CORSO BIELLA CONCETTI FONDAMENTALI DI ARITMETICA, ALGEBRA E GEOMETRIA PER LA SCUOLA DELL OBBLIGO MARTEDI 19/02/201 TEMA OPERAZIONI CON I NUMERI E LORO PROPRIETA. NASCONO LE STRUTTURE ALGEBRICHE. 1 TESTO CHE USERO E SUL QUALE POTETE STUDIARE: M. FERRARI, I MONDI NUMERICI DEL PRIMO CICLO SCOLASTICO: TEORIA DIDATTICA STORIA, CRDUM 2011 QUADERNO DIDATTICO N. 20. (COSTA 10 EURO). 2 OSSERVAZIONE POLITICAMENTE SCORRETTA (RISPETTO A SUSSIDIARI E LIBRI DI TESTO): NON PARLERO E NON USERO GLI INSIEMI E LE OPERAZIONI SU DI ESSI (UNIONE, INTERSEZIONE, PRODOTTO CARTESIANO) SIA PERCHE LA TEORIA E FINTAMENTE FACILE (ESEMPI: CHE COSA E UN INSIEME, INSIEME VUOTO, INSIEMI UGUALI, INSIEMI EQUIPOTENTI); SIA PERCHE NON NECESSARI PER FARE BENE L ARITMETICA; SIA PERCHE SONO STATI ESPULSI DAI PROGRAMMI DELLA SCUOLA PRIMARIA (PROGRAMMI DEL 2004) E DELLA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO (PROGRAMMI DEL 2007 E DEL 2012).
USERO, INVECE, QUALCHE PAROLA DEL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI (INSIEME, SOTTOINSIEME) E QUALCHE RAPPRESENTAZIONE (DIAGRAMMI DI EULERO VENN). ARITMETICA: QUALE E IL SIGNIFICATO ETIMOLOGICO DELLA PAROLA? (DA ARITMÒS = NUMERO. QUINDI TEORIA DEI NUMERI) CONSIGLIO: VEDERE IL SIGNIFICATO ETIMOLOGICO DI ALTRE PAROLE MATEMATICHE COME GEOMETRIA, ALGEBRA, ALGORITMO, ISOMETRIA, ECC.) 4 NUMERO: CHE COSA E IL NUMERO? QUESTA DOMANDA, AL SINGOLARE, HA PERCORSO TUTTA LA STORIA DELLA MATEMATICA FINO ALLA FINE DEL SECOLO XIX. LA RISPOSTA DI EUCLIDE: PLURALITA DI UNITA. SOLO I NUMERI NATURALI DA 2 IN POI. LA RISPOSTA DI NEWTON: TUTTI I MONDI NUMERICI, MA SOLO QUELLI POSITIVI. CAMBIO DI PROSPETTIVA: DOMANDA AL PLURALE: CHE COSA SONO I NUMERI, CIOE QUALI SONO LE CARATTERISTICHE CHE DEVE AVERE UNA INSIEME DI OGGETTI PER ESSERE CHIAMATO MONDO NUMERICO. CERCHEREMO DI RISPONDERE A QUESTA DOMANDA CON I PRIMI DUE NOSTRI INCONTRI.
5 L ESSENZIALE PER ESSERE UN MONDO NUMERICO. PARLIAMO DI CENTRI DI AGGREGAZIONE PER METTERE IN RISALTO LA VITA SOCIALE DEI NUMERI NATURALI. 5.1 UN PRIMO CENTRO DI AGGREGAZIONE: ADDIZIONE. OPERAZIONE BINARIA: LAVORA SU COPPIE DI NUMERI E AD OGNI COPPIA ASSOCIA SEMPRE UN RISULTATO. INTERNA: SI FANNO LE COSE IN FAMIGLIA. IL VIZIO DEI MATEMATICI: CERCARE LE PROPRIETA. QUALI SONO QUELLE DELLA ADDIZIONE? QUELLA CHE TUTTI SANNO E TUTTI SCRIVONO ESATTAMENTE: COMMUTATIVA: a + b = b + a QUELLA CHE TUTTI SANNO, MA SPESSO SBAGLIANO A SCRIVERE: ASSOCIATIVA: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c QUELLA CHE SI TROVA SPESSO SUI LIBRI DI TESTO, MA NON ESISTE: DISSOCIATIVA: COME SI SCRIVE? ESISTENZA DELL ELEMENTO NEUTRO: a + 0 = 0 +a = a UN MOMENTO DI RELAX PER LA SCUOLA ELEMENTARE: SOMMARE PERE CON MELE?
P + 4 M =? (P = PERE; M = MELE) E km + 4 g =? OMOGENEITA DELLE MARCHE. UN MOMENTO DI RELAX PER TUTTI TRIANGOLI MAGICI CON I NUMERI DA 1 A 6 E SOMME SU OGNI LATO 9, 10, 11, 12. 5.2 PROBLEMA DIDATTICO. COME SCRIVERE QUESTE PROPRIETA? SCUOLA ELEMENTARE: CERTAMENTE CON I NUMERI (SONO ESEMPLIFICAZIONI). E IL CASO DI SCRIVERLE ANCHE CON LE LETTERE? CI SONO OPINIONI ED ESPERIENZE DIVERSE. IO PENSO CHE IN QUINTA SI POTREBBERO USARE LE LETTERE. RICORDATE L USO MASSICCIO DI LETTERE NELLE FORMULE DI GEOMETRIA (E I RAGAZZI NON SI SPAVENTANO). SCUOLA MEDIA: USARE CERTAMENTE LE LETTERE. E IL PRIMO PASSO VERSO L ALGEBRA CON LE LETTERE CHE HANNO UN SIGNIFICATO. E LA GENERALIZZAZIONE CHE INGLOBA LE INFINITE POSSIBILITA DELL USO DEI NUMERI. 5. A CIASCUNO IL SUO. NEI VARI MONDI NUMERICI (N Z Q R) L OPERAZIONE HA LO STESSO NOME (ADDIZIONE), LO STESSO SIMBOLO (+), MA LE DEFINIZIONI SONO DIVERSE.
NUMERI NATURALI: a + b = a + 1 + 1 + (b volte) AIUTANO IL CONTEGGIO E LA LINEA DEI NUMERI. QUESTO SI FA NELLA SCUOLA ELEMENTARE IN FORMA OPERATIVA E NON E IL CASO DI RIPETERLA NELLA SCUOLA MEDIA. NUMERI INTERI RELATIVI (QUELLI CON I SEGNI + E -). DEFINIZIONE NOIOSA PER CASI (SONO 8). E ROBA DA SCUOLA MEDIA. ECCOLA. - (+ a) + (+ b) = + (a + b) - (+ a) + (- b) : bisogna distinguere i tre casi: a > b; a = b; a < b. - (- a) + (+ b) : bisogna distinguere i tre casi: a > b; a = b; a < b. - (- a) + (- b) = - (a + b) ATTENZIONE AL MALEDETTO SEGNO +. Dal punto di vista operativo uno strumento efficace è la retta numerica con la convenzione di partire dal primo addendo e di andare verso destra se il secondo addendo è preceduto dal segno + (di tanti passi unitari quanti ne indica il secondo addendo); se, invece, è preceduto dal segno - si va verso sinistra. Anche il modello commerciale dei debiti e dei crediti può aiutare. NUMERI RAZIONALI (LE FRAZIONI) SCUOLA ELEMENTARE: NON PREVISTA L ADDIZIONE. SCUOLA MEDIA Pensando i segni inglobati nelle lettere ed i denominatori sempre positivi si da la seguente definizione:
a/b + c/d = (ad + bc)/ bd. La definizione non è molto naturale, anzi è decisamente complicata e spesso gli studenti, anche in prima superiore, pur avendo appreso la definizione appena ricordata, seguono una via più spiccia sommando fra loro i numeratori ed i denominatori: a/b + c/d = (a + c)/ (b + d). ( Si veda in proposito, K. Hart, Le frazioni sono difficili, in Numeri e operazioni nella scuola di base, a cura di L. Artusi Chini, pubblicato dalla Zanichelli nel 1985.) PERCHE QUESTA DEFINIZIONE COSI COMPLICATA? PER ADERENZA ALLA REALTA PER SALVARE IL RUOLO DELLO ZERO NELLA ADDIZIONE. 5.4 QUALCHE ESPANSIONE TABELLA DELLA ADDIZIONE: COSTRUIRLA, USARLA PER MEMORIZZARLA, CONTEMPLARLA PER SCOPRIRE: RUOLO DELLO ZERO PROPRIETA COMMUTATIVA NUMERI AMICI NUMERI PARI E DISPARI TABELLA DELLA ADDIZIONE DEL PARI E DISPARI
NUMERI PARI IN N E IN Z: NUMERO PARI E LA SOMMA DI DUE NUMERI UGUALI: n + n = 2n (SIAMO GIA NELL ALGEBRA). ADDIZIONI DI PARI E DISPARI: SONO LE PRIME DIMOSTRAZIONI. CHE COSA SUCCEDE NEI NUMERI RAZIONALI? CI SONO ANCORA I PARI E I DISPARI? PER ESEMPIO: 0,6 è pari? E 0,7 è dispari? NEI NUMERI INTERI RELATIVI CI SONO PERSONAGGI NUOVI: GLI OPPOSTI. OGNI NUMERO HA UN SUO OPPOSTO E LA SOMMA DI UN NUMERO E DEL SUO OPPOSTO DA L ELEMENTO NEUTRO. L ESISTENZA DEGLI OPPOSTI E UNA NUOVA PROPRIETA DELLA ADDIZIONE CHE SI AGGIUNGE ALLE ALTRE TRE. METTENDOLE INSIEME TUTTE E QUATTRO NASCE LA PRIMA STRUTTURA ALGEBRICA: QUELLA DI GRUPPO COMMUTATIVO. UNA IDEA ABBASTANZA GIOVANE (HA MENO DI 200 ANNI) DI CUI E RICCA ANCHE LA MATEMATICA DELLA SCUOLA DELL OBBLIGO. LA SOTTRAZIONE: a b NEI NUMERI NATURALI C E BISOGNO DI UN PALETTO. DEVE ESSERE a b. E OPERAZIONE IN SENSO STRETTO? IL PALETTO DICE DI NO. PROPRIETA. INVARIANTIVA. NEI NUMERI INTERI: CADE IL PALETTO PERCHE a b = a + (-b).
6 - L ESSENZIALE PER ESSERE UN MONDO NUMERICO. UN SOLO CENTRO DI AGGREGAZIONE NON E SUFFICIENTE PER CARATTERIZZARE UN MONDO NUMERICO. CI SONO TANTI INSIEMI DI OGGETTI MATEMATICI CHE HANNO UN CENTRO DI AGGREGAZIONE COME QUELLO DESCRITTI, MA NON SONO MONDI NUMERICI. PER ESEMPIO, LE TRASLAZIONI DEL PIANO, LE LUNGHEZZE DEI SEGMENTI, LE ROTAZIONI CHE TRASFORMANO IN SE UN QUADRATO, ECC. 6.1 UN SECONDO CENTRO DI AGGREGAZIONE: LA MOLTIPLICAZIONE ESSA E UNA OPERAZIONE BINARIA INTERNA. IL SOLITO VIZIO DEI MATEMATICI: LE PROPRIETA? QUELLA CHE TUTTI SANNO E TUTTI SCRIVONO ESATTAMENTE: COMMUTATIVA: a x b = b x a QUELLA CHE TUTTI SANNO, MA SPESSO SBAGLIANO A SCRIVERE: ASSOCIATIVA: (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c QUELLA CHE SI TROVA SPESSO SUI LIBRI DI TESTO, MA NON ESISTE: DISSOCIATIVA: COME SI SCRIVE? ESISTENZA DELL ELEMENTO NEUTRO: a x 1 = 1 x a = a LO ZERO RECLAMA I SUOI DIRITTI:
ESISTENZA DELL ELEMENTO NULLIFICANTE: a x 0 = 0 x a = 0 DUE CENTRI DI AGGREGAZIONE: QUALI I LORO RAPPORTI? SONO ESPRESSI DALLA PROPRIETA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALLA ADDIZIONE: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) UN QUADRETTO MATEMATICO (DA BATTERE AD UNA ASTA PER POVERI) ADDIZIONE Lavora su coppie ordinate Sempre possibile Proprietà commutativa Proprietà associativa MOLTIPLICAZIONE Lavora su coppie ordinate Sempre possibile Proprietà commutativa Proprietà associativa Elemento neutro: 0 Elemento neutro: 1 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione UN PO DI RELAX PER TUTTI ESISTE QUALCHE NUMERO n PER IL QUALE SI HA n + n = n x n? ESISTONO NUMERI a, b, c CHE VERIFICANO LA UGUAGLIANZA a + b + c = a x b x c?
6.2 A CIASCUNO IL SUO. NEI VARI MONDI NUMERICI (N Z Q R) L OPERAZIONE HA LO STESSO NOME (MOLTIPLICAZIONE), LO STESSO SIMBOLO (x), MA LE DEFINIZIONI SONO DIVERSE. NUMERI NATURALI: a x b SE b = 0 ALLORA a x 0 = 0 SE b > 0 CIOE b = c + 1 ALLORA a x b = a x (c + 1) = a x c + a E UNA DEFINIZIONE DI CARATTERE OPERATIVO CHE MI DICE COME FARE PER ESEGUIRE UNA MOLTIPLICAZIONE. ALTRA DEFINIZIONE CHE FA INTERVENIRE L ADDIZIONE: SE b 2 ALLORA a x b = a + a + a + a (b volte). LA LIMITAZIONE SU b E NECESSARIA PERCHE L ADDIZIONE E UNA OPERAZIONE BINARIA. QUESTA DEFINIZIONE NON HA SENSO PER I CASI ESTREMI CIOE PER b = 1 e b = 0. PLURALITA DI APPROCCI DIDATTICI: GLI INCROCI: LA PIU GENERALE PERCHE ACCHIAPPA ANCHE I CASI ESTREMI. GLI SCHIERAMENTI: ACCHIAPPA IL CASO b = 1, MA NON b = 0. E LA PIU RICCA MATEMATICAMENTE PERCHE SVELA I NUMERI PARI E QUELLI DISPARI, I NUMERI PRIMI E QUELLI COMPOSTI, I NUMERI QUADRATI. ADDIZIONE RIPETUTA: I FORTI LIMITI PRIMA SEGNALATI.
NUMERI INTERI RELATIVI Nella scuola media è necessario introdurre la moltiplicazione fra numeri interi relativi. L unica possibilità è quella di enunciare la regola dei segni. Sinteticamente: il prodotto di due numeri con segno uguale è positivo, altrimenti è negativo. E il caso di dare qualche giustificazione? Se si, si può seguire questa strada. I casi: più per più e meno per più non presentano difficoltà perché basta pensare alla moltiplicazione come addizione ripetuta. Per gli altri due casi sarebbe completamente fuorviante ricorrere al modello commerciale dei debiti e crediti e anche alla moltiplicazione come addizione ripetuta. Per esempio, dire che (+) x (-4) è uguale a + sommato a se stesso - 4 volte è fare una affermazione priva di senso. E contro la logica, poi, invocare la proprietà commutativa della moltiplicazione prima ancora di averla definita. L unica giustificazione, se si vuole darla, è di tipo matematico: se si vuole salvare il ruolo dello zero e la proprietà distributiva anche nel mondo degli interi relativi è necessario che più per meno faccia meno e che meno per meno faccia più. Per esempio, tutti accettano senza difficoltà che (+) + (-) = 0. Quindi (+4) x [ (+) + (-) ] = 0 per la legge di annullamento del prodotto. Se vogliamo salvare la proprietà distributiva il primo membro della uguaglianza deve essere (+4) x (+) + (+4) x (-). Siccome (+4) x (+) = +12 allora (+4) x (-) deve fare -12 se vogliamo che il risultato finale sia 0.
In modo analogo si ragiona sostituendo +4 con -4. Questa giustificazione è una nuova occasione per sottolineare un atteggiamento costante dei matematici: quando costruiscono un nuovo insieme numerico a partire da un mondo già noto cercano di definire le operazioni in modo da conservare il più possibile le loro proprietà. In particolare essi non sono disponibili a rinunciare alle cosiddette proprietà formali, cioè la proprietà commutativa, la associativa e la distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione. NUMERI RAZIONALI E quanto di più semplice si possa immaginare: a/b c/d = ac/bd. Nelle lettere a e c dobbiamo pensare incorporati i loro segni distintivi perché essi sono numeri interi relativi. Per il prodotto ac vale la regola dei segni prima ricordata. I denominatori b e d li possiamo sempre supporre positivi senza perdita di generalità. La definizione data è legittima perché il denominatore bd è diverso da zero per la legge di annullamento del prodotto. La definizione formale di moltiplicazione è semplice, ma è difficile la sua interpretazione, cioè l attribuzione di un significato convincente per i ragazzi. I modelli migliori, forse, sono quelli che, in qualche modo, fanno intervenire l area. Esempio: x4 può essere interpretato come l area di un rettangolo con lati lunghi e 4 rispettivamente. La sua area è 12 e possiamo pensare il rettangolo diviso in 12 quadretti (se il disegno mi fosse venuto bene)
4 4 4 2 x è l area di un rettangolo di lati lunghi, rispettivamente, 2 e. Quale sarà la sua area? Si riprende il rettangolo di 2 prima costruendo i di un lato e i dell altro e poi il 4 rettangolo avente come area il prodotto. 2 Quindi 2 x 4 = 6 12 4 6. QUALCHE ESPANSIONE 6..1 CONTEMPLARE LA TABELLA PER FARE SCOPERTE INTERESSANTI. 6..2 LA TABELLA DEL PARI E DISPARI CON RELATIVE DIMOSTRAZIONI
6.. I NUMERI PRIMI: UN MONDO AFFASCINANTE E MISTERIOSO PER GRANDI E PICCINI LE POSSIBILI DEFINIZIONI A CHE COSA SERVONO IL CRIVELLO DI ERATOSTENE DUE MISTERI ANCORA ATTUALI 6..4 - IL TEOREMA DI DIVISIBILITA : per ogni coppia ordinata (a, b) con b > 0 esiste una coppia ordinata ed una sola (q, r) con 0 r < b tale che a = b x q + r LA TABELLA DELLE DIVISIONI CON QUOZIENTE E RESTO 6..5 LA DIVISIONE SOLITA CON I SUOI PALETTI CONTEMPLARE LA SUA TABELLINA 6..6 NEI NUMERI RAZIONALI NASCONO NUOVI PERSONAGGI: GLI INVERSI O RECIPROCI. OGNI NUMERO a/b DIVERSO DA ZERO (cioè a 0) POSSIEDE UN INVERSO b/a E IL LORO PRODOTTO E UGUALE A 1. METTENDO INSIEME TUTTE LE PROPRIETA DELLA MOLTIPLICAZIONE (SI PRESCINDE DALLA DISTRIBUTIVITA ) SI OTTIENE UN NUOVO GRUPPO COMMUTATIVO. IN ALTRE PAROLE: L INSIEME Q DEI NUMERI RAZIONALI, TOLTO LO ZERO CHE NON HA INVERSO, E UN GRUPPO COMMUTATIVO RISPETTO ALLA MOLTIPLICAZIONE.