MODELLIZZAZIONE DEI TASSI DI INTERESSE

MODELLIZZAZIONE DEI TASSI DI INTERESSE

Derivati su obbligazioni e simili (1) Per determinare un prezzo ai derivati che hanno come sottostante una obbligazione o simili vi è bisogno di avere un modello dell'evoluzione dei prezzi di una obbligazione. Nel caso delle azioni il modello (con i suoi limiti) è il processo browniano geometrico descritto da d S = S dt S d z Nel caso delle obbligazioni il problema è più complesso in quanto il valore di un'obligazione dipende dai flussi di cassa che vanno attualizzati col giusto tasso e quindi si deve avere un modello per l'evoluzione di tutta la curva dei tassi. Dopodiché dobbiamo derivare un'evoluzione risk-neutral da usare nel prezzare i derivati.

Derivati su obbligazioni e simili (2) Vi sono due grandi classi di modelli per determinare il prezzo delle obbligazioni che sono il sottostante di qualche opzione Modelli di equilibrio (Vasicek, CIR..) Questi modelli assumono una qualche forma di equilibrio fra domanda/offerta che determina il tasso spot r(t) e fanno evolvere il tasso spot. Modelli di non arbitraggio ( Hull-White, HJM, Libor...) Questi modelli partono dalla curva forward come data e la fanno evolvere

Derivati su obbligazioni e simili (3) Esistono tuttavia altri derivati che sono semplici da prezzare tanto quanto quelli sulle azioni in quanto dipendono solo dal prezzo del sottostante in un dato momento nel futuro. Per similitudine colle azioni si può pensare che il sottostante abbia una distribuzione log-normale e che quindi si possa applicare mutatis mutande il prezzo che si deriva da BSM ==> modello di Black Esempi di strumenti strutturati del genere sono Caplet Floorlet Collar (= caplet+ floorlet)

La modellizzazione dei tassi di interesse: modello Vasicek-CIR

Vasicek: ipotesi (1) Le ipotesi su cui si basa il modello di Vasicek (1977) sono Il tasso di interesse spot r(t) segue un processo markoviano continuo Il prezzo di uno zero coupon (discount bond) con maturità T è determinato solo da r(s) con t<s<t Il mercato è efficiente

Vasicek: ipotesi (2) Efficienza del mercato significa: Senza costi di transazione Informazione disponibile a tutti Investitore agisce razionalmente in particolare questo vuol dire assenza di arbitraggio (vedi le condizioni sui coefficienti)

Vasicek: ipotesi (3) L'evoluzione del tasso spot è data da un processo descritto da d r=m r,t d t s r,t d z in particolare Vasicek sceglie la forma d r=a b r d t d z Questo processo è anche conosciuto come il processo di Ornstein-Uhlenbeck

Vasicek: ipotesi (4) Il prezzo di un'obbligazione zero coupon con maturità T è data al tempo t da P t,t =P t,t, r t siccome dato un processo per l'evoluzione di r(s) la densità di probabilità al tesmpo s di r(s) è determinata solo da r(t) e poichè si assume il valore dell'obbligazione come P t,t =E e tt d s r s =P t,t, r t

Vasicek: caratteristiche Presenza della mean-reversion, che tiene conto dell evidenza empirica che il tasso a breve tende verso un certo valore nel lungo periodo (risolvere con dz=0); Modello univariato: la term structure è spiegata da un unica variabile di stato, il tasso a breve r(t); Manca eteroschedasticità ( la volatilità non cambia al variare di r)

Non arbitraggio ed il prezzo del rischio Supponiamo che il prezzo di uno zero coupon evolva come d P= t,t P d t t,t P d z (questa espressione è connessa con quella di r usando Ito, esattamente come quella di V è connessa a quella di S nel modello di Black-Scholes). Consideriamo al tempo t di vendere una quantita' di bond W 1 con maturità T 1 e comprarne W 2 con maturità T 2 Il portafoglio W=W 1 -W 2 evolverà istantaneamente come d W = t,t 1 W 1 t,t 2 W 2 d t t,t 1 W 1 t,t 2 W 2 d z

Non aritraggio ed il prezzo del rischio Scegliendo opportunamente si può cancellare il termine in dz il portafoglio dovrà quindi eveolvere come un risk-free per argomenti di non arbitraggio quindi si deduce che t,t 1 r t t,t 1 = t,t 2 r t =q t, r t,t 2 dove q è indipendente dai T ed è il prezzo del rischio poiché t,t, r =r t q t, r t,t, r Vasicek assume che q t, r =q 0 =costante

L'equazione di Vasicek Partendo da P(t,T,r(t)) possiamo applicare il lemma di Ito ed ottenere d P= P t P r m 1 2 P 2 r 2 s2 d t P r s d z da cui si ottiene usando l'equazione del prezzo del rischio P t P m q s r 1 2 P 2 s2 r P=0 2 r con condizione finale (esattamente come BSM) P T,T, r =1

La soluzione di Vasicek L'equazione che si vuole risolvere è quindi P t ab q P 0 a r r 1 2 2 2 P r P=0 2 r la cui soluzione è A t,t =e B t,t r t P t,t, r = A t,t e B t,t = 1 e a T t a 1 a 2 B t,t T t a ab q 0 1 2 2 1 4 a 2 B t,t 2 Risk-neutral vuol dire q 0 =0! ( Però esiste il forward risk-neutral..)

La struttura a termine Partendo dalla soluzione della precendete equazione per il modello desiderato (caratterizzato da m e s) si può ottenere la struttura a termine poichè la soluzione dà il valore di uno zero coupon. Quindi si deduce la struttura a termine R(t,T) da P t,t =e R t,t T t R t,t = 1 T t log P t,t

Opzioni col modello di Vasicek Un'opzione europea call con strike K e maturità al tempo T m soddisferà la stessa equazione del bond ma con payoff, ossia condizione al contorno diversa data da C K,T m ;t=t m,t, r =max P T m,t, r K, 0 dove il valore dell'obligazione a T m dipende dal processo sottastante ossia è calcolato col modello e questo è differente da BSM.

CIR: introduzione Il modello di Cox, Ingersoll e Ross (1985) considera la determinazione della struttura termine dei tassi d'interesse come un problema di formulazione di una teoria di equilibrio generale dei prezzi. E necessario definire le ipotesi sulla teoria economica sottostante il modello

CIR: ipotesi Le ipotesi di base sono inquadrabili in due categorie: Relative alla struttura del mercato: Competitività e assenza di attriti nel mercato; Continuità degli scambi; infinita divisibilità delle attività; Possibilità di dare/prendere a prestito qualsiasi quantità di denaro Possibilità di operazioni allo scoperto

CIR: ipotesi Relative alla dinamica del tasso a breve r e alle preferenze degli investitori: Gli agenti hanno una funzione di utilità di tipo logaritmico; La funzione prezzo di mercato del rischio q è supposta lineare rispetto alla radice quadrata di r q t, r = r 1/2 La term structure dipende unicamente dal tasso spot r(t), che evolve secondo un equazione stocastica markoviana di tipo square-root

CIR:dinamica del tasso r(t) In particolare, l espressione che formalizza la dinamica del tasso r è: d r=a b r d t r 1/2 dz dove a, b, σ >0 e r(t)>=0 b è il valore di lungo periodo a cui tende r(t); a è la velocità di aggiustamento di r(t) verso b; σ è il coefficiente di diffusione del processo stocastico dz è un processo di Wiener con media nulla e varianza pari a dt

CIR: caratteristiche Presenza della mean-reversion, che tiene conto dell evidenza empirica che il tasso a breve tende verso un certo valore nel lungo periodo; Modello univariato: la term structure è spiegata da un unica variabile di stato, il tasso a breve r(t); Eteroschedasticità:la volatilità di r(t) varia al variare del livello di r(t).

CIR: stima dei parametri Per stimare i parametri del modello, è possibile utilizzare una procedura a due fasi, che prevede: Valutazione di α, γ, σ 2 con una regressione lineare su una serie storica di tassi d interesse relativi a titoli obbligazionari; Stima di π con una procedura di regressione non lineare su serie storiche di rendimenti di obbligazioni con diversa vita a scadenza

Vasicek-CIR: vantaggi e svantaggi Vantaggi: Limitato numero di parametri da stimare; Non negatività del tasso d interesse. Svantaggi: Presenza di molte limitazioni nelle ipotesi di base; Perfetta correlazione nei tassi d interesse; Assenza di fit.

CIR: Curve teoriche Theoretical (CIR) and market spot curve CIR Spot Rate Curve Market Spot Rate Curve 5,50% 5,00% 4,50% Rate 4,00% 3,50% 3,00% 2,50% 30-mar-01 20-set-06 12-mar-12 2-set-17 23-feb-23 15-ago-28 Maturity

CIR: Curve teoriche future 5,4% CIR Future Term Structures 4,9% Rate 4,4% 3,9% 3,4% 2,9% 30/03/01 30/03/02 30/03/03 30/03/04 30/03/05 30/03/06 30/03/07 30/03/08 30/03/09 30/03/10 30/03/11 30/03/12 30/03/13 30/03/14 30/03/15 30/03/16 30/03/17 30/03/18 30/03/19 30/03/20 30/03/21 30/03/22 30/03/23 30/03/24 30/03/25 30/03/26 30/03/27 30/03/28 30/03/29 30/03/30 30/03/31 30/03/32 Maturity Spot Fut1 Fut2 Fut3 Fut4 Fut5 Fut6 Fut7 Fut8

La modellizzazione dei tassi di interesse: modello HJM

Le finalità del modello HJM (Heath, Jarrow, Morton) HJM descrive l evoluzione temporale di un intera curva di tassi forward HJM fornisce il fit esatto della struttura spot di yield (a differenza dei modelli di equilibrio, e.g. CIR)

Le ipotesi di HJM A. Assenza di arbitraggio; B. completezza della curva dei tassi forward; C. rischio di credito indifferenziato per ogni operatore.

La grandezza da modellizzare: il tasso forward istantaneo Si procede dai prezzi dei zero coupon: {P t,t T t } Si definisce il tasso forward istantaneo: f t,t lim T ' T f t,t,t ' Le due grandezze sono legate dalle: T P t,t =exp[ t f t,s ds] f t,t = logp t,t T

Il modello stocastico ipotizzato per la TS spot dp t, T P t,t Numero di fattori di rischio statisticamente indipendenti. n =μ t,t dt k=1 Volatilità istantanea di P(t,T) legata al k-esimo fattore di rischio. σ k t,t dz k t Drift istantaneo del rendimento di P. Processo di Wiener associato al k- esimo fattore di rischio

Utilizzo delle ipotesi A. Nell ipotesi di non arbitraggio, il drift del rendimento di P deve essere il tasso risk free istantaneo r(t,t) : μ t,t =r t,t

Utilizzo delle ipotesi C) L ipotesi di completezza dei tassi forward implica l indifferenziazione del tasso risk free su ogni maturity: r t,t =r t

Il modello stocastico dedotto per il tasso forward istantaneo Dalle relazioni precedenti si deduce la seguente equazione HJM: df t,t = k =1 dove n T σ k t,t σk t,s ds t σ k t,t σ k t,t T drift m t,t dt n k=1 σ k t,t dz k t

Implicazioni dell equazione HJM Le ipotesi alla base del modello HJM implicano che il drift m(t,t): n m t,t = k =1 T σ k t,t t σk t,s ds è completamente determinato dalla volatilità σ k t,t :

Implicazioni dell equazione HJM La matrice C di varianza-covarianza dei fattori di rischio contiene TUTTE le informazioni di cui dispone il modello HJM per far evolvere i tassi forward.

Dalla matrice C alle volatilità dei fattori di rischio Per costruzione i fattori di rischio in HJM sono statisticamente indipendenti Occorre riscrivere la matrice empirica C nella base in cui essa è diagonale: le volatilità σ k t,t sono proporzionali agli autovalori (Analisi delle componenti principali).