Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso e si ponga uguale ad la lunghezza di AP. 1) Si calcoli in funzione di la differenza d() fra il volume del cono avente altezza AP e base il cerchio sezione di α con la sfera e il volume del segmento sferico avente la medesima base e altezza PB. ) Controllato che risulta: d() = ( - ) ( - ), si studi la funzione d() e se ne disegni il grafico. ) Si utilizzi questo grafico per calcolare i valori di per i quali d() = k, dove k è un parametro reale assegnato. 4) Si trovi, in particolare, la posizione di P per cui d() è massima. Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di la differenza d() fra il volume del cono avente altezza AP e base il cerchio sezione di α con la sfera e il volume del segmento sferico avente la medesima base e altezza PB. B α E P F C O D A P Posto AP=, siccome AB = BP =. Il triangolo AFB è rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza. Applicando il secondo teorema di Euclide al Triangolo rettangolo AFB si ha : BP: PF = PF: AP PF = BP AP ( ). Il volume del cono avente altezza AP e base il cerchio sezione del piano α con la sfera è dato da: 1 Vc = Sb h
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 7 b = = ( ) S PF 1 = h = PA = ( ) Vc Il volume V s del segmento sferico di raggio di base r = PF ed altezza h= PB è dato dalla seguente formula: 1 V= h( h + r ) Nel nostro caso 1 V = PB( PB + PF ) s 1 1 1 V = ( )[( ) + ( )] = ( ) [( ) + ] = ( ) [1 + ] s La differenza d() fra il volume del cono V c il volume del segmento sferico V s : d() = (-)- (-) (1+)= (-)[ ( -) (1+)]= ( - ) ( - ) Punto Controllato che risulta: d() = ( - ) ( - ), si studi la funzione d() e se ne disegni il grafico. La funzione da studiare è d( ) = ( )( ) Dominio Non vi sono limitazioni per cui Studio del segno D f = d()>0 ( - ) ( - )>0 (-)>0 < ( 1 17 1+ 17 - )>0 < > 4 4 (1-17)/4 (1+ 17)/4 + - + -
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 7 y (1-17)/4 (1+ 17)/4 Le parti in grigio indicano dove non è presente la funzione. Intersezione con gli assi = 0 = 0 4 y = ( )( ) y = = 0 = 0 = 0 1 17 ( )( ) 0 ± = = = 4 Asintoti Non esistono asintoti verticali perché la funzione è definita in. lim f ( ) = non esistono asintoti orizzontali. f( ) lim = non esistono asintoti obliqui. Quindi la funzione non ha asintoti. Derivata prima d () = [(- ( - )+(-)(4-1)]= (- + + -4 + 8+-) = (- + ) d ()=0 (- + ) =0 =0, = d ()>0 0 << 0 / Quindi <0 d() è decrescente; 4 =0 la funzione presenta un minimo relativo e precisamente N 0, ; 0 < < la funzione è crescente; 17 = la funzione presenta un punto di massimo relativo M, 81
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 77 > la funzione è decrescente. Derivata seconda d" ( ) = ( + ) d" ( ) 0 < la funzione ha concavità verso l alto 91 = la funzione ha un punto di flesso F, 1 / Punto Si utilizzi questo grafico per calcolare i valori di per i quali d() = k, dove k è un parametro reale assegnato. Risolviamo l equazione d()=k dal punto di vista grafico. = k ( rappresenta un fascio di rette parallele all' asse ) ( )( ) = k : y = ( )( ) ( rappresenta la funzione studiata in precedenza)
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 78 Dalla figura si vede che l equazione ammette soluzione, per ogni valore di k: per k<-4/ l equazione ammette una sola soluzione reale; per k=-4/ l equazione ammette tre soluzioni reali (due coincidenti, una limite ); per -4/<k<17/81 l equazione ammette tre soluzioni reali; per k=17/81 l equazione ammette tre soluzioni reali (due coincidenti, una limite ); per k>17/81 l equazione ammette una sola soluzione reale.
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 79 Punto 4 Si trovi, in particolare, la posizione di P per cui d() è massima. Come dimostrato nel punto 1), la differenza d() fra il volume del cono V c e il volume del segmento sferico V s è d( ) = ( )( ) La derivata prima calcolata è stata calcolata la punto ): d'( ) = ( + 10) Studiando il segno della derivata come nel punto ) si ha: 0 / D ()>0 (- + 10) >0 0 <</ Nel punto P di ascissa =/ la differenza d() presenta il valore di massimo relativo 17 81. Rimane da verificare se il punto è anche di massimo assoluto per d(). Geometricamente si ha 0<<. E evidente dallo studio della derivata che il valore di massimo relativo coincide con il valore di massimo assoluto. B α E P F C O X=/ D A