La teoria della Relatività Ristretta

Liceo Classico Seneca La teoria della Relatività Ristretta Prof. E. Modica

Alcune domande DOMANDE Come misurereste la durata dell oscillazione di un pendolo? Cosa intendete per intervallo di tempo? Cosa intendete per sistema di riferimento assoluto? Sapreste darne alcuni esempi? Vi è stato riferito che il treno diretto per Roma parte alle ore 20 dalla stazione centrale di Palermo. Come potete verificarlo? E come può verificare ciò un vostro compagno che si trova a Roma? Supponete che un treno oltrepassi un marciapiedi ad una certa velocità e che uno di voi si trovi sul treno. Come si può misurare la lunghezza del marciapiede dal treno? Se un altro vostro compagno misura tale lunghezza da terra, cosa vi aspettate in merito ai due valori misurati? Un capotreno accende una lampadina posta al centro di un vagone ferroviario. Come percepisce l arrivo della luce su due passeggeri seduti alle estremità opposte del suddetto vagone? Se il treno sta passando da una stazione, cosa può dire il capostazione? Un aeroplano viaggia a una velocità di 800 km/h circa e invia verso la torre di controllo un segnale luminoso. Con che velocità viaggia tale segnale?

Sul concetto di etere

L etere secondo Aristotele Secondo il filosofo greco l'etere era l'essenza del mondo celeste, diversa dalle quattro essenze (o elementi) di cui si riteneva composto il mondo terrestre: terra, aria, fuoco e acqua. Aristotele credeva che l'etere fosse eterno, immutabile, senza peso e trasparente. Proprio per l'eternità e l'immutabilità dell'etere, il cosmo era un luogo immutabile, in contrapposizione alla Terra, luogo di cambiamento.

L etere secondo Giordano Bruno Propone una nuova cosmologia in cui l Universo è ritenuto infinito e scrive: Oltre gli quai quattro elementi che vegnono in composizion di questi, è una eterea regione, come abbiam detto, immensa, nella qual si muove, vive e vegeta il tutto. Questo è l etere che contiene e penetra ogni cosa.

L etere secondo Newton (1643-1727) Mentre nei suoi Principia (1687) dimostra rigorosamente quanto afferma, nella sua opera Opticks (1704) il fisico pone delle domande (query) al lettore su ipotesi non dimostrate, alcune di esse riguardano proprio l etere.

L etere secondo Newton - Opticks Query n.18 n.19 n.20 n.21 Contenuto Il calore della stanza calda non è trasportato nel vuoto dalle vibrazioni di un qualche mezzo più sottile dell aria, il quale, dopo che l aria è stata pompata fuori, rimane vuoto? [ ] E questo mezzo non è estremamente più raro e sottile dell aria, ed è più elastico ed attivo? E non penetra facilmente in tutti i corpi? E non è sparso (a causa della sua forza elastica) in tutti i cieli? La rifrazione della luce non procede dalla diversa densità di questo mezzo etereo nei diversi luoghi, allontanandosi sempre la luce dalle parti più dense del mezzo? Col passare dall'acqua, dal vetro, dal cristallo e da altri corpi compatti e densi nello spazio vuoto, non diventa, questo mezzo etereo, gradualmente sempre più denso [ ]? Questo mezzo, non è molto più raro dentro i corpi densi del sole, delle stelle, dei pianeti e delle comete che nel vuoto spazio celeste esistente tra essi? E nel passare da quelli a distanze molto maggiori, non diventa continuamente sempre più denso, e causa per ciò stesso la gravitazione di questi grandi corpi l'uno verso l'altro e delle loro parti verso i corpi: ogni corpo compiendo uno sforzo per andare dalle parti più dense del mezzo verso quelle più rare?

Newton Tempo assoluto [ ] Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro nome è chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, è una misura (esatta o inesatta) sensibile ed esterna della durata per mezzo del moto, che comunemente viene impiegata al posto del vero tempo: tali sono l'ora, il giorno, il mese, l'anno [ ] Tutti i movimenti possono essere accelerati o ritardati, ma il flusso del tempo assoluto non può essere mutato [...]

Newton Spazio assoluto [ ] Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché d'esterno, rimane sempre uguale e immobile; lo spazio relativo è una dimensione mobile o misura dello spazio assoluto, che i nostri sensi definiscono in relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è comunemente preso al posto dello spazio immobile [...] Così, invece dei luoghi e dei moti assoluti usiamo i relativi [...]

L etere secondo Young e Fresnel I due fisici si occuparono di ottica nella prima metà del XIX secolo. L'idea di Young a Fresnel fu che l'etere si comportasse più come un solido elastico che permeava tutto l'universo ma che, tuttavia, non opponeva resistenza al moto dei corpi celesti!

L etere secondo Maxwell (1831-1879) I lavori del fisico portano a riconoscere la natura ondulatoria della luce. L'etere luminifero, considerato una necessità nell'ambito dell'ottica ondulatoria, divenne anche il mezzo attraverso cui potevano propagarsi le perturbazioni elettromagnetiche. L etere diventa quindi un sistema di riferimento assoluto. Le equazioni di Maxwell contenevano l'informazione che la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche, e dunque anche della luce, avesse un valore ben definito e pari a c=300.000 km/s. Ma c rispetto a che cosa?

Esperimento di Michelson e Morley Poiché la Terra ruota intorno al Sole, essa doveva essere in moto rispetto all etere e per tale ragione doveva essere soggetta alle trasformazioni di Galileo. Michelson e Morley, tra il 1881 e il 1887, vollero mettere in evidenza questo fatto, ma in realtà pervennero ad un risultato differente.

L interferometro Una sorgente di luce S monocromatica emette un raggio di luce nella direzione SP. P è uno specchio semitrasparente, disposto ad un angolo di 45 rispetto al raggio luminoso: di quest ultimo una parte r 1 viene riflessa verso lo specchio S 1 e una parte r 2 viene trasmessa verso lo specchio S 2. Del primo raggio r 1, riflesso da S 1, una parte attraversa P e viene raccolta dal cannocchiale C e così pure del secondo raggio r 2, riflesso da S 2, una parte viene riflessa da P verso il cannocchiale C che riceve così due raggi luminosi fra di loro coerenti (cioè hanno stessa intensità, stessa ampiezza e stessa lunghezza d onda). L interferometro

Secondo l ipotesi dell etere ma Se supponiamo che valga l ipotesi dell etere e che questo sia fermo rispetto al sistema solare, la velocità della luce sarebbe allora pari a c rispetto al sistema solare ma non rispetto a un sistema di riferimento terrestre: la Terra si muove infatti intorno al sole in un moto praticamente circolare con velocità v. Supponiamo che inizialmente l apparato sperimentale sia orientato in modo che il braccio SS 1 sia parallelo alla velocità v della Terra. Rispetto all apparato, il raggio r 1 si muove, nell ipotesi dell etere, con velocità c+v mentre esso viaggia da S a S 1 ; e con velocità c-v mentre esso viaggia da S 1 a S. Se ruotiamo l'interferometro di 90, anziché al raggio orizzontale la velocità orbitale della Terra si sommerà al raggio verticale, e dunque la differenza di cammino ottico fra i due raggi varierà; si dovrà quindi avere uno spostamento nelle frange di interferenza. In realtà non venne osservato nessuno spostamento, sebbene gli strumenti utilizzati fossero molto sensibili ed alla stessa conclusione giunsero tutti coloro che, con tecniche più o meno perfezionate, ripeterono lo stesso esperimento.

Conclusioni dedotte dall esperimento L'esperienza di Michelson e Morley voleva mettere in luce l esistenza di una sorta di «vento d'etere» ed il moto relativo rispetto della Terra rispetto all etere, assumento valide le trasformazioni di Galileo. Il fallimento di tale esperienza smentì gli assunti di partenza, mostrando una volta per tutte che la luce ha sempre la stessa velocità per tutti gli osservatori e che evidentemente le trasformazioni di Galileo NON sono valide per tutti i sistemi di riferimento in moto relativo l'uno rispetto all'altro. Alcune delle possibili spiegazioni sono le seguenti: la terra è solidale all'etere; la terra trascina parzialmente l'etere, come trascina l'aria; le equazioni di Maxwell sono errate. L ultima possibilità, già alla fine del secolo scorso, era da ritenersi inaccettabile, soprattutto per le verifiche sull'esistenza delle onde elettromagnetiche.

I principi della Relatività Ristretta

Dati in possesso di Einstein (1905) La velocità della luce nel vuoto è sempre la stessa indipendentemente dal moto della sorgente o dell osservatore. Le leggi della natura sono identiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali e tutti i moti sono relativi. Vale la trasformazione galileiana delle velocità.

Contraddizione Un aeroplano viaggia a una velocità di 800 km/h circa e invia verso la torre di controllo un segnale luminoso. Con che velocità viaggia tale segnale? Contraddizione tra: costanza della velocità della luce legge di addizione delle velocità. Da un lato la velocità della luce deve essere costante e indipendente dal sistema di riferimento, dall altro, in base al principio di relatività galileiana, il segnale luminoso dovrebbe viaggiare ad una velocità superiore rispetto a quella della luce. Infatti, sommando la velocità dell aeroplano alla velocità del segnale luminoso risulterebbe: cioè : v segnale 300 000, 2 km / s v segnale > c.

Postulati della relatività ristretta I dati sperimentali confermavano la costanza della velocità della luce e non rimaneva che abbandonare le trasformazioni galileiane e sottoporre a revisione i concetti di spazio e di tempo. Fu proprio quello che fece Einstein, basando la sua teoria sui due postulati: non esiste alcun sistema di riferimento privilegiato e le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali (invarianza delle leggi della fisica); la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali (costanza della velocità della luce).

Cosa s intende col termine evento? Dal momento che per descrivere un qualsiasi fenomeno fisico è necessario considerare il fatto che esso sia avvenuto: ad un certo istante, in un dato punto dello spazio, è necessario aggiungere un ulteriore informazione al sistema di coordinate (x, y, z), ovvero la coordinata temporale, pervenendo alla quaterna (x, y, z, t) che prende il nome di evento.

Concetto di simultaneità Vi è stato riferito che il treno diretto per Roma parte alle ore 20 dalla stazione centrale di Palermo. Come potete verificarlo? E come può verificare ciò un vostro compagno che si trova a Roma? Per accertare l effettiva partenza del treno alle 20, occorre che il nostro orologio segni le ore 20 nell istante in cui il treno si mette in movimento. Tuttavia per l amico che si trova a Roma non è affatto semplice decidere se i due eventi partenza del treno e puntamento delle lancette dell orologio alle 20 sono simultanei. Fu proprio questo il problema sul quale si soffermò Einstein: come possiamo essere sicuri della simultaneità di due eventi che accadono in punti dello stesso sistema di riferimento posti a notevole distanza fra loro o che si muovono a velocità vicine a quelle della luce?

Definizione di simultaneità Considerando come fenomeni due corpi che emettono luce: due fenomeni F 1 e F 2, che avvengono nei punti P 1 e P 2, sono simultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istante in un punto P equidistante da P 1 e P 2. Se le distanze P 1 P e P 2 P sono eguali, i raggi di luce (che hanno la stessa velocità a prescindere dal tipo di moto del sistema al quale appartengono i punti suddetti) impiegano intervalli di tempo uguali per percorrerle, di conseguenza se i due segnali luminosi arrivano in P nello stesso istante, devono essere partiti simultaneamente.

Procedure di sincronizzazione Primo procedimento: due ragazzi, muniti di orologi si trovano in due punti A e B dello stesso sistema di riferimento. Quando il ragazzo in A vede l orologio del ragazzo in B, sincronizza il suo alla stessa ora. Secondo procedimento: due ragazzi si incontrano nello stesso luogo per sincronizzare i loro orologi e, successivamente, ritornano nei punti A e B. COMMENTO Primo caso: l inesattezza è dovuta al fatto che l orologio di B è in anticipo rispetto a quello di A del tempo impiegato dal segnale luminoso per andare da B ad A Secondo caso: Durante il moto i due orologi potrebbero non marciare con lo stesso ritmo.

Procedure di sincronizzazione Metodo proposto Misurata la distanza AB = d, il ragazzo in A, all istante t = 0, invia un segnale luminoso e, quando B riceve il segnale, pone il suo orologio al tempo t = d/c. Questo metodo tiene conto del tempo impiegato dal segnale luminoso a percorrere il tratto AB. Analogamente si potrebbe collocare un terzo osservatore nel punto medio di AB il quale comunica contemporaneamente ad A e B in quale istante debba avvenire la sincronizzazione.

Simultaneità degli eventi Un capotreno accende una lampadina posta al centro di un vagone ferroviario. Come percepisce l arrivo della luce su due passeggeri seduti alle estremità opposte del suddetto vagone? Se il treno sta passando da una stazione, cosa può dire il capostazione? Evento = arrivo del segnale luminoso a ciascun passeggero Punto di vista 1: capotreno Punto di vista 2: capostazione Seguendo il senso comune i due osservatori devono essere senz altro d accordo nel giudicare gli eventi simultanei. E invece non è così! Punto di vista 1: la luce giunge contemporaneamente sui due passeggeri; Punto di vista 2: la luce illumina prima il passeggero che sta alla coda del treno, se quest ultimo viaggia da sinistra verso destra.

I due eventi sono stati simultanei o no? Non è possibile dare una risposta assoluta!! Nonostante i due osservatori si siano attenuti alla definizione operativa di simultaneità, le risposte sono diverse. Il giudizio di simultaneità è relativo! Quindi il tempo assoluto non ha significato fisico, lo avrebbe soltanto se la luce si propagasse a velocità infinita: soltanto in quel caso il giudizio di simultaneità sarebbe assoluto! «Se, in un sistema inerziale, due eventi avvengono contemporaneamente in due posti diversi, rispetto a un altro sistema inerziale, in moto relativo rispetto al primo, essi sono giudicati accadere in tempi diversi».

Einstein - Zur Elektrodynamik Bewegter Körper [ ] Non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettere istantaneamente in tutti i punti dello spazio l informazione dell avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l una dall altra, sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori, qualunque sia lo stato di moto del loro sistema di riferimento, che cosa si intende con la frase le due stelle sono esplose nello stesso istante ; avrebbe cioè un eguale senso per tutti il concetto di simultaneità di due eventi che accadono in punti lontani dello spazio. Ma, se esistesse la simultaneità assoluta, sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell universo, per quanto in moto relativo e lontani l uno dall altro, e quindi esisterebbe un tempo assoluto che scorrerebbe uguale per tutti gli osservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di trasmettere segnali con velocità infinita non esiste, capovolgendo il ragionamento, si rende plausibile il fatto che il tempo non scorre ugualmente in sistemi di riferimento in moto l uno rispetto all altro [...]

La dilatazione dei tempi

Esperimento La posizione degli eventi influenza l intervallo di tempo Evento 1 Evento 2 accensione del lampeggiatore arrivo alla sorgente della luce di ritorno dopo una riflessione su uno specchio ancorato al soffitto Osservatore 1 Osservatore 2 Alfredo (Treno) Marika (Terra)

Alfredo Per Alfredo i due eventi avvengono nello stesso luogo e quindi può misurare l intervallo di tempo con il medesimo orologio collocato sul posto. Se D è l altezza del vagone, allora Alfredo misurerà l intervallo di tempo tra i due eventi secondo la relazione: t 0 2 D c

Marika Marika vede il raggio di luce come in figura, poiché l apparato sperimentale si muove col treno durante l intervallo di tempo tra i suddetti eventi. Per lei i due eventi accadono in luoghi diversi nel suo sistema di riferimento, quindi deve utilizzare due orologi sincronizzati,. uno per ciascun evento. Poiché il raggio luminoso percorre una distanza 2L, calcola che l intervallo di tempo è: 2 L t c dove: L 2 1 v t 2 D 2 da cui, essendo D = c t 0 /2, si ha: t t 0 1 v 2 c 2

Conclusioni L intervallo di tempo misurato da Marika è maggiore di quello misurato da Alfredo Cos è il tempo proprio? E l intervallo di tempo misurato nel sistema di riferimento in cui due eventi accadono nello stesso luogo. L intervallo di tempo misurato in qualsiasi altro sistema inerziale è sempre maggiore del tempo proprio. L aumento dell intervallo temporale tra due eventi per un osservatore che non misuri il tempo proprio è detto dilatazione del tempo.

Paradosso dei gemelli È un esperimento mentale pensato per mettere in luce una contraddizione nella teoria della relatività ristretta. In realtà tale contraddizione non esiste! Ci sono due gemelli A e B. A rimane fermo sulla Terra, mentre B si dirige verso una stella lontana viaggiando su una navicella che si muove alla velocità della luce. Supponiamo che B torni sulla Terra dopo 5 anni. Data la legge della dilatazione dei tempi, A è invecchiato, invece B no.

Dove sta il paradosso? Uno dei postulati della Relatività Ristretta di Einstein ci dice che non esiste un sistema di riferimento privilegiato. Dunque un osservatore solidale con della Terra vedrà chiaramente quest ultima ferma e la navicella muoversi alla velocità della luce. (Questo è quello che vede il gemello A) Se scegliamo un sistema di riferimento diverso, ad esempio solidale con la navicella, in questo caso la navicella sarebbe ferma e sarebbe la Terra a muoversi alla velocità della Luce rispetto all osservatore. (Questo è quello che vede il gemello B) Tra i due sistemi di riferimento nessuno è privilegiato! Il paradosso è dunque il seguente: il gemello B potrebbe ragionare come A e arrivare alle stesse conclusioni del Fratello. B si aspetterebbe di trovare, nel momento dell incontro, il fratello A più giovane di lui ed invece ciò non accade. C è dunque una asimmetria qualcosa che non quadra. A fa i calcoli e quando incontra B questi si dimostrano corretti, mentre quelli di B sono sbagliati: eccolo il Paradosso! Il paradosso è dunque questa asimmetria! Il paradosso si spiega considerando che in realtà l asimmetria degli avvenimenti si concretizza perché il gemello sulla navicella deve far effettuare all astronave manovre di accelerazione e decelerare per rincontrare il fratello, mentre quello sulla Terra è fermo (o comunque viaggia ad una velocità costante). Quando nella relatività einsteiniana si ha a che fare con decelerazioni la Relatività Ristretta (che i gemelli userebbero per effettuare i calcoli ) non è sufficiente, si ha bisogno della Relatività Generale un modello in cui sono inclusi i fenomeni di accelerazione e gravità.

La contrazione delle lunghezze

Contrazione delle lunghezze Supponete che un treno oltrepassi un marciapiedi ad una certa velocità e che uno di voi si trovi sul treno. Come si può misurare la lunghezza del marciapiede dal treno? Se un altro vostro compagno misura tale lunghezza da terra, cosa vi aspettate in merito ai due valori misurati? Per effettuare la misura della lunghezza del marciapiede dal treno, si incontra la difficoltà di dover annotare le posizioni delle sue estremità simultaneamente. Relatività della simultaneità la lunghezza è pure una quantità relativa.

Esperimento Misura della lunghezza di un marciapiede Marika misura la lunghezza del marciapiede con un metro a nastro e trova L 0 che rappresenta la lunghezza propria perché è ferma rispetto al marciapiede. Un segno di riferimento sul treno percorre questa lunghezza in un tempo t=l 0 /v, se v è la velocità del treno: L o v t Ma t è un tempo proprio? No, perché i due eventi che lo delimitano (il segno passa in corrispondenza dell inizio del marciapiede; il segno passa in corrispondenza della fine del marciapiede) avvengono in due luoghi diversi.

Esperimento Misura della lunghezza di un marciapiede Per Alfredo il marciapiede è in movimento, per cui i due eventi misurati da Marika accadono nello stesso luogo nel suo di Alfredo sistema di riferimento. Lunghezza misurata da Alfredo: con t 0 tempo proprio. L = v t 0 La lunghezza misurata da Alfredo è la stessa di quella misurata da Marika? Dividendo membro a membro le espressioni di L ed L o si ha: L L 0

Conclusioni Essendo γ>1, la lunghezza del marciapiede per l osservatore in moto risulta sempre inferiore alla lunghezza del marciapiede per l osservatore fermo. Il moto relativo, pertanto, provoca una contrazione della lunghezza ed prende il nome di lunghezza contratta. Poiché γ aumenta con la velocità v, la contrazione della lunghezza si accentua con l aumentare della velocità relativa.

Ma l oggetto si contrae davvero? La realtà si basa sulle osservazioni e sulle misurazioni; se i risultati sono sempre coerenti e se non si riscontra nessun errore, ciò che si osserva e si misura è reale. In tal senso la contrazione dell oggetto è reale. Tuttavia si è più precisi affermando che la misurazione della contrazione dell oggetto è reale: il movimento influenza tale misurazione e, pertanto, la realtà.

Composizione delle velocità Un treno è in moto rispetto al suolo con velocità v e su di esso un passeggero si muove con velocità v rispetto al treno. Qual è la velocità v s del passeggero rispetto al suolo?

Composizione delle velocità Si dimostra che: v s v 1 v' v v' La precedente relazione: contiene la legge classica di composizione delle velocità come caso limite quando le velocità v e v sono sufficientemente piccole rispetto alla velocità della luce; nell ipotesi che v e v siano uguali alla velocità della luce, conduce a: v s in accordo con il postulato che la velocità della luce sia una velocità limite e che abbia lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento. c 2 c c c c 1 2 c c

Relatività Ristretta si basa su Costanza della velocità di propagazione della luce Invarianza delle leggi della fisica nei sistemi inerziali permette sincronizzazione degli orologi tramite la quale si def iniscono modif icano il concetto di Trasformazioni di Einstein - Lorentz eventi simultanei da cui deriv ano contrazione delle lunghezze dilatazione dei tempi nuova legge di composizione delle velocità