IL METODO DEL SIMPLESSO Il metodo del Simplesso 1 si applica nella risoluzione di un problema di Programmazione Lineare 2 (funzione e vincoli lineari) quando le variabili di azione o iniziali sono almeno tre ed il sistema dei vincoli non contiene uguaglianze. Infatti se vi è un vincolo sotto forma di uguaglianza, si possono ridurre le variabili da tre a due e procedere con il metodo grafico. Nel caso in cui le variabili siano due, pur potendosi applicare il metodo del simplesso, si preferisce applicare, perché più semplice, il metodo grafico. Il metodo del simplesso è un algoritmo che, attraverso un numero finito di passaggi, consente di andare da una soluzione iniziale, detta ammissibile di base, ottenuta ponendo uguale a zero le variabili di azione nel sistema e che rispetta i vincoli di segno, ad una soluzione via via migliore, fino a che non si perviene a quella ottima. Il procedimento si realizza mediante l ingresso, una per ogni passaggio, di nuove variabili nella soluzione iniziale, in luogo di altre uscenti in modo da migliorare il valore della funzione. L ingresso di una nuova variabile deve rispettare sempre i vincoli. Nella ipotesi che i termini noti siano tutti positivi ed i vincoli sotto forma di minore o uguale il modello matematico, supponendo di voler determinare il massimo della funzione obiettivo, è il seguente: = + + + (massimizzare) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 =1.. Si trasformano le disequazioni in equazioni introducendo, accanto alle variabili di azione,,,,, le variabili scarto,,,,,, non negative, in numero pari ai vincoli. Avremo, tenendo conto che le variabili scarto nella funzione sono sempre precedute da 1 Simplesso è il nome di uno dei sei poliedri regolari dello spazio a quattro dimensioni, che sono anche detti politopi regolari. Oltre al simplesso composto da 5 celle, 10 facce, 10 spigoli e 5 vertici, abbiamo l ipercubo (8 celle, 24 facce, 32 spigoli e 16 vertici), il 6-celle, il 24-celle, il 120-celle ed il 600-celle. Mentre i poliedri regolari dello spazio a tre dimensioni sono cinque (tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro). 2 I problemi di Programmazione Lineare (P. L.) costituiscono una branca della Ricerca Operativa che si occupa della pianificazione della produzione, dell assegnazione delle risorse (uomini e mezzi, ecc.), della scelta degli investimenti e del trasporto dei beni prodotti. Altre branche della R. O. sono la programmazione dinamica, la teoria delle scorte, la teoria delle code, la teoria dei giochi, ecc..
zero, il seguente sistema: = + + + +0 + 0 + +0 + +0 + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = 0 =1.. + Ponendo = = = =0 avremo la prima soluzione ammissibile di base: = ; = ; = ; = ;che fornisce il valore z=0. Si costruisce la tabella: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 : 0 0 0 0 : Le quantità, dette valutazioni, indicano se la soluzione trovata è ottima o può essere migliorata. Nei problemi di massimo ciò si verifica se le 0, in quelli di minimo se 0. =. Per =1 si ha: =. +. + +. + +. Fra tutte le valutazioni positive si sceglie la maggiore in un problema di massimo, fra tutte le valutazioni negative si sceglie la minore in un problema di minimo, essa individua la variabile entrante. Per determinare la variabile uscente, se la variabile entrante è, si calcolano i rapporti
(per 1. Se le sono minori o uguali a zero il problema tende all infinito, mentre se sono positive, il rapporto più piccolo individua la varabile uscente. Se esso è (per 1 h, è il pivot della trasformazione. Si fa diventare il pivot uguale a 1, se non lo è, dividendo tutta la riga per e, mediante esso, si creano degli zero nella sua colonna. Si ricostruisce la tabella ponendo la variabile entrante, con il suo al posto della variabile uscente e si ricalcolano le valutazioni e si va avanti fino a che 0 in problema di massimo, 0 in un problema di minimo. Se le variabili scarto restano nella base, significa che le risorse non sono del tutto utilizzate. Esse non modificano il problema e servono solo per trasformare i vincoli da minore-uguale in uguale. Se nel sistema vi sono vincoli con il o con l uguale, si introducono le variabili artificiali. In tal caso si parla di Grande nei problemi di minimo e di Piccolo in quelli di massimo. Le variabili artificiali prendono il posto di quelle scarto, sia nel sistema che nella funzione, ma nella funzione sono precedute da + nei problemi di minimo e da in quelli di massimo. Nei problemi di minimo, per grande, tra le valutazioni <0 si sceglie la minore per determinare la variabile entrante e quando si ha 0 la soluzione trovata è ottima. Nei problemi di massimo, per piccolo, tra le valutazioni >0 si sceglie la maggiore per determinare la variabile entrante e quando si ha 0 la soluzione trovata è ottima. Le variabili artificiali si devono eliminare perché non rispettano i vincoli e se esse restano nella soluzione finale vuol dire che il problema è impossibile, cioè non si può risolvere con il metodo del simplesso. Se il sistema presenta vincoli con il minore-uguale e con il maggiore-uguale o con l uguale, si introducono tanto le variabili scarto che artificiali e si procede come in presenza di quest ultime. APPLICAZIONE 1. (Esami di Maturità Tecnica Commerciale 1990) Quesito n.3. Un impresa artigianale produce armadi di tre tipi: economico, classico e di lusso. La quantità e la qualità della materia prima impiegata sono le stesse, ma diverso è il processo di lavorazione. La produzione complessiva per un ciclo di lavorazione non può essere superiore a 150 armadi. I tempi di produzione sulle macchine sono, rispettivamente, di 1 ora per il tipo economico, di 2 ore per il tipo classico e di 5 ore per il tipo di lusso. La rifinitura, eseguita a mano da operai specializzati, richiede 5 ore per il tipo classico e 4 ore per il tipo di lusso. Per un ciclo di lavorazione sono disponibili 400 ore di lavoro di macchina e 200 ore di lavoro di operai specializzati. L utile unitario è di 100.000 per il tipo economico, 200.000 per il tipo classico e di 300.000 per il tipo di lusso. Determinare la combinazione produttiva che consente di realizzare il massimo utile. Si tratta di un problema di Programmazione Lineare che si risolve con il metodo del Simplesso, mediante l introduzione delle variabili scarto, in quanto i vincoli tecnici sono tutti con il minoreuguale. I dati iniziali vengono riportati nella tabella seguente:
Economico Classico Lusso Disponibilità Lavoro macchina 1 2 5 400 Lavoro manuale 5 4 200 Utile 100.000 200.000 300.000 Modello matematico z = 100.000x 1 + 200.000x 2 + 300.000x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + 0 x 6 (massimizzare) x 1 + 2x 2 + 5x 3 400 x 1 + 2x 2 + 5x 3 + x 4 = 400 x 1 = x 2 = x 3 = 0 5x 2 + 4x 3 200 5x 2 + 4x 3 + x 5 = 200 (0, 0, 0, 400, 200, 150) x 1 + x 2 + x 3 150 x 1 + x 2 + x 3 +x 6 = 150 soluzione ammissibile x i 0 (i = 1..3) x i 0 (i = 1..6) di base z = 0 c i x i x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i 0 x 4 1 2 5 1 0 0 400 0 x 5 0 5 4 0 1 0 200 0 x 6 1 1 1 0 0 1 150 c r : 1 2 3 0 0 0 r : 1 2 3 0 0 0 Essendo 3 la valutazione positiva maggiore, x 3 è la variabile entrante mentre, essendo 200/4 = 50 il minore dei rapporti tra i termini noti e i corrispondenti elementi della colonna individuata dalla variabile entrante, la variabile uscente è x 5. L elemento 4 (a 23 ) è il pivot. Dividiamo la seconda riga per 4 e creiamo due zeri nella sua colonna. c i x i x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i 0 x 4 1-17/4 0 1-5/4 0 150 3 x 3 0 5/4 1 0 1/4 0 50 0 x 6 1-1/4 0 0-1/4 1 100 c r : 1 2 3 0 0 0 r : 1-7/4 0 0-3/4 0 Entra x 1 ed esce x 6. Il pivot è 1 (a 31 ). Basta creare uno zero al posto dell elemento a 11 =1. c i x i x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i 0 x 4 0-4 0 1-1 -1 50 3 x 3 0 5/4 1 0 1/4 0 50 1 x 1 1-1/4 0 0-1/4 1 100 c r : 1 2 3 0 0 0 r : 0-3/2 0 0-1/2-1 Essendo le r 0, la soluzione trovata è quella ottima. Soluzione (100, 0, 50, 50, 0, 0) cui corrisponde un utile z = 25.000.000. La presenza di x 4 nella base ci dice che non tutte le risorse sono utilizzate. Esse, nella circostanza, sono 50 ore di lavoro macchina, come si può vedere sostituendo la soluzione nel primo vincolo.
APPLICAZIONE 2. Un industria ha in lavorazione tre prodotti P 1, P 2, P 3 e utilizza due macchine M 1 e M 2. Per ogni unità del prodotto P 1 occorrono 2 ore della prima macchina e 5 ore della seconda; per ogni unità di P 2 occorrono 4 ore della prima macchina e 2 ore della seconda; per ogni unità di P 3 occorrono 3 ore della macchina M 1 e 4 ore della macchina M 2. Per un certo ciclo di lavorazione si può utilizzare M 1 per 720 ore ed M 2 per 480 ore. Sapendo che l utile unitario di P 1 è di 500 euro, di P 2 è di 600 euro e di P 3 di 400 euro, determinare la combinazione produttiva più conveniente. Si tratta di un problema di Programmazione Lineare che si risolve con il metodo del Simplesso, mediante l introduzione delle variabili scarto, in quanto i vincoli tecnici sono tutti con il minoreuguale. I dati iniziali vengono riportati nella tabella seguente: P 1 P 2 P 3 Disponibilità Lavoro macchina M 1 2 4 3 720 Lavoro macchina M 2 5 2 4 480 Utile/euro 500 600 400 Modello matematico z = 500x 1 + 600x 2 + 400x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 (massimizzare) 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 720 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 720 x 1 = x 2 = x 3 = 0 5x 1 + 2x 2 + 4x 3 480 5x 1 + 2x 2 + 4x 3 + x 5 = 480 (0,0,0,720,480) soluzione x i 0 (i = 1..3) x i 0 (i = 1..5) ammissibile di base z = 0 0 x 4 2 4 3 1 0 720 0 x 5 5 2 4 0 1 480 r : 500 600 400 0 0 Essendo 2 la valutazione positiva maggiore, x 2 è la variabile entrante mentre, essendo 720/4 =180 il minore dei rapporti tra i termini noti e i corrispondenti elementi della colonna individuata dalla variabile entrante, la variabile uscente è x 4. L elemento 4 (a 12 ) è il pivot. Dividiamo la seconda riga per 4 e creiamo uno zero nella sua colonna. 600 x 2 1/2 1 3/4 1/4 0 180 0 x 5 4 0 5/2-1/2 1 120 r : 200 0-50 -150 0 Entra x 1 ed esce x 5. Il pivot è 4 (a 21 ). Occorre, prima di tutto, dividere per 4 la riga del pivot. 600 x 2 1/2 1 3/4 1/4 0 180 0 x 5 1 0 5/8-1/8 1/4 30 r : 200 0-50 -150 0
Adesso basta creare uno zero al posto dell elemento a 11 =1/2 600 x 2 0 1 7/16 5/16-1/8 165 500 x 1 1 0 5/8-1/8 1/4 30 r : 0 0-175 -125-50 Essendo le r 0, la soluzione trovata è quella ottima. Soluzione (30, 165, 0, 0,0) cui corrisponde un utile z = 114.000 euro. Come si vede, le risorse sono del tutto utilizzate, perché nella base non vi sono variabili scarto.