costanti a tratti......................... 76 4.3. Buca di potenziale........................ 78 4.3. Particella nel segmento: buca di potenziale con pareti infinite.. 79 4.4 L oscillatore armonico in una dimensione................ 8 4.4. Rappresentazione matriciale degli operatori........... 86 4.4. Oscillatore armonico asimmetrico................ 87 4.4.3 L oscillatore armonico isotropo in due dimensioni........ 87 4.4.4 Livelli di Landau......................... 90 5 Formulazione mediante integrali di cammino 93 5. Integrali di cammino e fenomeno dell interferenza............ 97 5. Effetto Aharonov-Bohm......................... 99 6 Momento angolare 03 6. Momento angolare di spin........................ 6.. L equazione di Pauli....................... 3 6. Composizione di momenti angolari.................... 7 6.3 Covarianza per rotazioni......................... 5 6.3. Covarianza dell equazione di Schrödinger............ 6 6.3. Covarianza dell equazione di Pauli................ 30 7 Sistemi in tre dimensioni 35 7. L atomo d idrogeno............................ 35 7. L oscillatore armonico isotropo...................... 4 8 Particelle identiche 43 8. Località della fisica............................ 47 9 Teoria delle perturbazioni 49 9. Teoria indipendente dal tempo: caso non degenere............ 49 9. Teoria indipendente dal tempo: caso degenere.............. 5 9.3 Metodo variazionale........................... 53 9.4 Teoria dipendente dal tempo....................... 54 0 Formalismo di seconda quantizzazione 57 Qualche esercizio 63

Capitolo Dalla fisica classica alla fisica quantistica Come afferma Thomas Kuhn a proposito delle rivoluzioni scientifiche, una rivoluzione scientifica viene sempre preceduta da un accumularsi di risultati sperimentali che induce a dubitare della validità della teoria consolidata relativamente a quell ambito di osservazione e a costruire quindi una nuova teoria che meglio si accordi con quei risultati. Verso la fine del diciannovesimo secolo si erano accumulate una serie di evidenze empiriche in virtù delle quali si cominciò a dubitare della validità della meccanica newtoniana quando si cercava di studiare fenomeni che avvenivano su scala microscopica. Limitandoci soltanto ad una breve analisi di pochi fenomeni che evidenziarono certi limiti della fisica classica, rimandiamo a testi della letteratura più ampi per una più esauriente trattazione di questi e di altri fenomeni che rappresentarono una sorta di crisi della fisica newtoniana.. Radiazione di corpo nero Fra questi fenomeni, in ambito termodinamico, c era il problema della cosiddetta radiazione di corpo nero, o radiazione termica. Nella seconda metà del XIX secolo Kirchhoff aveva condotto una serie di esperimenti sull emissione e sull assorbimento della luce. L osservazione empirica mostra che un corpo caldo emette radiazione elettromagnetica sotto forma di calore la cui distribuzione in lunghezza d onda (chiamata distribuzione spettrale) dipende dalla temperatura. Se un corpo è in equilibrio termico con l ambiente circostante e si trova quindi a temperatura costante T, allora esso deve emettere e assorbire la medesima quantità di energia nell unità di tempo sotto forma di radiazione, altrimenti la sua temperatura subirebbe variazioni. 5

6 CAPITOLO. DALLA FISICA CLASSICA ALLA FISICA QUANTISTICA La radiazione emessa o assorbita in queste condizioni viene denominata radiazione termica e si definiscono potere emissivo, indicato con E, e potere assorbitivo di un corpo le quantità di energia che nell unità di tempo e per unità di superficie tale corpo rispettivamente emette e assorbe. Si definisce quindi corpo nero un corpo che assorbe tutta l energia prodotta dalla radiazione incidente su di esso. L espressione radiazione di corpo nero, coniata da Kirchhoff, deriva dal fatto che la radiazione prodotta da un corpo riscaldato può essere osservata chiudendo il corpo in un forno e guardando quindi la luce emessa attraverso un piccolo foro appositamente praticato nella parete del forno stesso al cui interno vi è ovviamente oscurità. Possiamo allora fare a meno del forno e utilizzare una cavità mantenuta a temperatura costante, al cui interno sia fatto il vuoto, che abbia un piccolo foro attraverso il quale possa entrare o uscire un raggio di luce. Tale foro si comporta come un corpo nero perché tutta la radiazione che entra dall esterno attraverso di esso viene effettivamente assorbita dopo varie riflessioni sulle pareti all interno della cavità. Se la temperatura della cavità viene poi fatta variare, si osserverà che la radiazione uscente dal foro all esterno sarà, al crescere della temperatura, via via più splendente fino a cambiare colore dal rosso scuro al giallo e infine al bianco intenso. Ciò accade perchè gli elettroni del metallo delle pareti della cavità si comportano come degli oscillatori i quali, appunto oscillando per effetto del riscaldamento, subiscono una variazione dello stato di moto ed emettono in tal modo radiazione elettromagnetica. Questa radiazione può essere assorbita dagli stessi elettroni ed essere irradiata di nuovo. Il processo va avanti indefinitamente benché vi sia ovviamente una perdita di radiazione attraverso il piccolo foro che ce ne consente l osservazione e la misura. Alla distribuzione dei colori corrisponde il dispiegamento delle lunghezze d onda, indipendentemente dal tipo di materiale di cui è costituita la cavità. Considerando l equilibrio termico fra oggetti di materiali differenti e utilizzando solo le leggi della termodinamica, Kirchhoff era giunto alla conclusione che il potere assorbitivo e il potere emissivo di un corpo sono uguali indipendentemente dalla temperatura del corpo stesso e per radiazione di qualsiasi lunghezza d onda. La densità di energia e la composizione della radiazione emessa all interno di un corpo cavo, delimitato da pareti impenetrabili a temperatura T, dovevano essere indipendenti dalla natura delle pareti stesse. In altre parole la densità ρ di energia della radiazione è una funzione universale della frequenza ν e della temperatura assoluta T ; la potenza emessa per unità di area da un corpo nero a frequenze comprese fra ν e dν, indicata con ρ(ν, T) dν, deve fornire una potenza totale R emessa per unità di area data da R = + 0 ρ(ν, T) dν Per determinare la forma della funzione ρ, si utilizzarono esclusivamente argomentazioni di natura termodinamica: in particolare la legge di proporzionalià, trovata dai

.. EFFETTO FOTOELETTRICO 7 fisici austriaci J. Stefan e L. Boltzmann, fra il potere emissivo di un corpo e la quarta potenza della sua temperatura assoluta T (E = σt 4 ) e la legge per la quale il prodotto della temperatura per la lunghezza d onda che fornisce il valore massimo dell emissione (legge dello spostamento di Wien) risulta costante (λ max T = k). La forma della funzione ρ, proposta dal fisico tedesco W. Wien in accordo con queste due leggi, fu dunque ρ(ν, T) = a ν 3 e bν T (.) dove a e b sono due costanti positive, ma ulteriori esperimenti evidenziarono che questa espressione della ρ(ν, T) non vale per le basse frequenze per le quali i fisici Rayleigh e Jeans trovarono l espressione ρ(ν, T) = atν (.) Il fisico M. Planck risolse allora il problema della radiazione di corpo nero ipotizzando che gli oscillatori ai quali è dovuta l emissione della radiazione di frequenza ν, scambino energia con le pareti non in modo continuo, bensì a pacchetti, in modo che le energie siano dunque multiple del pacchetto (denominato quanto) hν e, sulla base dei principi di meccanica statistica, pervenne alla relazione, assolutamente non deducibile da argomentazioni di fisica classica ρ(ν, T) = 8πh c 3 ν 3 e hν KT dove h è la famosa costante di Planck avente le dimensioni fisiche di un azione, c è la velocità della luce nel vuoto e K è la costante di Boltzmann. Si verifica facilmente che la ρ(ν, T) di Planck si riduce alla (.) nell approssimazione di alte frequenze e si riduce alla (.) nell approssimazione di basse frequenze.. Effetto fotoelettrico L importanza del ruolo della costante h fu chiarito in seguito da Einstein attraverso lo studio dell effetto fotoelettrico. Con questo nome si intende quel fenomeno per il quale degli elettroni fuoriescono da un metallo quando su di esso si invia una radiazione incidente avente un energia maggiore di un energia di soglia Ū. Nel corso di esperimenti finalizzati all indagine delle proprietà delle onde elettromagnetiche, H. Hertz scoprì nel 887 che quando della radiazione ultravioletta incide su elettrodi metallici facilita il passaggio di una scintilla. Successivi esperimenti mostrarono che le particelle cariche sono emesse dalle superfici metalliche quando queste ultime vengono irradiate da onde elettromagnetiche di alta frequenza. Gli aspetti più importanti che emersero dai dati sperimentali furono il fatto che vi è una frequenza di soglia della radiazione incidente sotto la quale, qualunque sia l intensità, non si verifica nessuna emissione di elettroni; gli elettroni fuoriescono con valori del modulo della velocità che vanno da zero fino ad

8 CAPITOLO. DALLA FISICA CLASSICA ALLA FISICA QUANTISTICA un valore v max tale che l energia cinetica corrispondente alla stessa v max dipende linearmente dalla frequenza della radiazione incidente e non dipende dalla sua intensità, che è proporzionale al valor medio del modulo del quadrato del campo elettrico E; il numero di elettroni emessi per unità di tempo risulta essere, per una data frequenza della radiazione incidente, proporzionale all intensità della radiazione; l emissione di elettroni si verifica immediatamente non appena la radiazione comincia ad incidere sulla superficie, senza che trascorra nessun intervallo di tempo. Secondo la fisica classica ci si poteva attendere che l energia cinetica massima degli elettroni emessi sarebe aumentata con la densità di energia (o intensità) della radiazione incidente, indipendentemente dalla frequenza, ma questo non si acccorda con l osservazione. Inoltre secondo la teoria classica l energia incidente è distribuita uniformemente su tutta la superficie illuminata e poiché per estrarre un elettrone da un atomo occorre che la radiazione sia concentrata su un area delle dimensioni atomiche, allora dovrebe trascorrere un intervallo di tempo prima che la radiazione possa arrivare ad incidere sulla regione con le dimensioni opportune. Einstein fornì nel 905 una spiegazione per questi strani aspetti dell effetto fotoelettrico basata sull estensione della teoria di Planck della quantizzazione della radiazione di corpo nero. Nella teoria di Planck gli oscillatori che rappresentano la sorgente del campo elettromagnetico possono vibrare con energie E = nhν, mentre Einstein formulò l ipotesi che il campo elettromagnetico stesso fosse quantizzato e che la luce fosse costituita da corpuscoli denominati quanti di luce o fotoni che si muovono con la velocità c della luce e trasportano un quanto di energia E = hν. I fotoni sono sufficientemente localizzati, in modo tale che l intero quanto di energia possa essere assorbito da un atomo istantaneamente e possa essere pertanto usato per estrarre un elettrone dall atomo. A causa delle interazioni dell elettrone emesso con gli altri atomi, occorre che la radiazione incidente abbia una certa energia minima Ū per estrarre l elettrone, da cui segue che l energia cinetica massima di un fotoelettrone è data da mv max = hν Ū (.3) e la frequenza di soglia ν s assume il valore ν s = Ū h ottenuto per v max = 0. Pertanto per innalzare l energia degli elettroni fuoriusciti, occorre aumentare la frequenza della radiazione incidente, perché dalla (.3) si ha che più pacchetti si inviano, maggiore è l energia che gli elettroni ricevono. Queste osservazioni sembravano confermare l idea dei pacchetti di Planck, ovvero la visione corpuscolare della radiazione. Tale visione corpuscolare, in realtà, risaliva a Newton che faceva notare come la riflessione della luce ad un angolo pari a quello di incidenza assomigliasse al rimbalzo di una pallina (corpuscolo) su una parete.

.3. INTERFERENZA OTTICA 9.3 Interferenza ottica A far abbandonare l idea corpuscolare della luce era stata, dopo Newton, l osservazione del fenomeno dell interferenza ottica. Data una radiazione che passa attraverso due fenditure, si ha che nel punto di osservazione P (fig..) le due onde (passanti per le due fenditure) si sommano in fase (fig..3) perché hanno percorso uguale cammino ottico. Nel punto di osservazione Q invece le due onde giungono dopo aver percorso due differenti cammini ottici sfasati di una quantità (fig..). Se vale = nλ, con λ lunghezza d onda della radiazione, allora le due onde si sommano ancora in fase, come per il punto P. Se invece risulta = nλ/, allora segue che le due onde, interferendo, si annichilano (fig..4). Se teniamo aperta soltanto una delle due fenditure, allora si ottiene uno spettro simmetrico centrato sulla fenditura aperta (fig..5); mentre se teniamo aperte entrambe le fenditure, non si ottiene la sovrapposizione dei due spettri relativi alle fenditure aperte separatamente (fig..6), come ci si potrebbe attendere, ma poiché in alcuni punti di osservazione si ha = nλ e in altri = nλ/, si ottiene l immagine di interferenza riprodotta nella figura.7. La radiazione, dunque, per l elettromagnetismo classico possiede natura ondulatoria. Come vedremo nel prossimo capitolo, gli elettroni, che pure sono particelle (cioè corpuscoli), quando vengono inviati contro una barriera avente due fenditura, dànno luogo a fenomeni di interferenza analoghi ai fenomeni di interferenza appena discussi che sono tipici della natura ondulatoria della radiazione. La meccanica quantistica che nacque per spiegare, fra gli altri, i fenomeni della radiazione di corpo nero e dell effetto fotoelettrico, venne sviluppata dunque per conciliare la natura corpuscolare delle particelle (elettroni) con il loro comportamento ondulatorio che si manifesta quando esse vengono inviate contro due fenditure di una lastra e dànno luogo al fenomeno dell interferenza del tutto analogo a quello che si osserva quando contro le medesime due fenditure viene inviata una radiazione elettromagnetica. F Q F P F F fig.. fig..

0 CAPITOLO. DALLA FISICA CLASSICA ALLA FISICA QUANTISTICA Fig..3 Fig..4 F F F F Fig..5 Fig..6 F F Fig..7

Capitolo Formalismo generale nella notazione di Dirac. Considerazioni preliminari Secondo Feynman, ciò che diede l ispirazione per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica, ovvero la chiave per capire come è nata la meccanica quantistica, è stato il fenomeno dell interferenza ottica. Inviando infatti degli elettroni attraverso due fenditure, non si osserva uno spettro dato dalla sovrapposizione dei due spettri ottenuti inviando gli elettroni attraverso una sola fenditura tenendo chiusa l altra (fig..6); si osserva piuttosto una figura di interferenza analoga a quella appena illustrata per la radiazione (fig..7). Questa interferenza vale inoltre elettrone per elettrone, cioè se inviamo elettroni uno alla volta e attendiamo che ne giunga uno sulla lastra prima che parta il successivo, dopo che siano stati inviati un certo numero di elettroni, si osserva comunque la stessa figura di interferenza di prima. Allora occorre introdurre una probabilità che l elettrone cada in un certo punto della lastra. Questa probabilità è teorica e non pratica, come è invece in teoria cinetica dei gas e in meccanica statistica. In teoria cinetica dei gas e in meccanica statistica la necessità di descrivere la dinamica microscopica in termini probabilistici derivava dal problema pratico che cè in gioco una gran quantità di particelle delle quali è incontrollabile lo stato dinamico. Nell interferenza di elettroni la probabilità è teorica perché in realtà la loro dinamica è completamente sotto controllo senza che vi siano variabili nascoste non controllabili. Nel caso dell interferenza ottica si aveva che essa derivava dal valor medio dell intensità ( E + E ), dove E e E sono i campi elettrici associati alle due onde: quindi il concetto di probabiltà quantistica non risiede tanto in una densità di probabiltà in sé, bensì in una funzione ψ(x) il cui quadrato (o per meglio dire, il cui modulo quadro) dia la probabiltà che la particella si trovi nella posizione x, in tutta analogia con il caso

CAPITOLO. FORMALISMO GENERALE NELLA NOTAZIONE DI DIRAC ottico ( E + E ) = I + I + I I ψ(x) = ψ (x) + ψ (x). Spazio degli stati possibili Dunque dall ottica siamo indotti (dire siamo indotti è più corretto che dire abbiamo dedotto ) a introdurre il concetto di stato della particella: lo stato rappresenta la situazione in cui solo la fenditura è aperta, lo stato rappresenta la situazione in cui solo la fenditura è aperta e lo stato dato dalla combinazione lineare dei due rappresenta la situazione in cui entrambe le fenditure sono aperte. Mentre in meccanica classica, dati due stati possibili, il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi dell altro, in fisica quantistica, dati due stati possibili, si può avere anche uno stato che sia combinazione lineare dei due il quale, utilizzando sempre l analogia ottica, corrisponde al passaggio della particella attraverso le due fenditure. Questa è la metodologia di descrizione che meglio si addice all interferenza di elettroni. Poiché questa probabilità quantistica è sensibile alle combinazioni lineari, cioè, date due funzioni ψ (x) e ψ (x) si deve poter esprimere ψ(x) = ψ (x)+ψ (x), allora segue che le ψ j (x) formano uno spazio lineare generalmente complesso dotato di prodotto scalare, indicato con (, ) e, se lo spazio ha dimensione finita, dato da n (w, v) := wi v i, per ogni w = (w, w,..., w n ), v = (v, v,..., v n ) i= Se la dimensione dello stato è invece infinita, allora si definisce il prodotto scalare per ogni ϕ e ψ dato da (ϕ, ψ) := + ϕ (x) ψ(x) d 3 x Come notazione abbiamo nel caso di dimensione finita v = (v, v,..., v n ) e nel caso di dimensione infinita ψ = ψ(x). A questo punto introduciamo allora la notazione di Dirac che consiste nell indicare i vettori di stato, indipendentemente dalla dimensione dello spazio, con il simbolo v = v e ψ = ψ dove viene chiamato vettore ket o semplicemente ket. I ket formano dunque quello che chiamiamo spazio degli stati possibili che risulta dunque essere uno spazio di Hilbert. Formuliamo poi l ipotesi che ad ogni situazione fisica concreta corrisponde un ket dello spazio degli stati possibili e che, viceversa, ad ogni ket dello spazio degli stati possibili corrisponde una situazione fisica concreta.

.. SPAZIO DEGLI STATI POSSIBILI 3 In questo spazio il ket ψ è un oggetto astratto che prende forma concreta solo quando lo esprimiamo rispetto ad una fissata base: scrivere ψ = ψ(x) significa esprimere il ket nella base delle funzioni di x. Nella notazione di Dirac abbiamo poi che il vettore coniugato del generico ket a è il vettore bra a. Abbiamo detto che la densità di probabilità della x (in una dimensione) è data dall espressione ψ(x) da cui segue che il valor medio di x, indicando d ora in poi il valor medio con il simbolo, è dato da x = + x ψ(x) dx Allora se la ψ(x) descrive tutto lo stato della particella, si debbono poter calcolare i valori medi di ogni altra osservabile fisica (oltre alla posizione), per esempio dell impulso p x, dato da p x. Per capire come si calcolano i valori medi delle osservabili, scriviamo x = + x ψ(x) dx = + ψ (x) xψ(x) dx da cui segue che nella notazione di Dirac tale valor medio si esprime nella forma, detta bracket x = ψ x ψ dove con la scrittura x ψ intendiamo l azione dell operatore lineare x sul ket ψ definita appunto, nella base delle funzioni di x, come prodotto xψ(x) del valore x per la funzione ψ(x). Per l analogia fra la meccanica quantistica e il fenomeno dell interferenza ottica, la funzione ψ(x) che rappresenta lo stato della particella, viene chiamata funzione d onda. Allora deduciamo che per calcolare il valor medio di una generica osservabile fisica in un dato stato ψ, basta sostituire l operatore lineare corrispondente a quell osservabile al posto di x in ψ x ψ. Per la grandezza impulso p x si ha dunque ψ p x ψ = + ψ (x) p x ψ(x) dx Quello che dovremo fare sarà allora trovare il modo di esprimere, rispetto ad una fissata base, gli operatori lineari corrispondenti alle osservabili fisiche. Poiché il valor medio di una serie di misure effettuate per una certa grandezza fisica è ovviamente un numero reale, allora concludiamo che, se vogliamo che la teoria abbia un senso, l operatore lineare corrispondente ad un osservabile fisica deve essere tale che il suo valor medio calcolato su qualunque ket di stato sia sempre un numero reale.

4 CAPITOLO. FORMALISMO GENERALE NELLA NOTAZIONE DI DIRAC.3 Osservabili e operatori lineari In meccanica quantistica dunque per calcolare il valor medio della misura di un osservabile A su uno stato, occorre trovare l operatore lineare corrispondente all osservabile e calcolare il suo bracket rispetto allo stato assegnato. Nel seguito utilizzeremo i termini osservabili e operatori lineari come sinonimi. Anticipando che, come dimostreremo in seguito, nella base delle funzioni di x l operatore impulso è dato da p x := i h d dx verifichiamo che il valor medio ψ p x ψ = i h + ψ (x) d ψ(x) dx dx sia effettivamente un numero reale. Si ha integrando per parti + ψ p x ψ = i h ψ(x) d dx ψ (x) dx = + = i h ψ (x) d dx ψ(x) dx = ψ p x ψ dove l addendo del metodo per parti dato dal prodotto ψ ψ risulta pari a zero nei due estremi ± per le proprietà asintotiche della ψ(x). Poiché vale ψ p x ψ = ψ p x ψ concludiamo che il valor medio ψ p x ψ è dunque un numero reale puro. Quindi se l espressione di p x non avesse l unità immaginaria i, allora il valor medio dell operatore p x dato da ψ p x ψ sarebbe immaginario puro; inoltre se lo spazio degli stati non fosse complesso, allora il valor medio di p x sarebbe sempre nullo perché + ψ(x) d dx ψ(x) dx = + d dx [ψ(x)] dx = [ψ(x)] + = 0 Dati allora due operatori lineari A e B sullo spazio degli stati possibili, dimostriamo che se vale (v, Aw) = (v, Bw) per ogni v, w, allora segue l uguaglianza A = B. Infatti si ha per ogni v, w e ponendo ad un certo punto v = (A B) w (v, Aw) = (v, Bw) ( v, (A B) w ) = 0 ( (A B) w, (A B) w ) = 0 (A B) w = 0 (A B) w = 0 A B = 0 Dato un operatore A, si chiama operatore aggiunto o operatore hermitiano coniugato di A l operatore B tale che valga (Bw, v) = (w, Av)

.3. OSSERVABILI E OPERATORI LINEARI 5 Se sviluppiamo le forme bilineari dei prodotti scalari (in dimensione finita) (Bw, v) = (w T B T ) v (w, Av) = (w T ) Av = (w T A ) v e confrontiamo i risultati ottenuti, perveniamo all uguaglianza B T = A da cui ricaviamo la relazione fra l operatore A e il suo hermitiano coniugato B data da B = (A T ) := A + Un operatore A si dice autoaggiunto o hermitiano se vale la relazione A = A + In realtà nell Analisi Funzionale i due concetti di operatore aggiunto e di operatore hermitiano coniugato, così come i due concetti di operatore autoaggiunto e di operatore hermitiano, non sono proprio sinonimi e la differenza sta nel dominio in cui essi agiscono perché in uno spazio di dimensione infinita debbono essere tenuti in considerazione anche eventuali problemi di convergenza degli integrali che esprimono le forme bilineari dei prodotti scalari. Non preoccupandoci per il momento di tali problemi e assumendo come equivalenti i due concetti, dimostriamo che se A è un operatore hermitiano, allora si ha che il suo valor medio (ψ, Aψ) è sempre reale. Si ha infatti (ψ, Aψ) = (Aψ, ψ) = (ψ, Aψ) cioè (ψ, Aψ) = (ψ, Aψ) e dunque (ψ, Aψ) è sempre reale. Nella notazione di Dirac poniamo quindi e (ψ, Aφ) ψ A φ (A + ψ, φ) = (φ, A + ψ) φ A + ψ da cui segue che la relazione che definisce l operatore aggiunto diventa φ A + ψ = ψ A φ

6 CAPITOLO. FORMALISMO GENERALE NELLA NOTAZIONE DI DIRAC Infine si ha ψ φ = φ ψ, A φ = φ, φ A + = φ Nello spazio degli stati possibili ψ φ è un prodotto scalare astratto che nella base delle funzioni di x si esprime rispetto alle componenti dei vettori ψ φ = + ψ (x) φ(x) dx In meccanica quantististica la misura di un osservabile in uno stato si effettua immaginando di avere infinite repliche del sistema in modo che si possa eseguire tale misura su ogni replica e si pervenga al valor medio finale. Poiché dunque il valor medio di un osservabile è la quantità reale misurata, gli operatori associati alle osservabili sono soltanto gli operatori hermitiani nello spazio degli stati possibili perché questa classe di operatori, come dimostrato, fornisce sempre valor medio reale su ogni stato. Dimostriamo ora l altra importante proprietà di un operatore hermitiano A per la quale esso possiede soltanto autovalori reali e gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Data infatti l equazione agli autovalori (detta anche equazione secolare) di A e la sua coniugata A λ = λ λ e λ A = λ λ, moltiplicando la prima per il bra λ e la seconda per il ket λ, otteniamo λ A λ = λ λ λ e λ A λ = λ λ λ da cui, sottraendo membro a membro, segue (λ λ ) λ λ = 0 e dunque λ = λ, ovvero che l autovalore λ è un numero reale. Moltiplicando poi l equazione secolare A λ = λ λ per il bra λ e l equazione secolare λ A = λ λ per il ket λ (l autovalore λ nell equazione coniugata è stato scritto senza complesso coniugato perché gli autovalori sono reali), otteniamo λ A λ = λ λ λ λ A λ = λ λ λ da cui, sottraendo membro a membro, segue (λ λ ) λ λ = 0 e dunque l ortogonalità data da λ λ = 0 se λ λ. Scegliendo nell autospazio relativo ad un eventuale autovalore degenere gli autovettori in modo che siano a due a due ortogonali, concludiamo che gli autovettori di un operatore hermitiano A formano una base completa ortogonale dello spazio degli stati possibili. Prendendo poi tutti gli autovettori con norma unitaria, otteniamo una base completa ortonormale formata dagli autovettori normalizzati λ i dell operatore A, per i quali vale la relazione di ortonormalità λ i λ j = δ ij, con δ ij detta delta di Kronecker.

.4. MISURA DI UN OSSERVABILE 7 Dato allora un generico stato (ket) ψ, possiamo svilupparlo come combinazione lineare dei vettori di tale base ortonormale scrivendo ψ = i c i λ i in cui i coefficienti c i della combinazione si ottengono moltiplicando scalarmente ambo i membri per il bra λ j λ j ψ = i c i λ j λ i = i c i δ ji = c j in modo da ottenere in conclusione c j = λ j ψ Allora per ogni generico ket ψ abbiamo lo sviluppo ψ = j λ j λ j ψ da cui ricaviamo che λ j λ j j è l operatore identità I perché quando esso agisce sul ket ψ lo lascia invariato. Allora il singolo operatore P j = λ j λ j è un proiettore sulla direzione λ j perché P j ψ è un vettore avente la direzione dell autovettore λ j e inoltre si verifica immediatamente la proprietà degli operatori di proiezione P j = λ j λ j λ i λ i = λ j δ ij λ i = λ j λ j = P j.4 Misura di un osservabile Data un osservabile A avente equazione agli autovalori A λ i = λ i λ i, se calcoliamo il suo valor medio nell autostato λ i, otteniamo come risultato l autovalore λ i corrispondente, cioè λ i A λ i = λ i λ i λ i = λ i λ i λ i = λ i Se misuriamo l osservabile A nell autostato λ i, otteniamo valor medio λ i A λ i = λ i AA λ i = λ i λ i A λ i = λ i λ i λ i = λ i

8 CAPITOLO. FORMALISMO GENERALE NELLA NOTAZIONE DI DIRAC Da questi risultati deduciamo che nell autostato λ i il valore della misura dell osservabile A è con certezza, cioè con probabilità, l autovalore λ i corrispondente all autostato in cui si è misurata A perché la varianza di tale misura è zero, come si vede calcolando σ = (A A ) = A A A + ( A ) = = A A A + ( A ) = A ( A ) = λ i λ i = 0 La nostra interpretazione è allora che la misura di un osservabile A dà sempre come risultato uno dei suoi autovalori. Se misuriamo A su un generico stato ψ, il valor medio di A su ψ è A ψ := ψ A ψ = i ψ A λ i λ i ψ = i λ i ψ λ i λ i ψ = = i λ i ψ λ i ψ λ i = i λ i ψ λ i Il risultato ottenuto A ψ := ψ A ψ = i λ i ψ λ i (.) è la relazione fondamentale per l interpretazione probabilistica della meccanica quantistica: se il sistema si trova in un autostato dell osservabile A, allora la misura di A dà con probabilità come risultato l autovalore corrispondente all autostato; se il sistema si trova in un generico stato ψ, allora la misura di A dà come risultato uno dei suoi autovalori, diciamo λ i, con probabilità data da ψ λ i. Si verifica immediatamente che i valori ψ λ i sono delle probabilità perché si ha ψ λ i = i i ψ λ i λ i ψ = = ψ ( ) λ i λ i i ψ = ψ ψ = Sottolineiamo che tale interpretazione probabilistica della meccanica quantistica deriva dalla struttura della relazione (.) in cui si ha la sommatoria di addendi ognuno dei quali è il prodotto di un numero λ i per un peso ψ λ i : poiché, come visto, la somma dei pesi è, allora interpretiamo appunto i λ i come i risultati della misura e i pesi ψ λ i come probabilità che esca quel valore della misura, in tutta analogia con la definizione di valor medio della teoria della probabiltà.

.4. MISURA DI UN OSSERVABILE 9.4. Caso degli operatori continui in dimensione infinita Dato un operatore hermitiano A in dimensione finita, abbiamo visto che dalla sua equazione secolare A λ i = λ i λ i segue la relazione di ortonormalità λ i λ j = δ ij. Se abbiamo in dimensione infinita un operatore continuo, come per esempio l operatore x della posizione che nella base delle funzioni di variabile x agisce come prodotto per la funzione d onda ψ(x), allora si presenta un problema sugli autovalori e sulla loro normalizzazione. Se consideriamo l esempio dell operatore di posizione la cui equazione secolare è xψ λ (x) = λ ψ λ (x) (.) riscrivibile nella forma (x λ) ψ λ (x) = 0, abbiamo che le autofunzioni sono { 0 se x λ ψ λ (x) = c se x = λ (.3) Nella teoria degli spazi L p (ricordiamo che tra tutti gli spazi L p, con p, soltanto lo spazio L è uno spazio di Hilbert) le funzioni sono definite uguali fra loro se differiscono al più in un insieme di misura nulla. L autofunzione ψ λ (x) in (.3) è allora una funzione equivalente alla funzione identicamente nulla su tutto l asse reale perché differisce da questa soltanto in x = λ, cioè appunto in un insieme di misura nulla. Poiché quando scriviamo un equazione secolare cerchiamo autofunzioni non nulle, allora la ψ λ (x) data dalla (.3) è una soluzione inadeguata dell equazione secolare dell operatore di posizione. La soluzione va cercata allora non nella classe delle funzioni ordinarie, bensì in quella delle distribuzioni: poniamo cioè ψ λ (x) = δ(x λ) (.4) dove δ( ) è la distribuzione detta delta di Dirac. Nell ambito della teoria delle distribuzioni, la ψ λ (x) in (.4) è una soluzione di (.) perché per ogni funzione di prova f(x) si ha + + (x λ) ψ λ (x) f(x) dx = (x λ) δ(x λ) f(x) dx = 0 Abbiamo poi, in base al teorema spettrale, l ortogonalità delle autofunzioni relative ad autovalori distinti perché il prodotto scalare di ψ λ (x) e ψ λ (x), con λ λ, è ψ λ ψ λ = + ψ λ(x) ψ λ (x) dx = + δ(x λ) δ(x λ ) dx = δ(λ λ ) = 0 Rimane comunque il problema della norma di un autofunzione perché se si esegue il prodotto scalare di un autofunzione con se stessa si ottiene ψ λ ψ λ = + ψ λ (x) ψ λ(x) dx = + δ(x λ) δ(x λ) dx = δ(0) =

0 CAPITOLO. FORMALISMO GENERALE NELLA NOTAZIONE DI DIRAC Considerando spettri discreti e continui, la relazione di completezza si scrive nella forma I = λ λ + λ λ dλ λ discreto λ continuo dove, per ipotesi, consideriamo disgiunti il sottoinsieme degli autovalori discreti e il sottoinsieme degli autovalori continui. Ogni ket corrispondente ad un autovalore del sottoinsieme discreto è allora ortogonale a tutti i ket corrispondenti ad autovalori continui e ogni ket corrispondente ad un autovalore del sottoinsieme continuo è ortogonale a tutti i ket con autovalore discreto. Così come se applichiamo l identità al ket λ di autovalore discreto λ, otteniamo come risultato λ perché λ λ λ + λ λ λ dλ = λ discreto = λ discreto λ continuo λ λ λ = λ analogamente se applichiamo l identità al ket λ di autovalore continuo λ, dobbiamo ottenere ugualmente il ket λ inalterato, ovvero λ λ λ + λ λ λ dλ = λ discreto Poiché vale la relazione = λ continuo λ continuo λ continuo segue, confrontando la (.5) con la (.6), che deve valere λ λ λ dλ = λ (.5) δ(λ λ ) λ dλ = λ (.6) λ λ = δ(λ λ ) Il valor medio di un osservabile in uno stato ψ si generalizza nella forma ψ A ψ = λ λ ψ + λ λ ψ dλ λ discreto λ continuo con il medesimo significato probabilistico dei pesi λ ψ già introdotto. Se lo stato ψ non fosse normalizzato, nel senso che la sua norma ψ ψ fosse finita diversa da o infinita, allora λ ψ è proporzionale alla probabilità (nel discreto) o densità di probabilità (nel continuo): quindi se λ ψ non fosse ben definito perché, per esempio, pari a infinito, allora si ha che è ben definita la quantità λ ψ λ ψ perché le costanti di proporzionalità (anche eventualmente di valore infinito) si semplificano.