ESPERIENZA DEL CARRELLO SCOPO: Verifica della seconda legge della Dinamica e dell equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale. RICHIAMI TEORICI: In Fisica si attribuisce al concetto di massa un duplice significato. 1. Massa gravitazionale m G La massa gravitazionale m G di un corpo è la misura dell intensità della forza con cui tale corpo è attratto da un corpo di riferimento arbitrario ma prefissato (di massa M G ) in base alla Legge di gravitazione universale di Newton. Nel caso di masse puntiformi o a simmetria sferica essa è data da: F G = G m GM G r 2 dove la costante di gravitazione universale è G = 6.673 10 8 cm 3 g 1 s 2 ed r è la distanza tra i due corpi. 2. Massa inerziale m I La massa inerziale m I di un corpo è la misura dell inerzia con cui esso si oppone alla forza che lo fa accelerare. Infatti maggiore è la massa e minore è la variazione della velocità, quindi minore è l accelerazione, che si ottiene a parità di forza. In altre parole la massa inerziale di un corpo esprime la capacità di resistere a qualsiasi causa che tenda a mutarne il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. In base a questa definizione ci si riporta alla seconda legge della dinamica: F I = a m I dove a è l accelerazione impartita al corpo. A questo punto entra in gioco una delle ipotesi basilari su cui si fonda la teoria della relatività generale, ovvero il Principio di equivalenza, secondo il quale non è possibile, tramite esperimenti locali cioè condotti su piccola scala, distinguere tra forza gravitazionali e forze inerziali. In altre parole, non è possibile in linea di principio riconoscere in laboratorio se la forza che mette in moto un corpo è dovuta all accelerazione del sistema cui è solidale o se è da attribuirsi all attrazione gravitazionale esercitata da un altro corpo. Il legame tra i due tipi di massa può essere evidenziato considerando l esempio di un corpo in caduta libera in prossimità della superificie terrestre. Deve valere: 1
F G = F I = m G G M T R 2 T = m I g dove g = 9.807 m s 2 è accelerazione di gravità terrestre; M T = 5.97 10 27 g è la massa della terra; R T = 6.371 10 8 cm è il raggio terreste; G = 6.673 10 8 cm 3 g 1 s 2 è la costante digravitazione universale. Raggruppando tutte le costanti nel parametro adimensionale K = R2 T g vale G M T la relazione: m G = Km I Un obiettivo di questa esperienza è verificare che K = 1. APPARATO STRUMENTALE: Rotaia metallica a cuscino d aria munita di scala graduata. Essa è dotata di fori sulla sezione superiore da cui fuoriesce dell aria, creando un cuscino d aria che permette ad un carrello (slitta) di scorrere su di essa senza strisciare (attrito radente trascurabile). 2
Il carrellino è dotato ad un estremità di una parte in ferro. All estremità sinistra della guidovia è posto un elettromagnete che può essere attivato o disattivato manualmete (interruttore) in modo da tenere fermo o lasciare libero il carrellino. Il carrello, durante il percorso, passa in prossimità di due fotocellule, collegate ad un cronometro digitale che si attiva quando il carrellino passa davanti alla prima fotocellula e si disattiva appena esso giunge in prossimità della seconda. La posizione della prima fotocellula viene mantenuta fissa durante tutte le misurazioni, mentre la secoda viene fatta scorrere di 10 cm alla volta. Alla base dell apparato è presente una vite mediante la quale è possibile inclinare la guidovia. Ogni giro completo della vite corrisponde ad un inclinazione di 5, pari a (1.45 10 3 rad per giro). La massa del carrellino è di 76 g. Esiste una massa aggiuntiva (zavorra) dello stesso peso da usare all occorrenza. Errori di sensibilità degli strumenti di misura: Sensibilità del cronometro: 0.001 s Sensibilità della scala graduata: 0.1 cm Rappresentazione schematica della configurazione dinamica relativa al carrello Detto α l angolo di inclinazione del piano rispetto all orizzontale, nell ipotesi di poter trascurare gli attriti di tipo viscoso e radente, le forze agenti sul carrello sono: 3
1. la componente della forza peso normale alla superficie del carrello, di modulo m g cos α; 2. la componente della forza peso parallela alla superficie del carrello, di modulo m g sin α. La componente normale è equilibrata dalla reazione vincolare della superficie del piano, quindi l unica forza attiva agente sul carrello è m g sin α, che ha modulo costante. Il moto è quindi uniformemente accelerato accelerazione, velocità e spazio percorso dal corpo in funzione del tempo sono date da: a = g sin α v = v o + a t s = s o + v o t + 1 2 a t2 PRIMO SCOPO dell esperienza: verifica che il moto è uniformemente accelerato, e quindi che la dipendenza dello spazio dal tempo è quadratica. SECONDO SCOPO dell esperienza: verifica della seconda legge della Dinamica e dell equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale. OPERAZIONI DI MISURA: 1. Azzeramento, ovvero ricerca della posizione orizzontale che servirà di riferimento. Va eseguita due volte, usando la manopola. In questo modo si ricava anche l indeterminazione da associare all inclinazione. Procedimento: Si pone il carrello sulla rotaia ad elettromagnete disinserito e sia avvia il compressore in posizione 3. Per tentativi ruotando la manopola di deve cercare la configurazione per cui risulti il carrello fermo o in oscillazione attorno ad una posizione di equibrio. A questo punto si registra la posizione sulla manopola (con scala graduata). Quindi si stara la manopola e si ripete l operazione. Il secondo risultato sarà in genere diverso. L angolo compreso tra le due tacche α verrà assunto come indeterminazione sull inclinazione (da esprimersi in radianti!). 2. Condizioni iniziali. Si fissa la prima fotocellula in corrispondenza della posizione sulla scala graduata in cui il carrello è a contatto con l elettromagnete, in modo che essa 4
rappresenti il punto di riferimento delle condizioni iniziali s 0 = 0, t 0 = 0, v 0 = 0, vale a dire l origine delle misure di distanza, di tempo e con velocità iniziale nulla. Con queste condizioni la relazione cinematica del moto uniformemente accelerato: s = s 0 + v 0 (t t 0 ) + 1 2 a(t t 0) 2 si semplifica come s = 1 2 at2 3. Misure di tempo. Posizione del compressore a 3. Si considerano tre diverse inclinazioni della rotaia (15,30,45 ). Per ogni inclinazione si fissa la seconda fotocellula a distanze crescenti di 10 cm in 10 cm (fino a 100 cm) e per ogni distanza si effettuano 10 misure del tempo impiegato dal carrellino a percorrerla. Totale di 100 misure per ogni inclinazione. Per l inclinazione di 45 si prendono altre 100 misure, zavorrando il carrellino con il peso aggiuntivo, e posizionando il compressore in posizione 4 (per contrastare il maggior attrito). I dati vengono registrate in 4 tabelle con le misurazioni di tempo e di distanza (dimensioni 10 10). ELABORAZIONE DEI DATI La distanza s tra le due fotocellule si ottiene come differenza tra le due rispettive posizioni, cioè s = x 2 x 1. A ciascuna posizione si associa l errore di sensibilità dato dalla scala graduata, x = 0.1 cm, che può essere visto come errore massimo. L indeterminazione della coordinata spaziale s è data dalla propagazione degli errori massimi, cioè s = x + x = 2 x. Nel caso delle misure di tempo, la sensibilità è sufficientemente elevata da rendere possibile il manifestarsi degli errori accidentali, per cui i risultati della misura sono descrivibili da una distribuzione normale. Il valore di aspettazione è meglio approssimato dalla media aritmetica t ij i=1 t j = co = 1, 2, N; dove t ij è la misura i-esima della distanza j-esima, è il numero di misure effettuate per la distanza j-esima, ed N è il numero dei gruppi di misure (ovvero il numero di distanze considerate). Nello specifico = 10 (10 misure per ogni distanza) e N = 10 (10 valori di distanza). 5
L indeterminazione da associare ad ogni media è lo scarto quadratico medio della media (t ij t j ) 2 σ t j = i=1 ( 1) Riportare tabella con il valore medio dei tempi e relativa indeterminazione statistica per ogni inclinazione e per ogni distanza (dimensioni 4 10). Prima verica: moto uniformemente accelerato Nell ipotesi di moto uniformemente accelerato la relazione tra spazio percorso e tempo impiegato nel piano logaritmico (0, log s, log t): log s = 2 log t log 2 + log a definisce l equazione di una retta di coefficiente angolare 2 e intercetta log 2+ log a sull asse delle ordinate. Per ogni valore dell inclinazione produrre il relativo grafico (4 figure), riportando i 10 punti a disposizione e associando a ciascuno il rettangolo di errore 6
massimo, avente come semi-dimensioni le quantità: 3 σ t j t j Tabella che riporti: log(s), log(t) per α = 15 ; log(s), log(t) per α = 30 ; log(s), log(t) per α = 45 ; log(s), log(t) per α = 45 + zavorra. e s s Registrare i due valori dell intercetta verticale, q 1 e q 2 e calcolare il valore medio e relativa indeterminazione massima: q = q 1 + q 2 ± q 2 q 1 2 2 Per ogni inclinazione l allineamento dei punti è verificato nei limiti d errore se esiste un insieme di rette, limitato dalle due di minima e massima pendenza, che passano per tutti i rettangoli di errore. Se la verifica è soddisfatta significa che la dipendenza dello spazio dal tempo è decrivibile da una legge di potenza del tipo s = A t B. La condizione di moto uniformemente accelerato, ovvero la dipendenza quadratica della coordinata spaziale da quella temporale (caso B = 2), è verificata nei limiti d errore se è possibile individuare la retta di coefficiente angolare 2 passante per tutti i rettangoli di errore e compresa tra le 2 rette di max a min pendenza. La costanza dell accelerazione supporta anche la trascurabilità dell attrito viscoso, assunta come ipotesi di lavoro. Utilizzare il metodo dei minimi quadrati per determinare il coefficiente angolare e l intercetta della retta che meglio si adatta ai punti nel piano log(t) log(s), con le rispettive incertezze. Calcolare infine il coefficiente di correlazione r. Soluzione del problema della misura relativo all accelerazione Per ogni valore dell inclinazione e per ogni valore della distanza, l accelerazione media si può stimare come: ā j = 2s j t 2 j Per quanto riguarda l indeterminazione associata, questa si deriva mediante la propagazione degli errori statistici (somma in quadratura): σāj = ( āj σ s s j ) 2 + ( āj t j σ t j ) 2 = ( 2 t 2 j σ s ) 2 + ( 2sj t 3 j σ t j ) 2 7
Tabella che riporti per ogni inclinazione e per ogni distanza l accelerazione media e la relativa indeterminazione. Infine per ogni inclinazione, la miglior stima dell accelerazione è data dalla media pesata, previa verifica della compatibilità dei dati a disposizione (metodo grafico o analitico basato sul N σ ). Per ogni inclinazione si calcola: ā j p j j=1 ā p = p j j=1 1 σāp = p j j=1 e la relativa indeterminazione: dove i pesi sono ( ) 2 1 p j =. σāj Tabella che riporti per ogni inclinazione accelerazione media pesata e indeterminazione statistica. Stimata l accelerazione si calcolano le intercette minima e massima della retta di equazione log s = log 2 + log a + 2 log t, vale a dire: q min = log 2 + log(ā p 3σāp ) e q max = log 2 + log(ā p + 3σāp ) Si calcola valor medio e intederminazione massima: q = q min + q max ± q min q max 2 2. Infine si confronta con la stima precedente q (a partire dalle rette di minima e massima pendenza) e se ne valuta la compatibilità. Verifica dell equivalenza tra m I e M G. Si calcola la forza agente sul carrellino per ogni configurazione dell apparato strumentale: F I = GM T RT 2 m G sin(α) 8
Si costruisce un grafico nel piano (0, a, F I ) riportando i 5 punti noti: quello di coordinate (0,0) relativo alla configurazione orizzontale, più gli altri quattro per α > 0. I rettangoli di errore hanno semi-base pari a 3σāp e semi-altezza pari a F I, max, errore massimo sulla forza. Quest ultimo si ottiene mediante la formula di propagazione degli errori massimi: ( ) F I F I, max = m m G + F I G α α ( GMT = sin(α) m G + GM ) T m G cos(α) α R 2 T R 2 T = g sin(α) m G + g m G cos(α) α dove si è posto g = GM T. R 2 T Da notare che m G = 1 g nei casi senza zavorra e m G = 2 g nel caso con zavorra. 9
Verificare la seconda legge della Dinamica significa verificare l allineamento dei punti (per ogni valore dell inclinazione), ovvero la proporzionalità diretta tra forza e accelerazione, dove il coefficiente di proporzionalità è la massa inerziale. In pratica, ciò si traduce nel dimostrare l esistenza di un fascio di rette passanti per tutti i rettangoli d errore e limitato da due rette di minima a massima pendenza (m min I e m max I rispettivamente). Sappiamo che, per fissato angolo di inclinazione α, l accelerazione con cui si muove un corpo che scivoli lungo il piano in assenza di attriti è data da a = GM T sin(α), ovvero è indipendente dalla massa del corpo in questione. Questo R 2 T punto è verificato dall allineamento dei 2 punti corrispondenti ad α = 45 senza e con zavorra lungo una retta parallela all asse F I. Tale condizione rappresenta un ulteriore verifica della seconda legge della Dinamica, implicando una proporzionalità diretta tra massa inerziale e forza inerziale. 10
Infine la prova dell equivalenza tra m I e m G è fornita dall esistenza di un intersezione non nulla tra l angolo definito dalla coppia di rette di pendenze m min I e m max I, e l angolo definito dalle rette di pendenze m G m G e m G + m G (passanti per il punto di intersezione della prima coppia per comodità di rappresentazione; area tratteggiata in figura). 11